ANAüLISIS-ESTRUCTURAL-DE-UN-AUTOBAsS-DE-PISO-BAJO-CONTINUO

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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
 
 
CENTRO DE INVESTIGACIÓN E INNOVACIÓN 
TECNOLÓGICA 
 
ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE UN 
AUTOBÚS DE PISO BAJO CONTINUO 
 
TESIS 
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE 
 
MAESTRÍA EN TECNOLOGÍA AVANZADA 
 
 
PRESENTA 
 
ING. Manuel Alejandro González García 
 
 
DIRECTOR DE TESIS 
 
M. en C. Vicente Mayagoitia Barragán 
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Agradecimientos 
 
A mis padres. Dagoberto González Aguilar y María Antonia García Pacheco 
Por todo el amor y el apoyo brindado a lo largo de mi vida muchas gracias. 
A mi hermano. David González García. 
Por siempre estar a mí lado y brindarme tu amor y apoyo. 
A mi Novia. Laura Orozco Carrasquel. 
Por su amor y comprensión. 
A mis asesores: M. en C. Vicente Mayagoitia Barragán. 
A quien admiro y respeto, gracias por su tiempo, apoyo y conocimientos brindados a lo largo de mi 
carrera. 
Al M. en C. Leonardo López Marques y la Lic. Dora Elena Chacón. 
A quienes aprecio y respeto, y con quienes estoy muy agradecido por todo el apoyo brindado. 
A mi honorable comité tutorial. 
Dr. Ricardo Rafael Ambriz Rojas, Dr. Ricardo Cuenca Álvarez, Dr. Sebastián Díaz de la Torre y 
M. en C. José Luis Mora Rodríguez 
Por guiarme en la realización de mi trabajo de tesis. 
Familiares 
Gracias por apoyarme siempre y estar al pendiente de mí. 
Amigos. 
Norma, Giovanni, Gerardo, Juan Pablo, Humberto y David. 
Muchas gracias por su amistad incondicional. 
 
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 5 
IPN – CIITEC 
Muchas gracias por brindarme la oportunidad de realizar mis estudios de posgrado en sus instalaciones. 
Gracias por proporcionarme un espacio digno de trabajo y las herramientas necesarias para culminar 
con mi Maestría en Tecnología Avanzada. 
CONACYT 
Gracias por la beca otorgada, ya que por medio de dicho estimulo tuve la oportunidad de enriquecer mi 
formación profesional y como persona. 
De ante mano muchas gracias a todos aquellos que me acompañaron a lo largo de esta difícil pero 
hermosa aventura llamada posgrado. Sin su apoyo, conocimientos, consejo esto no hubiese sido 
posible. Muchas Gracias. 
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 6 
Contenido 
 
Lista de Figuras ......................................................................................................................................... 9 
Lista de Tablas ........................................................................................................................................ 11 
Resumen .................................................................................................................................................. 12 
Abstract .................................................................................................................................................. 13 
Introducción ............................................................................................................................................ 14 
Justificación ............................................................................................................................................ 16 
Objetivo ................................................................................................................................................... 16 
Objetivos Particulares ............................................................................................................................. 16 
Capítulo 1. ............................................................................................................................................... 17 
1.1 Resistencia de materiales. ............................................................................................................ 17 
1.2 Cargas externas. ............................................................................................................................ 17 
1.3 Fuerzas de superficie. .................................................................................................................... 18 
1.4 Fuerzas de cuerpo.......................................................................................................................... 18 
1.5 Reacciones en los soportes (apoyos). ............................................................................................ 18 
1.6 Ecuaciones de equilibrio. .............................................................................................................. 19 
1.7 Cargas internas resultantes. ........................................................................................................... 21 
1.8 Análisis en tres dimensiones. ........................................................................................................ 22 
1.9 Cargas coplanares. ........................................................................................................................ 23 
1.10 Factor de seguridad. .................................................................................................................... 23 
1.11 Esfuerzo simple ........................................................................................................................... 24 
1.12 Esfuerzo cortante ......................................................................................................................... 25 
1.13 Definición del momento flexionante ........................................................................................... 26 
1.14 Signo del momento flexionante .................................................................................................. 27 
1.15 Concentradores de esfuerzos. ...................................................................................................... 27 
1.16 Ensayo de tracción. ..................................................................................................................... 29 
1.17 Propiedades mecánicas obtenidas del ensayo de tensión. ........................................................... 29 
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 7 
1.18 Ley de Hooke. ............................................................................................................................. 32 
1.19 Relación de Poisson. ................................................................................................................... 32 
1.20 Uniones soldadas......................................................................................................................... 33 
1.21 Criterio de falla de Von Mises. ................................................................................................... 34 
1.22 Representación gráfica del criterio de falla de Von Mises. ....................................................... 35 
1.23 Elemento finito. ........................................................................................................................... 37 
1.24 Fase de pre-procesamiento. ......................................................................................................... 39 
1.25 Discretizar y seleccionar el tipo de elemento finito. .................................................................. 39 
1.26 Selección del modelo de aproximación o funciones. .................................................................. 40 
1.27 Derivar las ecuaciones para un elemento. ..................................................................................40 
1.28 Ensamblar ecuaciones de todos los elementos. ........................................................................... 40 
1.29 Aplicación de condiciones límite y cargas. ................................................................................. 41 
1.30 Fase de solución. ......................................................................................................................... 41 
1.31 Fase de post-procesamiento. ....................................................................................................... 41 
1.32 Vibraciones mecánicas ................................................................................................................ 41 
1.33 Importancia del estudio de la vibración ..................................................................................... 41 
1.34 Clasificación de la vibración ....................................................................................................... 43 
1.35 Vibración libre y forzada ............................................................................................................ 43 
1.36 Vibración no amortiguada y amortiguada ................................................................................... 44 
1.37 Estado del arte. ............................................................................................................................ 44 
Capítulo 2. Metodología de modelado y simulación de la estructura y el semi chasis. .......................... 48 
2.1. Caracterización mecánica del material base. ............................................................................... 49 
2.1.1. Ensayo de dureza. ................................................................................................................. 49 
2.1.2. Ensayo de tensión.................................................................................................................. 51 
2.2 Determinación de las principales dimensiones de la estructura del autobús. ............................... 53 
2.3 Modelado en ANSYS apdl para la simulación numérica mediante elemento finito. ................... 56 
2.4. Determinación de la carga viva. ................................................................................................... 62 
2.5 Determinación de la carga muerta. ............................................................................................... 63 
2.6 Determinación de los puntos de apoyo. ........................................................................................ 64 
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 8 
2.7 Simulación de la estructura en ANSYS. ...................................................................................... 65 
2.8 Simulación del semi – chasis. ....................................................................................................... 67 
2.9 Simulación de la tolva delantera. .............................................................................................. 76 
2.10 Cálculo de la suspensión en condiciones estáticas. ..................................................................... 79 
Capítulo 3. Análisis y Discusión de Resultados. .................................................................................... 80 
3.1. Caracterización mecánica. ........................................................................................................... 80 
3.1.1 Ensayo de tensión................................................................................................................... 80 
3.2. Resultados de la simulación numérica por elemento finito. ........................................................ 82 
3.3 Desplazamientos vector suma. ...................................................................................................... 82 
3.4 Fuerzas axiales. ............................................................................................................................. 83 
3.5 Esfuerzos flexionantes. ................................................................................................................. 85 
3.6 Análisis modal (vibraciones libres)............................................................................................... 86 
3.7 Análisis de la estructura del autobús de piso bajo continuo bajo condición de carga de 2.5 veces 
la carga viva. ....................................................................................................................................... 88 
3.8 Desplazamientos bajo una condición de 2.5 veces la carga viva. ................................................. 88 
3.9 Esfuerzos flexionantes con un aumento de 2.5 veces la carga viva. ............................................. 89 
3.10 Resultados de las simulaciones del semi – chasis. ...................................................................... 91 
3.10 Resultados de las simulaciones de la tolva delantera incluyendo elementos de sujeción con el 
eje delantero. ..................................................................................................................................... 100 
3.11 Cálculo de la suspensión en condiciones estáticas. ................................................................... 103 
3.12 Validación de resultados de ANSYS. ....................................................................................... 104 
Conclusiones. ........................................................................................................................................ 106 
Recomendaciones.............................................................................................................................. 107 
Bibliografía ........................................................................................................................................... 108 
 
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 9 
Lista de Figuras 
Figura 1. Esquema de un autobús de piso bajo. ...................................................................................... 14 
Figura 2. Representación de las cargas externas que actúan sobre un cuerpo [4]. ................................. 17 
Figura 3. Soportes y apoyos. [4]. ............................................................................................................ 19 
Figura 4. Cargas resultantes internas. [4] ................................................................................................ 21 
Figura 5. Análisis en tres dimensiones. [4]. ............................................................................................ 22 
Figura 6. Cargas coplanares [4]. ............................................................................................................ 23 
Figura 7. a) Componentes normal y cortantes sobre una sección arbitraria a – a, b) cuando la sección de 
exploración b – b es perpendicular a la resultante R de las fuerzas aplicadas, sólo se producen fuerzas 
normales. [5]. .......................................................................................................................................... 25 
Figura 8. Curvaturas correspondientes al signo del momento flexionante. [5]. ..................................... 27 
Figura 9. Concentrador de esfuerzos en una placa sometida a tensión. [5]. ........................................... 28 
Figura 10. Uniones soldadas [5]. ............................................................................................................ 34 
Figura 11. Representación gráfica del criterio de von Mises para condiciones de esfuerzo plano [5]. .. 36 
Figura 12. Representación en tres dimensiones del criterio de von Mises [5]........................................ 36 
Figura 13. Representación esquemática de un cuerpo a analizar por el MEF. .......................................38 
Figura 14. Diagrama de bloques del desarrollo experimental. ............................................................... 48 
Figura 15. Obtención de las probetas para la realización del ensayo de dureza, una en sentido 
longitudinal a la laminación y otra en sentido perpendicular. ................................................................ 50 
Figura 16. Durómetro para realizar el ensayo de dureza Vickers. .......................................................... 51 
Figura 17. Geometría y dimensiones de las probetas para el ensayo de tensión [17]. ............................ 52 
Figura 18. Máquina de Ensayos Universales Zwick/Roell. .................................................................... 53 
Figura 19. Dimensiones exteriores generales de un autobús de piso bajo [1,2]. .................................... 54 
Figura 20. Nodos de la estructura del autobús. ....................................................................................... 57 
Figura 21. Visualización de la estructura mediante líneas que unen los nodos. ..................................... 58 
Figura 22. Distribución de las secciones transversales que tienen cada uno de los elementos de la 
estructura. ................................................................................................................................................ 59 
Figura 23. Secciones transversales utilizadas para el modelado de la estructura en ANSYS. ............... 60 
Figura 24. Estructura del autobús terminada en elementos tipo beam188 y en b) se representan las 
secciones transversales. ........................................................................................................................... 61 
Figura 25. Distribución de la carga viva en el piso de la estructura. ...................................................... 62 
Figura 26. Determinación y distribución de la carga muerta sobre la estructura. ................................... 63 
Figura 27. Determinación de puntos de apoyo de la estructura. ............................................................. 64 
Figura 28. Modelo del autobús en ANSYS (Mechanical APDL). .......................................................... 66 
Figura 29. Dibujo de la estructura señalando la ubicación del semi - chasis. ......................................... 67 
Figura 30.Pasos a seguir para realizar las simulaciones en ansys workbench. ....................................... 68 
Figura 31. Partes del semi – chasis. ........................................................................................................ 69 
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 10 
Figura 32. Semi - chasis a) modelo importado de solidworks y b) mallado del modelo. ...................... 71 
Figura 33. Diagrama del cuerpo libre del semi - chasis. ......................................................................... 72 
Figura 34. Condiciones de borde y simulaciones, a) aplicación de la fuerza en –x para analizar guías y 
barra estabilizadora, b) aplicación de la fuerza en y para observar comportamiento de semi – eje y 
componentes cercanos, c) dirección de la fuerza en z para representar un frenado y d) la dirección de la 
fuerza representa cuando acelera. ........................................................................................................... 74 
Figura 35. Ubicación del motor reductor y pasillo de la estructura del autbús. ...................................... 75 
Figura 36. Semi - Chasis diseñado en solidworks. ................................................................................. 76 
Figura 37. Puntos de sujeción entre el eje delantero y la estructura del autobús (tolvas delanteras). .... 77 
Figura 38. Elementos donde se aplicaron las fuerzas para hacer la simulación numérica de la tolva 
delantera. ................................................................................................................................................. 78 
Figura 39. Cálculo de la constante mínima de amortiguamiento para la unidad. ................................... 79 
Figura 40. Curva esfuerzo - deformación para material base. ................................................................ 81 
Figura 41. Resultados de desplazamientos del vector suma. .................................................................. 83 
Figura 42. Resultados fuerzas axiales. .................................................................................................... 84 
Figura 43. Resultados esfuerzos flexionantes. ........................................................................................ 85 
Figura 44. Análisis de modal (en la imagen se muestran seis resultados de vibraciones libres de la 
estructura)................................................................................................................................................ 87 
Figura 45. Desplazamientos vector suma con una carga de 2.5 veces. ................................................... 89 
Figura 46. Resultados de esfuerzos flexionantes con una carga viva de 2.5 veces. ............................... 90 
Figura 47. Resultados de esfuerzos de von Mises cuando la fuerza se aplicó de forma perpendicular al 
semi eje. .................................................................................................................................................. 92 
Figura 48. Resultados de desplazamientos cuando la fuerza de 52.9 KN se aplicó de forma 
perpendicular al semi eje. ........................................................................................................................ 93 
Figura 49. Resultados de esfuerzos de von Mises cuando la fuerza se aplicó en el eje y simulando que 
los ejes soportaron el 60% del peso bruto vehicular. .............................................................................. 95 
Figura 50. Resultados de desplazamientos cuando la fuerza cuando la fuerza se aplicó en el eje y 
simulando que los ejes soportaron el 60% del peso bruto vehicular. ..................................................... 96 
Figura 51. Resultados de esfuerzos de von Mises representando una aceleración. ................................ 98 
Figura 52. Resultados de esfuerzos de von Mises representando un frenado. ........................................ 99 
Figura 53. Resultados de esfuerzos de von Mises de la tolva delantera. .............................................. 101 
Figura 54. Resultados de desplazamientos de la tolva delantera. ......................................................... 102 
Figura 55. Validación de resultados mediante teoría de elemento finito. ............................................. 104 
 
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 11 
Lista de Tablas 
Tabla I. Materiales con los que se diseñó el semi - chasis. ..................................................................... 70 
 
 
 
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 12 
Resumen 
 Un autobús de piso bajo es aquel que no rebasa una altura de 350 mm del suelo al piso del 
autobús, lo cual permite a la unidad tener su piso a la altura de una banqueta. La producción de este 
tipo de vehículo está dirigido a personas minusválidas y de la tercera edad, ya que debido a su 
construcción es más fácil para los usuarios poder abordar, desplazarse en su interior y descender. 
 En el presente proyecto de investigación aplicada se propone el diseño de una estructura que 
permita un área de piso bajo constante que sea ligera, sin exponer la integridad mecánica de cada uno 
de sus componentes. Para llevarlo a cabo se realizaron estudios basados en simulación empleando 
elemento finito, los cuales fueron analizados por medio del programa comercial conocido como 
ANSYS.Los resultados obtenidos de las simulaciones en la estructura y en el semi – chasis bajo 
condiciones de carga útil y un incremento de la misma en 2.5 veces, se hicieron tomando como base lo 
establecido en el Manual de Lineamientos Técnicos para Vehículos del Servicio Público y de 
Transporte de Pasajeros en el Distrito Federal No.32, del 25 de febrero de 2000 establecido por la 
SETRAVI (Secretaria de Transportes y Vialidad del Distrito Federal) fueron óptimas, con relación a las 
simulaciones de esfuerzos flexionantes y desplazamientos como las más importantes en el presente 
trabajo. Se obtuvó un esfuerzo de 163 MPa bajo una carga útil y 298 MPa con un incremento de 2.5 
veces, ambos esfuerzos máximos se localizaron en las tolvas delanteras de la estructura. Al comparar 
estos resultados con el de ensayo de tracción del material base y considerando específicamente el 
esfuerzo de fluencia, el cual es de 320 MPa implica que la estructura analizada tiene esfuerzos que se 
ubican dentro de la zona elástica, lo cual fué el principal objetivo a alcanzar. De la simulación de 
desplazamientos se obtuvo que bajo condiciones de carga útil el resultado fue de 6 mm y con un 
aumento de 2.5 veces la carga viva, se obtuvo 13.22 mm. Acorde a lo establecido en el manual anterior 
el desplazamiento no debe ser mayor a 15 mm, con lo que se concluye que el análisis cumple con los 
lineamientos vigentes para éste tipo de transportes. 
 
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 13 
Abstract 
 A low-floor bus is a bus that does not exceed a height of 350 mm (13.78 in) from the ground to 
the floor of the bus. Production of this type of vehicle is intended for persons with disabilities and the 
elderly, as its design makes it easier for users to board, to move inside, and to get off the bus. 
 This applied research project proposes the design of a structure that allows for a continuous, 
light, low-floor area that maintains the mechanical integrity of each of its parts. To accomplish this, 
finite element simulations were conducted and analyzed using the commercial software program 
ANSYS. 
 The results of the simulations on the structure and on the semi chassis under payload conditions 
and at an increase thereof of 150% were made using the basis set out in the Technical Guidelines for 
Public Service Vehicles and Passenger Transport in the Federal District Manual No. 32, February 25, 
2000, established by the Federal District Ministry of Transportation and Highways (SETRAVI). These 
results were ideal relative to the flexural stress and displacement simulations, which are the most 
relevant to this report. A stress-load of 163 MPa was obtained under payload and of 298 MPa with an 
increase of 150%. Both maximum stress-loads were located at the structure's front engine under covers. 
When comparing these results to the tensile test of the base material and specifically accounting for a 
yield stress of 320 MPa, it turns out that the stress of the structure analyzed is located within the elastic 
area, which was the main objective of the analysis. The displacement simulation obtained a result of 6 
mm (0.24 in) under payload conditions and 13.22 mm (0.52 in) with a live load increased at 150%. 
According to the provisions of the aforementioned manual, the displacement must be no greater than 15 
mm (0.59 in). It is therefore concluded that the analysis complies with current guidelines for this type 
of transport. 
 
 
 
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 14 
Introducción 
El diseño de una estructura de un autobús y un semi – chasis, tiene gran relevancia a nivel 
tecnológico y social. Con el estudio optimizado del diseño la industria del transporte se logra 
innovación tecnológica en los vehículos para transporte de pasajeros. El diseño incluye el análisis de 
una estructura analizada mediante elemento finito, lo cual impacta en la funcionalidad y optimización 
de material con el que se diseña, todo esto sin dejar de lado la integridad mecánica de cada uno de los 
componentes que la conforman. 
Este trabajo se divide en 2 partes; una que implica el diseño de una estructura y otra el diseño 
de un semi - chasis, el cual por su diseño permite tener el piso bajo continuo a lo largo de la unidad. 
Es oportuno señalar que este tipo de unidades ya están en operación desde hace años en Europa, como 
en la ciudad de México, específicamente en el Aeropuerto Internacional Benito Juárez de la Ciudad de 
México y algunas rutas con las condiciones ideales para este tipo de vehículos. La aportación de este 
trabajo es la de analizar la estructura de un autobús de piso bajo continuo, mediante simulaciones 
basadas en elemento finito para la obtención de resultados. 
 Un autobús de piso bajo continuo, es aquel que tiene una distancia no mayor a 350 mm del 
suelo con respecto al piso de la estructura de la unidad. Para ejemplificar esto, en la Figura 1 se muestra 
el aspecto de este tipo de unidades de transporte y a su vez mediante un acercamiento la distancia que 
tiene del piso con respecto al suelo. 
 
 
 
 
 
 
Figura 1. Esquema de un autobús de piso bajo. 
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 15 
 
 Otra característica particular de este tipo de estructuras es que no tienen chasis (bastidor), se 
trata de una estructura integral a la cual se ensambla el motor, ejes, sistema de frenos, suspensión etc. 
Lo anterior está estipulado por la SETRAVI (Secretaria de Transportes y Vialidades del Distrito 
Federal) en base a una clasificación, la cual habla sobre lo más representativo en cuanto a elementos o 
partes que conforman los diferentes tipos de estructuras y de forma más específica sobre las estructuras 
integrales [1-3]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 16 
Justificación 
 Con la realización del presente trabajo se ofrece un diseño de una estructura de un autobús de 
piso bajo continuo analizada y optimizada en cuanto a las características mecánicas y estructurales, 
utilizando la simulación numérica por elemento finito como principal herramienta para ello. Lo cual se 
ve reflejado al ubicar zonas de la estructura que tienen mayor concentración de esfuerzos y 
desplazamientos por mencionar algunas simulaciones, debidas a la carga viva y muerta condiciones 
consideradas en el diseño. Esto permite analizar dichas zonas y así poder evitar el mayor número de 
complicaciones una vez que se construya un prototipo de esta unidad. 
 Realizar el diseño de un semi – chasis que permita tener un piso bajo constante a lo largo de la 
unidad, sin poner en riesgo la integridad mecánica de cada uno de los componentes que conforman al 
mismo y a la estructura integral. 
 
Objetivo 
Diseñar y optimizar las características mecánicas y estructurales para la fabricación de un 
autobús de piso bajo continuo, tomando en consideración a la teoría del elemento finito y el 
comportamiento mecánico de los materiales dentro del área elástica como herramientas de diseño. 
 
Objetivos Particulares 
• Diseñar un Semi – Chasis capaz de soportar la carga muerta y la carga viva promedio para un 
autobús de piso bajo continuo. 
• Diseñar una estructura ligera por medio de la optimización de materiales y componentes, sin 
poner en riesgo la integridad mecánica de los mismos. 
• Considerar los aspectos dimensionales en el diseño de la estructura del autobús de piso bajo 
continuo, respetando los parámetros normalizados para este tipo de vehículos. 
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 17 
Capítulo 1. 
1.1 Resistencia de materiales. 
La resistenciade materiales es una rama de la mecánica que estudia los efectos internos del 
esfuerzo y la deformación en un cuerpo sólido que está sometido a una carga externa. El esfuerzo se 
encuentra asociado con la resistencia del material del que está hecho el cuerpo, mientras que la 
deformación es una medida de la elongación (cambio de tamaño y forma) que experimenta éste. 
 
1.2 Cargas externas. 
 Un cuerpo puede estar sometido a dos tipos de cargas, es decir, las fuerzas de superficie o las 
fuerzas de cuerpo. 
 En la Figura 2 se muestra una imagen representando las fuerzas de superficie y las de cuerpo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2. Representación de las cargas externas que actúan sobre un cuerpo [4]. 
 
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 18 
1.3 Fuerzas de superficie. 
 Las fuerzas de superficie son provocadas por el contacto directo de un cuerpo con la superficie 
de otro. En todos los casos esas fuerzas están distribuidas sobre el área de contacto entre los cuerpos. Si 
está área es pequeña en comparación con el área de la superficie total del cuerpo, entonces la fuerza de 
superficie puede pasar a ser una fuerza concentrada, que se aplica a un punto sobre el cuerpo. Si la 
carga de la superficie se aplica a lo largo de un área estrecha o línea, la carga puede considerarse como 
una carga linealmente distribuida, w (s). Aquí la carga se mide como si tuviese una intensidad de fuerza 
/ longitud a lo largo de la línea y se representa como una serie de flechas a lo largo de la línea. la fuerza 
resultante de w(s) es equivalente al área y esta resultante actúa a través del centroide C (o centro 
geométrico) de dicha área. Las cargas ubicadas en toda la longitud de una viga es un ejemplo típico en 
el que a menudo se aplica este principio. Todo lo anterior se observa de forma clara en la figura 
anterior. 
 
1.4 Fuerzas de cuerpo. 
 Esta se desarrolla cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro sin tener contacto físico directo 
entre éstos. Entre algunos ejemplos se encuentran los efectos causados por la gravitación de la tierra o 
por su campo electromagnético. Aunque las fuerzas de cuerpo afectan, cada una de las partículas que lo 
forman, estas fuerzas se representan por una sola fuerza concentrada que actúa sobre el cuerpo. En el 
caso de la gravitación, esta fuerza se llama el peso del cuerpo y actúa a través del centro de gravedad 
del mismo. 
 
1.5 Reacciones en los soportes (apoyos). 
 Las fuerzas de superficie que se desarrollan en los soportes o puntos de contacto entre los 
cuerpos se llaman reacciones. En la Figura 3 se muestran los soportes más comunes para cuerpos 
bidimensionales, es decir, para cuerpos sometidos a fuerzas coplanares. Observe con cuidado el 
símbolo utilizado para representar cada soporte y el tipo de reacciones que ejerce sobre el elemento con 
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 19 
el que está en contacto. Como regla general si el soporte impide la traslación en una dirección dada, 
entonces debe desarrollarse una fuerza sobre el elemento en esa dirección. Del mismo modo, si se 
impide la rotación, debe ejercerse un momento sobre el elemento. 
 
Figura 3. Soportes y apoyos. [4]. 
1.6 Ecuaciones de equilibrio. 
 El equilibrio de un cuerpo requiere un balance de fuerzas para impedir que el cuerpo se traslade 
o tenga un movimiento acelerado a lo largo de una trayectoria recta o curva, y un balance de momentos 
para impedir que el cuerpo gire. Estas condiciones pueden expresarse de manera matemática mediante 
dos ecuaciones vectoriales. 
 
 
0
0 
 

oM
F
 (1) 
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 20 
 
 Aquí ƩF representa la suma de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo y Ʃ es la suma de 
todos los momentos respecto a cualquier punto 0 ya sea sobre o fuera del cuerpo. Si se fija un sistema 
de coordenadas x, y, z con el origen en el punto 0, los vectores de fuerza y de momento pueden 
separarse en componentes a lo largo de los ejes coordenados y las dos ecuaciones anteriores pueden 
escribirse en forma escalar como seis ecuaciones, consideradas como: 
 
 
0 0 0
0 0 0


zyx
zyx
MMM
FFF
 (2) 
 
 Con frecuencia, en la práctica de la Ingeniería, la carga sobre un cuerpo puede representarse 
como un sistema de fuerzas coplanares. Si este es el caso y las fuerzas se encuentran en el plano x – y, 
entonces las condiciones para el equilibrio del cuerpo pueden especificarse mediante sólo tres 
ecuaciones escalares de equilibrio que son: 
 
 
0
0
0
0 


M
F
F
y
x
 (3) 
 
 Aquí todos los momentos se suman con respecto al punto 0, y éstos estarán dirigidos al eje z. 
 La aplicación exitosa de las ecuaciones de equilibrio requiere la especificación completa de 
todas las fuerzas conocidas y desconocidas que actúan sobre el cuerpo, por lo que la mejor manera de 
tomar en cuenta todas esas fuerzas es dibujar el diagrama de cuerpo libre. 
 
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 21 
1.7 Cargas internas resultantes. 
 En la mecánica de materiales, la estática se usa principalmente para determinar las cargas 
resultantes que actúan en un cuerpo. En la Figura 4 en el inciso (a), se considera al cuerpo en equilibrio 
por medio de las cuatro fuerzas externas. A fin de obtener las cargas internas que actúan sobre una 
región especifica dentro del cuerpo, es necesario hacer una sección imaginaria o corte a través de la 
región donde van a determinar las cargas internas. Después, las dos partes del cuerpo se separan y se 
dibuja el diagrama del cuerpo libre de una de las partes, en el inciso (b). Observe que en realidad existe 
una distribución de la fuerza interna que actúa sobre el área expuesta de la sección. Estas fuerzas 
representan los efectos del material de la parte superior del cuerpo que actúa sobre el material 
adyacente de la parte inferior. 
 Aunque la distribución exacta de la carga interna puede ser desconocida, pueden usarse las 
ecuaciones de equilibrio para relacionar las fuerzas externas sobre la parte inferior del cuerpo con la 
fuerza y el momento resultantes de la distribución, y , en cualquier punto específico 0 sobre el 
área seleccionada, inciso (c). En ocasiones el 0 se le suele ubicar en el centroide del área seleccionada. 
Si el elemento es largo y delgado, como en el caso de una barra o una viga, la sección que debe 
considerarse se toma perpendicular al eje longitudinal del elemento. A esta sección se le llama sección 
transversal. 
 
Figura 4. Cargas resultantes internas. [4] 
 
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 22 
1.8 Análisis en tres dimensiones. 
 Con la distribución de fuerza en el área seleccionada se desarrollan ecuaciones que pueden 
usarse para el análisis y diseño de un cuerpo. Sin embargo, para hacer esto deben considerarse las 
componentes de y actuando de forma normal o perpendicular al área seleccionada, en la Figura 
5. Entonces, pueden definirse cuatro diferentes tipos de cargas resultantes de la manera siguiente: 
 Fuerza normal, N. Esta fuerza actúa perpendicularmente al área. Se desarrolla siempre que las 
cargas externastienden a empujar o jalar sobre los dos segmentos del cuerpo. 
 Esfuerzo cortante, V. El esfuerzo cortante se encuentra en el plano del área y se desarrolla 
cuando las cargas externas tienden a ocasionar que los dos segmentos del cuerpo se deslicen uno sobre 
otro. 
 Momento de torsión o torque, T. este efecto se desarrolla cuando las cargas externas tienden a 
torcer un segmento de cuerpo con respecto al otro, alrededor de un eje perpendicular al área. 
 Momento flexionante, M. El momento flexionate es causado por las cargas externas que tienden 
a flexionar el cuerpo respecto a un eje que se encuentra dentro del plano del área. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5. Análisis en tres dimensiones. [4]. 
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 23 
1.9 Cargas coplanares. 
 Si el cuerpo está sometido a un sistema de fuerzas coplanares, como se muestra en la Figura 6, 
entonces en la sección sólo existen componentes de fuerza normal, de fuerza cortante y de momento 
flexionate, como en el inciso (b). Si se usan los ejes coordenados x, y, z, como se muestra en el 
segmento de la izquierda, entonces N puede obtenerse al aplicar y V se puede obtener de 
 =0. Por último, el momento flexionante se puede determinar mediante la suma de momentos 
respecto al punto 0 (el eje z), , a fin de eliminar los momentos causados por la incógnitas N y 
V 
 
 
Figura 6. Cargas coplanares [4]. 
 
1.10 Factor de seguridad. 
El esfuerzo de trabajo es el esfuerzo real que soporta el material bajo la acción de cargas, y no 
debe sobrepasar al esfuerzo admisible, que es el máximo al que puede ser sometido el material, con un 
cierto grado de seguridad en la estructura o elemento que se considere. En un diseño real, el esfuerzo 
admisible ha de ser inferior al límite de proporcionalidad, con objeto de que pueda aplicarse en todo 
momento la relación lineal entre esfuerzos y deformaciones que establece la ley de Hooke. Como es 
difícil determinar exactamente el límite de proporcionalidad, se acostumbra tomar como base para fijar 
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 24 
el esfuerzo admisible el límite de fluencia ( ), o en su defecto, el esfuerzo ultimo dividiéndolos entre 
un numero N, convenientemente elegido, que se llama factor de seguridad. 
 
 
 
 
 (4) 
 
 
 
1.11 Esfuerzo simple 
Uno de los problemas básicos de la Ingeniería es seleccionar el material más apropiado y 
dimensionarlo correctamente, de manera que permita que la estructura o máquina proyectada trabaje 
con la mayor eficacia. Para ello, es esencial determinar la resistencia, la ductilidad y otras propiedades 
de los materiales. 
La fuerza por unidad de área que soporta un material se denomina esfuerzo y se expresa 
matemáticamente en la forma: 
 
 
 
 
 
 (5) 
 
En donde es el esfuerzo o fuerza por unidad de área, P es la carga aplicada y A es el área de la 
sección transversal. El esfuerzo máximo de tensión o compresión tiene lugar en una sección 
perpendicular a la carga, como se muestra en la Figura 7 b). 
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 25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7. a) Componentes normal y cortantes sobre una sección arbitraria a – a, b) cuando la 
sección de exploración b – b es perpendicular a la resultante R de las fuerzas aplicadas, sólo se 
producen fuerzas normales. [5]. 
 
La expresión =P/A define el esfuerzo en todos los puntos de la sección transversal. La 
situación en la que el esfuerzo es constante o uniforme es un estado de esfuerzo simple. Una 
distribución uniforme de esfuerzos sólo puede existir si la resultante de fuerzas aplicadas pasa por el 
centroide de la sección considerada. 
 
1.12 Esfuerzo cortante 
El esfuerzo cortante, a diferencia del axial, es producido por fuerzas que actúan paralelamente al 
plano que las resiste, mientras que los de tensión o de compresión lo son por fuerzas normales al plano 
sobre el que actúan. Por esta razón, los esfuerzos de tensión y de compresión se llaman también 
esfuerzos normales, mientras que el esfuerzo cortante puede denominarse esfuerzo tangencial. 
Aparecen esfuerzos cortantes siempre que las fuerzas aplicadas obliguen a que una sección del 
sólido tienda a deslizarse sobre la sección adyacente. 
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 26 
El esfuerzo normal uniforme permite deducir que también puede existir esfuerzo cortante 
uniforme si la fuerza de corte resultante pasa por el centroide de la sección sometida a cortante. Si 
ocurre así, el esfuerzo de corte está dado por: 
 
 
 
 
 (6) 
 
En realidad, la distribución del esfuerzo cortante en una sección no es uniforme prácticamente 
en ningún caso y por ello la expresión anterior de la cual sabemos que 𝝉 expresa al esfuerzo cortante, V 
la fuerza cortante vertical y A el área donde se está aplicando la carga se debe de interpretar como el 
esfuerzo cortante promedio. Esto no restringe su empleo en modo alguno, siempre que el valor del 
esfuerzo cortante admisible para un material dado tenga en cuenta el hecho de que la distribución real 
no es uniforme. Además, cuando la distancia entre las fuerzas que la producen sea muy pequeña, o el 
ancho de la sección que la soporta sea igualmente pequeña, la distribución de esfuerzo cortante tiende a 
ser uniforme. 
 
1.13 Definición del momento flexionante 
El momento flexionante es la suma de los momentos de todas las fuerzas que actúan sobre una 
viga a la izquierda o la derecha de una sección, respecto al eje perpendicular al plano de las fuerzas y 
que pasa por el centro de gravedad (centroide) de la sección considerada. Analíticamente viene dado 
por: 
 
 M = ( = ( (7) 
 
 En donde el subíndice izq pone de manifiesto que el momento se evalúa con las fuerzas de la 
izquierda y el subíndice der que se refiere a las fuerzas de la derecha. 
 
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 27 
1.14 Signo del momento flexionante 
El criterio más aceptado es que el momento flexionante es positivo si la flexión que produce en 
la viga presenta la concavidad hacia arriba, como se observa en la Figura 8. Un criterio equivalente es 
que las fuerzas que actúan hacia arriba respecto de cualquier sección producen momentos flexionantes 
positivos y las fuerzas que actúan hacia abajo dan lugar a momentos flexionantes negativos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8. Curvaturas correspondientes al signo del momento flexionante. [5]. 
 
 
1.15 Concentradores de esfuerzos. 
Los concentradores de esfuerzos se pueden definir como los cambios de geometría en un cuerpo 
sometido a una carga, como pueden ser grietas, agujeros o muescas teniendo cada uno su propio factor 
de concentración de esfuerzos. 
Las ecuaciones elementales empleadas en el diseño mecánico se basan en elementos que tienen 
una sección transversal constante o que el cambio de esta es gradual, pero la presencia de 
concentradores de esfuerzos modifican la distribución de esfuerzos en elementos sometidos a carga, por 
lo que existen esfuerzos mayores en las zonas donde se tiene lapresencia de estas discontinuidades 
geométricas. El concepto de concentradores de esfuerzos, se refiere al estado macroscópico de 
esfuerzos y tiene un sentido único para problemas en el plano que involucran la definición de esfuerzo 
promedio. Entonces, si se barrena un agujero en una placa sometida a tensión, el esfuerzo presente en el 
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 28 
elemento es constante siempre y cuando se mida a una distancia apreciable del agujero (en dirección 
perpendicular a la aplicación de la carga), pero el esfuerzo tangencial paralelo a la aplicación de la 
carga en el borde del agujero, se incrementará considerablemente, tal como se aprecia en la Figura 9. 
 
Figura 9. Concentrador de esfuerzos en una placa sometida a tensión. [5]. 
 
El cambio o incremento en el esfuerzo en el borde es denominado concentración de esfuerzos. 
Se observa que la mayor concentración de esfuerzos se encuentra en los bordes de la sección barrenada 
(max), perpendicular a la aplicación de la carga y posteriormente disminuye gradualmente hasta un 
esfuerzo  (siempre y cuando la geometría se lo permita). 
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 29 
1.16 Ensayo de tracción. 
El ensayo de tracción se utiliza para evaluar la resistencia de metales y aleaciones. En este 
ensayo, una muestra del material se alarga a velocidad constante hasta la fractura. 
 
1.17 Propiedades mecánicas obtenidas del ensayo de tensión. 
Las propiedades mecánicas de metales y aleaciones que tienen interés para el diseño estructural en 
ingeniería, y que pueden obtenerse a partir del ensayo de tensión son: 
1. Módulo de elasticidad. 
2. Límite elástico. 
3. Resistencia a la tracción. 
4. Porcentaje de alargamiento a la fractura. 
5. Porcentaje de estricción a fractura. 
Módulo de elasticidad. En la primera parte del ensayo de tensión, el material se deforma 
elásticamente. Es decir, si la fuerza que actúa sobre la muestra desaparece, la probeta volverá a su 
longitud inicial. Para metales, la máxima deformación elástica suele ser inferior a 0.5 por ciento. En 
general, los metales y aleaciones muestran una relación lineal entre la tensión aplicada y la 
deformación producida en la región elástica del diagrama convencional que se describe por la ley de 
Hooke: 
 
 
.,
)(
)(
)()(
MPaPa
ndeformació
tensión
E
o
ndeformaciótensión





 (8) 
 
Donde E es el módulo de elasticidad, o módulo de Young. 
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 30 
El módulo de elasticidad está relacionado con la fuerza del enlace entre los átomos del material que 
se está analizando. 
Límite elástico. Es un valor muy importante para el diseño estructural en ingeniería, pues es el nivel 
de esfuerzo al que un material muestra una deformación plástica. Debido a que no hay un punto 
definido de la curva esfuerzo – deformación donde acaba la deformación elástica y empieza la 
deformación plástica, se determina el límite elástico como al esfuerzo al que se produce una 
deformación elástica definida. En muchas ocasiones se determina el límite cuando se produce una 
deformación de 0.2 por ciento. 
Resistencia a la tracción. Es la máxima tensión que se alcanza en la curva esfuerzo – deformación. 
Si la probeta desarrolla un decrecimiento localizado de la sección transversal (comúnmente 
denominada estricción), el esfuerzo convencional decrece con el incremento de la deformación hasta 
producirse la fractura, porque la deformación convencional se determina utilizado el área original de la 
sección transversal de la probeta. Cuanto más dúctil es el material, mayor es la estricción antes de la 
fractura. 
Un punto importante del diagrama esfuerzo – deformación convencional que se debe entender es 
que el material puede soportar esfuerzos superiores al propio esfuerzo de fractura. Esto sólo se debe a 
que se utiliza el área original de la sección transversal para determinar el esfuerzo convencional y el 
esfuerzo descendiente en la última parte del ensayo. 
La resistencia a la tracción de un metal se determina trazando una línea horizontal desde el punto 
máximo de la curva esfuerzo – deformación hasta el eje de los esfuerzos. El valor del esfuerzo dónde 
esa línea intersecta al eje de los esfuerzos se denomina resistencia máxima o resistencia a la tracción. 
Este parámetro no es de mucha utilidad en el diseño Ingenieril con materiales dúctiles porque se 
produce mucha deformación plástica antes de alcanzarlo. No obstante, la resistencia a la tracción puede 
aportar alguna información sobre la presencia de defectos. Si el metal contiene porosidad o inclusiones, 
estos defectos pueden producir que el valor de la resistencia máxima sea menor que la normal. 
Porcentaje de alargamiento. El porcentaje de alargamiento que una probeta a tracción soporta 
durante el ensayo proporciona un valor de la ductilidad del material. Esto suele expresarse como 
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 31 
porcentaje de alargamiento. En general, a mayor ductilidad del metal (a mayor capacidad de 
deformación), mayor porcentaje de deformación. Para determinar dicha deformación durante el ensayo 
se puede utilizar un extensómetro para determinar continuamente el desplazamiento durante el ensayo. 
No obstante, el porcentaje de deformación de una probeta después de la fractura se puede medir 
uniendo ambos fragmentos. 
El porcentaje de alargamiento se calcula mediante la ecuación: 
 
%100
 - 
 
100% 
inicial longitud
 inicial longitud - final longitud
 toalargamien %
0 x
l
ll
x
o


 (9) 
El porcentaje de alargamiento a fractura tiene importancia no sólo como medida de la ductilidad, 
sino también como índice de calidad del metal. Si existe porosidad o inclusiones en el metal, o si existe 
un deterioro debido a un sobrecalentamiento del mismo, el porcentaje de alargamiento decrecerá por 
debajo del valor normal. 
Porcentaje de reducción de área. La ductilidad de un material también se puede expresar en 
términos de porcentaje de reducción de área. Después del ensayo, se determina el diámetro de la 
sección transversal de la zona de la fractura. Utilizando las medidas del diámetro inicial y del diámetro 
final, se determina según la ecuación. 
 
 
%100
 -
 
100% 
inicial área
 final área - inicial área
 área dereducción %
f0 x
A
AA
x
o


 (10) 
El porcentaje de reducción de área, como el porcentaje de alargamiento, es una medida de la 
ductilidad del material. El porcentaje de reducción de área se puede disminuir si existen defectos como 
inclusiones y/o porosidad en la muestra [6]. 
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 32 
1.18 Ley de Hooke. 
Los diagramas de esfuerzo - deformación para la mayoría de los materiales de Ingeniería presentan 
una relación lineal entre el esfuerzo y la deformación dentro de la región elástica. En consecuencia, un 
incremento en el esfuerzo ocasiona un aumento proporcional en la deformación. Este hecho fue 
descubierto por Robert Hooke en 1976 mediante el uso de resortes y se conoce como la ley de Hooke. 
Puede expresarse en forma matemática como: 
  E  (11) 
Aquí E representa la constante de proporcionalidad, que se denomina módulo de elasticidad o 
módulo de Young. Llamado así por Thomas Young en 1807. 
La ley de Hooke representala ecuación de la porción recta inicial del diagrama esfuerzo – 
deformación hasta el límite de proporcionalidad. A diferencia del módulo de elasticidad que representa 
la pendiente de esta recta. Como la deformación es adimensional, a partir de la ley de Hooke E tendrá 
las mismas unidades que el esfuerzo: Pa. [6]. 
 
1.19 Relación de Poisson. 
La deformación longitudinal elástica de un material produce un cambio simultáneo de las 
dimensiones laterales. Un esfuerzo a tracción produce una deformación axial y una contracción lateral. 
Si el comportamiento isotrópico, son iguales. La relación es denominada como relación de Poisson. 
 
 
z
y
z
xv






 - - 
nal)(longitudi 
(lateral) 
 -  (12) 
 
Para materiales ideales, v = 0.5. No obstante, en materiales reales la relación de Poisson oscila 
entre 0.25 y 0.4, con un valor medio alrededor 0.3 [6]. 
 
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 33 
1.20 Uniones soldadas. 
La confiabilidad de las uniones soldadas ha llegado a ser tal, que cada vez se emplean más para 
completar o sustituir a las uniones remachadas en el diseño de máquinas y estructuras. Por otra parte, 
suele ser más económico fabricar una pieza complicada soldando entre sí componentes sencillos 
(placas, barras, etc.) que hacerla de una sola pieza. 
La soldadura es un proceso de unión de materiales utilizado para lograr la unión localizada de 
metales y no metales, producido por un calentamiento hasta una temperatura adecuada, con o sin la 
utilización de presión y/o material de aporte. Cuándo se usa material de aporte y se une con el material 
base forman una unión continua y homogénea. Para proteger al metal fundido de la oxidación, se 
utilizan cada vez más electrodos revestidos. El revestimiento fundente, al realizarse la soldadura, 
desprende un gas inerte o activo que rodea la llama del soplete o el arco eléctrico, también protege al 
material fundido de la oxidación. Además, forma una escoria sobre el material fundido mientras se 
enfría, impidiendo que se oxide o que se absorba el nitrógeno y oxigeno del aire. Esta técnica se llama 
proceso de arco protegido. 
Los dos tipos principales de soldaduras o uniones soldadas son: a tope y a traslape. La resistencia 
de una soldadura a tope es igual al esfuerzo admisible por el producto de la longitud del cordón por el 
espesor de la placa más delgada, todo esto en caso de que no sean homogéneas. El esfuerzo admisible 
se toma como aquél del material base. 
La resistencia de las uniones a traslape, tanto con filetes laterales como frontales, se supone 
determinada por la resistencia al cortante de la garganta de la soldadura. Los esfuerzos admisibles para 
soldaduras a traslape y otro tipo de juntas son especificadas por American Welding Society (AWS) 
dependen del electrodo empleado en el proceso de soldadura y de la degradación del acero soldado. 
La expresión que se utiliza para el cálculo de soldadura es: 
 
AP   
 ) (0.707 aLP  (13) 
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 34 
Dónde: 
P= Carga aplicada. 
𝝉= esfuerzo cortante del material de aporte. 
L = longitud de la soldadura. 
a = Tamaño de la soldadura (piernas). 
Por lo general la resistencia de una soldadura se expresa en términos de fuerza admisible q 
por unidad de área. 
En la Figura10 se muestran los tipos de junta más utilizados al momento de realizar uniones 
soldadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10. Uniones soldadas [5]. 
 
1.21 Criterio de falla de Von Mises. 
Este criterio está basado en que bajo la aplicación de un esfuerzo sobre un determinado 
volumen de material, se deformará plásticamente y desarrollará una cierta cantidad de trabajo, la cual 
es almacenada en forma de energía potencial. Von Mises en 1913, fué el primero en proponer que la 
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 35 
fluencia podría ocurrir cuando el segundo invariante del desviador de esfuerzos J2 excedía un valor 
crítico. 
 22 kJ  (14) 
Donde       2132322212
6
1
 J . 
Para evaluar la constante k y relacionarla con la fluencia en un ensayo de tracción, se considera que la 
fluencia en tensión uniaxial es 1 = 0, 2 =3 = 0, entonces: 
 
k
k
3
6
0
22
0
2
0




 (15) 
De esta manera, la sustitución de la expresión anterior en J2, da como resultado la expresión 
matemática convencional del criterio de fluencia de von Mises. 
        2/12132322210
2
1
  (16) 
La expresión anterior también representarse en función de los esfuerzos normales y cortantes de la 
siguiente manera: 
          2/12222220 6
2
1
xzyzxyxzzyyx   (17) 
 
1.22 Representación gráfica del criterio de falla de Von Mises. 
Cuando existen condiciones de esfuerzo plano (3 = 0), el criterio de falla de von Mises se 
puede representar en un gráfico de 1 versus 2, tal como se muestra en la Figura 11. 
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 36 
 
Figura 11. Representación gráfica del criterio de von Mises para condiciones de esfuerzo plano [5]. 
La forma elíptica de la figura 12, se obtiene sustituyendo a 3 = 0 dentro de la ecuación. 
 
2
221
2
1
2
0   (18) 
La expresión anterior representa a la ecuación de una elipse con su eje mayor a lo largo de la 
línea 1=2, el cual cruza los ejes en los puntos ±0. 
Para el caso general en donde las tres componentes de los esfuerzos principales tienen valores 
distintos de cero, el límite de la región de no fluencia está determinado por la ecuación (18) y su 
representación gráfica es una superficie cilíndrica con su eje a lo largo de la línea 1=2=3, tal como 
se indica en la Figura 12. 
 
Figura 12. Representación en tres dimensiones del criterio de von Mises [5]. 
2
1
0
0
0
0

1
2
3
3 =0
Eje
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 37 
1.23 Elemento finito. 
 
El método de los elementos finitos (MEF) ha adquirido una gran importancia en la solución de 
problemas físicos, científicos e ingenieriles, ya que permite resolver casos que hasta hace poco tiempo 
eran prácticamente imposibles de resolver por métodos matemáticos tradicionales. Esta circunstancia 
obligaba a realizar prototipos, ensayarlos y realizar mejoras de forma iterativa, lo que traía consigo una 
inversión importante de tiempo y dinero. 
La idea general del método de los elementos finitos es la división o discretización (mallado) de 
un medio continuo en un conjunto de pequeños elementos interconectados por una serie de puntos 
llamados nodos, la discretización implica la aproximación de un modelo a un medio continúo. Se 
emplea un número de términos para esquematizar la discretización, tales como: subdivisión, 
continuidad, compatibilidad, convergencia, límites superior e inferior, error, potencial estacionario y 
mínimo residual. 
En la Figura 13 se observa la representación esquemática de un cuerpo discretizado (en nodos y 
elementos) y la forma en cómo está constituido. El espacio geométrico donde se analiza el sistema es 
denominado dominio, las variables conocidas y que condicionan el cambio del sistema 
(desplazamientos, temperaturas, voltaje, etc) son conocidas como condiciones de borde y finalmente 
las incógnitas son las variables del sistema que deseamos conocer después de que las cargas y las 
condiciones de borde han sido aplicadas (desplazamientos, esfuerzos, temperaturas,etc.). 
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 38 
 
Figura 13. Representación esquemática de un cuerpo a analizar por el MEF. 
 
El método de los elementos finitos divide al dominio discretizado en subdominios denominados 
elementos. El dominio se divide mediante puntos, líneas o superficies, de forma tal que la solución del 
sistema continuo se obtiene mediante la solución de los subdominios o elementos. Los elementos se 
definen por un número discreto de puntos (nodos), que conectan entre sí a los elementos. Sobre estos 
nodos se representan las incógnitas fundamentales del problema. En el caso de elementos estructurales 
estas incógnitas son los desplazamientos nodales, ya que a partir de éstos podemos calcular el resto de 
las incógnitas: esfuerzos, deformaciones, etc. El sistema pasa de un estado inicial a un estado final 
mediante la solución de los sistemas de ecuaciones, obteniendo así el valor de las incógnitas 
anteriormente planteadas. 
Planteando la ecuación diferencial que rige el comportamiento del medio continuo para cada 
elemento, se obtienen ecuaciones que relacionan el comportamiento del mismo, con el valor que toman 
los grados de libertad nodales. Este paso se realiza por medio de funciones de forma, las cuales 
interpolan el valor de la variable nodal dentro del elemento. 
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 39 
Un problema estructural lineal mediante la teoría de elementos finitos, se plantea en forma 
matricial, mediante el establecimiento de la matriz de rigidez [K], la matriz de desplazamientos [U], la 
matriz de cargas [F] y la matriz de reacciones [R] (expresión 20). Una vez conocidas las matrices que 
definen el comportamiento del elemento, se forma un conjunto de ecuaciones algebraicas, que al 
resolverlas proporcionan los valores de los grados de libertad (incógnitas) en los nodos del sistema. 
 
 (20) 
 
Las principales características del método del elemento finito son: (i) la solución completa 
dentro del dominio está dividida en pequeños segmentos finitos (de aquí el nombre de Elemento 
Finito), (ii) el comportamiento de cada elemento esta descrito por una ecuación, (iii) todos los 
elementos se ensamblan y los requisitos de continuidad y equilibrio deben satisfacerse entre los 
elementos vecinos, (iv) el método del elemento finito es muy aplicable para problemas prácticos de 
Ingeniería con geometrías complejas, (vi) para obtener una aproximación más exacta es necesario el 
empleo de una gran cantidad de elementos. 
A continuación se establecen de forma general los pasos básicos para solucionar problemas de 
elemento finito, empleando formulación directa. 
1.24 Fase de pre-procesamiento. 
 
1.25 Discretizar y seleccionar el tipo de elemento finito. 
Este paso involucra la subdivisión del cuerpo en elementos finitos. Las intersecciones de los elementos 
son llamadas nodos o puntos nodales y a las interfases entre los elementos se les llaman líneas nodales 
o planos nodales. 
[F][K][U][R] 
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1.26 Selección del modelo de aproximación o funciones. 
En este paso, se supone una función de forma que representa el comportamiento físico de un 
elemento. Es decir, suponer una función continúa para representar la solución aproximada del 
elemento. 
1.27 Derivar las ecuaciones para un elemento. 
En este paso, se establecen las ecuaciones que definen el comportamiento del elemento en función de 
una ley o principio. Así por ejemplo, para el análisis de un problema de esfuerzos y deformaciones en 
el rango elástico, deben considerarse a estas cantidades representadas por la ley de Hooke. 
 
1.28 Ensamblar ecuaciones de todos los elementos. 
El objetivo consiste en representar la totalidad del problema por medio de la construcción de una matriz 
global (por ejemplo, una matriz global de rigidez para esfuerzos y deformaciones de una barra en 
tensión axial dividida en cuatro elementos y cinco nodos). 







































































F
0
0
0
0
u
u
u
u
u
kk000
kkkk00
0kkkk0
00kkkk
000kk
0
0
0
0
R
5
4
3
2
1
44
4433
3322
2211
111
 
 ][]][[][ FUKR  (21) 
Donde [R] es la matriz de reacciones, [K] es la matriz de rigidez global, [U] es la matriz de 
desplazamientos y [F] es la matriz de cargas 
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1.29 Aplicación de condiciones límite y cargas. 
Al establecer las condiciones límite o de frontera en conjunto con las cargas, se obtiene una solución, 
por ejemplo, para las deformaciones que se presentan en un plano, será suficiente encontrar la solución 
de los desplazamientos. 
1.30 Fase de solución. 
Se soluciona el sistema de ecuaciones simultáneo obtenido al ensamblar la matriz global, para obtener 
los resultados nodales, tales como valores de desplazamiento de los diferentes nodos o valores de 
temperatura. 
1.31 Fase de post-procesamiento. 
En este punto se debe poner especial interés en la obtención de resultados adicionales, por ejemplo, si 
se soluciona para desplazamientos entonces es posible encontrar las deformaciones y los esfuerzos. 
 
1.32 Vibraciones mecánicas 
Cualquier movimiento que se repite después de un intervalo de tiempo se llama vibración u 
oscilación. El movimiento de un péndulo y de una cuerda pulsada son ejemplos comunes de vibración. 
La teoría de la vibración tiene que ver con el estudio de los movimientos oscilatorios de los cuerpos y 
las fuerzas asociadas con ellos. 
 
1.33 Importancia del estudio de la vibración 
La mayoría de las actividades humanas implican vibración de una u otra forma. Por ejemplo, 
oímos porque nuestros tímpanos vibran y vemos porque las ondas luminosas vibran. La respiración está 
asociada con la vibración de los pulmones y el caminar implica el movimiento oscilatorio (periódico) 
de piernas y manos. El habla humana requiere el movimiento oscilatorio de la laringe (y la lengua). Los 
eruditos antiguos en el campo de la vibración concentraron sus esfuerzos en la comprensión de los 
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 42 
fenómenos naturales y el desarrollo de teorías matemáticas para describir la vibración de sistemas 
físicos. En años recientes, muchas aplicaciones de la vibración en el campo de la Ingeniería han 
motivado a los investigadores, entre ellas el diseño de máquinas, cimientos, estructuras, motores, 
turbinas y sistemas de control. 
La mayoría de los propulsores principales experimentan problemas vibratorios debido al 
desequilibrio inherente en los motores. El desequilibrio puede deberse al diseño defectuoso o a una 
fabricación deficiente. El desequilibrio en motores diesel, por ejemplo, puede provocar ondas terrestres 
suficientemente poderosas como para provocar molestias en áreas urbanas. Las ruedas de algunas 
locomotoras pueden alzarse más de un centímetro de la vía a altas velocidades debido al desequilibrio. 
En turbinas, las vibraciones provocan fallas mecánicas. Los Ingenieros aún no han sido capaces de 
evitar fallas a consecuencia de las vibraciones de aspas y discos en turbinas. Naturalmente, las 
estructuras diseñadas para soportar máquinas centrífugas pesadas como motores y turbinas, o máquinas 
recíprocantes como motores de vapor y gasolina, también se ven sometidas a vibración. En todas estas 
situaciones, el componente de la estructura o máquina sometida a vibración puede fallardebido a fatiga 
del material producida por vibración cíclica del esfuerzo inducido. Además, la vibración provoca un 
desgaste más rápido de las partes de la máquina como cojinetes y engranes e incluso produce ruido 
excesivo. En máquinas, la vibración puede aflojar los sujetadores, como las tuercas. En procesos de 
corte de metal, la vibración puede provocar rechinidos, lo cual conduce a un acabado deficiente de la 
superficie. 
Siempre que la frecuencia natural de la vibración de una máquina o de una estructura coincide 
con la frecuencia de la excitación externa se presenta un fenómeno conocido como resonancia, el cual 
conduce a deflexiones y fallas excesivas. La literatura abunda en relatos de fallas de sistemas 
provocadas por resonancia y vibración excesiva de los componentes y sistemas. Debido a los 
devastadores efectos que las vibraciones pueden tener en máquinas y estructuras, las pruebas de 
vibración se volvieron un procedimiento estándar en el diseño y desarrollo de la mayoría de los 
sistemas de Ingeniería. 
En muchos sistemas de Ingeniería, un ser humano actúa como una parte integral del sistema. La 
transmisión de vibraciones a los seres humanos provoca molestias y pérdidas de eficiencia. 
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La vibración y el ruido generados por motores molestan a las personas, y en ocasiones producen 
daños a las propiedades. La vibración de los tableros de instrumentos puede provocar su mal 
funcionamiento o dificultad para leer los medidores. Por lo tanto, uno de los propósitos importantes del 
estudio de la vibración es reducirla mediante el diseño apropiado de máquinas y sus montajes. En este 
sentido el Ingeniero mecánico trata de diseñar el motor o máquina de modo que se reduzca el 
desequilibrio, mientras que el Ingeniero estructural trata de diseñar la estructura de soporte de modo 
que el efecto del desequilibrio no sea dañino. 
A pesar de los efectos perjudiciales, la vibración puede utilizarse en varias aplicaciones 
industriales y comerciales. De hecho, las aplicaciones de equipo vibratorio se han incrementado 
considerablemente en años recientes. Por ejemplo, la vibración surge en transportadoras vibratorias, 
tolvas, tamices, compactadoras, lavadoras, cepillos de dientes eléctricos, taladros de dentista, relojes y 
unidades de masaje eléctricas. La vibración también se utiliza en el hincado de pilotes, pruebas 
vibratorias de materiales, proceso de acabado vibratorio y circuitos electrónicos para filtrar las 
frecuencias indeseables. Se ha visto que la vibración mejora la eficiencia de ciertos procesos de 
maquinado, fundición, forja y soldadura. Se emplea para simular sismos en la investigación geológica y 
también para estudiar el diseño de reactores nucleares. 
 
1.34 Clasificación de la vibración 
El análisis de las vibraciones es un problema en dinámica que es frecuentemente encontrado por 
los Ingenieros, ya que surgen en relación al diseño y funcionamiento de cualquier máquina y/o 
estructura, para su estudio la vibración se puede clasificar de varias maneras. Algunas de las 
clasificaciones importantes son las siguientes. 
 
1.35 Vibración libre y forzada 
Vibración libre. Si se deja que un sistema vibre por sí mismo después de una perturbación 
inicial, la vibración resultante se conoce como vibración libre. Ninguna fuerza externa actúa en el 
sistema. La oscilación de un péndulo simple es un ejemplo de vibración libre. 
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Vibración forzada. Si un sistema se somete a una fuerza externa (a menudo, una fuerza 
repetitiva) la vibración resultante se conoce como vibración forzada. La oscilación aparece en 
máquinas como motores diesel es un ejemplo de vibración forzada. 
Si la frecuencia de la fuerza externa coincide con una de las frecuencias naturales del sistema, 
ocurre una condición conocida como resonancia, y el sistema sufre oscilaciones peligrosamente 
grandes. Las fallas de estructuras como edificios, puentes, turbinas y alas de avión se han asociado a la 
ocurrencia de resonancia [8]. 
1.36 Vibración no amortiguada y amortiguada 
Si no se pierde o disipa energía por fricción u otra resistencia durante la oscilación, la vibración 
se conoce como vibración no amortiguada. Sin embargo, si se pierde energía se llama vibración 
amortiguada. En muchos sistemas físicos, la cantidad de amortiguamiento es tan pequeña que puede 
ser ignorada en la mayoría de las aplicaciones de Ingeniería. La consideración del amortiguamiento se 
vuelve extremadamente importante al analizar sistemas vibratorios próximos a la resonancia. [8]. 
 
1.37 Estado del arte. 
 El tema de análisis estructural ha sido y será un tema importante, debido a su importancia para 
el desarrollo de la industria del transporte terrestre. A lo largo del tiempo han existido inconvenientes 
en el diseño de este tipo de estructuras, y en base al análisis estructural basado en simulación numérica 
se ha mejorado la calidad y el tiempo de construcción de unidades destinadas a prestar servicio, no 
obstante se sigue investigando y desarrollando herramientas para su diseño y optimización. A 
continuación, se presentan algunos trabajos interesantes relacionados con la simulación numérica y su 
importancia al momento de ligarla con el análisis estructural: 
 Nicholas Ali desarrolló la implementación de un algoritmo genético (GA) para implementarlo 
en análisis estructurales. Para poder insertar dicho algoritmo, trabajó con software que se basa en 
análisis por elemento finito. El algoritmo genético se interconecta al software que trabaja en base al 
FEA (análisis de elemento finito) con el fin de aplicar inicialmente la viabilidad de la integración, por 
medio del algoritmo se reduce el esfuerzo computacional del software al momento de resolver análisis, 
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 45 
ya que en base a iteraciones obtiene una muestra de la población para minimizar el número de 
operaciones al momento de analizar una estructura. No obstante se encontró que incluso un algoritmo 
genético para problemas complicados en los que intervienen diversas secciones transversales o 
demasiados elementos el tiempo de solución se extendía [10]. 
 Patrice Mclean y colaboradores propusieron un sistema de post – procesamiento de la fuerza y 
el momento resultante de la determinación de los elementos finitos para el análisis de presas de 
hormigón. Su trabajo habla sobre la integración de esfuerzo mediante algoritmos basados en funciones 
de forma. Esto para solucionar la problemática de la determinación de las fuerzas resultantes y 
momentos en una superficie plana. Estas surgen cuando la superficie está orientada arbitrariamente y 
cuando los bordes de los elementos son curvos. Es ahí cuando propusieron un enfoque global que 
involucra el método de interpolación kriging dual para manejar estas complicaciones. Con este método 
determinan las superficies y así estimar los valores del campo tensor dentro del modelo. Las tensiones 
interpoladas posteriormente se integran para producir las fuerzas y momento resultantes, lo anterior se 
evaluó en modelos estructurales 2D y 3D para evaluar el rendimiento del enfoque propuesto modelos 
en los que el mallado fue determinante [11]. 
 El trabajo de M. P. Saka habla sobre la variación estructural al momento de predecir las fuerzas 
y desplazamientos en toda una estructura, sin la necesidad de análisis cuando las propiedades físicas de 
uno o más miembros se alteran o incluso su topología cambia debido a la eliminación de uno o más de 
sus elementos. Se ha demostrado que un solo análisis elástico lineal de una estructura bajo las cargas 
aplicadas y un conjunto de esta unidad de carga son suficientes para determinar como