Guia de Trigonometria - Matemática

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMÁTICAS
MAT 110E - ÁLGEBRA
GUIA DE TRIGONOMETRÍA
1. NOCIONES DEL SISTEMA CARTESIANO
(1) En cada uno de los casos siguientes calcule la distancia de P a Q y también determine
las coordenadas de M , punto medio del segmento PQ:
•P (3,−4); Q(3, 1). •P (−3, 2); Q(6, 0).
•P (4,−3); Q(6, 1). •P (−0.3, 0.2); Q(2.3, 6.2).
•P (a, a); Q(0, 0). •P (a, b); Q(0, 0).
(2) En el plano, determine todos los puntos P (x, y), para los cuales x = 2 y la distancia de
P a Q(−2,−1) = 5.
(3) En el plano, determine todos los puntos P (x, y), para los cuales y = −3 y la distancia
de P a Q(1, 2) = 13.
(4) En el plano, determine todos los puntos P (x, y), en el eje x que están a distancia 5 del
punto (2,-3)
(5) En cada uno de los casos siguientes ubique en el plano el punto P de coordenadas dadas
y también los puntos simétricos a él con respecto al eje x, al eje y, al origen y a la recta
y = x:
•P (3,−4). •P (−3, 2).
•P (−4,−3). •P (5, 2).
(6) En cada uno de los casos siguientes obtenga la ecuación de la circunferencia con centro
C y radio r, dados. Desarrolle los cuadrados y reduzca términos semejantes:
•C(3,−4); r = 5. •C(0, 2); r = 2.
•C(2,−3); r = 4. •C(0, 0); r = 3.
•C(a, 0); r = a. •C(a, b); r =
√
a2 + b2.
(7) En un mapa de una porción del sistema solar, la Tierra se representa como un ćırculo
cuya circunferencia tiene ecuación x2 + y2 + 2x + 4y − 4091 = 0. La escala del plano
es 1cm = 100km. Un satétile gira alrededor, a 10 kilómetros sobre la superficie de la
Tierra, el centro de la órbita satelital coincidiendo con el centro de la Tierra. Determine
la ecuación de la órbita satelital en el mencionado mapa.
1
2 GUIA DE TRIGONOMETRÍA
2. TRIGONOMETRÍA
(1) En cada uno de los casos siguientes, en la circunferencia con centro en el origen y radio
1 al medir un arco de longitud x, x > 0, a partir del punto A(1, 0), el punto final P del
arco tiene las coordenadas que se indican. Calcule la seis funciones trigonométricas de
x:
•P (−3/5, 4/5). •P (5/13,−12/13).
•P (−0.8,−0.6). •P (15/17, 8/17).
•P (2/
√
13,−3/
√
13). •P (−1/
√
5,−2/
√
5).
•P (1/
√
2,−1
√
2). •P (1/
√
7,−
√
6/
√
7).
•P (−24/25, 7/25). •P (40/41,−9/41).
(2) En cada uno de los casos siguientes determine el valor exacto de la expresión dada, sin
usar calculadora:
• 2 sen(π/3)− 3 tan(π/6). • 2 sen(π/4) + 3 tan(π/4).
• sen(π/4)− cos(−π/4). • tan(π/3) + cos(π/3).
• 2 sec(π/4) + 4 cotan(π/3). • 3 cosec(π/3)− 3 cotan(−π/4).
• sen(3π/2) · tan(π). • tan(π)− cos(0).
• 2 sec(π)− cosec(π/2). • 2 cosec(π/4) + cotan(−π/4).
(3) En cada uno de los casos siguientes determine el valor exacto de las seis funciones
trigonométricas evaluadas en el número x dado, sin usar calculadora:
• 2π/3. • − π/6.
• 3π/4. • 5π/2.
• 3π. • 3π/2.
• − π. • − π/4.
• 5π/4. • 17π/4.
• 25π/6. • 21π.
• 19π/6. • − 33π/4.
(4) En cada uno de los casos siguientes demuestre la identidad:
• cosec x · cos x = cotan x.
• (tan x + cotan x) · cos x = cosec x.
• (sec x − 1) · (sec x + 1) = tan2x.
• (1 + cotan2x) · sen2x = 1.
• sec4x− sec2x = tan4x + tan2x.
• 3 sen2x + 4cos2x = 3 + cos2x.
• 1 + tan x
1− tan x
=
cotan x + 1
cotan x− 1
.
• cos x
1− tan x
+
sen x
1− cotan x
= sen x + cos x.
GUIA DE TRIGONOMETRÍA 3
• sec x
1 + sec x
=
1− cos x
sen2x
.
• 1 + cos x
1− cos x
=
sec x + 1
sec x− 1
.
• sec x− cosec x
sec x · cosec x
= sen x− cos x.
• sen
2x− tan x
cos2x− cotan x
= tan2x.
• sec x− cos x = sen x · tan x.
• tan x + cotan x = sec x · cosec x.
• sec x
1− sen x
=
1 + sen x
sen3x
.
• 1− sen x
1 + sen x
= (sec x− tan x)2.
• (sec x− tan x)
2 + 1
(sec x− tan x) · cosec x
= 2 tan x.
• sec
2 x− tan2x + tan x
(sec x)
= sen x + cos x.
• sen x + cos x
cos x
− sen x− cos x
sen x
= sec x · cosec x.
• cos
2x− sen2x
1− tan2x
= cos2x.
• sen x + cos x
sen x
− cos x− sen x
cos x
= sec x · cosec x.
• sen
3x + cos3x
1− 2 cos2x
=
sec x− sen x
tan x− 1
.
• sen
3x + cos3x
sen x + cos x
= 1− sen x · cos x.
• 1− 2 cos
2x
sen x · cos x
= tan x− cotan x.
• (2 cos
2x− 1)2
cos4x− sen4x
= 2 cos2x− 1.
• 1 + sen x + cos x
1 + sen x− cos x
=
1 + cos x
sen x
.
• 1− sen
2x
1 + cos x
= cos x.
• sen x + cos x− sen
3x
sen x
= cotan x + cos2x.
4 GUIA DE TRIGONOMETRÍA
• 1 + cos x + sen x
1 + cos x− sen x
= sec x + tan x.
• tan α + tan β
cotan α + cotan β
= tan α · tan β.
• (tan α + tan β)(1− cotan α · cotan β) + (1− tan α · tan β)(cotan α + cotan β) = 0.
• (sen α + cos β)2 − (sen α + cos β)(sen α− cos β) = 2 cos β(sen α + cos β).
• (sen α− cos β)2 − (sen α + cos β)(sen α− cos β) = −2 cos β(sen α− cos β).
• (a sen x + b cos x)2 + (a cos x + b sen x)2 = a2 + b2.
• (2 a sen x cos x)2 + a2(cos2x− sen2x)2 = a2.
(5) En cada uno de los siguientes casos calcule el valor de la función trigonométrica señalada,
sin usar calculadora:
• sen(π/12). • cos(5π/12).
• sen(7π/12). • tan(7π/12).
• tanπ/12). • cos(11π/12).
• sen(5π/12). • tan(13π/12).
• 5sen(17π/12). • tan(19π/12).
• sec(−π/12). • cotan(−5π/12).
• sen(37π/12). • cos(−35π/12).
(6) En cada uno de los siguientes casos calcule el valor de la expresión señalada, sin usar
calculadora:
• sen(π/9) · cos(π/18) + cos(π/9) · sen(π/18).
• sen(2π/9) · cos(4π/9) + cos(2π/9) · sen(4π/9).
• cosπ/9) · cos(7π/18)− senπ/9) · sen(7π/18).
• cos(2π/9) · cos(π/18) + sen(2π/9) · sen(π/18).
• tan(2π/18) + tan(5π/36)
1− tan(π/9) · tan(5π/36)
.
• tan(2π/9)− tan(2π/36)
1 + tan(2π/9) · tan(π/18)
.
(7) En cada uno de los siguientes casos calcule:
sen(α + β), cos(α + β), sen(α− β), tan(α + β),
dadas las condiciones de cada ı́tem:
• senα = 35 , 0 < α <
π
2 ; cosβ =
2√
5
, −π2 < β < 0.
• senα = 1√
5
, 0 < α < π2 ; cosβ =
4
5 , −
π
2 < β < 0.
GUIA DE TRIGONOMETRÍA 5
• tanα = −43 ,
π
2 < α < π; cosβ =
1
4 , 0 < β <
π
2 .
• tanα = 512 , π < α <
3π
2 ; senβ = −
1
2 , −π < β < −
π
2 .
• senα = 513 , −
3π
2 < α < −π; tanβ = −
√
3, π2 < β < π.
• cosα = 12 , −
π
2 < α < 0; senβ =
1
3 , 0 < β <
π
2 .
(8) Demuestre cada una de las siguientes identidades:
• sen
(
θ +
π
2
)
= cos θ.
• cos(π − θ) = −cos θ.
• tan(π − θ) = −tan θ.
• cos
(
θ +
3π
2
)
= sen θ.
• sen(α + β) + sen(α− β) = 2 senα cosβ.
• cos(α + β) + cos(α− β) = 2 cosα cosβ.
• sen(α + β)
senα cosβ
= 1 + cotanα tanβ.
• sen(α + β)
cosα cosβ
= tanα + tanβ.
• cos(α + β)
cosα cosβ
= 1− tanα tanβ.
• cos(α + β)
cos(α− β)
=
1− tanα tanβ
1 + tanα tanβ
.
• sen(α + β)
sen(α− β)
=
tanα + tanβ
tanα− tanβ
.
• cos(α + β) cos(α− β) = cos2α− sen2β.
• sen(α + β) sen(α− β) = sen2α− sen2β.
• sen(θ + kπ) = (−1)ksenθ, k ∈ IZ.
• cos(θ + kπ) = (−1)kcosθ, k ∈ IZ.
• sen α
cos α + sen β
+
sen β
cos β − sen α
=
sen α
cosα− sen β
+
sen β
cos β + sen α
.
• sen3α + sen3(α + 2π3 ) + sen
3(α +
4π
3
) = −34sen 3α.
6 GUIA DE TRIGONOMETRÍA
(9) En cada uno de los siguientes casos calcule:
sen(2θ), cos(2θ), tan(2θ), sen
(
θ
2
)
, cos
(
θ
2
)
, tan
(
θ
2
)
,
dadas las condiciones de cada ı́tem:
• sen θ = 35 , 0 < θ <
π
2 .
• cos θ = 35 , 0 < θ <
π
2 .
• tan θ = 43 , π < θ <
3π
2 .
• tan θ = 12 , π < θ <
3π
2 .
• cos θ = −
√
2
3 ,
π
2 < θ < π.
• sen θ = −
√
1
3 ,
3π
2 < θ < 2π.
• sec θ = 3, sen θ > 0.
• cosec θ =
√
5, cos θ < 0.
• cotan θ = −2, sec θ < 0.
• sec θ = 2, cosec θ < 0.
• tan θ = −3, sen θ < 0.
• cotan θ = 3, cos θ < 0.
(10) En cada uno de los siguientes casos, calcule sin usar calculadora:
• sen
(
π
8
)
. • cos
(
π
8
)
.
• tan
(
7π
8
)
. • sec
(
15π
8
)
.
(11) Obtenga una identidad para cos(3θ), en términos de cos(θ).
(12) Demuestre cada una de las siguientes identidades:
• sen(4θ) = (4sen θ − 8sen3θ) cos θ.
• sen4θ = 3
8
− cos2θ
2
+
cos4θ
8
.
• cos4θ − sen4θ = cos(2θ).
• cos2(2θ)− sen2(2θ) = cos(4θ).
• cos θ = 1− tan
2(θ/2)
1 + tan2(θ/2)
.
• cos θ + sen θ
cos θ − sen θ
− cos θ − sen θ
cos θ + sen θ
= 2 tan(2θ).
GUIA DE TRIGONOMETRÍA 7
• tan θ + tan
(
θ + 2π3
)
+ tan
(
θ + 4π3
)
= 3 tan(3θ).
(13) Demuestre que cos
(
π
12
)
= 14(
√
6 +
√
2). Use este resultado para calcular cos
(
π
24)
y
sen
(
π
24
)
.
(14) A partir del gráfico de cos x, usando las ideas de desplazamiento horizontal y/o vertical,
compresión, alargamiento y otras análogas del gráfico de funciones, obtenga el gráfico de
y = f(x) = sen2x =
1− cos2x
2
, 0 ≤ x ≤ 2π.
(15) Si tan θ = a tan
(
θ
3
)
, exprese tan
(
θ
3
)
en términos de a.
(16) En cada uno de los casos siguientes exprese el producto dado como una suma o una
diferencia, en la que participa sólo la función coseno o sólo la función seno:
• sen(4θ) sen(2θ). • cos(4θ) cos(2θ). • sen(θ) cos(2θ). • sen(3θ/2) cos(θ/2).
• sen(θ) sen(2θ). • cos(3θ) cos(4θ). • sen(3θ) sen(5θ). • sen(θ/2) cos(5θ/2).
(17) En cada uno de los casos siguientes escriba la expresión dada como un producto de senos
y/o cosenos:
• sen(4θ)− sen(2θ). • sen(4θ) + sen(2θ). • cos(4θ) + cos(2θ).
• cos(5θ)− cos(3θ). • cos(θ/2)− cos(3θ/2). • sen(θ/2)− sen(3θ/2).
(18) En cada uno de los casos siguientes demuestre la identidad:
• sen θ + sen(3θ)
2 sen(2θ)
= cos θ.
• cos θ + cos(3θ)
2 cos(2θ)
= cos θ.
• (sen θ + sen(3θ)) sen θ = (cos θ − cos(3θ)) cos θ.
• (sen(3θ) + sen(5θ)) sen θ = (cos(3θ)− cos(5θ)) cos θ.
• 1 + cos(2θ) + cos(4θ) + cos(6θ) = 4cos θ cos(2θ) cos(3θ).
• 1− cos(2θ) + cos(4θ)− cos(6θ) = 4sen θ cos(2θ) sen(3θ).
• sen(4θ) + sen(8θ)
cos(4θ) + cos(8θ)
= tan(6θ).
• sen(4θ)− sen(8θ)
cos(4θ)− cos(8θ)
= −cotan(6θ).
8 GUIA DE TRIGONOMETRÍA
• cos α + cos β
cos α− cos β
= −cotanα + β
2
cotan
α− β
2
.
• sen α + sen β
sen α− sen β
= tan
α + β
2
cotan
α− β
2
.
(19) Si α + β + γ = π, demuestre que:
• sen(2α) + sen(2β) + sen(2γ) = 4sen α sen β sen γ.
• tan α + tan β + tan γ = tan α tan β tan γ.
(20) Para cada una de las siguientes funciones determine amplitud, peŕıodo y esboce el gráfico
en un intervalo de longitud igual al peŕıodo:
• y = 4cos x. • y = 2cos(x3 ).
• y = −8senπx2 . • y = −2sen
(1+x)π
2 .
• y = 4sen(3x). • y = −2cos(3πx).
• y = −6sen(2πx− 2). • y = −tan
(
x− π2
)
.
• y = tan(π + x). • y = 12sen
(
3x
2 − π
)
.
• y = 7sen (4+x)π3 . y =
3
2cos(6x + 3π)
• y = −23cos(πx− 6). • y = sen x + cos x.
• y = sen x +
√
3 cos x. • y = 3 sen x + 4 cos x.
(21) Esboce el gráfico de cada una de las siguientes funciones:
• y = x + cos x • y = x− cos x • y = x− sen x • y =
√
3 sen x + cos x.
¿Es alguna de ellas periódica?. En caso afirmativo indique el peŕıodo.
(22) En cada uno de los casos siguientes ABC es un triángulo rectángulo con ∠ACB = γ = π2 :
• b = 4, β = π18 ; calcular a, c, α.
• a = 7, β = 5π18 ; calcular b, c, α.
• b = 6, α = 2π18 ; calcular a, c, β.
(23) El volcán Tupungato tiene 6570 metros de altura sobre el nivel del mar. Un andinista
instalado en su cumbra ve amanecer, en un d́ıa con cielo despejado, él es el primero en
ver los rayos del sol ese d́ıa. En la playa a 190 kms. al oeste, la novia del andinista está
viendo amanecer ese mismo d́ıa. ¿Cuántos minutos después ve ella los primeros rayos
del sol?. (El planeta Tierra es una esfera de 6373 kms de radio).
GUIA DE TRIGONOMETRÍA 9
(24) Una construcción de base cuadrada, ABCD, tiene los lados de su base AB y CD para-
lelos orillas de un ŕıo. Un observador que está en la ribera del ŕıo más lejana a la
construcción y en la misma recta que D y A, encuentra que el lado AB subtiende a su
vista un ángulo igual a π4 ; después de caminar a metros en forma paralela a las riberas
del ŕıo, él determina DA subtiende a su vista un ángulo cuyo seno es 1/3. Calcule las
dimensiones del cuadrado, en términos de a.
(25) En cada uno de los casos siguientes, determine el valor de la expresión:
•Arctan
√
3. •Arccos(−1). •Arcsen(1/
√
2). •Arccos(−
√
3/2).
•Arccos(1). •Arctan(1/
√
3). •Arccos(
√
3/2). •Arcsen(−1/
√
2).
No debeŕıa usar calculadora.
(26) Usando calculadora en cada uno de los casos siguientes, determine el valor de la expresión:
•Arctan
√
5. •Arccos(−0.44). •Arcsen(
√
2/3). •Arccos(−
√
3/5).
•Arccos(1/3). •Arctan(1/
√
5). •Arccos(
√
3/3). •Arcsen(−1/
√
7).
(27) En cada uno de los siguientes casos, primero sin calculadora y después verificando con
ella, determine el valor de la expresión:
• sec[Arccos(1/2)]. • tan[Arcsen(−1/2)]. • cos[Arcsen(
√
3/2)].
•Arcsen[sen(5π/6)]. •Arctan[tan(5π/4)]. •Arccos[cos(4π/3)].
(28) En cada uno de los siguientes casos demuestre la identidad:
• Arcsen x + Arccos x = π
2
, ∀x ∈ [−1, 1].
• tan(Arcsen x) = x√
1− x2
, ∀x ∈]− 1, 1[.
• tan(Arccos x) =
√
1− x2
x
, ∀x ∈ [−1, 0[∪]0, 1].
• Arcsen
√
x
2x− 2
+ Arctan
√
x− 2
x
=
π
2
, ∀x ∈]−∞, 0[∪[2,+∞[.
(29) Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones:
• (1− tan x)(1− sec x) = 0 • sen2x = cos x.
• cos2x + cos4x = 0. • 3− sen x = cos2x.
• sec4x− 6sec2x + 8 = 0. • cotan x + tan3x = 0.
• sen x−
√
3 cos x = 1.
10 GUIA DE TRIGONOMETRÍA
PROFESOR HUGO FREYHOFFER I.
E-mail address: hugo@mat.puc.cl