Cálculo de Esfuerzos no UAV BUS-23

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Introducción al Derecho I

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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
UNIDAD TICOMÁN

“CÁLCULO DE ESFUERZOS EN EL TWIN-BOOM DEL UAV BUS-23”

PRESENTA
ALEJANDRO ALBERTO PICHARDO VALLADO

ASESOR
Ing. ADELAIDO ILDEFONSO MATÍAS DOMÍNGUEZ

MÉXICO D. F., ENERO DE 2013

AGRADECIMIENTOS

Con especial afecto, comparto este trabajo con mis padres, quienes
me han brindado lo necesario para formar mi propia visión.

ÍNDICE

RELACIÓN DE FIGURAS ........................................................................................................... vi
RELACIÓN DE TABLAS ............................................................................................................. ix
OBJETIVO ................................................................................................................................. x
JUSTIFICACIÓN ........................................................................................................................ xi
ALCANCE ................................................................................................................................ xii
CAPITULADO ......................................................................................................................... xiii
ESTADO DEL ARTE................................................................................................................. xiv
CAPÍTULO 1 ESFUERZOS EN VIGAS .......................................................................................... 1
1.1 Vigas ............................................................................................................................... 2
1.1.1 Definición de viga .................................................................................................... 2
1.1.2 Tipos de apoyo y reacciones ................................................................................... 2
1.2 Fuerzas cortantes y momentos flexionantes .................................................................. 5
1.3 Esfuerzos ........................................................................................................................ 7
1.3.1 Esfuerzo normal ...................................................................................................... 8
1.3.2 Esfuerzo cortante .................................................................................................... 8
1.4 Esfuerzos normales en vigas........................................................................................... 9
1.5 Esfuerzos cortantes en vigas con sección transversal rectangular ............................... 17
1.5.1 Esfuerzos cortantes en vigas con sección transversal circular ............................... 25
CAPÍTULO 2 DEFINICIÓN DE MATERIALES ............................................................................. 30
2.1 Materiales en ingeniería ............................................................................................... 31
2.2 Metales y aleaciones no ferrosos ................................................................................. 37
2.2.1 Aluminio y sus aleaciones ..................................................................................... 38
2.2.2 Material del twin-boom del UAV BUS-23 .............................................................. 42
2.3 Materiales compuestos ................................................................................................ 43
2.3.1 Componentes de un material compuesto ............................................................. 43
2.3.2 Materiales de los estabilizadores del UAV BUS-23 ................................................ 50
CAPÍTULO 3 DEFINICIÓN DE CARGAS .................................................................................... 52
3.1 CFR ............................................................................................................................... 53
3.1.2 FAR ........................................................................................................................ 54
v

3.2 Cargas en los estabilizadores ........................................................................................ 57
3.2.1 Cargas en el estabilizador horizontal..................................................................... 59
3.2.2 Cargas en el estabilizador vertical ......................................................................... 64
3.3 Cargas en las superficies de control ............................................................................. 69
3.3.1 Carga en el timón de profundidad ........................................................................ 72
3.3.2 Carga en el timón de dirección .............................................................................. 75
CAPÍTULO 4 ANÁLISIS MEDIANTE SIMULACIÓN ................................................................... 79
4.1 Modelado ..................................................................................................................... 80
4.2 Simulación .................................................................................................................... 83
4.2.1 Método del Elemento Finito ................................................................................. 83
4.2.2 Desarrollo en Ansys Workbench ........................................................................... 84
CONCLUSIONES ..................................................................................................................... 93
RECOMENDACIONES ............................................................................................................. 94
BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................................................ 95
GLOSARIO DE TÉRMINOS ...................................................................................................... 96
ANEXOS ................................................................................................................................. 99

RELACIÓN DE FIGURAS

Figura 1.1 Ejemplos de vigas sometidas a cargas laterales ...................................................... 2
Figura 1.2 Construcción real y símbolo convencional de un apoyo simple .............................. 3
Figura 1.3 Construcción real y símbolo convencional de un apoyo articulado ......................... 3
Figura 1.4 Construcción real y símbolo convencional de un apoyo empotrado ....................... 4
Figura 1.5 Viga en voladizo cargada en su extremo libre, generando una fuerza cortante V y
momento flexionante M en la sección transversal de la viga .................................................. 5
Figura 1.6 Componentes de una fuerza interna ΔF actuando sobre su área asociada ΔA ........ 7
Figura 1.7 Dirección en la que actúan los esfuerzos normal y cortantes.................................. 9
Figura 1.8 Esfuerzos normales en una viga de material linealmente elástico ........................ 10
Figura 1.9 Relaciones entre signos de momentos flexionantes y signos de curvaturas ......... 14
Figura 1.10 Relaciones entre los signos de momento flexionante y las direcciones de los
esfuerzos normales ................................................................................................................ 16
Figura 1.11 Esfuerzos cortantes en una viga con sección transversal rectangular ................. 18
Figura 1.12 Flexión de dos vigas separadas ............................................................................ 19
Figura 1.13 Viga con sección transversal rectangular bajo esfuerzos cortantes .................... 20
Figura 1.14 Diagramaparcial del subelemento que muestra las fuerzas horizontales .......... 23
Figura 1.15 Esfuerzos cortantes sobre la sección transversal de una viga circular ................. 26
Figura 1.16 Sección transversal circular hueca ....................................................................... 28
Figura 2.1 Grupos de materiales en ingeniería....................................................................... 31
Figura 2.2 Resistencias representativas de diversas categorías de materiales....................... 33
Figura 2.3 Corta transversal de un motor turbofan................................................................ 34
Figura 2.4 Álabes recubiertos por una capa cerámica ............................................................ 34
Figura 2.5 Estructuras de polímeros ....................................................................................... 35
Figura 2.6 Aplicación de los materiales semiconductores ...................................................... 36
Figura 2.7 Aplicación de materiales compuestos ................................................................... 36
Figura 2.8 Aplicación del aluminio en ingeniería .................................................................... 39
Figura 2.9 Formas físicas posibles de las fases incorporadas en materiales compuestos ...... 45
Figura 2.10 Relación de la resistencia a la tensión y diámetro para una fibra de carbono..... 46
Figura 2.11 Orientación de las fibras en materiales compuestos ........................................... 47
Figura 3.1 Estructura general del CFR .................................................................................... 53
vii

Figura 3.2 Emblema de la FAA ................................................................................................ 54
Figura 3.3 Estructura específica del CFR para criterios de carga de diseño simplificados en
aeronaves............................................................................................................................... 55
Figura 3.4 Distribución de carga en un estabilizador.............................................................. 57
Figura 3.5 Distribución de carga en el estabilizador horizontal del UAV BUS-23 ................... 62
Figura 3.6 Distribución de carga en el estabilizador horizontal del UAV BUS-23, con un
incremento del 50% en el primer 10% de la cuerda............................................................... 63
Figura 3.7 Ubicación de las vigas del estabilizador horizontal del UAV BUS-23 ..................... 64
Figura 3.8 Distribución de carga en el estabilizador vertical del UAV BUS-23 ........................ 68
Figura 3.9 Distribución de carga en el estabilizador vertical del UAV BUS-23, con un
incremento del 50% en el primer 10% de la cuerda............................................................... 68
Figura 3.10 Ubicación de las vigas del estabilizador vertical del UAV BUS-23 ........................ 69
Figura 3.11 Superficies de control en los estabilizadores ....................................................... 70
Figura 3.12 Distribución de carga en una superficie de control ............................................. 71
Figura 3.13 Ubicación de la viga del timón de profundidad del UAV BUS-23 ......................... 74
Figura 3.14 Distribución de carga en el timón de profundidad del UAV BUS-23 .................... 75
Figura 3.15 Ubicación de las viga del timón de dirección del UAV BUS-23 ............................ 77
Figura 3.16 Distribución de carga en el timón de dirección del UAV BUS-23 ......................... 78
Figura 4.1 Twin-boom del UAV BUS-23 .................................................................................. 81
Figura 4.2 Estructura de los estabilizadores verticales del UAV BUS-23 ................................ 82
Figura 4.3 Piel del UAV BUS-23 .............................................................................................. 82
Figura 4.4 Ensamble del twin-boom, la estructura de los estabilizadores y piel .................... 83
Figura 4.5 Módulo de trabajo en Ansys Worknech ................................................................ 84
Figura 4.6 Creación de los materiales para la simulación ....................................................... 85
Figura 4.7 Asignación de las propiedades de la aleación de aluminio 2024-T3 ...................... 86
Figura 4.8 Selección de unidades para importar el modelo del UAV BUS-23 ......................... 87
Figura 4.9 Modelo importado en Ansys ................................................................................. 87
Figura 4.10 Mallado del twin-boom ....................................................................................... 88
Figura 4.11 Soporte fijo del twin-boom ................................................................................. 89
Figura 4.12 Aplicación de carga en la viga principal del estabilizador vertical ....................... 90
Figura 4.13 Tipos de solución seleccionados .......................................................................... 90
Figura 4.14 Esfuerzos normales en el twin-boom del UAV BUS-23 ........................................ 91
viii

Figura 4.15 Esfuerzos cortantes en el twin-boom del UAV BUS-23 ........................................ 92
Figura 4.16 Esfuerzos equivalentes en el twin-boom del UAV BUS-23................................... 92

RELACIÓN DE TABLAS

Tabla 2.1 Ejemplos, aplicaciones y propiedades de cada familia de materiales ..................... 32
Tabla 2.2 Características de metales no ferrosos con relación a las del hierro ...................... 37
Tabla 2.3 Datos y propiedades generales del aluminio .......................................................... 38
Tabla 2.4 Designación de aleaciones de aluminio forjadas .................................................... 40
Tabla2.5 Designación de aleaciones de aluminio fundidas .................................................... 41
Tabla 2.6 Designaciones de temple para aleaciones de aluminio .......................................... 41
Tabla 2.7 Dimensiones de los tubos de aluminio 2024-T3 ..................................................... 42
Tabla 2.8 Propiedades físicas y mecánicas de la aleación de aluminio 2024-T3..................... 43
Tabla 2.9 Combinaciones posibles de un material compuesto con dos componentes .......... 44
Tabla 2.10 Propiedades mecánicas del material compuesto fibra de vidrio-epoxi ................ 51
Tabla 2.11 Propiedades mecánicas del material compuesto fibra de carbono-epoxi ............ 51
Tabla 3.1 Factores de carga límite de vuelo ........................................................................... 60
Tabla 3.2 Datos para el cálculo la carga promedio de superficie del UAV BUS-23 ................. 61

OBJETIVO

Objetivo general

Realizar un análisis estructural del twin-boom (doble botalón de cola) del UAV BUS-23,
mediante un programa de simulación, para determinar los esfuerzos en las secciones críticas
del twin-boom, generados por la aplicación de cargas en el estabilizador horizontal, así
como en los estabilizadores verticales.

Objetivos específicos

 Definir los materiales empleados para el análisis estructural, de acuerdo a sus
propiedades físicas y mecánicas.

 Definir el tipo y magnitud de las cargas que serán aplicadas en los estabilizadores,
para realizar, posteriormente, el cálculo de esfuerzos.

 Mediante el programa CATIA (CAD), modelar el twin-boom y los estabilizadores del
UAV BUS-23, tomando en cuenta los perfiles aerodinámicos que integran los
estabilizadores.

 Definir los elementos estructurales que conformarán el estabilizador horizontal, así
como los estabilizadores verticales, incluyendoel timón de profundidad, así como
los timones de dirección.

 En función del análisis estático del UAV BUS-23 en el programa ANSYS (FEM),
obtener los esfuerzos normales, los esfuerzos cortantes y los esfuerzos equivalentes
(Von Mises), en las secciones críticas del twin-boom.

 Determinar si es viable la construcción de la estructura del twin-boom, con los
materiales previamente definidos.

JUSTIFICACIÓN

Existen diferentes arreglos estructurales empleados para la construcción de un vehículo
aéreo no tripulado, mejor conocido como UAV. Estas configuraciones dependen de diversos
factores como la aplicación, misión, tamaño, entre otros. Para el caso específico del UAV
BUS-23, la parte de su estructura que será analizada es el denominado twin-boom.

La configuración twin-boom puede identificarse fácilmente, ya que en esencia son dos tubos
(vigas de sección transversal hueca) los que la conforman. Sin embargo, estos dos
elementos son cruciales en la estructura integral del UAV BUS-23, ya que permiten la unión
del fuselaje y ala, con los estabilizadores.

Por otra parte, los estabilizadores incorporan dos superficies de control vitales para el
desempeño de una aeronave. Estas superficies de control son el timón de profundidad y el
timón de dirección (dos timones de dirección en el UAV BUS-23) ubicados en el estabilizador
horizontal y vertical (dos estabilizadores verticales en el UAV BUS-23), respectivamente.
Mediante estas superficies de control, se modifica la aerodinámica de la aeronave, haciendo
posible diversas maniobras como despegue, aterrizaje y viraje.

En este punto, se hace evidente la importancia de calcular los esfuerzos en las secciones
críticas del twin-boom del UAV BUS-23, ya que de esta forma se puede determinar si la
estructura resistirá los esfuerzos o fallará, previniendo así, un posible desastre durante el
vuelo real del UAV BUS-23.

Finalmente, el MEF o método de elemento finito, se ha convertido en el método estándar
para la simulación numérica. Esta herramienta es extensamente conocida y utilizada en
diversas industrias, incluida la aeronáutica. Por este motivo se hará uso de ella, para realizar
el análisis de esfuerzos en el twin-boom del UAV BUS-23.

xii

ALCANCE

En el presente trabajo determinarán los esfuerzos en las secciones críticas del twin-boom
del UAV BUS-23, mediante un programa de simulación. A pesar de que las cargas serán
aplicadas al estabilizador horizontal, así como a los estabilizadores verticales, no se
contempla el cálculo de esfuerzos en los estabilizadores, ni en alguna otra sección del UAV
BUS-23.

Respecto al tema de los materiales empleados para el análisis estructural, sólo se
contemplan tres. Estos materiales serán aluminio, fibra de carbono y fibra de vidrio, los
cuales serán aplicados (en función de sus propiedades) al twin-boom, estabilizadores y piel,
respectivamente.

El tipo de análisis que se realizará en el programa ANSYS será estático y se enfocará en el
cálculo de esfuerzos flexionantes, esfuerzos cortantes. Se omitirán otros tipos de análisis,
como podría ser el análisis modal (modos de vibración de una estructura).

Se determinarán los esfuerzos en las secciones críticas del UAV BUS-23 en base al criterio de
Von Mises la (teoría de la energía máxima distorsión). No será considerado algún otro
criterio de falla.

No se construirá un modelo del twin-boom del UAV BUS-23 con los materiales propuestos
para la simulación, por lo que no se desarrollara el análisis y cálculo de esfuerzos en las
secciones críticas del twin-boom, por medio de alguna técnica experimental de medición de
esfuerzos.

Para realizar el cálculo de cargas en las superficies de control en base al criterio simplificado
del apéndice A del FAR 23, se tomarán como referencia los planos existentes del UAV BUS-
23, sin embargo, serán consideradas ciertas modificaciones en sus dimensiones.

xiii

CAPITULADO

Como punto de partida, en el capítulo 1, se denotarán los conceptos, modelos matemáticos,
es decir, las bases, correspondientes a la teoría sobre estructuras, haciendo énfasis en la
teoría sobre esfuerzos flexionantes y cortantes, en los elementos estructurales
denominados vigas. De esta manera será posible abordar, examinar y establecer
conclusiones sobre la problemática (esfuerzos en las secciones críticas del twin-boom) de
este trabajo.

La resistencia de una estructura se encuentra ligada, intrínsecamente, al tipo de material del
cual se conforma. En el capítulo 2 se establecerán las propiedades físicas y mecánicas de los
materiales apropiados que serán empleados para el cálculo teórico, así como para la
simulación. De forma general se pueden mencionar los dos grupos de materiales con los
cuales se trabajará, metales y materiales compuestos.

Recordando el objetivo general, lo que se desea es determinar los esfuerzos en los
empotres el twin-boom con el ala del BUS-23, sin embargo, antes de calcular esfuerzo
alguno, se debe conocer el tipo y magnitud de cargas que serán aplicas, las cuales originaran
los esfuerzos que posteriormente serán calculados. La definición de dichas cargas se
realizará en el capítulo 3.

Actualmente, el éxito y preferencia de los programas de simulación es innegable. Estos
programas permiten analizar una cantidad de datos e información abrumadora, obteniendo
resultados satisfactorios si se les compara con los resultados reales. Por este motivo, en el
capítulo 4, se analizarán los esfuerzos en el twin-boom del BUS-23 mediante el programa de
simulación ANSYS.

xiv

ESTADO DEL ARTE

Antecedentes

En 1883, el inglés Douglas Archibald sujetó un anemómetro a la cuerda de una cometa y
midió la velocidad del viento a una altitud de 1200 ft.

Al desatarse la guerra entre España y Estados Unidos en 1898, William Abner Eddy tomó
cientos de fotografías desde cometas, uno de los primeros usos de UAVs en combate.

William Eddy sosteniendo su cometa patentada.

Inicios

Durante la primera guerra mundial, Charles Kettering desarrolló un UAV biplano, conocido
como "The Kettering Aerial Torpedo", "Kettering Bug" o simplemente "Bug", para el Cuerpo
de Señales del Ejército. El desarrollo del UAV tomó tres años, podía volar cerca de 40 millas
a una velocidad de 55 mph, transportando 180 lb de explosivos de alta potencia. El UAV era
guiado al objetivo mediante controles programados y poseía un sistema que le permitía
desprenderse de las alas. El sistema se activaba cuando el UAV se encontraba volando sobre
su objetivo, permitiendo el desplome y explosión del fuselaje al impactar contra el suelo.
Este UAV era una especie de misil crucero.
xv

The Kettering Aerial Torpedo.

En 1931, se desarrolla en el Reino Unido el "Fairey Queen", el primer UAV recuperable. Los
británicos construyeron y volaron tres biplanos Fairey Queen mediante control remoto
desde un barco. Dos de los biplanos se estrellaron, pero el tercero voló con éxito,
permitiendo que el Reino Unido fuera el primer país en apreciar el gran valor de los UAVs,
especialmente después de utilizar uno como objetivo y no poderlo derribar.

El inglés Reginald Denny Leigh, junto con los estadounidenses Walter Righter y Kenneth
Case, en 1937, desarrollaron una serie de UAVs llamados RP-1, RP-2, RP-3, y RP-4. En 1939,
formaron una empresa llamada la Radioplane Company, la cual más tarde pasó a formar
parte de la División Northrop-Ventura. Radioplane construyó miles de target drones durante
la Segunda Guerra Mundial. Como dato curioso, una de sus primeras ensambladoras fue
Norma Jeane, tiempo más tarde conocida como Marilyn Monroe.

Norma Jeane trabajando para la compañía Radioplane.
xvi

Por otra parte, los alemanes emplearon UAVs letales en la segunda guerra mundial, mejor
conocidoscomo las V-1 Buzz Bomb. Las V1, empleaban un sencillo sistema que les permitía
modificar la altitud y velocidad de vuelo.

Al incursionar Estados Unidos en la guerra de Vietnam, la Fuerza Aérea envió su primer UAV
de reconocimiento, el AQM-34 Ryan Aeronautical o “Lightning Bug”. Durante este conflicto
bélico, las capacidades del Lightning Bug no solo englobaban misiones de captura
fotográfica, ya que modificaciones subsecuentes del Lightning Bug ayudaron en diversas
misiones: captura de video en tiempo real, inteligencia electrónica (ELINT) para mejorar la
seguridad de vehículos aéreos tripulados sobre zonas hostiles, transporte de sistemas
electrónicos distorsión (ECM), inteligencia de comunicación en tiempo real (COMINT) y
operaciones psicológicas (PSYOPS). Otras misiones desplegadas a muy bajas altitudes,
requerían proveer confirmación e información sobre los daños ocasionados a los objetivos
de batalla.

Lightning bug en vuelo.

La guerra del Golfo en 1991 permitió a la industria militar la oportunidad de utilizar UAVs en
situaciones de combate. La idea en generó amplias expectativas, de cualquier forma, el
desempeño en el conflicto fue menos que satisfactorio. Se destacan cinco UAVs utilizados
en esta operación:

 Pioneer, Fuerzas de Estados Unidos.
 Ex-Drone, Fuerzas de Estados Unidos.
 Pointer, Fuerzas de Estados Unidos.
 Mini Avion de Reconnaissance Telepilot (MART), Fuerzas de Francia.
 CL-289, Fuerzas de Gran Bretaña.
xvii

Aunque se han mencionado anécdotas sobre grandes logros, la realidad es que los UAVs no
jugaron un papel decisivo. Sin embargo, lo que se aprendió en la Tormenta del Desierto fue
el potencial de los UAVs como armamento clave, lo cual aseguró el desarrollo de los UAVs
posteriormente.

UAV Pioneer empleado en la guerra del Golfo.

Actualidad y futuro

En años recientes, el Departamento de Defensa de Estados Unidos se ha enfocado en el
desarrollo de dos clases de UAVs como parte del programa Joint Vision 2010, orientado a la
búsqueda de superioridad táctica y alto desempeño en vuelos a gran altitud. La clase táctica
se conforma por el Tactical UAV (llamado Outrider) y el Tier II de mediana altitud (llamado
Predator). Estos UAVs tácticos proveen una cobertura cercana de las líneas frontales de las
fuerzas armadas. Además, los UAVs de gran altitud Tier II Plus (llamado Global Hawk) y Tier
III Minus (Darkstar) mantienen una cobertura de larga duración sobre el campo de batalla.

xviii

Remolque del UAV Global Hawk.

La Fuerza Aérea describe muchas aplicaciones para vehículos aéreos no tripulados, más allá
de las tradicionales misiones de reconocimiento, como los vehículos aéreos de combate no
tripulados, llamados UCAVs, que pueden ser más eficaces que los dispositivos ECM
(electronic countermeasure). Los UCAVs puedan transportar y desplegar armas no guidas,
por lo que resultarían mucha más económicos en comparación con sofisticados misiles
(como los misiles crucero AGM-86C) que tienen un costo de 1 millón de dólares cada uno.

En unos cuantos años, será la época de los UAVs y UCAVs. Los UAVs jugarán un papel
importante en el control de batalla cada vez más dinámico que evolucionará en el siglo 21.
Los UCAVs realizarán misiones de supresión de las líneas aéreas enemigas de alto riesgo, las
cuales son desempeñadas actualmente por aviones caza.

Records impuestos por UAVs.
Record UAV Cifra
Velocidad D-21 4 Mach
Altitud AQM-91 81000 ft
Tamaño (más grande) Centurion 206 ft (envergadura)
Tamaño (más pequeño) Black Widow 6 in (diámetro)
Peso (más pesado) RQ-4/Global Hawk 25600 lb
Peso (más ligero) Black Widow 1.5 oz
Tiempo de vuelo Condor 60 h (aproximadamente)
Distancia de vuelo RQ-4/Global Hawk 13840 km
1

CAPÍTULO 1

ESFUERZOS
EN
VIGAS

1.1 VIGAS

Los elementos estructurales suelen clasificarse de acuerdo con los tipos de carga que
soportan. Por ejemplo, una columna, soporta fuerzas con sus vectores dirigidos a lo largo
del eje de la barra y un eje (barra en torsión), soporta pares de torsión que tienen sus
vectores dirigidos a lo largo del eje.

1.1.1 Definición de viga

Una viga es un elemento estructural, sometido a cargas laterales, es decir, fuerzas y
momentos que tienen sus vectores perpendiculares al eje del elemento estructural.

Figura 1.1 Ejemplos de vigas sometidas a cargas laterales.

1.1.2 Tipos de apoyo y reacciones

Las vigas se describen por la manera en que están apoyadas. Es indispensable conocer los
tipos de apoyo de una viga, ya que de esta manera se pueden determinar las reacciones
presentes en los poyos. Los tres tipos de apoyo básicos se muestran a continuación:

Apoyo simple
El apoyo simple (o apoyo de rodillo) restringe a la estructura contra los desplazamientos
verticales, pero permite desplazamientos horizontales y rotaciones o giros. En estos apoyos
se desarrolla una reacción vertical , pero la reacción horizontal y el momento , son
nulos. Por lo tanto, sólo existe una reacción en el apoyo.

Figura 1.2 (a) Construcción real y (b) símbolo convencional de un apoyo simple.

Apoyo articulado
El apoyo articulado restringe desplazamientos horizontales y verticales, pero permite la
rotación. Existen por lo tanto dos reacciones de apoyo, y . El momento es nulo.

Figura 1.3 Construcción real y símbolo convencional de un apoyo articulado.
4

Apoyo empotrado
El apoyo empotrado (o apoyo fijo) restringe los tres movimientos que pueden ocurrir, es
decir, restringe los desplazamientos horizontales, los desplazamientos verticales y la
rotación. En estos apoyos se desarrollan tres reacciones, las cuales son , y .

Figura 1.4 Construcción real y símbolo convencional de un apoyo empotrado.

Los casos mostrados anteriormente, representan apoyos de estructuras contenidas en un
plano, o sea, estructuras bidimensionales. Muchas estructuras reales pueden idealizarse o
representarse en forma bidimensional, aunque en la realidad sean tridimensionales. Esto
suele hacerse por facilidad de análisis. Además, los resultados obtenidos en un análisis
bidimensional no difieren mucho de los de un análisis tridimensional. Sin embargo, en
algunos casos es conveniente realizar el análisis estructural considerando el
comportamiento en tres dimensiones. En este caso debe observarse que en un apoyo
existen seis posibles desplazamientos (tres lineales y tres rotaciones). Por lo tanto, también
existirían seis posibles reacciones en el apoyo, , , , , y . Las tres primeras
restringen los posibles desplazamientos lineales y las otras tres, las posibles rotaciones.
Nótese que la reacción restringe la rotación del elemento estructural en un plano
paralelo a su sección transversal, ocasionando una torsión en el elemento.

1.2 FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS FLEXIONANTES

La determinación de las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes en vigas es un paso
esencial en el diseño de cualquier estructura. Por lo general, no sólo se necesita conocer los
valores máximos de estas cantidades, sino la manera en la que varían a lo largo del eje de la
viga. Una vez que se conocen las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes, se pueden
determinar esfuerzos, deformaciones unitarias y deflexiones.

Para ilustrar como se determinan estas cantidades, consideremos la viga en voladizo
(figura 1.5a) cargada por una fuerza en su extremo libre. Cortamos a través de la viga una
sección transversal ubicada a una distancia del extremo libre y aislamos la parte
izquierda de la viga como un diagrama de cuerpo libre (figura 1.5b). El diagrama de cuerpo
libre se mantiene en equilibrio por la fuerza y los esfuerzos que actúan sobre la sección
transversal cortada. Estos esfuerzosrepresentan la acción de la parte derecha de la viga
sobre la parte izquierda. En este punto de nuestro análisis no conocemos la distribución de
esfuerzos que actúan sobre la sección transversal; todo lo que sabemos es que la resultante
de dichos esfuerzos debe mantener en el equilibrio del cuerpo libre.

Figura 1.5 (a) Viga en voladizo cargada en su extremo libre, (b) generando una fuerza
cortante y momento flexionante en la sección transversal de la viga.

De la estática sabemos que la resultante de los esfuerzos que actúan sobre la sección
transversal se puede reducir a una fuerza cortante y a un momento flexionante (figura
6

1.5b). Como la carga es transversal al eje de la viga, no existe fuerza axial en la sección
transversal. Tanto la fuerza cortante como el momento flexionante actúan en el plano de la
viga, es decir, el vector para la fuerza cortante se encuentra en el plano de la figura y el
vector para el momento es perpendicular al plano de la figura.

Las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes, al igual que las fuerzas axiales en barras
y los pares de torsión en ejes, son las resultantes de esfuerzos distribuidos sobre la sección
transversal. Por lo que a estas cantidades se les conoce colectivamente como resultante de
esfuerzo.

Las resultantes de esfuerzo en vigas estáticamente indeterminadas se pueden calcular con
ecuaciones de equilibrio. En el caso de la viga en voladizo de la figura 1.5a, utilizamos el
diagrama de cuerpo libre de la figura 1.5b. Sumando fuerzas en la dirección vertical y
también tomando momentos con respecto a la sección cortada, obtenemos:

∑

Donde es la distancia desde el extremo libre de la viga hasta la sección donde se va a
determinar y . Así, utilizando un diagrama de cuerpo libre y dos ecuaciones de
equilibrio, podemos calcular la fuerza cortante y el momento flexionante sin dificultad.

1.3 ESFUERZOS

Consideremos el área seccionada como subdividida en pequeñas áreas, tal como el área
sombreada de (figura 1.6). Al reducir a un tamaño cada vez más pequeño debemos
hacer dos hipótesis respecto a las propiedades del material. Consideremos que el material
es continuo, esto es, que consiste en una distribución uniforme de materia que no contiene
huecos, en vez de estar compuesto de un número finito de moléculas o átomos distintos.
Además, el material debe cohesivo, es decir, que todas sus partes están unidas entre sí, en
vez de tener fracturas, grietas o separaciones.

Una fuerza típica pero muy pequeña , actuando sobre su área asociada , se muestra
en la figura 1.6. Esta fuerza como todas las otras, tendrá una dirección única, pero para el
análisis que sigue la reemplazaremos por sus tres componentes, , y , que se
toman tangente y normal al área, respectivamente. Cuando el área tiende a cero,
igualmente tiende a cero la fuerza y sus componentes; sin embargo, el cociente de la
fuerza y el área tenderán en general a un límite finito. Este cociente se llama esfuerzo y
describe la intensidad de la fuerza interna sobre un plano específico (área) que pasa por un
punto.

Figura 1.6 Componentes de una fuerza interna actuando sobre su área asociada .
8

1.3.1 Esfuerzo normal

La intensidad de fuerza o fuerza por área unitaria, actuando normalmente a se define
como el esfuerzo normal (sigma). Como es normal al área, entonces:

Ecuación 1-1

Si la fuerza o esfuerzo normal “jala” al elemento de área como se muestra en la figura
1.6, se llama esfuerzo de tensión, mientras que si “empuja” a se llama esfuerzo de
tensión.

1.3.2 Esfuerzo cortante

La intensidad de fuerza o fuerza por área unitaria, actuando tangente a se define como
el esfuerzo cortante (tau). Aquí tenemos las componentes de esfuerzo cortante:

Ecuación 1-2

Ecuación 1-3

El subíndice en se usa para indicar la dirección de la línea normal que especifica la
orientación del área (figura 1.7). Para las componentes de esfuerzo cortante, y se
usan dos subíndices. El subíndice especifica el eje de orientación del área, mientras que
9

los subíndices y se refieren a los ejes coordenados en cuya dirección actúan los
esfuerzos cortantes (figura 1.7).

Figura 1.7 Dirección en la que actúan los esfuerzos normal y cortantes.

1.4 ESFUERZOS NORMALES EN VIGAS

En una viga en flexión pura, debido a que los elementos longitudinales están sometidos sólo
a tensión o compresión, podemos utilizar el diagrama esfuerzo-deformación unitaria del
material para determinar los esfuerzos a partir de las deformaciones unitarias. Los esfuerzos
actúan sobre toda la sección transversal de la viga y varían en intensidad. La variación en
intensidad depende de la forma del diagrama esfuerzo-deformación unitaria y de las
dimensiones de la sección transversal. Como la dirección es longitudinal, empleamos el
símbolo para denotar estos esfuerzos.

La relación esfuerzo deformación unitaria más común encontrada en la ingeniería es la
ecuación para un material linealmente elástico. Para esos materiales la ley de Hooke para
esfuerzo uniaxial ( ) se expresa como:

Ecuación 1-4

Donde:

Esta ecuación demuestra que los esfuerzos normales que actúan sobre la sección
transversal varían linealmente con la distancia desde la superficie neutra. Esta distribución
del esfuerzo se representa en la figura 1.8a para el caso en que el momento flexionante
es positivo y la viga se flexiona con una curvatura positiva.

Figura 1.8 Esfuerzos normales en una viga de material linealmente elástico: (a) vista lateral
de la viga que muestra la distribución de esfuerzos normales y (b) sección transversal de la
viga que muestra el eje como el eje neutro de la sección transversal.

Cuando la curvatura es positiva, los esfuerzos son negativos (compresión) arriba de la
superficie neutra y positivos (tensión) debajo de ella. En la figura los esfuerzos de
compresión se indican por flechas que apuntan hacia la sección transversal y los esfuerzos
de tensión se indican por flechas que apuntan contrarias a la sección transversal.

Para que la ecuación 1-4 sea de valor práctico, debemos ubicar el origen de las coordenadas
de manera que podamos determinar la distancia . En otras palabras, debemos localizar el
eje neutro de la sección transversal. También necesitamos obtener una relación entre la
curvatura y el momento flexionante de modo que podamos sustituirla en la ecuación 1-4 y
obtener una ecuación que relacione los esfuerzos con el momento flexionante. Estos dos
11

objetivos se pueden lograr determinando la resultante de los esfuerzos que actúan sobre
la sección transversal.

En general, la resultante de los esfuerzos normales consiste de dos resultantes de esfuerzo,
(1) una fuerza que actúa en la dirección y (2) par flexionante que actúa alrededor del eje
. Sin embargo, podemos escribir las ecuaciones siguientes de la estática: (1) la fuerza
resultante en la dirección x es igual a cero y (2) el momento resultante es igual al momento
flexionante . La primera ecuación proporciona la ubicación del eje neutro y la segunda
ecuación denota la relación momento-curvatura.

Ubicación del eje neutro
Para obtener la primera ecuación de la estática, consideremos un elemento de área en
la sección transversal (figura 1.8b). El elemento esta ubicado a una distancia desde el eje
neutro. Por lo tanto, el esfuerzo que actúa sobre el elemento está dado por la ecuación
1-4. La fuerza que actúa sobre el elemento es igual a y es de compresióncuando es
positiva. Como no hay una fuerza resultante que actúe sobre la sección transversal, la
integral de sobre el área de toda la sección transversal debe desaparecer, por lo
tanto, la primera ecuación de la estática es:

∫

Ecuación 1-5

Como la curvatura y el módulo de elasticidad son constantes diferentes de cero en
cualquier sección transversal de una viga flexionada, no intervienen en la integración sobre
el área de la sección transversal. Por lo tanto, podemos omitirlos en la ecuación y
obtenemos:

∫

Ecuación 1-6
12

Esta ecuación establece que el primer momento del área de la sección transversal,
evaluando con respecto al eje , es cero. En otras palabras, el eje debe pasar por el
centroide la sección transversal.

Como el eje también es el eje neutro, hemos llegado a la siguiente conclusión importante:
el eje neutro pasa por el centroide del área de la sección transversal cuando el material
obedece a la ley de Hooke y no hay una fuerza axial que actúe sobre la sección transversal.
Esta observación hace relativamente simple determinar la posición del eje neutro.

En nuestro análisis sólo se contemplan vigas para las cuales el eje es de simetría. En
consecuencia, el eje también pasa por el centroide. Por lo tanto, llegamos a la siguiente
conclusión adicional: el origen de las coordenadas (figura 1.8b) está ubicado en el
centroide de la sección transversal.

Como el eje es un eje de simetría de la sección transversal, se deduce que es un eje
principal. Ya que el eje es perpendicular al eje , también es un eje principal. Por tanto,
cuando una viga de material linealmente elástico se somete a flexión pura, los ejes y son
ejes centroidales principales.

Relación momento-curvatura
La segunda ecuación de la estática expresa el hecho de que el momento resultante de los
esfuerzos normales que actúan sobre la sección transversal es igual al momento
flexionante (figura 1.8a). El elemento de fuerza que actúa sobre el elemento de
área (figura 1.8b) lo hace en la dirección positiva del eje cuando es positivo y en la
dirección negativa cuando es negativo. Como el elemento está ubicado arriba del eje
neutro, un esfuerzo positivo que actúa sobre ese elemento produce un elemento de
momento igual a . Este elemento de momento actúa en sentido opuesto al momento
flexionante positivo que se muestra en la figura 1.8a. Por tanto, el momento elemental
es:

Ecuación 1-7
13

La integral de todos estos momentos elementales sobre toda el área de la sección
transversal debe ser igual al momento flexionante:

∫

Ecuación 1-8

Al sustituir en la ecuación 1-4:

∫

Ecuación 1-9

Esta ecuación relaciona la curvatura de la viga con el momento flexionante . En virtud de
que la integral en la ecuación anterior es una propiedad del área de la sección transversal,
es conveniente rescribir la ecuación como sigue:

Ecuación 1-10

Teniendo en cuenta:

∫

Ecuación 1-11

Esta integral es el momento de inercia del área de la sección transversal con respecto al eje
z (con respecto al eje neutro). Los momentos de inercia siempre son positivos y tienen
dimensiones de longitud a la cuarta potencia.

Ahora se puede reacomodar la ecuación 1-10 para expresar la curvatura en términos del
momento flexionante en la viga:

Ecuación 1-12

Conocida como la ecuación momento-curvatura, la ecuación 1-12 muestra que la curvatura
es directamente proporcional al momento flexionante e inversamente a la cantidad ,
que se denomina rigidez a la flexión de la viga. La rigidez a la flexión en una medida de la
resistencia de una viga a la flexión, es decir, entre mayor sea la rigidez, menor será la
curvatura para un momento flexionante dado.

En la figura 1.9 observamos que un momento flexionante positivo produce una curvatura
positiva y un momento flexionante negativo produce una curvatura negativa.

Figura 1.9 Relaciones entre signos de momentos flexionantes y signos de curvaturas: (a)
momento flexionante y curvatura positivas, (b) momento flexionante y curvatura negativas.

Fórmula de la flexión
Una vez ubicado el eje neutro y deducido la relación momento-curvatura podemos
determinar los esfuerzos en términos del momento flexionante. Al sustituir la expresión
para la curvatura (ecuación 1-12) en la expresión para el esfuerzo (ecuación 1-4),
obtenemos:

Ecuación 1-13

Donde:

Esta ecuación, llamada fórmula de la flexión, indica que los esfuerzos son directamente
proporcionales al momento flexionante e inversamente proporcionales al momento de
inercia de la sección transversal. Además, los esfuerzos varían linealmente con la distancia
desde el eje neutro. Los esfuerzos calculados con la fórmula de la flexión se denominan
esfuerzos de flexión o flexionales.

Si el momento flexionante en la viga es positivo, los esfuerzos de flexión serán positivos
(tensión) sobre la parte de la sección transversal donde es negativa, es decir, sobre la
parte inferior de la viga. Los esfuerzos en la parte superior de la viga serán negativos
(compresión). Si el momento flexionante es negativo, los esfuerzos se invertirán. Estas
relaciones se muestran en la figura 1.10.

Figura 1.10 Relaciones entre los signos de momento flexionante y las direcciones de los
esfuerzos normales: (a) momento flexionante positivo y (b) momento flexionante negativo.

Esfuerzos máximos en una sección transversal
Los esfuerzos flexionantes de tensión y de compresión máximos que actúan en cualquier
sección transversal dada ocurren en los puntos más alejados del eje neutro. Denotemos con
y las distancias desde el eje neutro hasta los elementos extremos en las direcciones
positiva y negativa, respectivamente (figura 1-10). Entonces, los esfuerzos normales
máximos y son:

Ecuación 1-14a

Ecuación 1-14b

Secciones doblemente simétricas
Si la sección transversal de una viga es simétrica con respecto al eje así como al eje
(sección transversal doblemente simétrica), entonces y los esfuerzos máximos
de tensión y compresión son iguales:

Ecuación 1-15

1.5 ESFUERZOS CORTANTES EN VIGAS CON SECCIÓN TRANSVERSAL RECTANGULAR

Cuando una viga se somete a flexión pura, los únicos esfuerzos resultantes son los
momentos flexionantes y los únicos esfuerzos son los normales que actúan sobre las
secciones transversales. Sin embargo, la mayor parte de las vigas se someten tanto a cargas
que producen momentos flexionantes como fuerzas cortantes (flexión no uniforme). En
estos casos, en la viga se desarrollan esfuerzos normales y cortantes, siempre que la viga
esté construida con un material linealmente elástico.

Esfuerzos cortantes horizontales y verticales
Considere una viga con sección transversal rectangular (ancho y altura ) sometida a una
fuerza cortante positiva (figura 1.10a). Es razonable suponer que los esfuerzos cortantes
que actúan sobre la sección transversal son paralelos a la fuerza cortante, es decir, paralelos
a los lados verticales de la sección transversal. También cabe suponer que los esfuerzos
cortantes están distribuidos uniformemente a través del ancho de la viga, aunque pueden
variar sobre la altura. Con estas dos suposiciones podemos determinar la intensidad del
esfuerzo cortante en cualquier punto sobre la sección transversal.

Figura 1.11 Esfuerzos cortantes en una viga con sección transversal rectangular: (a) Viga
sometidaa una fuerza cortante positiva y (b) subelemento de la viga sujeto a esfuerzos
cortantes de igual magnitud en sus caras.

Para fines de análisis, aislamos un elemento pequeño de la viga (figura 1.10a) cortando
entre dos secciones transversales adyacentes y entre dos planos horizontales. De acuerdo
con nuestras suposiciones, los esfuerzos cortantes que actúan sobre la carta anterior de
este elemento son verticales y están distribuidos de manera uniforma de un extremo de la
viga al otro. Además, sabemos que los que actúan sobre un lado de un elemento van
acompañados por esfuerzos cortantes con igual magnitud que actúan sobre las caras
perpendiculares del elemento (figura 1.10b). Por tanto, hay esfuerzos cortantes horizontales
que actúan entre capas horizontales de la viga, así como esfuerzos cortantes verticales que
actúan sobre las secciones transversales. En cualquier punto de la viga estos esfuerzos
cortantes complementarios tienen magnitudes iguales.

La igualdad de los esfuerzos cortantes horizontales y verticales que actúan sobre un
elemento conduce a una conclusión muy importante con respecto a los esfuerzos cortantes
en la parte superior e inferior de la viga. Si imaginamos que el elemento (figura 1.10a)
está ubicado en la parte superior o bien en la inferior, vemos que los esfuerzos cortantes
horizontales deben ser cero, debido a que no hay esfuerzos sobre las superficies exteriores
de la viga. Entonces, se deduce que los esfuerzos cortantes verticales también deben ser
cero en estas ubicaciones, es decir, donde ⁄ .

La existencia de esfuerzos cortantes horizontales en una viga se puede demostrar mediante
un experimento simple. Colocamos dos vigas rectangulares idénticas sobre apoyos simples y
sometidas a una fuerza , como se muestra en la figura 1.11a. Si la fricción entre las vigas es
pequeña, éstas se flexionaran de manera independiente (figura 1.11b). Cada una de ella
estará en compresión arriba de su propio eje neutro y en tensión debajo de éste. Por lo
tanto, la superficie inferior de la viga superior se deslizará con respecto a la superficie
superior de la viga inferior.

Figura 1.12 Flexión de dos vigas separadas: (a) antes de aplicar la carga y (b) después de
aplicarla.

Si suponemos que las dos vigas se pegan a lo largo de la superficie de contacto, de manera
que se conviertan en una sola viga sólida. Cuando esta se carga, se deben desarrollar
esfuerzos cortantes horizontales a lo largo de la superficie pegada a fin de evitar el
deslizamiento que se muestra en la figura 1.11b. Debido a la presencia de estos esfuerzos
cortantes, la viga sólida individual es mucho más rígida y más fuerte que las dos vigas
separadas.

Deducción de la fórmula del esfuerzo cortante
Ahora estamos en condiciones de deducir una fórmula para los esfuerzos cortantes en una
viga rectangular. Sin embargo, en vez de evaluar los esfuerzos cortantes verticales que
actúan sobre una sección transversal, es más fácil determinar los esfuerzos cortantes
horizontales entre capas de la viga. Por supuesto, los esfuerzos cortantes verticales tienen
las mismas magnitudes que los esfuerzos cortantes horizontales.

Con este procedimiento en mente, consideramos un viga en flexión no uniforme (figura
1.12a). Tomamos dos secciones transversales adyacentes y , separadas una
distancia y consideramos el elemento . El momento flexionante y la fuerza
cortante que actúan sobre la cara izquierda de este elemento se denotan y ,
respectivamente. Como el momento flexionante y la fuerza cortante pueden cambiar
conforme nos movemos a lo largo del eje de la viga, las cantidades correspondientes sobre
la cara derecha (figura 1.12a) se denotan y .

Figura 1.13 Esfuerzos cortantes en una viga con sección transversal rectangular.
21

Debido a la presencia de los momentos flexionantes y de las fuerzas cortantes, el elemento
que se muestra en la figura 1.12a está sometido a esfuerzos normales y cortantes sobre las
dos caras de la sección transversal. Sin embargo, en la siguiente deducción sólo se necesitan
los esfuerzos normales y por tanto, en la figura 1.12b sólo se muestran éstos. Sobre las
secciones transversales y los esfuerzos normales son, respectivamente:

Ecuación 1-16a

( )

Ecuación 1-16b

En estas expresiones, es la distancia desde el eje neutro e es el momento de inercia de la
sección transversal con respecto al eje neutro.

A continuación, aislamos un subelemento pasando un plano horizontal por el
elemento (figura 1.12b). El plano está a una distancia de la superficie
neutra de la viga. El subelemento se muestra por separado en la figura 1.12c. Observamos
que su cara superior es parte de la superficie superior de la viga y, por tanto, está libre de
esfuerzos. Su cara inferior (que es paralela a la superficie neutra y se halla a una distancia
de ésta) está sometida al esfuerzo cortante horizontal que existe en este nivel de la viga.
Sus caras transversales y están sometidas a los esfuerzos de flexión y ,
respectivamente, producidos por los momentos flexionantes. También actúan esfuerzos
cortantes verticales sobre las caras transversales, sin embargo, dichos esfuerzos no afectan
el equilibrio del subelemento en la dirección horizontal (la dirección ), por lo que no se
muestran en la figura 1.12c.

Si los momentos flexionantes en las secciones transversales y (figura 1.12b) son
iguales, es decir, la viga esta en flexión pura, los esfuerzos normales y que actúan
sobre los lados y del subelemento (figura 1.12c) también serán iguales. En estas
condiciones el subelemento estará en equilibrio ante la acción sólo de los esfuerzos
normales y, por tanto, los esfuerzos cortantes que actúan sobre la cara inferior
22

desaparecerán. Esta conclusión es obvia, ya que una viga en flexión pura no tiene fuerza
cortante y tampoco esfuerzos cortantes.

Si los momentos flexionantes varían a lo largo del eje (flexión no uniforme) podemos
determinar el esfuerzo cortante que actúa sobre la cara inferior del subelemento (figura
1.12c) al considerar el equilibrio del subelemento en la dirección .

Iniciamos identificando un elemento de área en la sección transversal a una distancia
del eje neutro (figura 1.12d). La fuerza que actúa sobre este elemento es , en donde
es el esfuerzo normal obtenido con la fuerza de flexión. Si el elemento de área está ubicado
en la cara izquierda del subelemento (donde el momento flexionante es ), el
esfuerzonormal está dado por la ecuación 1-16a y, por tanto, el elemento de fuerza es:

Ecuación 1-17

Observe que estamos empleando sólo valores absolutos en esta ecuación debido a que las
direcciones de los esfuerzos son obvias en la figura. La suma de estos elementos de fuerza
sobre el área de la cara del subelemento (figura 1.12c) da la fuerza horizontal total
que actúa sobre esa cara:

∫ ∫

Ecuación 1-18

Se observa que esta integración se realiza sobre el área de la parte sombreada de la sección
transversal que se muestra en la figura 1.12d, es decir, sobre el área de la sección
transversal desde hasta ⁄ .

La fuerza se muestra en la figura 1.13 en un diagrama parcial de cuerpo libre del
subelemento (las fuerzas verticales se omitieron).
23

Figura 1.14 Diagrama parcial de cuerpo libre del subelemento que muestra las fuerzas
horizontales.

De manera similar, determinamos que la fuerza que actúa sobre la cara derecha
del subelemento (figura 1.13) es:
∫ ∫
( )

Ecuación 1-19

Al conocer las fuerzas y , podemos determinar la fuerza horizontal que actúa sobre
la cara interiordel subelemento. Como el subelemento está en equilibrio, podemos sumar
fuerzas en la dirección y obtener:

∫
( )

∫

∫
( )

Ecuación 1-20

Las cantidades e en el último término se pueden mover fuera del signo de integración
ya que son constantes en cualquier sección transversal dada y no se implican en la
integración. Por tanto, la expresión para la fuerza se convierte en:

∫
Ecuación 1-21

Si el esfuerzo cortante está distribuido uniformemente a través del ancho de la viga, la
fuerza también es igual a la siguiente expresión:

Ecuación 1-22

En donde es el área de la cara inferior del subelemento.

Al combinar las ecuaciones 1-21 y 1-22 y despejar el esfuerzo cortante obtenemos:

(

)∫
Ecuación 1-23

La cantidad es igual a la fuerza cortante y por lo tanto la expresión anterior se transforma
en:

∫
Ecuación 1-24
La integral en esta expresión se evalúa sobre la parte sombreada de la sección transversal
(figura 1.12d), como ya se explicó. Por tanto, la integral es el momento estático del área
sombreada con respecto al eje neutro (eje ). En otras palabras, “la integral es el momento
25

estático del área de la sección transversal arriba del nivel en el cual se está evaluando el
esfuerzo cortante ”. Este momento estático usualmente se denota con el símbolo :

∫
Ecuación 1-25

Con esta notación, la ecuación para el esfuerzo cortante se convierte en:

Ecuación 1-26

Esta ecuación, conocida como fórmula del cortante, puede utilizarse para determinar el
esfuerzo cortante en cualquier punto de la sección transversal de una viga rectangular. Se
puede observar que para una sección transversal específica, la fuerza cortante , el
momento de inercia y el ancho son constantes. Sin embargo, el momento estático (y
de aquí el esfuerzo cortante ) varían con la distancia desde el eje neutro.

1.5.1 Esfuerzos cortantes en vigas con sección transversal circular

Cuando una viga tiene una sección transversal circular, no se puede suponer que los
esfuerzos cortantes actúan paralelos al eje (figura 1.14). Es fácil demostrar que en el
punto (en el borde de la sección transversal) el esfuerzo cortante debe actuar tangente
al borde. Esta observación se deriva del hecho de que la superficie exterior de la viga está
libre de esfuerzo y, por tanto, el esfuerzo cortante que actúa sobre la sección transversal no
puede tener una componente en la dirección radial.

Figura 1.15 Esfuerzos cortantes que sobre la sección transversal de una viga circular.

Si bien no hay forma simple para encontrar los esfuerzos cortantes que actúan sobre toda
la sección transversal, es fácil determinar los esfuerzos cortantes en el eje neutro (donde los
esfuerzos son máximos) haciendo ciertas suposiciones razonables acerca de la distribución
de esfuerzos. Suponiendo que los esfuerzos actúan paralelos al eje y que tienen una
intensidad constante a través del ancho de la viga (del punto al punto en la figura 1.14).
Como estas suposiciones son las mismas que se hicieron al deducir la fórmula del cortante
⁄ , podemos emplear la fórmula del cortante para calcular los esfuerzos en el eje
neutro.

Para emplearlas en la fórmula del cortante, necesitamos las siguientes propiedades con
respecto a una sección transversal circular con radio :

 Momento de inercia

Ecuación 1-27a

 Momento estático

̅ (

)(

)

Ecuación 1-27 b

 Ancho de la sección

Ecuación 1-27 c

Al sustituir estas expresiones en la fórmula del cortante, obtenemos:

Ecuación 1-28

Donde:

Si una viga tiene una sección transversal circular hueca (figura 1.15), de nuevo se puede
suponer con precisión razonable que los esfuerzos cortantes en el eje neutro son paralelos
al eje y que están uniformemente distribuidos a través de la sección.

Figura 1.16 Sección transversal circular hueca.

En consecuencia, nuevamente se puede emplear la fórmula de esfuerzo cortante para
encontrar los esfuerzos máximos. Las propiedades requeridas para una sección circular
hueca son:

 Momento de inercia

(

)
Ecuación 1-29a

 Momento estático

(

)
Ecuación 1-29b

 Ancho de la sección

( )
Ecuación 1-29c
29

Sustituyendo, el esfuerzo cortante máximo es:

(

)
Ecuación 1-30

Donde:

CAPÍTULO 2

DEFINICIÓN
DE
MATERIALES

2.1 MATERIALES EN INGENIERÍA

En ingeniería es necesario trabajar con materiales, de manera cotidiana, en manufactura y
procesamientos, y en el diseño y construcción de componentes o estructuras. Una gran
cantidad de decisiones deben ser tomadas, al incorporar materiales a un diseño, incluyendo
si los materiales pueden ser transformados de manera consistente en un producto, con las
tolerancias dimensionales correctas, y si se puede mantener la forma correcta durante su
uso. También si las propiedades requeridas se pueden conseguir y mantener durante su uso;
si el material es compatible con las otras partes de un ensamble y puede unirse fácilmente a
ellas; por otro lado, considerar que pueda reciclarse fácilmente y observar si el material o su
fabricación puede causar problemas ecológicos. Finalmente, si puede convertirse de manera
económica en un componente útil.

Clasificación de los materiales
Los materiales se clasifican en cinco grupos: metales, cerámicos, polímeros,
semiconductores y materiales compuestos. Los materiales de cada uno de estos grupos
poseen estructuras y propiedades distintas.

Figura 2.1 Grupos de materiales en ingeniería.
MATERIALES
EN
INGENIERÍA
Metales
Cerámicos
Polímeros Semiconductores
Compuestos
32

Es necesario comprender el amplio espectro de materiales, para ser capaz de participar en
el diseño de componentes y sistemas, confiables y económicos.

Tabla 2.1 Ejemplos, aplicaciones y propiedades de cada familia de materiales.
Familia de
materiales
Ejemplos Aplicaciones Propiedades
Metales Cobre Alambre conductor
eléctrico
Alta conductividad eléctrica,
buena formabilidad.
Hierro
fundido gris
Bloques para motor
de automóvil
Moldeable, maquinable,
absorbe vibraciones.
Aleación de
aceros
Llaves Endurecidas de manera
significativa mediante
tratamientos térmicos.
Cerámicos SIO2-Na2O-
CaO
Vidrio para ventanas Ópticamente útil, aislante
térmico.
Al2O3, MgO,
SiO2
Refractarios para
contener metal
fundido
Aislantes térmicos, se funden a
alta temperatura,
relativamente inertes ante
material fundido.
Titanato de
bario
Transductores para
equipo de audio
Convierten sonido en
electricidad (comportamiento
piezoeléctrico).
Polímeros Polietileno Empacado de
alimentos
Fácilmente conformable en
delgadas películas flexibles e
impermeables.
Epóxicos Encapsulado de
circuitos integrados
Eléctricamente aislante y
resistente a la humedad.
Fenólicos Adhesivos para unir
capas de madera
laminada
Fuertes, resistentes a la
humedad.
Semiconductores Silicio Transistores y
circuitos integrados
Comportamiento eléctrico
único.
GaAs Sistemas de fibras
ópticas
Convierte señales eléctricas en
luz.
Compuestos Grafito en
matriz
epóxica
Componentes para
aeronaves
Elevada relación resistencia-
peso.
Carburo de
tungsteno-
cobalto
Herramientasde
corte de carburo
para maquinado
Alta dureza y buena resistencia
al impacto.
Acero
recubierto de
titanio
Recipientes para
reactores
Tiene bajo costo y la alta
resistencia a la corrosión del
titanio.
33

Las diferencias en resistencia que se comparan en la figura 2.2 ilustran la amplia gama de
propiedades disponibles.

Figura 2.2 Resistencias representativas de diversas categorías de materiales.

Metales
Los metales y sus aleaciones, incluyendo acero, aluminio, magnesio, zinc, hierro fundido,
titanio, cobre, níquel, generalmente tiene como característica una buena conductividad
eléctrica y térmica, una resistencia relativamente alta, una alta rigidez, ductilidad o
conformabilidad y resistencia al impacto. Son particularmente útiles en aplicaciones
estructurales o de carga. Aunque en ocasiones se utilizan metales puros, las combinaciones
de metales conocidas como aleaciones, proporcionan mejoría en alguna propiedad
particularmente deseable o permiten una mejor combinación de propiedades. La sección a
través de un turborreactor que aparece en la figura 2.3 ilustra la utilización de varias
aleaciones metálicas para una aplicación muy crítica.

Figura 2.3 Corte transversal de un motor turbofan: la sección de compresión delantera
opera a temperaturas bajas o medianas, y a menudo se utilizan componentes de titanio. La
sección trasera de combustión opera a alta temperatura y se requieren de superaleaciones
de base níquel. La coraza exterior está sujeta a temperaturas bajas y resultan satisfactorios
el aluminio y los materiales compuestos.

Cerámicos
El ladrillo, el vidrio, la porcelana, los refractarios y los abrasivos tienen baja conductividad
eléctrica y térmica, y a menudo son utilizados como aislantes. Los cerámicos son fuertes y
duros, aunque también muy frágiles y quebradizos. Las nuevas técnicas de procesamiento
han conseguido que los cerámicos sean los suficientemente resistentes a la fractura para
que puedan ser utilizados en aplicaciones de carga, como los impulsores en motores de
turbina.

Figura 2.4 Álabes recubiertos por una capa cerámica: permiten a los motores de turbina de
gas operar con mayor eficiencia a temperaturas muy elevadas.
35

Polímeros
Producidos mediante un proceso conocido como polimerización, es decir, creando grandes
estructuras moleculares a partir de moléculas orgánicas, los polímeros incluyen el hule, los
plásticos y muchos tipos de adhesivos. Los polímeros tienen baja conductividad eléctrica y
térmica, reducida resistencia y no son adecuados para utilizarse a temperaturas elevadas.
Los polímeros termoplásticos, en los cuales las largas cadenas moleculares no están
conectadas de manera rígida, tienen buena ductilidad y conformabilidad. Los polímeros
termoestables son más resistentes, aunque más frágiles porque las cadenas moleculares
están fuertemente enlazadas (figura 2.5). Los polímeros se utilizan en muchas aplicaciones,
incluyendo dispositivos electrónicos.

Figura 2.5 Estructuras de polímeros: las moléculas de los polímeros pueden tener una
estructura tipo cadena (termoplásticos) o pueden formar redes tridimensionales
(termoestables).

Semiconductores
Aunque el silicio, el germanio y una variedad de compuestos como el GaAs son muy frágiles,
resultan esenciales para aplicaciones electrónicas, de computadoras y de comunicaciones.
La conductividad eléctrica de estos materiales puede controlarse para su uso en dispositivos
electrónicos como transistores, diodos y circuitos integrados (figura2.6). La información hoy
en día se transmite por la luz a través de sistemas de fibras ópticas; los semiconductores,
que convierten las señales eléctricas en luz y viceversa son componentes esenciales de estos
sistemas.

Figura 2.6 Aplicación de los materiales semiconductores: los circuitos integrados para las
computadoras y otros dispositivos electrónicos se basan en el comportamiento eléctrico,
único de materiales semiconductores.

Materiales compuestos
Los materiales compuestos se forman a partir de dos o más materiales, produciendo
propiedades que no se encuentran en ninguno de los materiales de manera individual. El
concreto, la madera contrachapada y la fibra de vidrio son ejemplos típicos de materiales
compuestos. Con materiales podemos producir materiales ligeros, fuertes, dúctiles,
resistentes a altas temperaturas, o bien, podemos producir herramientas de corte duras, y a
la vez resistentes al impacto, que de otra manera se harían añicos. Los vehículos aéreos y
aeroespaciales modernos dependen de manera importante de materiales compuestos como
los polímeros reforzados de fibra de carbono como se muestra en la figura 2.7.

Figura 2.7 Aplicación de materiales compuestos: el ala X de los helicópteros modernos
depende de que un material compuesto, un polímero reforzado con fibra de carbono.
37

2.2 METALES Y ALEACIONES NO FERROSOS

Los metales y aleaciones no ferrosos son aquellos que no se basan en el hierro. Incluyen una
amplia gama de materiales, desde los metales más comunes como el aluminio, cobre y
magnesio, hasta las aleaciones de alta resistencia y alta temperatura, como las del
tungsteno, tantalio y molibdeno.

Aunque en general de mayor costo que los metales ferrosos (tabla 2.2), los metales y
aleaciones no ferrosos tienen aplicaciones importantes debido a propiedades como la
resistencia a la corrosión, elevada conductividad térmica y eléctrica, baja densidad y
facilidad de fabricación.

Tabla 2.2 Características de metales no ferrosos con relación a las del hierro.
Metal Densidad
(lb/in3)
Resistencia a la
tensión
(psi)
Resistencia
específica
(in)
Costo por libra
(USD)
Hierro 0.284 200,000 7.0×105 0.10
Aluminio 0.097 83,000 8.6×105 0.60
Berilio 0.067 55,000 8.2×105 300.00
Cobre 0.322 150,000 4.7×105 1.10
Plomo 0.410 10,000 0.2×105 0.35
Magnesio 0.063 55,000 8.7×105 1.40
Níquel 0.321 180,000 5.6×105 4.10
Titanio 0.163 160,000 9.8×105 5.50
Tungsteno 0.695 150,000 2.2×105 10.00
Zinc 0.257 75,000 2.9×105 0.55

Ejemplos de las aplicaciones de metales y aleaciones no ferrosos son el aluminio para
utensilios de cocina y fuselajes de aeronaves, alambre de cobre para conductores eléctricos,
el zinc para láminas de metal galvanizado para la carrocería de automóviles y el titanio para
los álabes de las turbinas de los motores a reacción.

2.2.1 Aluminio y sus aleaciones
El aluminio es un metal ligero y por esta característica se emplea con tanta recurrencia para
aplicaciones de ingeniería. Es un elemento abundante en la naturaleza, sin embargo, no es
fácil extraerlo del estado en el que se encuentra en la naturaleza.

Propiedades
Los factores de importancia en la selección del aluminio y de sus aleaciones son su elevada
relación resistencia-peso, su resistencia a la corrosión frente a muchos productos químicos,
su elevada conductividad térmica y eléctrica, su no toxicidad, su reflectividad, su facilidad de
conformado y maquinado, su apariencia, así como la propiedad de ser antimagnéticos.

Tabla 2.3 Datos y propiedades generales del aluminio.
Símbolo Al
Número atómico 13
Densidad 0.097 lb/in3 (2.7 g/ cm3)
Estructura cristalina FCC
Temperatura de fusión 1220°F (660°C)
Módulo de elasticidad 10×106 lb/in2 (69×103 MPa)
Mineral principal Bauxita
Elementos de aleación principales Cobre, magnesio, manganeso, silicio y zinc.

Aplicaciones
Los usos principales del aluminio y sus aleaciones, en orden decreciente, es en recipientes y
empaques, en edificios y otros tipos de construcciones, en el sector de transporte
(automóviles, aeronaves y vehículos espaciales), en aplicaciones eléctricas (conductores
eléctricos y no magnéticos), en productos duraderos para el consumidor (aparatos
domésticos, utensilios de cocina y muebles) y en herramientasportátiles.

Figura 2.8 Aplicación del aluminio en ingeniería: en una aeronave Boeing 747, el 82% sus
componentes estructurales (que soportan carga), están fabricados de aluminio.

Aleaciones de aluminio
El aluminio puro tiene una resistencia relativamente baja, pero puede alearse y tratarse
térmicamente para competir con algunos aceros, específicamente cuando el peso es una
consideración de importancia.

El sistema de designaciones para las aleaciones de aluminio, es un código de cuatro dígitos.
Dicho sistema tiene dos partes, una para aluminios forjados y la otra para fundiciones de
aluminio. La diferencia es que se utiliza un punto decimal después del tercer dígito para
fundiciones de aluminio.

 Aleaciones de aluminio forjadas
Las aleaciones de aluminio forjadas se identifican mediante cuatro dígitos y una designación
de temple mostrando el estado del material. Se identifica el elemento principal de las
aleaciones mediante el primer dígito.

Tabla 2.4 Designación de las aleaciones de aluminio forjadas.
Serie Elemento principal
de la aleación
Características
1XXX Aluminio
comercialmente puro
Excelente resistencia a la corrosión; elevada conductividad
eléctrica y térmica; buena capacidad de trabajo; baja
resistencia; no es tratable térmicamente.
2XXX Cobre Elevada relación resistencia-peso; baja resistencia a la
corrosión; tratable térmicamente.
3XXX Manganeso Buena capacidad de trabajo; resistencia moderada;
generalmente no es tratable térmicamente.
4XXX Silicio Menor punto de fusión; generalmente no es tratable
térmicamente.
5XXX Magnesio Buena resistencia a la corrosión y soldabilidad; resistencia
mecánica de moderada a alta; no es tratable térmicamente.
6XXX Magnesio y silicio Resistencia media; buena formabilidad, maquinabilidad,
soldabilidad y resistencia a la corrosión; tratable
térmicamente.
7XXX Zinc Resistencia de moderada a muy alta; tratable
térmicamente.
8XXX Otro elemento

En estas designaciones el segundo dígito indica modificaciones de la aleación. Para la serie
1XXXX, el tercer y cuarto dígitos representan la cantidad mínima de aluminio en la aleación,
por ejemplo, “1050” indica un mínimo de 99.50% de aluminio, “1090” indica un mínimo de
99.90% de aluminio. En las otras series el tercer y cuarto digito identifican las diferentes
aleaciones en el grupo sin un significado numérico.

 Aleaciones de aluminio fundidas
Las designaciones de aluminio fundidas también están formadas por cuatro dígitos. El
primer digito indica el grupo principal de aleación.

Tabla 2.5 Designación de las aleaciones de aluminio fundidas.
Serie Elemento principal de aleación
1XX.X Aluminio (99% mínimo)
2XX.X Aluminio-Cobre
3XX.X Aluminio-Silicio, con cobre y/o magnesio
4XX.X Aluminio-Silicio
5XX.X Aluminio-Magnesio
6XX.X Serie no utilizada
7XX.X Aluminio-Zinc
8XX.X Aluminio-Estaño

En la serie 1XX.X, el segundo y tercer dígitos indican el contenido mínimo de aluminio, igual
que ocurren en el tercer y cuarto dígitos de los aluminio forjados. Para las otras series, el
segundo y terceros dígitos no tienen un significado numérico. El cuarto dígito (a la derecha
del punto decimal) indica la forma del producto.

 Designación del temple
Dado que el endurecimiento por trabajo y los tratamientos térmicos influyen en las
propiedades de las aleaciones de aluminio, el templado debe designarse adicionalmente al
código de composición. Las principales designaciones de temple se presentan en la tabla
3.1. Esta designación se adjunta a los números precedentes de cuatro dígitos, separándola
con un guion para indicar el tratamiento o la ausencia del mismo, por ejemplo 1060-F.

Tabla 2.6 Designaciones de temple para aleaciones de aluminio.
Temple Descripción
F Tal como se fabrica, ningún tratamiento en especial.
H Endurecimiento por deformación. La letra H es seguida de dos dígitos, el primero
indica el tratamiento térmico, si existe, y el segundo, el grado de endurecimiento
por trabajo remanente.
O Recocido para aliviar esfuerzos por deformación y ductilidad mejorada.
T Tratamiento térmico para producir temples estables diferentes a F, H, u O. La letra
T es seguida de un dígito para indicar el tratamiento específico.
W Solución tratada térmicamente, se aplica a las aleaciones que endurecen por
envejecimiento en el servicio, es un temple inestable.

Desde luego, los tratamientos de temple que especifican endurecimiento por trabajo no se
aplican a las aleaciones de fundición.

2.2.2 Material del twin-boom del UAV BUS-23

El material aplicado al twin-boom del UAV BUS-23 en el análisis estructural mediante
simulación, será la aleación de aluminio forjada con el código 2024-T3. Esta aleación de
aluminio es ampliamente utilizada en al ámbito aeronáutico.

Si se analiza la aleación 2024-T3 en base a la designación para aleaciones de aluminio
forjadas, podemos observar que se trata de una aleación Aluminio-Cobre. Además,
conforme a la designación de templado, podemos observar la aleación 2024 cuenta con un
tratamiento térmico T3, el cual indica que la aleación fue tratada por solución, trabajada en
frío y envejecida naturalmente. Cabe mencionar que dicho tratamiento térmico mejora las
propiedades mecánicas de la aleación.

Si bien el costo de los aceros (aleaciones ferrosas) es varias veces menor en comparación
con el de las aleaciones de aluminio, la relación resistencia-peso del aluminio, lo convierten
en un material ideal para la estructura del twin-boom.

Otra de las ventajas que ofrece la aleación 2024-T3, es amplia gama de presentaciones
comerciales (hojas, placas, barras, tubos,…) y dimensiones, en las que se puede adquirir.
Para la estructura del twin-boom, se seleccionaran tubos comerciales con las siguientes
dimensiones:

Tabla 2.7 Dimensiones de los tubos de aluminio 2024-T3.
Dimensión Valor
Diámetro exterior 3 in
Diámetro interior 2.76 in
Espesor de pared 0.120 in

Por último, en la tabla 2.8 se especifican las propiedades físicas y mecánicas de la aleación
de aluminio 2024-T3, la cuales serán aplicadas posteriormente en el análisis de esfuerzos
mediante simulación.

Tabla 2.8 Propiedades físicas y mecánicas de la aleación de aluminio 2024-T3.
Propiedad Símbolo Valor
Módulo de elasticidad E 10.5×103 ksi
Módulo de corte G 4×103 ksi
Relación de Poisson ν 0.33
Densidad ρ 0.1 lb/in3

2.3 MATERIALES COMPUESTOS

Un material compuesto consta de dos o más fases distintas. El término fase indica un
material homogéneo como un metal, un cerámico o un polímero sin rellenos, en el cual
todos los granos tienen la misma estructura cristalina. La combinación de fases y métodos,
crea un material cuyo desempeño conjunto excede al de sus partes, el efecto es sinérgico.

2.3.1 Componentes de un material compuesto
En la forma más simple de su definición, un material compuesto consiste de dos fases:

 Fase primaria
 Fase secundaria

La fase primaria forma la matriz dentro de la cual se incorpora la segunda fase. Nos
referimos a la segunda fase incorporada como un agente de refuerzo, porque sirve como
refuerzo del compuesto. La fase de refuerzo puede ser en forma de fibras, partículas u
otras. Las fases son generalmente insolubles una en otra, pero debe existir una fuerte
adhesión entre sus interfaces.

La fase matriz puede ser cualquiera de tres tipos de materiales básicos: polímeros, metales
o cerámicos. La fase secundaria también puede ser uno de los materiales básicos, o un
elemento como carbono o boro. Las combinaciones posibles para un material compuesto
pueden por dos componentes pueden organizarse como se muestra en la tabla 2.9. Allí
observamos que ciertas combinaciones no son posibles, como un polímero en matriz
metálica. Vemos también que las posibilidades