Algebra Modulo 2 2017

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U.N.JU. – FACULTAD DE INGENIERÍA 
Álgebra y Geometría Analítica 
Guía de Trabajos Prácticos 
 
Cartilla Nº 2 
 
Plano. Matrices. Determinantes. Sistemas de Ecuaciones Lineales. 
Espacios Vectoriales. 
 
CARRERAS: 
 Ingenierías Industrial – Informática 
 Ingenierías Química – en Minas 
 Licenciaturas en: Sistemas, Tecnología de los Alimentos y en Cs. Geológicas 
 Tecnicaturas Universitarias en: Explotación de Minas, Procesamiento de Minerales, 
Perforación, Ciencias de la Tierra y Ciencias de la Tierra Orientada a Petróleo. 
 
 
PROFESORA A CARGO DE LA CÁTEDRA: 
Esp. Torres Bugeau de Bernal, Celia M. 
 
EQUIPO DOCENTE DE LA CÁTEDRA: 
Ing. Condorí, Patricio – Ing. Flores, Roberto – Ing. Grágeda, Adelma 
Esp. Llanos, Lydia – Lic. Medina, José Luis – Ing. Saravia, Ismael 
Esp. Tarifa, Héctor – Ing. Vargas, Nelson 
 
 
2017 
pág. 2 
 TEMA: “PLANO” 
 
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA: 
Di Caro, H. Álgebra y Elementos de Geometría Analítica I y II. Gráfica Munro Editora. Argentina. 
1.984 
Rojo, Armando. Álgebra II. Editorial Ateneo. Buenos Aires. Argentina. 1.998. 
Di Pietro, Donato. Geometría Analítica del plano y del espacio. Editorial Alsina. Buenos Aires. 
Argentina. 1.975. 
 
CUESTIONARIO DE REPASO: 
1.- Dado un punto P0 perteneciente al plano y un vector n

   . Deduzca la ecuación vectorial del 
plano. 
2.- A partir de la ecuación encontrada en el punto anterior: deducir la ecuación general y segmentaria 
del plano. 
3.- Escribir la ecuación vectorial del plano determinada por: 
 a) tres puntos no alineados P1, P2 y P3 
 b) por una recta y un punto fuera de ella. 
 c) por dos rectas que se cortan. 
 d) por un punto y una recta perpendicular a él. 
4.- Escribir la ecuación del plano en los siguientes casos y representar gráficamente. 
 a) perpendicular al plano XY 
 b) paralelo al eje Y 
 c) perpendicular al eje X 
 d) paralelo al Plano YZ 
 e) que contenga al eje Z 
 f) que pase por el origen y no sea perpendicular a ninguno de los planos. 
pág. 3 
5.- Escribir la fórmula de la distancia a un plano  , desde un punto P0 no perteneciente a él. 
6.- Escribir la fórmula de la distancia del origen de coordenadas a un plano  . 
7.- Dados dos planos: A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 y A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 , escribir la 
fórmula del ángulo determinado por dichos planos. 
8.- Escribir la condición de paralelismo y la de perpendicularidad entre los planos dados en el punto 
anterior. 
pág. 4 
EJERCICIOS RESUELTOS. 
Ejemplo 1: Hallar la ecuación general del plano que pasa por el punto (2, – 3, 
2
3
 ) y es perpendicular 
al vector (6, – 3, 2). Representar gráficamente. 
Datos: Po   ; Po (2, – 3, 
2
3
 ) punto del plano 
 n   ; n= (6, – 3, 2) vector perpendicular al plano 
 P(x, y, z) punto genérico    0P P

 = (x, y, z) – (2, – 3, 
2
3
 ) = (x – 2, y + 3, z – 
2
3
) 
Reemplazando los datos en la ecuación vectorial 0P P

 . n = 0 se tiene: 
(x – 2, y + 3, z – 
2
3
) . (6, – 3, 2) = 0  6 x – 12 – 3 y – 9 + 2 z – 3 = 0 
Resolviendo obtenemos: 6 x – 3 y + 2 z – 24 = 0 Ecuación general del plano 
Para representar gráficamente hallamos la ecuación segmentaria, pasando (–24) al 2º miembro y 
dividiendo la ecuación resultante por 24: + + = 1
4 8 12
x y z
 
 
 
 
Ejemplo 2: Usar la ecuación vectorial del plano para hallar la ecuación general del plano que 
contiene a los puntos A(2, 2, 4) , B(–1, 0, 8) y C (– 8, – 3, 9 ). Representar gráficamente. 
Figura de análisis 
 
pág. 5 
Como los vectores AB

 y AC

 están contenidos en el plano, el producto vectorial entre ambos es un 
vector perpendicular al plano considerado. 
Por lo tanto AB

= (–1, 0, 8) – (2, 2, 4) = (– 3, – 2, 4) 
 AC

= (– 8, – 3, 9) – (2, 2, 4) = (–10, – 5, 5) 
n= AB

x AC

 =
 i j k 
 3 2 4
10 5 5
 
 
= –10i – 40j + 15k – 20k + 20i +15j =10i – 25j – 5k = (10, –25, –5) 
Entonces n= (10, –25, –5), y tomando un punto del plano, que puede ser por ejemplo el punto A, 
la ecuación vectorial del plano es: AP

. n

 = 0 (1) 
Siendo P (x, y, z), un punto genérico, entonces: AP

= (x, y, z) – (2, 2, 4) = (x – 2 , y – 2 , z – 4 ) 
Reemplazando en (1): (x – 2 , y – 2 , z – 4 ) . (10, –25, –5) = 0 
 10 x – 20 – 25 y + 50 – 5 z + 20 = 0  10 x – 25 y – 5 z + 50 = 0 
Dividiendo la ecuación anterior por 5: 2 x – 5 y – z + 10 = 0 Ecuación general del plano 
Otra manera de resolver este ejercicio es la siguiente: 
Como los vectores AP

 = ( x – 2 , y – 2 , z – 4 ), AB

 = ( – 3 , – 2 , 4 ) y AC

 = ( – 10 , – 5 , 5 ) son 
coplanares, su producto mixto es nulo, entonces podemos plantear lo siguiente: 
AP

. ( AB

x AC

) = 
 x 2 y 2 z 4 
 3 2 4
 10 5 5
  
 
 
 = 0 
Resolviendo el determinante nos queda: 
 ( x – 2 ) . 10 + ( y – 2) . (– 25) + ( z – 4). (– 5) = 0 
 10 x – 25 y – 5 z – 20 + 50 + 20 = 0 
 10 x – 25 y – 5 z + 50 = 0 
 2 x – 5 y – z + 10 = 0 Ecuación General del plano. 
 
pág. 6 
Para representar gráficamente consideremos su ecuación segmentaria: + + = 1
5 2 10
x y z

 
 
 
Ejemplo 3: Calcular la ecuación general del plano que contiene al punto A(1, 0, 1) y a la recta r dada 
por la intersección de dos planos: 
 r: 
 x + y z = 1
2x y + 2z = 0 
 


 
De la recta r en el espacio, podemos encontrar su vector dirección, efectuando el producto vectorial 
de los vectores normales a los planos que determinan la recta. 
u

 = ( 1, 1, – 1) x ( 2, – 1, 2) = 
212
111


kji
= i – 4j – 3k = ( 1, – 4, – 3 ) 
Ahora obtenemos un punto P1 de la recta “r” haciendo x = 0  
 y z = 1
 y + 2z = 0 
 


 , sumando 
miembro a miembro nos quedará z = – 1 ; y = – 2  P1 ( 0, – 2, –1) ( punto de la recta r ). 
Con P1 y A hallamos 1P A

= (1, 0, 1) – ( 0, – 2, – 1) = ( 1, 2 , 2), y multiplicándolo vectorialmente 
con u

obtenemos el vector normal al plano n

. 
Es decir: n

= 1P A

x u

= (1, 2, 2) x (1, – 4, – 3) = 
341
221

kji
 = 2 i + 5 j – 6 k = ( 2, 5, – 6 ). 
pág. 7 
Finalmente tomando P( x, y , z) , y reemplazando en la ecuación vectorial: AP

. n

 = 0 
tenemos: ( x – 1 , y – 0 , z – 1 ). ( 2, 5 , – 6 ) = 0 
Resolviendo el producto escalar: 2 x + 5 y – 6 z + 4 = 0 Ecuación general del plano 
 
Ejemplo 4: Dados los planos: π1: 2 x – 3 y + 5 z – 1 = 0 ; π2: 3 x + 2 y + 4 z + 5 = 0 
Hallar: 
a) Empleando haz de planos, la ecuación del plano del haz que pasa por la intersección de los 
planos π1 y π2 y por el punto (1, 2, 3) 
b) El ángulo determinado por los dos planos. 
c) La distancia del punto P( 2, – 1, 3 ) al plano π1. 
a) La ecuación del haz de planos determinada por la intersección de dos planos π1 y π2 cualesquiera 
es: ( A1 + k A2) x + (B1 + k B2) y + ( C1 + k C2 ) z + ( D1 + k D2) = 0 
donde A1 , B1, C1 , A2 , B2 , C2 son los coeficientes de las variables de los planos dados y D1 , D2 
son los términos independientes. 
 En nuestro ejemplo, la ecuación del haz es : ( 2 + 3k) x + (– 3 + 2k) y + ( 5+ 4k) z + (– 1 + 5k) = 0 
Si pasa por (1, 2, 3)  ( 2 + 3k) . 1 + (– 3 + 2k) . 2 + ( 5 + 4k) . 3 + (– 1 + 5k) = 0 
Resolviendo tenemos: 10 + 24 k = 0  
5
12
k =  
Reemplazando k en la ecuación del haz, se tiene: 
( 2 + 3. 






12
5
 ) x + (– 3 + 2 . 






12
5
) y + ( 5 + 4 . 






12
5
) z + (– 1 + 5. 






12
5
) = 0 
Resolviendo y eliminando denominadores tenemos: 
 9 x – 46 y + 40 z – 37 = 0 
 
pág. 8 
b) Sabiendo que 
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1212121
.
cos
CBACBA
CCBBAA



 
Entonces: 
cos = 
 
1649.2594
4.52.33.2


 
cos = 0,6024   = 52º 57´ 09” 
 
c) La distancia del punto P( 2, –1, 3 ) al plano π1: 2x – 3y + 5z – 1 = 0 
Recordando que la distancia de un punto a un plano es: d (P0, π) = 
0 0 0
2 2 2
A x + B y + C z + D
A + B + C
 
Entonces, en nuestro ejemplo: d ( P, π1) = 
2 . 2 + ( 3).( 1) + 5 . 3 + ( 1)
4 9 25
  
 
 = 3,40 
 
pág. 9 
TRABAJO PRÁCTICO Nº 9 
PLANO 
EJERCICIOS A RESOLVER 
1.- Representar gráficamente los siguientes planos, hallando previamente, de ser posible, la ecuación 
segmentaria correspondiente. 
 a) 2 x + 3 y + 6 z – 18 = 0 b) x + 3 z – 6 = 0 c) – 2 x + y = 4 
d) –15 x + 12 y – 10 z = 30 e) z + 5 = 1 f) x = 3 
g) y = 0 h) y – 2 z = 0 i) – x + y = 0 
 
2.- Encontrar la ecuación vectorial y la ecuación general del plano según las condiciones que se 
especifican en cada caso. Con la ayuda de la ecuación segmentaria representar gráficamente los 
planos encontrados en a), b), c), e), g) e i). 
a) Pasa por el punto P0 ( 3, – 1, – 1 ) y su vector normal es n

 = 3 i + 2 j + k 
b) Pasa por el punto P0( 2, 1, 2 ) y es perpendicular a la recta OP

= ( 2, 1, 3 ) + λ ( 2, – 1, 1) 
c) Pasa por el punto P0 (3, 0, 1) y es paralelo al plano de ecuación 2 x + 3 y – 4 = 0 
d) Contiene al punto (1, – 1, 2) y es paralelo a los vectores u

= (– 2, 3, 1) y v

= (2, 1, 1). 
e) Contiene a los puntos P1 ( 1, 0, 2 ) , P2 ( 2, 3, – 2) y P3 ( 0, 0, 4) 
f) Contiene al punto P0 ( 2, 0, 0) y a la recta de ecuación 
1 1 1
1 2 1
x y z  
 

 
g) Pasa por los puntos A(1, 2, 3), B(3, – 2, 1) y es paralelo a la recta de ecuación que tiene 
por ecuación (x, y, z) = (3, 0, – 2) +  ( 2, 2, – 5) 
h) Contiene a las rectas (x, y, z) = (1, 2, –1) +  ( 1, 1, 2) y 1 2 5
2 1 3
x y z  
 
 
 
i) Es paralelo a cada plano coordenado y pasa por el punto P0 (3, 4, – 5). 
 
3.- Encontrar la ecuación simétrica de la recta determinada por la intersección de los planos: 
 3 x + y z 1 = 0
 3 x 2 y + 3 z = 0
 

 
 
4.- Determinar el ángulo entre los planos: 
a) x + y + 2 z – 10 = 0 y 2 x – y + z + 4 = 0 
b) 2 x + 3 y – 1 = 0 y 3 x + 2 y + z + 5 = 0 
c) 4 x + 3 y + z = 4 y 3 x + 2 z = 10 
pág. 10 
5.- Hallar el ángulo formado entre: 
 a) La recta 
3 2 2
3 2 3
x y z  
 

 y el plano (x, y, z) . (2, 2, – 1) = 0. 
 b) La recta (x, y, z) = (4, 2, 1) +  (2, – 1, 4 ) y el plano – x + 2y + 3 z – 10 = 0 
 
6.- Sean la recta r: 
3 0
2 3 0
x y z
y z
  

  
 y el plano: x – a y + 4 z – 2 = 0. 
a) Calcular el valor de a para que r sea paralela al plano. 
b) ¿Existe algún valor de a para el cual r sea perpendicular al plano? 
 
7.- Determinar cuáles de los siguientes planos son paralelos y cuáles perpendiculares: 
1 : 2 x – 6 y – 8 z = 1 ; 2 : x + 
2
3 y – 2 z = 0 
3 : – x + 3 y + 4 z – 5 = 0 ; 4 : – 2 x + 4 y + 2 z = 6 
8.- a) Hallar la distancia del punto (5, 0, – 4) al plano 3 x – 2 y + 6 z + 18 = 0 
 b) Hallar la distancia del punto (1, –2, 0) al plano que contiene al punto P0 ( 2, 1, 0) y su vector 
normal es n = (1, 2, –2) 
 
9.- Hallar la distancia entre los planos paralelos encontrados en el ejercicio 7. 
10.- Determinar la distancia entre la recta: 
2 2
2 1 2
x y z  
 
 
 y el plano: x + 4 y + 3 z + 7 = 0 
11.- Hallar el lugar geométrico de los puntos: 
 a) P (x , y, z) equidistantes de los puntos fijos P1(2, – 1, 3) y P2(1, 0, 2). 
 b) P (x, y, z) equidistantes de los puntos fijos P1(–1, 0, –2); P2(0, 2, 1) y P3(2, 3, 0). 
12.- ¿Son coplanares los puntos A (2, –1, 1) ; B (1, 2, 0) ; C (1, 0, 0) y D (0, 1, 0)? 
13.- Considerando el haz de planos determinado por los planos π1: 2 x – y + 2 z = 0 y 
 π2: 2 x + 4 y – 2 z – 7 = 0, hallar la ecuación del plano del haz: 
a) Que pasa por el punto (1, 2, 3) 
b) Perpendicular al plano XY. Ídem para los planos XZ e YZ. 
14.- Escribir la ecuación del haz de planos determinados por los planos 2 y 4 del ejercicio 7); y 
el plano de dicho haz, que contiene al punto ( 2, 2, – 1 ). 
 
 
pág. 11 
AUTOEVALUACIÓN: PLANO. 
1.- Responder V (Verdadero) o F (Falso). NO justificar la respuesta. 
a) La expresión ( x – 1 , y , z + 2 ). ( 1, –1, 2) = 0 es la ecuación general de un plano. 
 
b) El punto ( 1, 0, 1) no pertenece al plano – x + 4z – 5 = 0 
 
c) El plano 2y + 3z = 12 es paralelo al eje OX

. 
d) El vector n

= ( 6, 3, –2) es normal al plano 1
6 3 2
x y z
  

 
 
2.- Completar con la respuesta que corresponda. Las respuestas deben escribirse con tinta. 
a) El valor de k para que el plano 2 x + k y = 4z y la recta 
3 2 2
2 3 4
x y z  
 
 
 sean 
perpendiculares es………….…. 
b) La ecuación general del plano que pasa por los puntos P0(1, –2, –2) y P1(1, 0, –1) y es 
perpendicular al plano x + y + 2 z = 0 es………………………………………… 
 c) La ecuación del haz de planos determinados por los planos π1: x + 2 y + 2 z = 0 y 
π2: x – y + z – 6 = 0 es ……………………………………….., y el plano de dicho haz que 
contiene al punto P0 (1 , 1 , 1 ), tiene por ecuación……………………………………………. 
 
3.- Escribir, con tinta y en el recuadro, la letra correspondiente a la respuesta correcta. Si ninguna es, 
escribir una N. 
a) La ecuación general del siguiente plano es: 
 
A) 2 x + 3 y + 3 z – 6 = 0 
 B) 3 x + 2 y + 2 z + 6 = 0 
 C) 3 x + 3 y + 2 z – 6 = 0 
 D) 3 x + 2 y + 2 z – 6 = 0 
 
b) La distancia del punto (3, 0, – 2) al plano 2 x – 6 y + 3 z + 6 = 0 es: 
A) 6 B) 3 C) 
6
7
 D) 
7
6
 
 
 
 
pág. 12 
TEMA: “MATRICES” 
 
BIBLIGRAFÍA BÁSICA: 
Torres Bugeau C.; Lasserre A.; García A. Elementos de Álgebra y Geometría Analítica. Vol. II. 
EdiUnju Editorial. Jujuy. Argentina. 2009. 
Di Caro, H. Álgebra y Elementos de Geometría Analítica I. Gráfica Munro Editora. Argentina. 
1.984. 
Rojo, Armando. Álgebra II. Editorial Ateneo. Buenos Aires. Argentina. 1.998. 
Kaufmann J.; Schwitters K. Álgebra. 8º Edición. Cengage Learning. Mexico D. F. 2010. 
 
CUESTIONARIO DE REPASO: 
1.- Defina matriz de orden mxn. 
2.- ¿ Cuándo dos matrices A y B, son iguales?. 
3.- ¿Que condición deben cumplir dos matrices para poder sumarlas? ¿Que condición deben 
cumplir dos matrices para poder multiplicarlas? 
4.- Si se multiplica una matriz de orden mxs por otra de orden sxn. ¿De qué orden es la matriz 
resultante? 
5.- ¿El producto de matrices es conmutativo?, justifique su respuesta. 
6.- ¿Cómo define matriz triangular superior? Expresar matemáticamente una matriz triangular 
superior, de orden 3. 
7.- ¿Cómo define matriz unidad? Escriba una matriz unidad de orden 4. 
8.- Dada una matriz A = ija , de orden mxn y la matriz unidad I de orden n. ¿Es posible efectuar 
los siguientes productos? 
a) I ∙ A? ¿Por qué? 
b) A ∙ I ?¿ Por qué?. 
pág. 13 
9.- Dada la matriz A = 










232221
131211
aaa
aaa
 ¿Existe su transpuesta?, ¿de que orden es?. 
10.- ¿Cuándo una matriz es simétrica? Defínala. Escriba una matriz simétrica de orden 3 
11.- ¿Cuándo una matriz es antisimétrica? Escriba una matriz antisimétrica de orden 4. 
12.- Dada una matriz cuadrada de orden “n”: A = 
ija ; a) ( A + A
t 
)
t 
, ¿ es simétrica?, si lo es 
demuéstrelo; b) ( A - A
t 
)
t 
, ¿ es antisimétrica?, si lo es demuéstrelo; c) ( A ∙ A
t
 )
t
, ¿ es simétrica?, 
si lo es demuéstrelo. 
13.- Dadauna matriz A = ija de orden “n” ¿Cómo se define matriz inversa de A? ¿Cómo se la 
designa? 
14.- ¿Cuáles son las operaciones elementales entre filas (columnas) de una matriz A? 
15.- ¿Cuál es el esquema que permite, mediante operaciones elementales entre filas de una matriz 
A, calcular la inversa empleando el método de Gauss-Jordan . 
 16.- ¿A qué es igual el rango de una matriz? 
 
 
pág. 14 
EJERCICIOS RESUELTOS. 
Ejemplo 1: Dadas las matrices A = 
 7 2
3 4
 
 
 
 y B = 




 
64
24
; hallar la matriz ( 3. A + B ) 
Para multiplicar una matriz por un número (una constante), se debe multiplicar cada elemento de la 
matriz por dicho número, es decir: 
3. A = 3.
 
 7 2
3 4
 
 
 
 = 
(3).(7) (3).( 2) 21 6
 = 
(3).( 3) (3).(4) 9 12 
    
   
    
 , matriz de igual orden 
(dimensión)(2x2) que la dada. 
Luego, la suma de las matrices (3A) y ( B) de igual orden ambas (2x2), va a ser igual a una matriz 
del mismo orden, cuyos elementos son la suma de los elementos correspondientes de las matrices a 
sumar, esto es: 
3A + B = 
 21 6
9 12 
 
 
  
+ 




 
64
24
 = 
21 4 6 2 25 8
9 4 12+6 5 18
      
   
     
 
Ejemplo 2: Dada la matriz A =  314  de orden 1x3 y la matriz B = 










5
1
2
 de orden 3x1. 
Calcular la matriz (A.B). 
El producto de A.B (en ese orden) será una matriz de orden 1x1, que se obtiene de la siguiente 
manera: A.B =  314  . 










5
1
2
 = ( (4) (2) + (–1) (1) + (3) (–5) ) = (8 – 1 – 15) = (– 8) 
El producto realizado se conoce como producto escalar de una matriz fila (A) por una matriz 
columna (B). 
Ejemplo 3: Dada la matriz F = 





12
51
de orden 2x2 y la matriz G = 





 210
634
de orden 2x3, 
encontrar la matriz (F.G) 
Importante: para poder multiplicar dos matrices es necesario que el número de columnas de la 
primera matriz (F) sea igual al número de filas de la segunda matriz (G). Además el resultado del 
producto de (F.G) será una matriz que tendrá tantas filas como la primera matriz (F) y tantas 
columnas como la segunda matriz (G). 
pág. 15 
Entonces, el producto de F.G, dará como resultado una matriz de orden 2x3, recordando que cada 
uno de los elementos de la matriz producto se obtiene efectuando el producto escalar de cada fila de 
F por cada columna de G, como lo explicado en el ejemplo anterior. Es decir, para realizar el 
producto nos podemos guiar del siguiente esquema. 
 Cada fila de F por cada columna de G 
 
 4 3 6 
 0 -1 2 
 
 
 
F .G es posible, porque el número de columnas de F (2) es igual al número de filas de G (2). 
 Resolviendo la última matriz, obtenemos: F. G = 




 
1458
484
 
 
Ejemplo 4: Dadas las matrices A = 
 2 1 1
 0 3 2
4 0 1 
 
 
 
  
 y B = 
1 0 2
 3 2 1
 2 3 3 
 
 
 
  
, 
 Calcular si es posible: A
2
 + B
2
 + A . B 
 Cuando trabajamos con matrices A
2
 se debe calcular como el producto de A . A; de igual 
manera B
2
 = B . B, por lo tanto y utilizando el esquema explicado en el ejemplo 3, tenemos: 
 A
2 
= A . A = 
 2 1 1
 0 3 2
4 0 1 
 
 
 
  
. 
 2 1 1
 0 3 2
4 0 1 
 
 
 
  
= 
 8 5 5
 8 9 8
12 4 5 
 
 
 
   
 
 B
2
 = B . B = 
1 0 2
 3 2 1
 2 3 3 
 
 
 
  
. 
1 0 2
 3 2 1
 2 3 3 
 
 
 
  
= 
 5 6 4
 5 1 11
5 15 10 
 
 
 
   
 






12
51
 








)2)(1()6)(2()1)(1()3)(2()0)(1()4)(2(
)2)(5()6)(1()1)(5()3)(1()0)(5()4)(1(
 
pág. 16 
 A . B = 
 2 1 1
 0 3 2
4 0 1 
 
 
 
  
 . 
1 0 2
 3 2 1
 2 3 3 
 
 
 
  
= 
1 5 2
 5 12 3
 6 3 5 
 
 
 
   
 
Entonces, utilizando lo explicado en el ejemplo 1 respecto a la suma de matrices, tenemos 
finalmente: 
A
2
 + B
2
 + A . B = 
 8 5 5
 8 9 8
12 4 5 
 
 
 
   
 + 
 5 6 4
 5 1 11
5 15 10 
 
 
 
   
+ 
1 5 2
 5 12 3
 6 3 5 
 
 
 
   
 
A
2
 + B
2
 + A . B = 
 12 4 1
 18 22 0
11 22 10 
 
 
 
   
 
Ejemplo 5: Calcular, si es posible, la matriz inversa de A = 
3 8
2 5
 
 
 
, usando la fórmula: A . A
−1
 = I 
 
3 8
A 15 16 1 0 
2 5 

      

 existe A
−1
 
 A . A
─1
 = I  
3 8
2 5
 
 
 
.
 
 
x y
z t
 
 
 
=
1 0
0 1
 
 
 
  
3 8 3 8
2 5 2 5
x z y t
x z y t
    
 
    
= 
1 0
0 1
 
 
 
 
 Por igualdad de matrices, podemos plantear: 1) 
3 8 1
2 5 0
x z
x z
  

  
 2) 
3 8 0
2 5 1
y t
y t
  

  
 
 Resolviendo el sistema 1) por sustitución (por ejemplo) tenemos: 
 
2 2 15 16
5 5 5
3 8. 1 1 5 2
x x
z x x x x z
 
          
 Resolviendo el sistema 2) también por sustitución tenemos: 
 
3 3 16 15
8 8 8
2 5. 1 1 8 8 3
y y
t y y y y y t
 
              
 Por lo tanto: A
−1
 = 
 
 
x y
z t
 
 
 
= 
5 8
2 3
 
 
 
 
pág. 17 
TRABAJO PRÁCTICO N° 10 
MATRICES 
EJERCICIOS A RESOLVER. 
1.- Escribir explícitamente la matriz: 
 a) Nula de orden 3x2 y de orden 2x4 b) Identidad de orden 2 y de orden 3. 
 c) Traspuesta de 










3231
2221
1211
aa
aa
aa
 d) A= ( jia ) Є R
3x3
 / jia = 
 4 si i j
j 3i si i j
i . j si i j 
 

 
  
 
e) B = ( jib ) Є R
3x4
 / jib = 1 si i + j  5 f) C Є R
3x1
 ; C = (c i j) con (c i j) = i 
j − i
 
2.- Dadas las matrices: 
 A = 
 4 1 3
5 1 2
2 1 1
 
 
 
 
 
 
   
 B = 
2 4 6
0 2 2
4 2 0
 
 
 
 
 
  
 
 
 C = 
3 1 1
2 2 3
  
 
 
 
 D = 










1
2 
 0 
 E = 
1 2
 3 3
 2 0
 
 
 
 
 
 
 
 
 F =  2 3 1   
 G = 
1 1
3 2
 
 
 
 
 
 H = 







3 2 
 0 1 
 
 Calcular si es posible: a) – 3 A + 
2
1
 B b) ( 2 E – C
T 
) c) ( 2 D – 5 F )
T 
 d) 
1
2
(3 F
T
 – D) e) 3 G – 2 H
T
 + 2 I f) 4 A + B – 
1
2
 I 
3.- a) Determinar x e y, enteros, tal que se verifique que: 
 
 x 1 2 y 14 5 5 
 + = 
x 3 3 y 4 1 7
     
     
         
 
 
 b) Calcular x , y , z y w, números reales, de modo que se verifique la siguiente igualdad: 
pág. 18 
 2. 
3w 4
2 4x
 
 
 
 + 
6 z + w
x y 4
 
 
 
 = 4 . 
 w z
x y
 
 
 
 
4.- Sean A = 
 1 3 4
 2 1 0
1 0 1 
 
 
 
  
 y B = 
3 1 2
1 0 6
0 1 1
 
 
 
  
, resolver las siguientes ecuaciones matriciales: 
 a) 2 X  3 A = B  2 I + X 
 b) ( 2 A – B )
T 
 = 4 X 
5.- Determinar dos matrices X e Y, cuadradas de orden 2 que verifiquen el siguiente sistema: 
 





















 

04
31
 .2
30
22
 .5.3
YX
YX
 
6.- Dadas las mismas matrices del punto 2, calcular si es posible: 
 a) D . E b) F . D c) D . F d) A . D
 
 e) A . E f) 2C . B 
g) 3E .C h) 4 A. C i) −2 H
t
 .G
t 
j) ( G − H )
2
 k) A
2
 + B
2
 
 
7.- Dadas las matrices A = 
3 1
5 2
 
 
 
 , B = 
 3 2
1 2
 
 
 
 , C = 
 3 1
1 0
 
 
 
 , D = 
1 2
4 8
 
 
 
 
 y recordando que A . A
−1 
= I, calcular si es posible A
−1
 , B
−1
 , C 
−1
 y D
−1
 . 
8.- Dadas las matrices del punto anterior: 
 a) Encontrar la matriz X, tal que: (X + B)
T
 = A.C
−1
 
 b) Verificar que: (X + B)
T
 = X
T
 + B
T
 
9.- Descomponer la matriz A = 













343
254
123
 en la suma de una matriz simétrica y una matriz 
antisimétrica. 
pág. 19 
10.- Hallar el rango de las siguientes matrices: 
A = 
1 4 5 1
1 2 3 1
2 2 4 2
  
 
  
   
 ; B = 














0111
1011
1101
1110
 ; C = 
1 2 5 1
1 1 2 2
2 1 3 1
3 0 1 3
 
 
  
 
 
 
 
 
11.- Una empresa, además de pagar a sus ejecutivos un salario extraordinario, a manera de 
gratificación anual, les da acciones de la compañía. Durante el año 2014 el presidente recibió 
8000 euros y 50 acciones, cada uno de los tres vicepresidentes 4500 euros y 20 acciones y el 
tesorero 4000 euros y 10 acciones. Se pide. 
 a) Expresar estos datos en términos de una matriz A. 
 b) Expresar el número de ejecutivos de cada rango mediante una matriz columna X. 
 c) ¿Qué representa el producto A. X? 
 
12.- Tres familias A, B, y C, irán de vacaciones a una ciudad europea en la que hay tres hoteles, 
H1, H2 y H3. La familia A necesita dos habitaciones dobles y una simple, la familia B necesita 
tres habitaciones dobles y una simple, y la familia C necesita una habitación doble y dos simples. 
En el hotel H1, el precio de la habitación doble es de 84 euros/día, y el de la habitación simple es 
de 45 euros/día. En el hotel H2 la habitación doble cuesta 86 euros/día, y la simple 43 euros/día. 
En el hotel H3, la doble cuesta 85 euros/día, y la simple 44 euros/día. 
a) Escribir en forma de matriz el número de habitaciones (dobles o simples) que necesita cada 
una de las tres familias. 
b) Expresar matricialmente el precio de cada tipo de habitación en cada uno de los tres hoteles. 
c) Obtener, a partir de las dos matrices anteriores, una matriz en la que se refleje el gasto diario 
que tendría cada una de las tres familias en cada uno de los tres hoteles. 
 
 
 
 
 
 
pág. 20 
AUTOEVALUACIÓN: MATRICES 
1.- Responder V (Verdadero) o F (Falso). NO justificar la respuesta. 
a) La matriz ( 1 –1 2) es una matriz fila. 
 
b) Es posible encontrar la matriz inversa de la matriz A = 
1 2
2 4
 
 
 
 
 
 . 
c) Si A = 
2 1
3 4
 
 
 
 
 
 , entonces A
2
 = 
4 1
9 16
 
 
 
 
 
. 
d) El rango de la matriz 










010
000
101
 es 3. 
 
2.- Completar con la respuesta que corresponda. Las respuestas deben escribirse con tinta. 
 a) Dadas las matrices A = 
2 1
3 2
 
 
 
 
 
 , B = 
0 2
4 2
 
 
 
 
 
 y C = 
1 3 5
2 1 1
 
 
 
 
 
 entonces: 
 a1) A – B
T
 = ………….. a2) C
T
 . B = ……………… a3) ( 2 A + 
1
2
B ) . C = 
………………. 
b) La igualdad 
4 2+ a 1 6 2 a 1 0
3.
3 3 1 5 b 3 0 1
 
b 
       
         
        
 se verifica si a =……. y b =…….. 
 c) Dada A = 
 1 1 1
 x 0 1
 0 y 1 
 
 
 
 
 
 , entonces la igualdad A . A
T
 = 
 3 0 0
 0 2 1
 0 1 2 
 
 
 
  
 , se cumple si 
x =……….e y =……….. 
 
3.- Escribir, con tinta y en el recuadro, la letra correspondiente a la respuesta correcta. Si ninguna es, 
escribir una N. 
a) Dada la matriz A = 
 1 0 1
2 1 3
 0 3 1 
 
 
 
  
, entonces A
2
 – A
t
 es igual a: 
A) 
 2 5 2
4 9 7
 5 9 9 
 
 
  
  
 B) 
 0 1 2
4 7 1
 5 9 9 
 
 
  
   
 C) 
 0 1 2
4 9 7
 5 9 9 
 
 
  
   
 D) 
 0 5 2
4 9 7
 5 9 9 
 
 
  
 
 
 
 
pág. 21 
b) La solución del sistema matricial 
1 0 6
2. 
0 3 9
5 0 3
6 6 9
X Y
X Y
  
   
 



     
  
 es: 
 A) X = 
2 0 1
2 3 1
 
 
 
; Y = 
3 0 4
4 3 9
 
 
  
 B) X = 
2 0 1
2 3 0
 
 
 
; Y = 
3 0 4
4 3 9
  
 
   
 
 
 C) X = 
2 3 1
2 0 0
 
 
 
; Y = 
3 0 4
4 3 9
 
 
  
 D) X = 
0 0 2
1 3 0
 
 
 
; Y = 
3 0 4
4 3 9
  
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
pág. 22 
TEMA: “DETERMINANTES” 
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA: 
Torres Bugeau C.; Lasserre A.; García A. Elementos de Álgebra y Geometría Analítica. Vol. II. Edi 
Unju Editorial. Jujuy. Argentina. 2009. 
Sagastume Berra, A. Fernández, G. Álgebra y Cálculo Numérico. Editorial Kapelusz. Buenos Aires. 
Argentina. 1.960. 
Rojo, Armando. Álgebra II. Editorial Ateneo. Buenos Aires. Argentina. 1.998. 
Di Caro, H. Álgebra y Elementos de Geometría Analítica I. Gráfica Munro Editora. Argentina. 
1.984. 
 
CUESTIONARIO DE REPASO: 
1.- Dada una matriz A = ija de orden n. Defina determinante de A. ¿A que es igual A ? 
2.- ¿Cómo son el determinante de A y el de su transpuesta? Si se permutan dos filas cualesquiera de 
una matriz A de orden n, , se obtiene otra matriz B. ¿A que es igual el determinante de B? Si se 
multiplica todos los elementos de una columna de una matriz A de orden n, por un escalar   0, se 
obtiene otra matriz B. ¿A que es igual el determinante de la matriz B? Si una fila de una matriz 
cuadrada A es combinación lineal de las demás. ¿Cuánto vale su determinante? 
3.- ¿A qué se llama Menor Complementario del elemento a32 de A = ija de orden 3? Escribir M32. 
4.- ¿Cuál es el valor del determinante de una Matriz Triangular? 
5.- ¿A que es igual el determinante de una matriz cuadrada A = ija / 





kja
kja
ij
ij
0
0
¨
 ? 
6.- ¿A qué se llama adjunto o cofactor del elemento a23 de la matriz A = ija de orden 3? 
7.- Exprese simbólicamente la resolución de un determinante por el Métodode Laplace. 
8.- ¿En qué consiste la regla de Chio para resolver determinantes? ¿De qué orden pueden ser los 
determinantes que se resuelven por esta regla? 
9.- ¿Cuándo una matriz es singular? En caso contrario. ¿Cómo se denomina la matriz? 
10.- ¿Cuál es la condición necesaria y suficiente para que una matriz admita inversa? Demuestre que 
A
-1
 = 
A
AdjA
 
 
pág. 23 
EJERCICIOS RESUELTOS. 
Ejemplo 1: Calcular los valores de los siguientes determinantes 
 
Ejemplo 2: Calcular el siguiente determinante por el método de Laplace 
Observamos que todos los elementos de la primera columna son múltiplos de cinco, entonces 
podemos extraer de la primera columna el factor común 5, luego aplicamos el método. 
Desarrollamos el determinante por los adjuntos de la primera fila 
 
Ejemplo 3: Calcular el siguiente determinante por el método de Chio. 
 
pág. 24 
 
Ejemplo 4: Encontrar si es posible, la matriz inversa de A, usando la fórmula: A
−1
 = 
( )Adj A
A
 
 
 
pág. 25 
TRABAJO PRÁCTICO Nº 11 
DETERMINANTES 
EJERCICIOS A RESOLVER. 
1.- Hallar el valor del det ( A ) y del det ( A
T
 ) si : 
 a) A = 
 3 5 
 2 4
 
 
 
 b) A = 
 1 3 3 
 2 0 1
 4 2 1
 
 
 
  
 
2.- Dadas las matrices: A = 
 0 4 
 1 5
 
 
 
 ; B = 
 2 1
 3 1
 
 
 
 y C = 
 1 4 2 
 2 1 0
1 2 3
 
 
 
  
 calcular: 
 B 2 A  ; A . B  ; A . B  ; 
2C  
3.- Calcular los siguientes determinantes por el método de Laplace ( desarrollar por fila o por 
columna ) y verificar los resultados por el método de Chio. 
 a) 
 1 2 3 
4 2 1
 3 0 1 



 b) 
 5 2 2 
 2 1 3
 4 1 4



 c) 
3 1 3 2 
 4 0 0 2 
3 0 0 1 
 2 2 4 3 


 
 d) 
 2 1 2 1 
 4 1 3 5
 1 0 0 2 
 0 3 1 0



 e) 
1 1 5 1 
 2 4 2 2 
3 1 0 2
 1 2 1 3

 


 
4.- Hallar el o los valores de x Є R que verifiquen las siguientes igualdades: 
 a) 
 4 x0 
 4 1 x


 = 0 b) 
 x2 
 1 1 x 


 = 
2
1
(x – 1)
2
 
 c) 
 x 1 3 
 1 x + 2 
 
 = 
 1 2 3 
 1 x 0
x 1 1 

 
 d) 
3 1 3 
 x.I 0 3 0 
 0 1 2 
   
 
  
   
 = 0 
 
pág. 26 
5.- Determinar que propiedades justifican los siguientes resultados: 
 a) 
5 1 
 7 4 
 = 
5 7 
 1 4 
 b) 
10 4 5 
5 1 3 
 10 4 5 



 = 0 c) 
5 2 3 
 c b a 
 15 6 9 


 = 0 
 d) 
 1 3 5 0 
 2 1 0 1
 0 0 0 0
 1 2 0 1 
 = 0 e) 
 2 3 1 2 
 0 3 0 1 
 0 0 1 4
 0 0 0 2 
 

 = 12 
6.- Justificar las siguientes igualdades, teniendo en cuenta las propiedades de los determinantes. 
 a) 
d b 
 c a 
 = 
d c 
 b a 
 b) 
d c 
 kb ka 
 = 
d kb 
 c ka 
= k 
d b 
 c a 
 
 c) 
 d b 
y c x a 
= 
d b 
 c a 
 + 
d b 
y x 
 d) 
 d kd b 
 c kc a 


= 
d b 
 c a 
 
 e) 
d b 
 c a 
 = – 
 b d 
 a c 
 = –
c a 
 d b 
 f) 
 a b c g h i 
 d e f = a b c
 g h i d e f
 
 g) det ( A . B ) = det (A) . det ( B ) 
7.- Encontrar todos los valores de “k” para que la matriz A sea singular: 
 a) A = 
 2 k 
 k 8
 
 
 
 b) A = 







k3 1k 
k 1 3k 
 
 c) A = 
 1 0 k+4 
 k 5 4k 
 0 1 5
 
 
 
  
 d) A = 
2
 0 2 k + 3 
 0 k 4 0
 k 5 1
 
 
 
 
 
 
8.- Calcular, si es posible, la matriz inversa de: 
 a) A =
 3 5 
2 4 
 
 
  
 b) B = 
5 3 
2 1
 
 
 
 c) C = 
5 2 
10 4
 
 
 
 
 
pág. 27 
d) D =
 1 0 1 
 2 1 1
1 1 1
 
 
 
   
 e) E = 
 1 2 1 
 1 0 1
 1 3 2
 
 
 
 
 
 f) F = 
2 3 3 
0 1 1
1 5 2 
 
 
 
  
 
 
9.- Dada la matriz “A” del ejercicio anterior, verificar que el producto de dicha matriz por su adjunta 
es conmutativo, y es igual a: A . Adj(A) = Adj(A) . A = det(A) . I 
10.- Si “E” es una matriz de orden n x n, verificar (usando la matriz “E” del ejercicio 8) e)) que: 
n 1
Adj(E) E

 
11.- Considerando la matriz A = 
 1 0 0 
 0 1 0
 a 0 b
 
 
 
 
 
 : 
 a) ¿Cuándo el determinante de A es el seno de algún número real? 
 b) Calcular A
–1
 cuando exista. 
 c) Determinar todos los pares (a , b ) para los que la matriz A coincide con su inversa. 
 
 
 
 
 
 
pág. 28 
AUTOEVALUACIÓN: DETERMINANTES 
1.- Responder V (Verdadero) o F (Falso). NO justificar la respuesta. 
a) A veces es imposible hallar la inversa de una matriz cuadrada. 
b) Si det(𝐴) = |
6 −2 4
3 −1 2
12 4 −10
| , entonces det(𝐴) = 2 |
 6 −2 2
 3 −1 2
12 4 −5
| 
 
 
c) Si A = 
1 54 71 
0 1 13
0 0 8
 
 
 
 
 
 , entonces A 0 . 
 
d) Si A = 1
 3
 
 
 
 y B =  4 2 , entonces A . B 0 . 
2.- Completar con la respuesta que corresponda. Las respuestas deben escribirse con tinta. 
 a) Los valores de x R que verifican la igualdad: 
 1 2 
2 1 
 0 1 0
 1 2
 0 3 
x
x
x
x



son…………….. 
 b) Dada la matriz A =
 1 1 1
1 2 1
1 1 4
 
 
 
 
 
, entonces, la 2º fila de la matriz A
– 1 
es………………….. 
 c) Los valores de k para que la matriz A = 
 4 k 2
 k 0 1
 8 4 1
 
 
 
 
 
 sea singular son: …………..……. 
3.- Escribir, con tinta y en el recuadro, la letra correspondiente a la respuesta correcta. Si ninguna es, 
escribir una N. 
 a) El resultado al calcular el determinante 
1 1 0 2 
 0 4 2 1
 0 1 0 2 
 1 0 2 0

 


 es: 
A) 100 B) 10 C)  10 D) 0 
 
b) Para que exista la matriz inversa de A = 
 1 0 1
1 6 x
 0 x 1
 
 
 
 
 
 “ x” tiene que ser distinto de: 
A) 0 ; – 3 ; 6 B) – 4 ; 2 C) –3 ; 1 D) – 3 ; 2 
 
 
 
 
pág. 29 
TEMA: “SISTEMASDE ECUACIONES LINEALES” 
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA: 
Torres Bugeau C.; Lasserre A.; García A. Elementos de Álgebra y Geometría Analítica. Vol. II. 
EdiUnju Editorial. Jujuy. Argentina. 2009. 
Di Caro, H. Álgebra y Elementos de Geometría Analítica I. Gráfica Munro Editora. Argentina. 
1.984. 
Rojo, Armando. Álgebra II. Editorial Ateneo. Buenos Aires. Argentina. 1.998. 
Sagastume Berra, A. Fernández, G. Álgebra y Cálculo Numérico. Editorial Kapelusz. Buenos Aires. 
Argentina. 1.960. 
CUESTIONARIO DE REPASO: 
1.- Dado un sistema de “m” ecuaciones con “n” incógnitas: A.X = B, ó: 










mnmnmmm
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
...
............
...
...
332211
22323222121
11313212111
 
 ¿Cuál es la expresión matricial del sistema? ¿Qué nombre reciben las matrices “A”, “X” y “B”?. 
2.- ¿Cuál es la matriz ampliada de un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas? Escríbala. 
3.- ¿Cuándo una n-upla de números: ( c1, c2, c3,..., cn), es solución de un sistema de “m” ecuaciones 
lineales con “n” incógnitas? 
4.- ¿Cuándo dos sistemas de “m” ecuaciones lineales con “n” incógnitas son equivalentes? 
5.- ¿Cuál es el enunciado del teorema de Rouchè-Frobenius? ¿ Cuáles son sus corolarios?. 
6.- En que consiste el método de eliminación de Gauss, que permite resolver sistemas de ecuaciones 
lineales? 
7.- Dado un sistema de “n” ecuaciones lineales con “n” incógnitas, AX = B.¿ Qué condición debe 
cumplir el det(A) para poder calcular las raíces de la ecuación por el método de Matriz Inversa?. 
8.- Dado un sistema de “n” ecuaciones lineales con “n” incógnitas, AX = B. Sabiendo que existe la 
matriz A
-1 
, encuentre en función de ella, la matriz X. 
9.- ¿Cuándo un sistema de “m” ecuaciones lineales con “n” incógnitas es homogéneo? 
10.- ¿Puede ser incompatible un sistema homogéneo, de “m” ecuaciones lineales con “n” incógnitas? 
 ¿ Por que?. 
pág. 30 
EJERCICIOS RESUELTOS. 
El estudio de un sistema de ecuaciones lineales comprende: 
1) Analizarlo: es decir, averiguar si tiene solución, y en caso afirmativo cuantas tiene. Para ello 
se considera el teorema de Rouché-Frobenius que afirma:” un sistema de ecuaciones lineales 
tiene solución si y solo si el rango de la matriz del sistema (o matriz de los coeficientes) es 
igual al rango de la matriz ampliada”. 
2) Resolverlo: es decir, de ser posible, encontrar el conjunto solución. Para esto existen varios 
métodos como por ejemplo el de eliminación de Gauss, Gauss-Jordan, Crámer, Matriz 
inversa, entre otros. 
 
Ejemplo 1: Dado el sistema de ecuaciones lineales, escribir la matriz del sistema, la matriz incógnita, 
la matriz de los coeficientes independientes y la matriz ampliada. Luego expresar el sistema de 
ecuaciones en forma matricial. 








72
42
8323
wzyx
wzyx
wzyx
 
Matriz del sistema es la matriz que se obtiene de encolumnar los coeficientes del sistema: 













2111
1211
1323
A  R3x4 
Matriz de las incógnitas es la matriz columna formada por las incógnitas: 















w
z
y
x
X  R4x1 ; 
Matriz de los términos independientes es la matriz columna formada por los términos 
independientes del sistema: 











7
4
8
B  R3x1 
pág. 31 
Matriz Ampliada es la matriz que se obtiene al agregarle a la matriz del sistema, matriz A, la 
matriz columna B: 
 









 



7
4
8
2111
1211
1323
'A  R3x5 
Sistema en forma matricial: A  X = B  






































7
4
8
2111
1211
1323
w
z
y
x
 
Ejemplo 2: Dados los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas representarlos 
gráficamente, interpretarlos y analizarlos. En los casos que correspondan, resolverlos. 
 
a) 








42
1
52
yx
yx
yx
 
Como observamos su representación gráfica consiste en 
tres rectas que se interceptan en el punto común. Por lo 
tanto el sistema es compatible determinado. Dicho punto 
P(2 , 1) es la solución del sistema. 
b) 





333
1
yx
yx
 
Su representación gráfica consiste en dos rectas 
coincidentes por ser la segunda ecuación proporcional a la 
primera. El sistema es compatible indeterminado. Dos de 
las infinitas soluciones son los puntos P(1 , 0) y Q(0 , 1). 
 
pág. 32 
c) 





72
52
yx
yx
 
En este caso su representación gráfica consiste en dos 
rectas paralelas que no tienen puntos en común. Por lo 
tanto el sistema es incompatible y no tiene solución. 
 
 
Ejemplo 3: Dados los sistemas de ecuaciones lineales analizarlos. Resolverlos por el Método de 
Gauss. 
a) 








75
33
22
zyx
zyx
zyx
  













7
3
2
511
131
211
'A 
Mediante operaciones elementales entre filas se encuentra la matriz escalonada: 
 
(A) = (A’) = 2 < 3  Sistema Compatible Indeterminado (SCI). 
La última matriz corresponde al siguiente sistema equivalente: 
pág. 33 








00
2/5)2/3(
22
zy
zyx
 ; despejando “y” de la segunda ecuación: 
2
35 z
y

 
, al reemplazar en la primera se obtiene: 
2
79 z
x

 
Solución general= 










 z
z
y
z
xRzyx
2
35
;
2
79
),,( 3 
Soluciones particulares: en este caso se las encuentra dando valores a la variable “z” 
Z 
2
79 z
x

 
2
35 z
y

 Solución Particular 
0 9/2 5/2 (9/2 , 5/2 , 0) 
1 1 1 (1 , 1 , 1) 
-1 8 4 (8 , 4 , -1) 
 
b) 
 








92
4
32
yx
yx
yx
  











9
4
3
12
11
21
'A 
Tomando como pivote el primer elemento de la primera fila y anulando los restantes 
elementos de la primera columna: 
pág. 34 
Para poder tener un pivote igual a 1 en el lugar del elemento a22 se multiplica la segunda 
columna por (-
3
1
 ) y luego, mediante operaciones elementales entre filas, se anula el 
elemento restante de la segunda columna: 
(A) = 2  (A’) = 3  (A)  (A’) Sistema Incompatible (SI), no tiene solución. 
 
Ejemplo 4: Dados los sistemas de ecuaciones lineales analizarlos. Resolverlos por el Método de 
Gauss –Jordan. 
a) 








2
62
43
zyx
zyx
zyx
  









 



2
6
4
111
121
311
'A 
Tomamos como pivote al primer elemento de la primera fila para formar el vector canónico 
en la primera columna: 
se multiplica por 1/2 la tercera fila para trabajar con esta y formar el vector canónico en la 
segunda columna: 
(A’) = 3 
pág. 35 
 
por último se opera para encontrar el vector canónico que falta en la matriz A: 
(A) = (A’) = 3 = número de incógnitas  Sistema Compatible Determinado (SCD) 
Sistema equivalente de acuerdo a la última matriz: 








200
100
100
zyx
zyx
zyx
  x = 1 , y = 2  z = -1 
Solución única = {(x , y , z)  R
3
 / x = 1 ; y = 2 ; z = − 1 } ó { (1 , 2 , −1) } 
b) 
 








1963
0642
13
wyx
wyx
wzyx
  














1
0
1
1063
6042
1113
'A 
La tercera columna es un vector canónico: 













1
0
1
9063
6042
1113
pág. 36 
 
El círculo indica que es posible encontrar otro vector canónico diferente en la columna de la 
parte ampliada, para ello primero se multiplica por -1 a la tercera fila y luego se suma esta fila 
a la primera: 
Obteniéndose un vector canónico diferente en la última columna de A’: 
 
  (A)  (A’)  Sistema Incompatible (SI), no tiene solución. 
 
pág. 37 
Ejemplo 5: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales empleando, si fuera posible, la 
Regla de Cramer. 








2
62
43
zyx
zyx
zyx
 
Para encontrar los valores de las incógnitas se calcula el determinante que se obtienede 
reemplazar en el determinante del sistema la columna de la variable que se está buscando por 
la columna de los términos independientes y a este se lo divide por el determinante del 
sistema. Esto último exige que el determinante asociado al sistema debe ser distinto de cero. 
Entones 













111
121
311
A  02
111
121
311


 
es un sistema cuadrado ( igual número de ecuaciones que de incógnitas) , y el determinante de 
la matriz del sistema (determinante del sistema) es distinto de cero por lo tanto tiene solución 
única, es decir el sistema es compatible determinado, (A) = (A’) = 3, entonces aplicaremos 
la Regla de Cramer. 
 Solución única = {(x , y , z)  R
3
 / x = 1 ; y = 2 ; z = − 1 } ó { (1 , 2 , −1) } 
Los sistemas de ecuaciones lineales que no son cuadrados y/o compatibles indeterminados, también 
se pueden resolver aplicando la Regla de Cramer, transformándolos en sistemas cuadrados de tal 
manera que el determinante del sistema del nuevo sistema debe ser distinto de cero. 
Ejemplo 6: Dado el sistema de ecuaciones lineales, resolverlo, si es posible, empleando el método de 
la matriz inversa. 
Forma matricial del sistema de ecuaciones: A  X = B; 
Si A  R
nxn
 y  =A 0   A
-1
 , entonces: X = A
-1
  B 
 ; ; 1
2
2
2
112
126
314







x
x 1
2
2
2
211
621
411








z
z2
2
4
2
121
161
341







y
y
pág. 38 








2
62
43
zyx
zyx
zyx
  













111
121
311
A  02
111
121
311


   A-1 
Se trata de un sistema de igual número de ecuaciones que de incógnitas, y como el 
determinante de la matriz del sistema es distinto de cero entonces es posible aplicar el método 
de la matriz inversa. 
La inversa de la matriz A es: 














2/312/1
211
2/522/3
1A 
X = A
-1
  B  





























































1
2
1
362
464
5126
2
6
4
2/312/1
211
2/522/3
z
y
x
 
Entonces: 






















1
2
1
z
y
x
  Sol. única = {(x, y, z)  R
3
 / x = 1 ; y = 2 ; z = − 1} ó {(1, 2 , −1)} 
Los sistemas de ecuaciones lineales que no son cuadrados y/o compatibles indeterminados, también 
se pueden resolver aplicando el método de la matriz inversa, transformándolos en sistemas cuadrados 
de tal manera que el determinante del sistema del nuevo sistema debe ser distinto de cero, para que se 
pueda calcular la matriz inversa. 
Ejemplo 7: Dado los sistemas de ecuaciones lineales homogéneos analizarlos. Resolverlos 
empleando el método de Gauss-Jordan en el primer sistema y el método de Gauss en el segundo 
sistema.a) 








032
0423
0
zyx
zyx
zyx
 b) 








022
0423
0
zyx
zyx
zyx
 
Los sistemas homogéneos admiten siempre la solución trivial, es decir: x1 = x2 = … = xn = 0. 
Si ésta es la única solución, el sistema será compatible determinado, pero si además admite 
otra solución, será compatible indeterminado. 
a) 








032
0423
0
zyx
zyx
zyx
 
pág. 39 
(A) = (A’) = 2 < 3 (número de incógnitas)  Sist. Compatible Indeterminado 
Sistema equivalente: 





0
02
zy
yx
 
 





yz
yx 2
 
Además de la solución trivial: x = y = z = 0, admite infinitas soluciones de acuerdo al valor 
que se le asigne a y (nº real), expresando a la solución general de la siguiente manera: 
Solución General = {(x, y, z)  R
3
 / x = − 2 y ; z = y ; y  R} ó {(− 2 y , y , y)} con y  R. 
b) 








022
0423
0
zyx
zyx
zyx
  
 
 
(A) = (A’) = 3 = Número de incógnitas  Sist. Compatible Determinado 
Sistema equivalente: 








05
0
0
z
zy
zyx
  única solución, la trivial: x = y = z = 0. 
Solución única = {(x, y, z)  R
3
 / x = 0 ; y = 0 ; z = 0} ó {( 0 , 0 , 0)} 
pág. 40 
TRABAJO PRÁCTICO Nº 12 
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (I) 
EJERCICIOS A RESOLVER. 
1.- Para cada sistema de ecuaciones, identificar y escribir: la matriz del sistema, la matriz ampliada, 
la matriz de las incógnitas y la matriz de los términos independientes. Escribir cada sistema en la 
forma matricial: A . X = B 
 a) 








034
335
6
zyx
zyx
zyx
 b) 








2
5
43
yx
yx
yx
 c)








xtzy
ztyx
tzyx
72
34
62
 
2.- Escribir en forma explícita los sistemas de ecuaciones cuyas matrices ampliadas están dadas por: 
 a)
















52101
20220
42310
31100
 b) 
1 1 1 0
2 0 1 0
 
 
 
 c) 
1 3 1 1
1 5 3 3
1 1 1 1
3 7 5 5
   
 
 
 
 
 
 
3.- Estudiar (no resolver) si los sistemas dados tienen solución única o no. 
 a) 
1 9 5 33
1 3 1 9
1 1 1 5
x
y
z
     
     
        
          
 b) 








1
9432
1
zyx
zyx
zyx
 c) 
 6
 3
 2 4
 2 3 11
x y
y z
z w
z w
  

 

 
   
 
4.- Dados los siguientes sistemas: 
 a) 








843
72
5
yx
yx
yx
 
b) 








53
44
52
yx
yx
yx
 
 c) 





2054
24
zx
yx
 d) 








22
6222
1
yx
zyx
zyx
 
 i) Representarlos gráficamente, interpretarlos y analizarlos. 
 ii) Resolverlos en los casos que corresponda. 
5.- Dados los siguientes sistemas de ecuaciones: 
i) Analizarlos. 
ii) Si corresponde, resolverlos por Gauss y Gauss-Jordan. 
pág. 41 
 a) 
 2 1
7 8 21
2 3 3 14
x y z
x y z
x y z
   

  
   
 b) 
 + 2
3 3 + 4 5
x z w
x y z w
  

   
 c) 
 2 5
3 4 4
5 6 19
x y z
x y
x y z
  

  
   
 
 d) 
1 1 1 1
1 1 1 . 2
1 0 1 1
x
y
z
      
     
      
          
 e) 
1 1 2 4
3 5 8 . 14
1 3 2 0
x
y
z
      
     
       
          
 
 f) 
 2 1
2 12
 8
x y
x y
x y
 

   
  
 g) 
 2 2
 2 1
2 3 1
3 5 = 3
x y z
x y z
x y z
x y
  

   

  
 
 
 h) 
 3
 2 4
 3
 2 3 7
x y
y z
y w
y z
  

 

 
    
 i)
1 5 2 10
2 5 4 9
3 4 1 11
'A
  
 
  
  
 
 j) 
 1 1 1 1
 3 2 1 1
 5 3 4 2
2 1 5 6
'A
 
 
 
 
 
  
 k) 
2 5 4 1 1 3
1 2 1 1 1 5
1 4 6 2 1 10
'A
   
 
   
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
pág. 42 
TRABAJO PRÁCTICO Nº 13 
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (II) 
1.- Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de Cramer y luego por el método de 
la Matriz Inversa: 
 a) 
 2 1
7 8 21
2 3 3 14
x y z
x y z
x y z
   

  
   
 b) 
 2 5
3 4 4
5 6 19
x y z
x y
x y z
  

  
   
 c) 
1 5 2 10
2 5 4 9
3 4 1 11
'A
  
 
 
  
 
2.- ¿Cómo se denominan los siguientes sistemas de ecuaciones? ¿Por qué? Analizarlos y resolverlos. 
 a) 
1 1 1 1 0
1 0 0 1 . 0
1 2 1 0 0
x
y
z
w
 
    
         
   
    
 
 b) 
 1 2 2 0
 0 1 3 . 0
1 3 1 0
x
y
z
     
     
      
           
 
 c) 
 4 6 0
3 2 2 0
2 3 4 0
x y z
x y z
x y z
  

  
   
 d) 
 0
0
2 0
 0
x y z
x y z
x y z
y z
  

  

  
  
 
3.- Dado los sistemas de ecuaciones: 
 a)
 1
 1
x m y
m x y
 

 
 b) 
 1 2 2 1
 2 m 4 4
1 3 m 2 0
'A
 
 
  
   
 c) 
 2
 1
2 2
x my
x y z
x my mz
 

  
   
 
 Determinar, si es posible, los valores del parámetro “m”, número real, para que los sistemas sean: 
 i) Compatibles determinados 
 ii) Compatibles Indeterminados 
iii) Incompatibles 
4.- Dados los siguientes problemas, expresarlos como sistemas de ecuaciones, analizarlos y, en los 
casos que sea posible, resolverlos. 
pág. 43 
 a) En un examen que se valorará con 100 puntos, se sabe que habrá preguntas que tendrán un valor 
de 2 puntos y preguntas que valdrán 4 puntos. ¿Cuántas preguntas de cada tipo habrá, si el 
número total de preguntas es de 40? 
 b) Tres amigos, Nelson, Luis y Roberto, deciden asociarse para montar una empresa, necesitando 
para ello un capital de $ 1500000. Como no todos disponen del mismo dinero deciden invertir de 
la siguiente manera: Nelson aporta el triple de lo que ponen Luis y Roberto juntos, y por cada 
$ 20 que aporta Luis, Roberto aporta $ 30 ¿Cuánto capital aportó cada uno de ellos? 
 c) Una fábrica de automóviles ha lanzado tres nuevos modelos: A, B y C. El precio de venta de 
cada modelo es 120; 160 y 240 mil pesos, respectivamente. El importe total de coches vendido 
durante el mes de lanzamiento asciende a 20 millones de pesos, correspondiente a los 140 autos 
vendidos en ese periodo. Por otra parte, los costos de fabricación para cada modelo son 80; 120 y 
160 mil pesos (para los modelos A, B y C), con un costo total de fabricación de 14 millones. 
Encontrar el número de coches vendido de cada modelo. 
d) Un economista invirtió en la bolsa $ 300000 en acciones de tres empresas A, B, C, y obtuvo un 
beneficio de $ 15500. Si sabemos que invirtió en A tanto como en B y C juntos y que los 
beneficios de las empresas fueron de un 5% en A, 3% en B y un 10% en C. ¿Cuánto invirtió en 
cada empresa? 
 
 
pág. 44 
AUTOEVALUACIÓN: SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 
1.- Responder V (Verdadero) o F (Falso). NO justificar la respuesta. 
a) El sistema {
𝑥 − 𝑦 = 0
𝑥 + 3𝑦 = 0
 es incompatible. 
b) El sistema 
1
 x y = 1
x + 2 y z = 0 
 


 es un sistema de ecuaciones lineales. 
c) Cuando el número de incógnitas coincide con el (A) y el (A’) el sistema de ecuaciones 
lineales es compatible determinado. 
 
d) El sistema 
 x y = 1
x + 2 y z = 2
 

 
 tiene infinitas soluciones. 
2.- Completar con la respuesta que corresponda. Las respuestas deben escribirse con tinta. 
 a) Después de analizar el sistema 
1 2 1
0 1 3 
0 1 2
 
 
 
 
 
 .
 
x
y
z
 
 
 
 
 
 = 
 1
 4
 1
 
 
 
  
 , se puede afirmar que se trata de 
un sistema…….………………………………………………… 
 b) La solución del sistema cuya matriz ampliada es 
 1 3 4 1
 0 1 3 1
1 1 1 0
  
 
 
   
 resulta ser x = ….....; 
y = ……...; z =…….... 
 c) Para que el sistema 
 2 3 0
 2 1
3 6 9z 3
x y z
y z
x y k
  

  
    
 sea incompatible k debe ser distinto de………….. 
 3.- Escribir, con tinta y en el recuadro, la letra correspondiente a la respuesta correcta. Si ninguna 
es, escribir una N. 
 a) El sistema de ecuaciones 
 + 2 0
 0
2 0
x y z
y z
x y z
 

 
   
 es un sistema: 
 A) Compatible determinado B) No lineal C) Compatible Indeterminado D) Incompatible 
 
 b) La solución del sistema de ecuaciones lineales 
 2 2 0
2 2
 8 6
x y z w
x y z
y z w
   

    
    
es: 
A) (w , 0 , w + 1, w) B) (1 , 0 , 3, 4 ) C) ( 1 , z, 0 , z ) D) ( 2  w , 1 , 2 + w ,w) 
 
 
pág. 45 
TEMA: “ESPACIOS VECTORIALES” 
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA: 
Torres Bugeau C.; Lasserre A.; García A. Elementos de Álgebra y Geometría Analítica. Vol. II. 
EdiUnju Editorial. Jujuy. Argentina. 2009. 
Rojo, Armando. Álgebra II. Editorial Ateneo. Buenos Aires. Argentina. 1.998. 
Di Caro, H. Álgebra y Elementos de Geometría Analítica I. Gráfica Munro Editora. Argentina. 
1.984. 
Sagastume Berra, A. Fernández, G. Álgebra y Cálculo Numérico. Editorial Kapelusz. Buenos Aires. 
Argentina. 1.960. 
 
CUESTIONARIO DE REPASO: 
1.- Dado un conjunto no vacío V, y un cuerpo de escalares “K” , ¿Cómo define Espacio Vectorial? 
2.- Sea (V ,+, R, .), un espacio vectorial real. Demostrar que: . 0

= 0

 
3.- Completar los siguientes corolarios de la definición de espacio vectorial: 
a) 0. v

= ........... 
b) (-1) . v

= ........... 
c) En todo espacio vectorial (V ,+, R, .) el elemento Neutro es ............. 
d) En todo espacio vectorial (V ,+, R, .), el opuesto de un elemento es..................... 
4.- Escribir simbólicamente el Criterio de Subespacio. 
5.- ¿Cuándo un conjunto de vectores A =  v1, v2, v3, ..........., vn de un Espacio Vectorial es 
linealmente dependiente?. 
6.- ¿Cuándo un vector v

de un Espacio Vectorial se dice que es combinación lineal de un 
subconjunto de vectores del mismo espacio? 
7.- Un conjunto de vectores que contiene al vector nulo. ¿Es linealmente independiente? ¿Por qué?. 
8.- ¿Cuándo un subconjunto G, no vacío, de (V ,+, R, .),es un Sistema de generadores de V?. 
9.- ¿Puede un subconjunto de vectores, no vacío, linealmente dependiente, de un Espacio Vectorial 
(V ,+, R, .), ser un Sistema de Generadores de V ? 
10.- ¿ Cuándo un subconjunto de vectores , no vacío de un Espacio Vectorial (V ,+, R, .), es Base de 
ese Espacio Vectorial? 
11.- ¿A qué se llama coordenadas de un vector u

de un Espacio Vectorial (V ,+, R, .)?. 
 
pág. 46 
EJERCICIOS RESUELTOS. 
Ejemplo 1: probar si la cuaterna ( R
3
 , + , R , • ) es un Espacio Vectorial con las operaciones de suma 
y producto por un escalar conocidas en R
3
. 
-En R
3 
se define la suma por: (a , b , c) + (d , e , f) = (a + d , b + e , c + f) (1) 
-El producto de números reales por elementos de R
3 
se define por: 
α . (a , b , c) = (α . a , α . b , α . c ) (2) 
Y se verifican las propiedades: 
P1) + es asociativa en R
3
: 
 (a , b , c) , (d , e , f) y (g , h , i)  R
3
 : 
(a , b , c) + [(d , e , f) + (g , h , i)] = [(a , b , c) + (d , e , f)] + (g , h , i) 
Demostración: 
(a , b , c) + [(d , e , f) + (g , h , i)] = (a , b , c) + (d + g , e + h , f + i) = 
= (a + (d + g) , b + (e + h) , c + (f + i)) = ((a + d) + g , (b + e) + h , (c + f) + i) = 
= (a + d , b + e , c + f) + (g , h , i) = [(a , b , c) + (d , e , f)] + (g , h , i) 
Se aplicó la definición (1), la asociatividad de la suma en R, y la definición (1). 
P2)  elemento neutro para la suma en R
3
: 
 (0 , 0 , 0)  R
3
 /  (a , b , c)  R
3
 : 
(a , b , c) + (0 , 0 , 0) = (0 , 0 , 0) + (a , b , c) = (a , b , c) 
(0 , 0 , 0) es el vector nulo 
P3)  el inverso aditivo u opuesto en R
3
 para cada elemento de R
3
: 
 (a , b , c)  R
3
 ,  (- a , - b , - c)  R
3
 / (a , b , c) + (- a , - b , - c) = (0 , 0 , 0)P4) + es conmutativa en R
3
: 
 (a , b , c) y (d , e , f)  R
3
 : (a , b , c) + (d , e , f) = (d , e , f) + (a , b , c) 
Demostración: 
(a , b , c) + (d , e , f) = (a + d , b + e , c + f) = (d + a , e + b , f + c) = 
= (d , e , f) + (a , b , c) 
Se aplicó la definición (1), la conmutatividad de la suma en R y la definición (1). 
P5) . admite asociatividad mixta: 
 α,   R,  (a , b , c)  R
3
 : α . ( . (a , b , c)) = (α . ) . (a , b , c) 
pág. 47 
Demostración: 
α . ( . (a , b , c)) = α . ( . a ,  . b ,  . c) = (α . ( . a) , α . ( . b) , α . ( . c)) = 
= ((α . ) . a , (α . ) . b , (α . ) . c) = (α . ) . (a , b , c) 
P6) . es distributivo respecto de la suma en R: 
 α,   R,  (a , b , c)  R
3
 : (α + ) . (a , b , c) = α . (a , b , c) +  . (a , b , c) 
Demostración: 
(α + ) . (a , b , c) = ((α + ) . a , (α + ) . b , (α + ) . c) = 
= (α . a +  . a , α . b +  . b , α . c +  . c) = 
= (α . a , α . b , α . c) + ( . a ,  . b ,  . c) = α . (a , b , c) +  . (a , b , c) 
Se aplicó la definición (2), la distributividad del producto con respecto a la suma en R, y las 
definiciones (1) y (2). 
P7) . es distributivo respecto de la suma en R
3
: 
 α  R,  (a , b , c) y (d , e , f) R
3
 : 
α . [(a , b , c) + (d , e , f)] = α . (a , b , c) + α . (d , e , f) 
Demostración: 
α . [( a , b , c) + (d , e , f)] = α . (a + d , b + e , c + f) = 
= (α . (a + d) , α . (b + e) , α . (c + f)) = 
= (α . a + α . d , α . b + α . e , α . c + α . f) = 
= (α . a , α . b , α . c) + (α . d , α . e , α . f) = α . (a , b , c) + α . (d , e , f) 
Se aplicó la definición (1), la definición (2), la distributividad del producto con respecto a la 
suma en R, y las definiciones (1) y (2). 
 P8) La unidad de R es neutro para el .: 
 (a , b , c)  R
3
 : 1 . (a , b , c) = (a , b , c) 
Demostración: 
 1 . (a , b , c) = (1 . a , 1 . b , 1 . c) = (a , b , c) 
Ejemplo 2: investigar si A = {(x , y)  R
2
 / y = 2x} es subespacio de ( R
2
 , + , R , • ) 
Por el criterio de subespacio: 
A es subespacio de ( R
2
 , + , R , • ) si y sólo si: 
i)  u  A   v  A  u + v  A 
pág. 48 
si u = (x1 , y1)  A  y1 = 2 . x1 
si v = (x2 , y2)  A  y2 = 2 . x2 
 
 S. m. a m. u + v = (x1 + x2 , y1 + y2) y1 + y2 = 2 . x1 + 2 . x2 = 
 = 2 . (x1 + x2)  u + v  A (1) 
ii)  α  R   v  A  α . v  A 
si v = (x , y)  A  y = 2 . x 
 α = α  R  α = α 
 
 M. m. a m. α . v = (α . x , α . y) α . y = α . (2 . x) = 2 . (α . x) 
  α . v  A (2) 
 Por (1) y (2) A es subespacio de R
2
. 
Ejemplo 3: investigar si B = {(x , y , z)  R
3
 / y = x + 1} es subespacio de ( R
3
 , + , R , • ) 
Por el criterio de subespacio: 
B es subespacio de ( R
3
 , + , R , • ) si y sólo si: 
i)  u  B   v  B  u + v  B 
si u = (x1 , y1 , z1)  B  y1 = x1 + 1 
si v = (x2 , y2 , z2)  B  y2 = x2 + 1 
 
S. m. a m. u + v = (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 ) y1 + y2 = x1 + 1 + x2 + 1 = 
 = x1 + x2 + 2  u + v  B (1) 
 Por (1) B no es subespacio de R
3
. 
 
Ejemplo 4: sean p(x) = 3x + 5 y q(x) = 2x
2
 + x – 2  ( R[x] , + , R , • ) 
Determinar si 2x
2
 – x – 
16
3
 es combinación lineal de p(x) y q(x): 
2x
2
 – x – 
16
3
 es combinación lineal de p(x) y q(x), si y sólo si: 
 α1 , α2  R / 2x
2
 – x – 
16
3
 = α1 . p(x) + α2 . q(x) 
pág. 49 
2x
2
 – x – 
16
3
 = α1 . (3x + 5) + α2 . (2x
2
 + x – 2) 
2x
2
 – x – 
16
3
 = (3α1x + 5α1) + (2α2x
2
 + α2x – 2α2) 
2x
2
 – x – 
16
3
 = 2α2x
2
 + (3α1 + α2) x + (5α1– 2α2) por igualdad de polinomios 
2α2 = 2  α2 = 1 reemplazando en la segunda ecuación: 
3α1 + α2 = 1  α1 = 
2
3
 
5α1  2α2 = 
16
3
 
Como α1 = 
2
3
 y α2 = 1 satisfacen la tercera ecuación, el sistema tiene única solución, 
o sea que 2x
2
 – x – 
16
3
 es combinación lineal de p(x) y q(x). 
Ejemplo 5: determinar si el siguiente conjunto: A = {(2 , 0 , 0) , (1 , 1 , 0) , (1 , 1 , 1)}  R
3
, es 
linealmente dependiente o linealmente independiente: 
α1 . (2 , 0 , 0) + α2 . (1 , 1 , 0) + α3 . (1 , 1 , 1) = (0 , 0 , 0) efectuando operaciones 
(2α1 , 0 , 0) + (α2 , α2 , 0) + (α3 , α3 , α3) = (0 , 0 , 0) 
(2α1 + α2 + α3 , α2 + α3 , α3) = (0 , 0 , 0) por igualdad de vectores 
2α1 + α2 + α3 = 0 
α2 + α3 = 0 
α3 = 0 reemplazando en la segunda y primera ecuación: α2 = 0 y α1 = 0 
El sistema solo admite la solución trivial: α1 = 0 , α2 = 0 y α3 = 0  A es linealmente 
independiente. 
Ejemplo 6: estudiar la dependencia o independencia lineal del siguiente conjunto: 
B = { 





01
01
 , 







01
01
}  R
2×2 
α1 . 





01
01
 + α2 . 







01
01
 = 





00
00
 
 








0
0
1
1
 + 







0
0
2
2
 = 





00
00
 
 
pág. 50 








0
0
21
21
 = 





00
00
 por igualdad de matrices 
α1  α2 = 0 
0 = 0 
α1  α2 = 0  α1 = α2 = k ,  k  R 
0 = 0 
El sistema tiene infinitas soluciones, es decir que además de la trivial admite otras soluciones. 
Por lo tanto B es linealmente dependiente. 
 
Ejemplo 7: investigar si: A = { 





01
01
, 





10
10
, 





01
00
, 





10
00
} es base de R
2×2
 
A es una Base de R
2×2
 si y sólo si: 
i) A es L. I: 
α1 .
 






01
01
 
+ α2 . 





10
10
 
+ α3 . 





01
00
 
+ α4 . 





10
00
 
= 





00
00
 
 
 








0
0
1
1
 
+ 







2
2
0
0
 
+ 





 0
00
3 
+ 





 40
00
 
= 





00
00
 
 








4231
21
 
= 





00
00
 
α1 = 0 
α2 = 0 
α1 + α3 = 0 reemplazando α1 = 0  α3 = 0 
α2 + α4 = 0 reemplazando α2 = 0  α4 = 0 
 A es L. I. (1) 
ii) A es S. G. de R
2×2
: 
α1 .
 






01
01
 
+ α2 . 





10
10
 
+ α3 . 





01
00
 
+ α4 . 





10
00
 
= 





wz
yx
 
 
 








0
0
1
1
 
+ 







2
2
0
0
 
+ 





 0
00
3 
+ 





 40
00
 
= 





wz
yx
 
pág. 51 
 








4231
21
 
= 





wz
yx
 
α1 = x 
α2 = y 
α1 + α3 = z reemplazando α1 = x  α3 = z  x 
α2 + α4 = w reemplazando α2 = y  α4 = w  y 
 A es S. G. de R
2×2
 (2) 
Por (1) y (2) A es base de R
2×2
 . 
 
Ejemplo 8: investigar si: B = {(1 , 2 , 0) , (2 , 1 , 1)} es base de R
3
. 
B es una Base de R
3
 si y sólo si: 
i) B es L. I: 
α1 . (1 , 2 , 0) + α2 . (2 , 1 , 1) = (0 , 0 , 0) 
 ( α1 , 2α1 , 0) + (2α2 , α2 ,  α2) = (0 , 0 , 0) 
 ( α1 + 2α2 , 2α1 + α2 ,  α2) = (0 , 0 , 0) 
 
 α1 + 2α2 = 0 
2α1 + α2 = 0 
 α2 = 0  α2 = 0, reemplazando en las otras dos ecuaciones: α1 = 0 
 B es L. I. (1) 
 
ii) B es S. G. de R
3
: 
α1 . (1 , 2 , 0) + α2 . (2 , 1 , 1) = (x , y , z) 
 ( α1 , 2α1 , 0) + (2α2 , α2 ,  α2) = (x , y , z) 
 ( α1 + 2α2 , 2α1 + α2 ,  α2) = (x , y , z) 
 α1 + 2α2 = x 
2α1 + α2 = y 
 α2 = z  α2 = z, reemplazando en las otras dos ecuaciones: α1 = x  2z 
 α1 = (y + z) / 2 
pág. 52 
 x  2z = (y + z) / 2 
 2x + y + 5z = 0 
 B no es S. G. de R
3
, genera el plano cuya ecuación es: 2x + y + 5z = 0 (2) 
Por (2) B no es base de R
3 
Ejemplo 9: hallar las coordenadas de 





41
23
 
respecto de la base dada en el ejemplo 7: 
 α1 .
 






01
01
 
+ α2 . 





10
10
 
+ α3 . 





01
00
 
+ α4 . 





10
00
 
= 





41
23
 
 







0
0
1
1
 
+ 







2
20
0
 
+ 





 0
00
3 
+ 





 40
00
 
= 





41
23
 
 








4231
21
 
= 





41
23
 
α1 = 3 
α2 = 2 
α1 + α3 = 1 reemplazando α1 = 3  α3 = 4 
α2 + α4 = 4 reemplazando α2 = 2  α4 = 2 
Entonces las coordenadas son: α1 = 3 ; α2 = 2 ; α3 = 4 y α4 = 2 
 
Ejemplo 10: Construir (encontrar) una base para el subespacio siguiente e indicar su dimensión: 
 A = {(x , y , z)  R
3
 / y = 2x } 
Si y = 2x  (x , 2x , z)  A 
 (x , 2x , z) = (x , 2x , 0) + (0 , 0 , z) 
 (x , 2x , z) = x . (1 , 2 , 0) + z . (0 , 0 , 1) 
 {(1 , 2 , 0) , (0 , 0 , 1)} es Base de A, y su dimensión es 2. 
 
 
 
pág. 53 
TRABAJO PRÁCTICO Nº 14 
ESPACIOS VECTORIALES (I) 
EJERCICIOS A RESOLVER. 
1.- Determinar en cuáles de los siguientes casos está definido un espacio vectorial real. 
a) (R[x] , + , R , •
 
) siendo R[x] = {P(x) = a0 + a1 x + a2 x
2
 / ai  R ,  i} con la suma usual de 
polinomios y el producto usual de un polinomio por un número real. 
b) (R
2×1
 , + , R , • ) con la suma usual de matrices y el producto usual de un nº real por una matriz. 
c) (R
2
 , + , R , • ) con las operaciones definidas por (a , b) + (c , d) = (a + c +1 , b + d +1) y 
k . (a , b) = (k.a , k.b) , con k € R. 
d) (R
2
 , + , R , • ) con las operaciones definidas por (a , b) + (c , d) = (a + c , b + d) y 
k . (a , b) = (k.a , 0) , con k € R. 
2.- i) Determinar si los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales de los espacios vectoriales 
que se especifican en cada caso. 
a) W = {(x , y)  R
2 
/ y – x = 0 }  (R
2
 , + , R , • ) 
b) W = {(x , y)  R
2 
/ x + y = 2 }  (R
2
 , + , R , •) 
c) W = {(x , y , z)  R
3
 / x = 2 y }  (R
3
 , + , R , •) 
d) W = {(x , y , z)  R
3
 / z = 2 x + y }  (R
3
 , + , R , •) 
e) W = {(x , y , z)  R
3
 / y 0 }  (R
3
 , + , R , •) 
f) W = { 





dc
ba
 R
2×2
 / a = 3 b y c = − 2 d }  (R2×2 , + , R , •) 
g) W = { 





dc
ba
 R
2×2
 / a = b = 1 y c – 4 d = 0 }  (R2×2 , + , R , •) 
ii) Representar gráficamente, cuando sea posible, los conjuntos que son subespacios vectoriales y 
escribir dos elementos de cada uno de ellos. 
3.- Expresar, si es posible, el vector v como combinación lineal de los elementos de A: 
a) v = (2 , 4) , A = {(1 , 3) , (2 , 6)} 
b) v = (1 , 1 , 0) , A = {(1 , 1 , 1) , (0 , 1 , 1) , (1 , 1 , 1)} 
c) v = (2 , 4 , 3) , A = {(1 , 3 , 2) , (2 , 4 ,  1) , (1 , 5 , 7)} 
d) v = 





32
00
 , A = { 





10
01
 , 





01
01
} 
pág. 54 
e) v = 







21
13
 , A = { 





10
11
 , 





 01
11
 
, 




 
00
11
} 
f) v = x2 + 4x  3 , A = {x2  2x + 5 ; 2x2  3x ; x + 3} 
4.- Encontrar los valores de k para que: 
a) v = (1 ,  4) sea combinación lineal de: u = (k , 2) y w = (0 , 4) 
b) v = (5 , 1 , k ) sea combinación lineal de: u = (1 , 2 , 1) y w = (2 , 1 ,  3) 
c) A = 
1
 1
k
k
  
 
 
 sea combinación lineal de: B = 
2 1
 1 0
 
 
 
 y C = 
1 0
 2 1
 
 
 
 
d) p(x) = k x
2 
+ 10 x + 7 sea combinación lineal de: q(x) = x + 1 y r(x) = x
2 
 1 
5.- Determinar si los siguientes conjuntos son linealmente independientes o linealmente 
dependientes: 
 a) A = {(2 , 1) , (3 , 2)}  ( R
2 
, + , R , • ) 
 b) B = {(2 , 3) , (10 , 15)} ( R
2 
, + , R , •) 
 c) C = {( 1 , 3) , (0 , 6)}  ( R
2 
, + , R , •) 
 d) D = {(1 ,  4 , 7) , (1 , 1 , 2) , (1 ,  2 , 1)}  ( R
3 
, + , R , • ) 
 e) E = {(1 , 1 , 2) , (1 , 1 , 2) , (3 , 2 , 1)}  ( R
3 
, + , R , • ) 
 f) F = {(1 , 3 , 5) , (2 , 1 , 4)}  ( R
3 
, + , R , • ) 
 
6.- Dados los siguientes conjuntos, averiguar si son linealmente independientes o linealmente 
dependientes. 
a) A = {x
2
 + 1 ; x – 2 ; 3 x
2
 – 4 x + 2} 
b) B = {x
3
 + 4 x
2
  2 x + 3 ; x
3
 + 6 x
2
  x + 4 ; 3 x
3
 + 8 x
2
  8 x + 7} 
c) C = {
 1 0
3 0
 
 
 
 , 
3 0
 9 0
 
 
 
} d) D = {
1 1 2
1 0 1
 
 
 
 ; 
1 0 2
1 1 1
 
 
 
} 
7.- En cada caso, encontrar los valores de k para que: 
a) los vectores de R
3
: u = (–1 , 1 , 0) ; v = (1 , k , 2) y w = (0 , k , 1) resulten linealmente 
dependientes. 
b) los vectores de R
3
: (1 , 4 , 6) ; (1 , 4 , 4) y (0 , 4 , k) resulten linealmente independientes. 
c) el conjunto A = { 





 02
0k
 , 





04
04
 , 





10
20
} resulte linealmente dependiente. 
8.- Determinar si los conjuntos dados en el ejercicio 5, son sistemas de generadores de R
2 
o R
3
, según 
corresponda. En caso negativo indicar el subespacio que generan. 
pág. 55 
TRABAJO PRÁCTICO Nº 15 
ESPACIOS VECTORIALES (II) 
1.- Determinar si cada uno de los siguientes conjuntos de vectores forma una base del espacio 
vectorial indicado. 
a) {(1 , 3) , (3 , 1)} de (R2 , + , R , •) 
b) {(1 , 0) , (5 , 0)} de (R2 , + , R , •) 
c) {(3 , 3) , (4 , 5)} de (R2 , + , R , •) 
d) {(1 , 3 , 1) , (1 , 5 , 3) , (2 , 8 , 2)} de (R3 , + , R , •) 
e) {(1 , 1 , 2) , (0 , 1 , 1) , (1 , 3 , 2)}de (R
3
 , + , R , •) 
f) {(0 , 1 , 0 , 1) , (1 , 0 , 0 , 3) , (0 , 0 , 1 , 0) , (0 , 0 , 1 , 2)} de (R
4
 , + , R , •) 
2.- Justificar por qué S no es una base de R
2
, R
3
 o R
2×2
, según corresponda. 
a) S = {(2 , 1) , (0 , 1) , (0 , 1)} 
b) S = {(2 , 3) , (6 , 9)} 
c) S = {(6 , 4 , 1) , (3 , 5 , 1) , (8 , 13 , 6) , (0 , 6 , 9)} 
d) S = { 





12
10
 , 





24
31
} 
e) S = { 





 02
01
 , 





04
02
 , 





10
10
} 
3.- Encontrar las coordenadas del vector v con respecto a las bases indicadas 
a) v = (3, 4) i) 1B   = {(1 , 1) , (1 , 1)} 
 ii) La base canónica correspondiente. 
b) v = (1 , 3 ,  2) i) 1B   = {(0 , 1 , 0) , (0 , 1 , 1) , (1 , 0 , 1)} 
 ii) 2B   = {(1 , 1 , 0) , (2 , 0 , 1) , (5 , 2 , 3)} 
 iii) La base canónica correspondiente. 
c) v = 





 02
01
 
 B = { 





01
01
 
, 





11
10
 , 





10
00
 , 





11
11
 } 
d) v = (1 , 0 , 1 , 3)  B = {(3 , 0 , 0 , 0) , (5 , 0 , 0 , 1) , (0 , 0 , 1 , 1) , (1 , 1 , 0 , 0)} 
e) v = x
2
  3 x + 4  B = {  x + 2 ; x2  x  1 ; 1 } 
pág. 56 
4.- Construir una base para cada uno de los siguientes espacios vectoriales e indicar su dimensión: 
a) A = {(x , y)  R
2
 / y = − 5x}  ( R
2 
, + , R , • ) 
b) B = {(x , y)  R
2
 / x =  y}  ( R
2 
, + , R , • ) 
c) C = {(x , y , z)  R
3
 / z = x + 2 y}  ( R
3 
, + , R , • ) 
d) D = {(x , y , z)  R
3
 / y = 0 , x = z}  ( R
3 
, + , R , • ) 
e) E = { 





dc
ba
 R
2×2
 / a + b = 0 y c = 3d} ( R
2×2 
, + , R , • ) 
f) F = {(a , b , c , d)  R
4
 / b = 2 a + 3 c }  ( R
4 
, + , R , • ) 
g) G = {
3 2
 2 5
a b c a b
a c a b c
   
 
    
 R
2×2
 }  ( R
2×2 
, + , R , • ) 
5.- Dado: 
 S = {(x , y , z)  R
3 
/ x = z  y} subconjunto del espacio vectorial ( R
3
 , + , R , • ) 
a) Encontrar dos vectores de S. 
b) Demostrar que S es subespacio vectorial de ( R
3
 , + , R , • ). 
c) Construir una base de S e indicar la dimensión. 
d) Demostrar que A = {(0 , 1 , 1) , (1 , 1 , 0)} es sistema de generador de S. 
e) Calcular las coordenadas de (2, 1 , 1) respecto de los vectores de A. 
6.- Demostrar que: 
a) El subespacio vectorial S = {(x , y , z)  R3 / x + 2y = 0}  R
3 
es generado por el conjunto