Simulacion_Sheldon_Ross

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Teoría de Modelos y Simulación. Generación de Números Aleatorios. 1 
Teoría de Modelos y Simulación 
Enrique Eduardo Tarifa 
Facultad de Ingeniería - Universidad Nacional de Jujuy 
 
Generación de Números Aleatorios 
 
Introducción 
Este capítulo trata sobre la generación de números aleatorios. La misma es necesaria para la 
simulación de sistemas estocásticos como se verá en los siguientes capítulos. En primer lugar 
se definirá qué se entiende por número aleatorio. A continuación se estudiarán las pruebas a 
que debe ser sometido un generador de número aleatorios antes de ser aceptado. Finalmente, 
se presentarán métodos para generar variables que siguen distribuciones de frecuente 
aplicación. 
 
Propiedades de números aleatorios 
Una secuencia de números aleatorios R1, R2, ..., debe tener dos importantes propiedades 
estadísticas: uniformidad e independencia. Cada número aleatorio Ri es una muestra 
independiente tomada de una distribución continua uniforme entre cero y uno. Esto es, la 
función de densidad de probabilidad es: 


 ≤≤
=
otherwise
x
xf
0
101
)( (1) 
 
Esta función es graficada en la Figura 1. El valor esperado de cada número Ri es dado por: 
2
1
2
)(
1
0
1
0
2
=== ∫ xdxxRE (2) 
 
y la varianza es dada por: 
12
1
4
1
3
1
2
1
3
)]([)(
21
0
1
0
3
22 =−=




−=−= ∫
xREdxxRV (3) 
 
Como consecuencia de las propiedades de uniformidad e independencia se tiene: 
1. Si el intervalo (0, 1) es dividido en n clases, o subintervalos de longitudes iguales, el 
número esperado de observaciones en cada intervalo es N/n, donde N es el número 
total de observaciones. 
2. La probabilidad de observar un valor en un intervalo en particular es independiente de 
los valores previamente observados. 
 
Teoría de Modelos y Simulación. Generación de Números Aleatorios. 2 
1
x10
f(x)
 
Figura 1: Distribución uniforme. 
 
Generación de números pseudos aleatorios 
La palabra “pseudos” refiere a que los números generados por los métodos a estudiar no son 
completamente aleatorios puesto que se conoce el modo de generarlos, y esta secuencia puede 
ser reproducida cuantas veces sea necesaria. Realizada esta observación, el objetivo de 
cualquier generador de números aleatorios es producir una secuencia de números entre cero y 
uno que tenga las propiedades ideales de uniformidad e independencia. A esto se agrega la 
necesidad de contar con una longitud de ciclo suficientemente grande. La longitud de ciclo, o 
periodo, representa la longitud de la secuencia de números aleatorios que el generador 
siempre repite. 
 
Método de congruencia lineal 
El método de congruencia lineal es ampliamente utilizado. Este método produce una 
secuencia de números enteros, X1, X2, ... entre cero y m-1 de acuerdo a la siguiente relación 
recursiva: 
mcXaX ii mod)(1 +=+ (4) 
 
El valor inicial X0 se llama semilla, a es la constante multiplicativa, c es el incremento, y m es 
el módulo. Si c ≠ 0, se tiene el método de congruencia mixta. Cuando c = 0, se tiene el método 
de congruencia multiplicativa. La selección de los valores a, c, m, y X0 afecta fuertemente a 
las propiedades estadísticas y la longitud de ciclo del generador. 
 
Como ejemplo del método de congruencia lineal se generará una secuencia para a = 17, 
c = 43, m = 100 y X0 = 27. En este caso, el entero generado estará entre 0 y 99 debido al valor 
del módulo. Note también, que si se necesita generar una secuencia de números aleatorios 
entre 0 y 1, esta puede ser generada por: 
m
X
R ii = (5) 
 
Con esto, las secuencias generadas son: 
i 0 1 2 3 
X 27 2 77 52 
R --- 0.02 0.77 0.52 
 
Como puede deducirse de este ejemplo, debido a que Xi es un entero del conjunto {0, 1, 2, ..., 
(m-1)}, los números aleatorios Ri generados con este método sólo pueden asumir valores del 
Teoría de Modelos y Simulación. Generación de Números Aleatorios. 3 
conjunto finito I = {0, 1/m, 2/m, ..., (m-1)/m}. Esto significa que se tiene una distribución 
discreta en lugar de una continua. Ésta será una buena aproximación cuando el módulo sea 
grande. Cuando esto ocurra, no existirán grandes huecos (gaps) entre los números generados, 
y se tendrá una máxima densidad. 
 
Para obtener la máxima densidad y evitar los ciclos (recurrencia de la misma secuencia de 
números ya generados) el generador debería tener el periodo más grande posible. El máximo 
periodo puede lograrse eligiendo apropiadamente los valores de los parámetros del generador, 
por ejemplo (Banks et al., 1996): 
• Para m = 2b y c ≠ 0, el máximo periodo es P = m, y puede lograrse con un valor de c 
que sea un número primo relativo a m (esto es, que el máximo factor común entre 
ambos sea 1), y a = 1+4k. k y b son enteros. 
• Para m = 2b y c = 0, el máximo periodo es P = m/4, y puede lograrse con un valor 
impar para la semilla X0, y a = 3+8k, o a = 5+8k . k y b son enteros. 
• Para m número primo y c = 0, el máximo periodo es P = m-1, y puede lograrse con un 
valor de a tal que el menor entero k que hace que ak-1sea divisible por m es k = m-1. 
 
La Tabla 1 muestra la determinación del periodo de un generador congruencial multiplicativo 
para a = 13, m = 26 = 64, X0 = 1, 2, 3, 4. Se puede ver que el máximo periodo, 16, se alcanza 
para las semillas impares, y éste es igual al máximo teórico P = m/4 ya que a = 5+8k con 
k = 1. 
 
Tabla 1: Periodo de un generador. 
i X i Xi X i X i
0 1 2 3 4
1 13 26 39 52
2 41 18 59 36
3 21 42 63 20
4 17 34 51 4
5 29 58 23
6 57 50 43
7 37 10 47
8 33 2 35
9 45 7
10 9 27
11 53 31
12 49 19
13 61 55
14 25 11
15 5 15
16 1 3 
 
Cuando la semilla es 1, la secuencia generada asume valores del conjunto {1, 5, 9, 13, ..., 53, 
57, 61}. Los huecos entre los números aleatorios Ri son grandes (5/64-1/64 = 0.0625, 
densidad insuficiente), el periodo es demasiado corto; por lo tanto, no se recomienda la 
utilización de este generador. 
 
Un generador bastante utilizado en la práctica tiene los siguientes parámetros a = 75 = 16807, 
m = 231-1 = 2147483647 (un número primo) y c = 0. Estos valores aseguran un periodo 
P = m-1. Para una semilla igual a 123457, los valores generados son: 
Teoría de Modelos y Simulación. Generación de Números Aleatorios. 4 
i 0 1 2 3 
X 123457 2074941799 559872160 1645535613 
R --- 0.9662 0.2607 0.7662 
 
Generadores combinados 
Cuando la aplicación requiere de un periodo mayor al que se puede alcanzar con un generador 
simple, se recurre a los generadores combinados de congruencia lineal. Para generar la 
secuencia de Xi y Ri requerida, este generador necesita las salidas Xi,j, j = 1..k, de k diferentes 
generadores de congruencia multiplicativa cuyos parámetros tienen los valores apropiados 
para asegurar un periodo mj-1. El generador j produce la salida Xi,j entera uniformemente 
distribuida de 1 a mj-1. La combinación se calcula mediante las siguientes fórmulas: 
)1(mod)1( 1
1
,
1 −



−= ∑
=
− mXX
k
j
ji
j
i (6) 
 






=−
>
=
0
1
0
1
1
1
i
i
i
i
X
m
m
X
m
X
R (7) 
 
El periodo máximo posible es: 
1
21
2
)1()1()1(
−
−−−= k
kmmmP K (8) 
 
Para computadoras de 32 bits se sugiere combinar dos generadores k = 2 con m1 = 
2147483563, a1 = 40014, m2 = 2147483399 y a2 = 40692. La semilla del primer generador se 
toma del intervalo [1, 2147483562], y la semilla del segundo generador se toma del intervalo 
[1, 2147483398]. El periodo es (m1-1) (m2-1)/2 ≈ 2x1018. 
 
Pruebas para números aleatorios 
Antes de aceptar un generador se debe probar cuán bien satisface las propiedades ideales de 
uniformidad e independencia. Algunas pruebas desarrolladas en tal sentido son: 
• Prueba de frecuencia: Usa el método de Kolmogorov-Smirnov o el método chi-
cuadrado para comparar una distribución uniforme con la secuencia generada. 
• Prueba de corridas o rachas (runs test): Utiliza el chi-cuadrado para determinar la 
presencia anormal de grupos de números ascendentes, descendentes, por encima del 
promedio, o por debajo del promedio. 
• Prueba de autocorrelación:Compara la correlación existente entre los elementos de 
una secuencia con la correlación nula esperada. 
• Prueba de huecos (gap test): Cuenta los números de dígitos entre dos sucesivas 
repeticiones y utiliza la prueba de Kolmogorov-Smirnov para comparar esta cantidad 
con el valor esperado. 
• Prueba de poker: Controla que la frecuencia de aparición de dígitos en una serie de 
números sea la esperada. 
 
Teoría de Modelos y Simulación. Generación de Números Aleatorios. 5 
Técnica de la transformada inversa 
Hasta aquí se han estudiado los números aleatorios y la forma de generarlos. Sin embargo, 
generalmente en las simulaciones de sistemas estocásticos es necesario generar variables 
aleatorias, las cuales tienen una distribución distinta de la uniforme. La trasformada inversa 
es uno de los métodos utilizados para este fin. 
 
La Figura 2 muestra en forma gráfica el principio de este método. Primero, se grafica la curva 
de distribución acumulada F(X) correspondiente a la distribución deseada. Luego, se genera 
un número aleatorio R, con el cual se ingresa por la ordenada y se intercepta la curva F(X), el 
número X correspondiente a la abscisa del punto interceptado es un número aleatorio que 
tiene la distribución deseada. 
F(X)
R
X
0
1
A B
 
Figura 2: Método gráfico. 
 
Analíticamente, el método se representa como: 
dttfxF
x
∫ ∞−= )()( (9) 
 
)(1 RFX −= (10) 
 
donde f(x) es la función de densidad de probabilidad de la distribución deseada. Para ver 
porqué el X generado con este método en realidad tiene la distribución deseada, tome un valor 
x0 y compute la probabilidad acumulada: 
)())(()( 000 xFxFRPxXP =≤=≤ (11) 
 
Puesto que F(x0) pertenece al intervalo [0,1], la segunda igualdad plantea que R es un número 
uniformemente distribuido en dicho intervalo, y como F(x) es la función de probabilidad 
acumulada de X, se concluye que esta variable tendrá la distribución deseada. 
 
Distribución exponencial 
Utilizando el método de la transformada inversa a continuación se desarrolla un generador de 
variables aleatorias con distribución exponencial. La función de densidad de probabilidad es: 
Teoría de Modelos y Simulación. Generación de Números Aleatorios. 6 



<
≥
=
−
00
0
)(
x
xe
xf
xλλ
 (12) 
 
Entonces, la función de distribución acumulada es: 



<
≥−
==
−
∞−∫ 00
01
)()(
x
xe
dttfxF
xx λ
 (13) 
 
Esta distribución generalmente se utiliza para modelar los tiempos entre llegadas de clientes. 
En ese caso, el parámetro λ puede ser interpretado como el número medio de arribos por 
unidad de tiempo, y 1/λ sería el tiempo medio entre arribos. 
 
Aplicando el método de la transformada inversa, se tiene: 
ReXF X =−= −λ1)( (14) 
 
XRRF =−−=− )1ln(1)(1
λ
 (15) 
 
Dado que R está uniformemente distribuido en el intervalo [0,1], entonces (1-R) también lo 
está; por lo tanto se puede hacer la siguiente simplificación: 
)ln(
1 RX
λ
−= (16) 
 
Distribución uniforme 
Para generar una variable X con distribución uniforme en el intervalo [a, b], la función de 
densidad de probabilidad es: 



 ≤≤
−=
otherwise
bxa
abxf
0
1
)( (17) 
 
La función de probabilidad acumulada es entonces: 





>
≤≤
−
−
<
=
bx
bxa
ab
ax
ax
xF
1
0
)( (18) 
 
De acuerdo al método de la trasformada inversa: 
R
ab
aXXF =
−
−=)( (19) 
 
Despejando, se tiene el generador correspondiente: 
RabaX )( −+= (20) 
 
Teoría de Modelos y Simulación. Generación de Números Aleatorios. 7 
Distribución de Weibull 
Esta distribución se utiliza para modelar el tiempo entre fallas de maquinarias o componentes 
electrónicos. Cuando el parámetro de localización es nulo (ν = 0), la función de densidad de 
probabilidad es: 



 ≥=
−−
otherwise
xexxf
x
0
0)(
)/(1 βαβ
βα
β
 (21) 
 
El método de la transformada inversa plantea que: 
ReXF X =−= −
βα )/(1)( (22) 
 
Resolviendo, se tiene el generador correspondiente: 
βα /1)]1ln([ RX −−= (23) 
 
Simplificando, se obtiene: 
βα /1)]ln([ RX −= (24) 
 
Distribución triangular 
Considere que la distribución deseada es una distribución triangular con la siguiente función 
de densidad de probabilidad: 




≤<−
≤≤
=
otherwise
xx
xx
xf
0
212
10
)( (25) 
 
Esta distribución se denomina distribución triangular con extremos (0, 2) y moda en 1. La 
función de probabilidad acumulada es: 








>
≤<−−
≤<
≤
=
21
21
2
)2(
1
10
2
00
)( 2
2
x
xx
x
x
x
xF (26) 
 
Aplicando el método de la transformada inversa y operando se tiene el correspondiente 
generador: 




≤<−−
≤≤
=
1)1(22
02
2
1
2
1
RR
RR
X (27) 
 
La fórmula general para una distribución triangular es: 
Teoría de Modelos y Simulación. Generación de Números Aleatorios. 8 








≤≤
−−
−
<≤
−−
−
=
otherwise
cxb
acbc
xc
bxa
acab
ax
xf
0
)()(
)(2
)()(
)(2
)( (28) 
 






≤≤
−−
−+
−
−
<≤
−−
−
=
cxb
acbc
bx
ac
ab
bxa
acab
ax
xF
)()(
)(
)()(
)(
)( 2
2
 (29) 
 
Aplicando el método de la transformada inversa se obtiene el siguiente generador: 





≤≤
−
−−−−−+
−
−
<≤−−+
=
1)()]()[(
0)()(
R
ac
abbcabRacb
ac
ab
RRacaba
X (30) 
 
Distribución empírica 
Cuando no es posible encontrar una distribución teórica para modelar los datos, entonces se 
utiliza una distribución empírica. Esta puede estar expresada como una tabla de frecuencias o 
directamente una tabla de datos sin procesar. En el primer caso se cuenta con intervalos y la 
frecuencia de cada uno de ellos. Se calcula la frecuencia relativa y luego la acumulada, como 
se muestra en el siguiente ejemplo. 
Tabla 2: Tabla de frecuencias. 
Intervalo Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia acumulada 
0.25 ≤ x ≤ 0.5 31 0.31 0.31 
0.5 < x ≤ 1.0 10 0.10 0.41 
1.0 < x ≤ 1.5 25 0.25 0.66 
1.5 < x ≤ 2.0 34 0.34 1.00 
 
Para generar la variable aleatoria correspondiente se realiza interpolación lineal en la Tabla 3, 
la cual representa la función inversa de la probabilidad acumulada calculada con en la Tabla 
2. Note que para facilitar el cálculo, la pendiente ai de cada intervalo i se calcula de antemano 
y se almacena en la tabla. 
 
Tabla 3: Función inversa de la probabilidad acumulada. 
i Entrada 
ri 
Salida 
xi 
Pendiente 
ai 
1 0.00 0.25 0.81 
2 0.31 0.50 5.00 
3 0.41 1.00 2.00 
4 0.66 1.50 1.47 
5 1.00 2.00 --- 
 
A modo de ejemplo, cuando R = 0.33, el X correspondiente se calcula como: 
60.0)31.033.0(00.550.0 =−+=X (31) 
Teoría de Modelos y Simulación. Generación de Números Aleatorios. 9 
Cuando se tienen pocos datos no es posible construir una tabla de frecuencias; en su lugar, se 
construye una tabla de datos atribuyendo la misma probabilidad a cada uno de ellos. Suponga 
que los siguientes 5 datos son los únicos disponibles: 2.76, 1.83, 0.80, 1.45 y 1.24. Primero, se 
los ordena en forma creciente y se asigna la probabilidad 1/5 a cada uno de ellos. Luego, se 
calcula la probabilidad acumulada y las pendientes. Como resultado se obtiene las siguientes 
tablas: 
Tabla 4: Tabla de datos. 
Intervalo Probabilidad Probabilidad 
acumulada 
0.00 ≤ x ≤ 0.80 0.2 0.2 
0.80 < x ≤ 1.24 0.2 0.4 
1.24 < x ≤ 1.45 0.2 0.6 
1.45 < x ≤ 1.83 0.2 0.8 
1.83 < x ≤ 2.76 0.2 1.0 
 
Tabla 5: Función inversa de la probabilidad acumulada. 
i Entrada 
ri 
Salida 
xi 
Pendiente 
ai 
1 0.0 0.00 4.00 
2 0.2 0.80 2.20 
3 0.4 1.24 1.05 
4 0.6 1.45 1.90 
5 0.8 1.83 4.65 
6 1.0 2.76 --- 
 
Para un R = 0.71, el correspondiente X es: 
65.1)60.071.0(90.145.1 =−+=X (32) 
 
Distribuciones discretas 
Las distribuciones discretas se pueden generar utilizando la transformada inversa de la misma 
manera que se utilizó para las distribuciones empíricas, sólo que esta vez no es necesario la 
interpolación. Por ejemplo, si se desean generar los números 0, 1 y 2 con las probabilidades 
0.50, 0.30 y 0.20 respectivamente, se construye la siguiente tabla donde ya se calculó la 
probabilidad acumulada: 
Tabla 6: Tabla para una distribución discreta. 
i Entrada 
ri 
Salida 
xi1 0.50 0 
2 0.80 1 
3 1.00 2 
 
Con esta tabla, el valor de X se calcula de la siguiente forma: 




≤<
≤<
≤
=
0.18.02
8.05.01
5.00
R
R
R
X (33) 
 
Cuando la distribución es uniforme y se desea generar números en el intervalo [a, b] 
espaciados por ∆X, se puede utilizar el siguiente generador: 
Teoría de Modelos y Simulación. Generación de Números Aleatorios. 10 
aX
X
abRIntX +∆









 +
∆
−= 1 (34) 
 
Para simular un dado se debe hacer a = 1, b = 6 y ∆X = 1. 
 
Transformada directa para la distribución normal 
Esta distribución es ampliamente utilizada. La función de densidad de probabilidad es: 
2
2
2
)(
2
1
)( σ
µ
πσ
−
−
=
x
exf (35) 
 
Dado que no es posible obtener analíticamente la función inversa de la probabilidad 
acumulada, se recurre a métodos alternativos. Uno de los métodos más empleados considera 
dos variables con distribución estándar normal Z1 y Z2 (media nula y varianza igual a uno), y 
las expresa en coordenadas polares como sigue: 
)sin(
)cos(
2
1
θ
θ
BZ
BZ
=
=
 (36) 
 
Se sabe que B2 = Z12 + Z22 tiene una distribución chi-cuadrado con grado de libertad 2, la cual 
es equivalente a una distribución exponencial con media 2. Entonces, el radio B puede ser 
generado con: 
( ) 2/11 )ln(2 RB −= (37) 
 
Debido a la simetría de la distribución normal, se supone que θ está uniformemente 
distribuido en el intervalo [0, 2π]. Entonces, el ángulo se genera con: 
22 Rπθ = (38) 
 
Finalmente, los valores Z1 y Z2 con distribución normal estándar se obtienen generando B y θ 
con las ecuaciones (37) y (38) respectivamente. El valor de X con una distribución normal con 
media µ y varianza σ2 se calcula con: 
ZX σµ += (39) 
 
Una rutina basada en este método que genera valores Z1 y Z2 con distribución normal estándar 
es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Procedure Polar 
Begin 
 Repeat 
 Generar R1,R2 
 v1 := 2*R1 - 1 
 v2 := 2*R2 - 1 
 w := v12 + v22 
 Until w ≤ 1 
 u := (-2*ln(w)/w)1/2 
 Z1 := v1*u 
 Z2 := v2*u 
End. 
Teoría de Modelos y Simulación. Generación de Números Aleatorios. 11 
Cuando, como en este caso, no es posible obtener analíticamente la función inversa de la 
probabilidad acumulada, entonces se puede aproximar esta función ya sea numéricamente o 
con expresiones simplificadas. Por ejemplo, se puede utilizar el siguiente generador de 
Schmeiser que da una distribución aproximada a la normal estándar: 
1975.0
)1( 135.0135.0 RRZ −−= (40) 
 
Otro generador de distribución normal utiliza el teorema del límite central que plantea: “La 
distribución del promedio de n variables aleatorias independientes idénticamente distribuidas 
con media µ y varianza σ2 se aproxima a una distribución normal con media µ y varianza 
σ2/n”. El generador es: 
σµ 




 −+= ∑
=
6
12
1i
iRX (41) 
 
Este generador utiliza la sumatoria de una serie de números aleatorios para obtener la 
distribución deseada. En la sección siguiente se estudian otros generadores que utilizan este 
mismo principio. 
 
Método de la convolución 
La distribución de probabilidad de la suma de dos o más variables aleatorias independientes 
se denomina convolución de las distribuciones correspondientes a las variables sumadas. El 
método de la convolución suma dos o más variables aleatorias para obtener una nueva con la 
distribución deseada. El centro del estudio ya no es la función de probabilidad acumulada de 
la distribución deseada, sino su relación con otras distribuciones más fácilmente generables. 
 
Distribución de Erlang 
Una variable aleatoria X con distribución Erlang con parámetros (K, θ) puede ser modelada 
con la suma de K variables aleatorias independientes Xi con distribución exponencial y media 
1/(K θ); esto es: 
∑
=
=
K
i
iXX
1
 (42) 
 
Utilizando el generador de distribución exponencial presentado anteriormente y operando, se 
obtiene el generador con la distribución deseada: 
∑ ∏
= =



−=−=
K
i
K
i
ii RK
R
K
X
1 1
ln
1
)ln(
1
θθ
 (43) 
 
Como ejemplo, suponga que a un depósito llegan camiones cuyos tiempos entre arribos 
siguen una distribución exponencial con media 0.1 h. A la entrada son desviados 
alternativamente hacia el sur y hacia el norte. Se desea modelar el arribo de camiones al sector 
sur. Los tiempos de llegada entre los camiones que llegan al sector sur serán iguales a la suma 
de dos tiempos de arribos sucesivos al depósito; es decir, seguirán una distribución Erlang con 
K = 2 y 1/θ = 0.2 h. 
 
Teoría de Modelos y Simulación. Generación de Números Aleatorios. 12 
Técnica de aceptación y rechazo 
En este método se generan valores aleatorios que son sometidos a una prueba para verificar si 
cumplen o no con la distribución deseada. El resultado de esta prueba determina si el nuevo 
valor es aceptado o rechazado. Un generador eficiente debe mantener el número de rechazos 
lo más bajo posible. 
 
Distribución de Poisson 
Una variable N con distribución Poisson puede ser interpretada como el número de arribos por 
unidad de tiempo a velocidad α en un proceso Poisson. En este proceso, los tiempos entre 
arribos A1, A2, ... están exponencialmente distribuidos con una velocidad α (es el número 
medio de arribos por unidad de tiempo). Por lo tanto, se puede construir un generador que 
determine n tal que: 
1121 ...1... ++++<≤+++ nnn AAAAAA (44) 
 
Utilizando el generador exponencial anteriormente presentado, se tiene: 
∑∑
+
==
−<≤−
1
11
)ln(
1
1)ln(
1 n
i
i
n
i
i RR αα
 (45) 
 
Operando: 
∑∑
+
==
>−≥
1
11
)ln()ln(
n
i
i
n
i
i RR α (46) 
 




>−≥


 ∏∏
+
==
1
11
lnln
n
i
i
n
i
i RR α (47) 
 
∏∏
+
=
−
=
>≥
1
11
n
i
i
n
i
i ReR
α (48) 
 
Entonces, el procedimiento para generar N con distribución de Poisson es: 
1. Hacer n ← 0, P ← 1. 
2. Generar un número aleatorio Rn+1 y hacer P ← P Rn+1. 
3. Si P < e-α, aceptar el nuevo valor N ← n, sino rechazar n, hacer n ← n + 1, y retornar 
al paso 2. 
 
Note que en promedio será necesario generar α+1 números con distribución exponencial por 
cada valor de N. Cuando α ≥ 15 esta técnica se vuelve ineficiente, y conviene utilizar una 
técnica basada en la distribución normal: 
α
α−
=
N
Z (49) 
 
donde Z tiene una distribución normal estándar. Entonces, para cada valor de Z se puede 
calcular N con: 
( )ZRoundN αα += (50) 
 
Teoría de Modelos y Simulación. Generación de Números Aleatorios. 13 
Distribución gamma 
Si el parámetro de forma β tiene un valor entero K, se puede utilizar el método de la 
convolución ya que la distribución de Erlang es un caso especial de la distribución gamma. 
Por otra parte, el método aceptación y rechazo que se describirá a continuación puede ser 
utilizado para generar variables con distribución Erlang cuando K es grande. La rutina 
siguiente genera variables con distribución gamma con parámetro de escala θ y parámetro de 
forma β; esto es, con media 1/θ y varianza 1/(β θ2): 
1. Hacer a ← (2 β-1)1/2, b ← 2 β - ln(4) + 1/a. 
2. Generar R1 y R2. 
3. Hacer X ← β (R1/(1-R1))a. 
4. Hacer c ← b - ln(R12 R2). 
5. Si X > c, rechazar X y retornar al paso 2. 
6. Si X ≤ c, hacer X ← X/(β θ), aceptar X como la variable deseada.