Cálculo de Determinantes para Matrices 4x4

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Resumen ––.En este trabajo, nosotros proponemos un 
mecanismo sencillo y directo como una extensión a la regla de 
Sarrus, para poder calcular determinantes a las Matrices4x4, 
posteriormente damos un ejemplo ilustrativo del método y al 
final presentamos conclusiones. 
 
Palabras Clave: Determinantes, Regla de Sarrus, Matrices de 
4x4 
 
Abstract––In this work, we propose a simple and direct 
mechanism as an extension to the Sarrus rule, to be able to 
calculate determinants to the 4x4 Matrices, later we give an 
illustrative example of the method and at the end we present 
conclusions. 
 
Key Words: Determinants, Sarrus Rule, 4x4 Matrices 
 
INTRODUCCIÓN 
 
El Cálculo de los determinantes, es un tema usual y además 
obligado en los cursos de Algebra Lineal que se imparten en 
las escuelas de ingeniería a nivel profesional, y aunque 
existen diversos métodos para poder abordarlo de una 
manera más sencilla, como es el caso del método de los 
Cofactores, cabe señalar, que a medida que aumenta el 
tamaño del Determinante, por ejemplo, para matrices de 
4x4, 5x5 o 6x6, el cálculo para el estudiante es cada vez más 
tedioso. Para el caso de matrices 3x3, existe la famosa regla 
de Sarrus, la cual de manera casi inmediata da la solución al 
repetir los dos primeros renglones o columnas, y luego al 
multiplicar de forma diagonal estos elementos, se puede 
obtener de manera sencilla el resultado. Existen algunos 
trabajos recientes, en donde se abordan nuevos métodos para 
tratar de facilitar estos cálculos, como es el caso de [1], en 
donde se proponen algunas alternativas distintas a la regla 
de Sarrus, o en [2] donde se analiza un mecanismo que 
permite extender la regla de Sarrus a matrices de 4x4. En 
este trabajo nosotros presentamos un mecanismo sencillo y 
original, el cual nos permite el cálculo de determinantes para 
Matrices 4x4, lo que sería una extensión a la llamada Regla 
de Sarrus. 
 
 
 
DESARROLLO DEL DETERMINANTE PARA LA 
MATRIZ DE 4X4 
 
Dicha Determinante de 4x4 se hará a partir de lo que 
llamaremos Matriz extendida de 6x6. Ahora bien, una vez 
 
 
construida dicha Matriz de 6x6, se podrán extraer todos los 
cálculos necesarios, por medio la matrices de 3x3 en donde 
en cada caso aparecerá la regla de Sarrus, y lo más 
interesante, todas ellas a partir de la misma Matriz 6x6. 
 
 Sea la Matriz 4x4: 
 
 
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
 
 
En primera instancia, realizaremos la construcción de la 
Matriz de 6x6, a partir de la de 4x4 la cual se hace de la 
siguiente forma: duplicando la 1ra columna y colocándola al 
final, posteriormente duplicando la última columna y 
poniéndola a inicio, por último duplicando el 2do y 3er 
renglón y los colocamos al final : 
 
14 11 12 13 14 11
24 21 22 23 24 21
34 31 32 33 34 31
44 41 42 43 44 41
24 21 22 23 24 21
34 31 32 33 34 31
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
 
 
Una vez teniendo dicha Matriz de 6x6, hagamos el siguiente 
cálculo, en donde aplicaremos la regla de Sarrus, en las 
columnas como se muestra a continuación 
 
14 11 12 13 14 11
24 21 22
a a a a a a
a a a 23 24a a 21
34 31 32
a
a a a 33a 34a 31
44 41 42
a
a a a 43a 44a 41
24 21 22
a
a a a 23a 24a 21
34 31 32
a
a a a 33 34a a
( )
( )
11 22 33 44 32 43 24 42 23 34
42 33 24 22 43 34 32 23 44
31
[
]
a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
a
+ +

− + +
 
 
De la misma forma ahora procedamos con contribución de 
la 2da cálculo, usando la misma Matriz 
 
Extensión de la Regla de Sarrus a determinantes de 
Matrices de 4x4 
E. Salinas-Hernandez1, G. Ares de Parga2, César R. Martínez García1 
Jesús A. Martínez-Nuño1 
1Departamento de Formación Básica, ESCOM-IPN, México D.F., México 
2Departamento de Física, ESFM-IPN, México D.F., México 
Teléfono (55) 5729-6000 Ext. 55041 E-mail: esalinas@ipn.mx 
 
 
14 11 12 13 14 11
24 21 22 23
a a a a a a
a a a a 24 21a a
34 31 32 33a a a a 34a 31a
44 41 42 43a a a a 44a 41a
24 21 22 23a a a a 24a 21a
34 31 32 33a a a a 34 31a a
( )
( )
12 23 34 41 33 44 21 43 24 31
43 34 21 23 44 31 33 24 41
[
]
a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
− + +

− + +
 
Procedamos ahora, con contribución del 3er cálculo, desde 
luego empleando la misma Matriz 
 
 
14 11 12 13 14 11
24
a a a a a a
a 21 22a a 23 24 21
34
a a a
a 31a 32a 33 34 31
44
a a a
a 41a 42a 43 44 41
24
a a a
a 21a 22a 23 24 21
34
a a a
a 31 32a a
( )
( )
13 24 31 42 34 41 22 44 21 32
44 31 22 24 41 32 34 21 42
33 34 31
[
]
a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
a a a
+ + +

− + +
 
 
Mientras que la última contribución del 4to cálculo es 
 
14 11 12 13 14 11
24 21
a a a a a a
a a 22 23a a 24 21
34 31
a a
a a 32a 33a 34 31
44 41
a a
a a 42a 43a 44 41
24 21
a a
a a 22a 23a 24 21
34 31
a a
a a 32 33a a
( )
( )
14 21 32 43 31 42 23 41 22 33
41 32 23 21 42 33 31 22 43
34 31
[
]
a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
a a
− + +

− + +
 
 
En otras palabras, el Determinante de la matriz 4x4, se 
calcula vía la matriz de 6x6, aplicando las reglas 
desarrolladas anteriormente, de tal manera que al realizar la 
suma de los 4 cálculos anteriores, se tendrá 
 
 
14 11 12 13 14 11
11 12 13 14 24 21 22 23 24 21
21 22 23 24 34 31 32 33 34 31
31 32 33 34 44 41 42 43 44 41
41 42 43 44 24 21 22 23 24 21
34 31 32 33 34 31
a a a a a a
a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a
a a a a a a

 
 
 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
11 22 33 44 32 43 24 42 23 34
42 33 24 22 43 34 32 23 44
12 23 34 41 33 44 21 43 24 31
43 34 21 23 44 31 33 24 41
13 24 31 42 34 41 22 44 21 32
44 31 22 24 41 32 34 21 42
14
[
]
[
]
[
]
[
a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
a
= + +
− + +
− + +
− + +
+ + +
− + +
− ( )
( )
21 32 43 31 42 23 41 22 33
41 32 23 21 42 33 31 22 43 ]
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
+ +
− + +
 
 
En otras palabras, el cálculo del determinante para una 
matriz de 4x4 se puede realizar aplicando directamente éste 
método; sin embargo, vamos a demostrar que esto es 
completamente equivalente a calcularlo de la forma 
tradicional, que por cierto es un camino más largo de hacer, 
es decir 
 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
11 22 33 44 32 43 24 42 23 34
42 33 24 22 43 34 32 23 44
12 23 34 41 33 44 21 43 24 31
43 34 21 23 44 31 33 24 41
13 24 31 42 34 41 22 44 21 32
44 31 22 24 41 32 34 21 42
14
[
]
[
]
[
]
[
a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
a a
+ +
− + +
− + +
− + +
+ + +
− + +
− ( )
( )
21 32 43 31 42 23 41 22 33
41 32 23 21 42 33 31 22 43 ]
a a a a a a a a
a a a a a a a a a
+ +
− + +
 
 
11 22 33 44 34 43 23 32 44 42 34 24 32 43 42 33
12 21 33 44 34 43 23 31 44 34 41 24 31 43 41 33
13 21 44 32 42 34 22 31 44 34 41 24 31 42 32 41
14 21 32 43
[ ( ) ( ) ( )]
[ ( ) ( ) ( ]
[ ( ) ( ) ( )]
[ (
a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a
= − − − + −
− − − − + −
+ − − − + −
− 33 42 22 31 43 33 41 23 31 42 32 41) ( ) ( )]a a a a a a a a a a a a− − − + −
 
 
 
 
33 34 32 3332 34
11 22 23 24
43 44 42 4342 44
33 34 31 3331 34
12 21 23 24
43 44 41 4341 44
32 34 31 34 31 32
13 21 22 24
42 44 41 44 41 42
32 33 31 33
14 21 22 23
42 43 41 43
[ ]
[ ]
[ ]
[
a a a aa a
a a a a
a a a aa a
a a a aa a
a a a a
a a a aa a
a a a a a a
a a a a
a a a a a a
a a a a a
a a a a
a a a a
= − +
− − +
+ − +
− − +
31 32
41 42
]
a
a a
 
 
 
 
 
22 23 24 21 23 24
11 32 33 34 12 31 33 34
42 43 44 41 43 44
21 22 24 21 22 23
13 31 32 34 14 31 32 33
41 42 44 41 42 43
a a a a a a
a a a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a a a
a a a a a a= −
+ −
 
 
 
 
 
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
=
 
 
Y como era de esperarse, se recupera el cálculo del 
Determinante para la Matriz de 4x4 
 
 
EJEMPLO ILUSTRATIVO 
 
A continuación presentaremos un ejemplo sencillo, el cual 
ilustrará claramente el método propuesto por nosotros. 
Considérese la Matriz de 4x4 siguiente 
 
 
2 3 1 5
6 4 8 3
1 5 9 4
10 2 1 3
− 
 
− − 
 − −
 
− 
 
 
Ahora apliquemos el método desarrollado previamente, es 
decir, primero construyamos la matriz 6x6 pertinente y esto 
se hará repitiendo la última columna y colocarla al inicio, así 
como repetir la 1ra columna y colocarla al final 
 
 
2 3 1 5 5 2 3 1 5 2
6 4 8 3 3 6 4 5 3 6
1 5 9 4 4 1 5 9 4 1
10 2 1 3 3 10 2 1 3 10
− −
− − − − − −

− − − − −
− −
 
 
ya posterior a esto, repetir el segundo y tercer renglón y 
colocarlos hasta abajo 
 
5 2 3 1 5 2
5 2 3 1 5 2 3 6 4 8 3 6
3 6 4 5 3 6 4 1 5 9 4 1
4 1 5 9 4 1 3 10 2 1 3 10
3 10 2 1 3 10 3 6 4 8 3 6
4 1 5 9 4 1
−
− − − − −
− − − − − − −

− − − −
− − − − −
− − − −
 
 
Entonces, una vez construida la matriz de 6x6, procedamos 
a emplear el método propuesto 
 
 
5 2 3 1 5 2
3 6 4
+ + − + +
− − + 8 3+ − 6
4 1 5
−
− + − 9+ 4− 1
3 10 2
+
+ + 1− 3 10
3 6 4− − + 8+ 3− 6
4 1 5
−
− + − 9 4− −
(2)[((4)(9)(3) ( 5)( 1)( 3) (2)(8)( 4))
((2)(9)( 3) (4)( 1)( 4) ( 5)(8)(3))]
1
+ − − − + −

− − + − − + −
+
 
 
 
 
5 2 3 1 5 2
3 6 4 8
+ + − + +
− − + + 3 6− −
4 1 5 9− + − + 4− 1+
3 10 2 1+ + − 3+ 10
3 6 4 8− − + + 3− 6−
4 1 5 9− + − − 4 1− +
( 3)[((8)( 4)(10) (9)(3)( 6) ( 1)( 3)(1))
(( 1)( 4)( 6) (8)(3)(1) (9)( 3)(10))]
− − − + − + − −

− − − − + + −
 
 
5 2 3 1 5 2
3
+ + − + +
− 6 4− + 8 3 6
4
+ − −
− 1+ 5− 9 4 1
3
+ − +
+ 10 2+ 1 3 10
3
− +
− 6− 4+ 8 3 6
4
+ − −
− 1 5+ −
( 1)[(( 3)(1)(2) ( 4)(10)(4) (3)( 6)( 5))
((3)(1)(4) ( 3)(10)( 5) ( 4)( 6)(2))]
9 4 1
+ + − + − + − −

− + − − + − −
− − +
 
 
 
5 2 3 1 5 2
3 6
+ + − + +
− − 4 8+ + 3 6
4 1
− −
− + 5− 9+ 4 1
3 10
− +
+ 2+ 1− 3 10
3 6
+
− − 4+ 8+ 3 6
4 1
− −
− + 5 9− −
( 5)[(( 6)( 5)( 1) (1)(2)(8) (10)(4)(9))
((10)( 5)(8) ( 6)(2)(9) (1)(4)( 1))]
4 1
− + − − − + +

− − + − + −
− +
 
 
(Cabe resaltar el hecho de que en los 4 cálculos se ha 
empleado la misma Matriz de 6x6 extendida) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ahora bien, el determinante para la matriz 4x4 de nuestro 
ejemplo, estará dado entonces por 
 
 
(2)[((4)(9)(3) ( 5)( 1)( 3) (2)(8)( 4))
((2)(9)( 3) (4)( 1)( 4) ( 5)(8)(3))]
2 3 1 5 ( 3)[((8)( 4)(10) (9)(3)( 6) ( 1)( 3)(1))
6 4 8 3 (( 1)( 4)( 6) (8)(3)(1) (9)( 3)(10))]
1 5 9 4 ( 1)[(( 3)(1)(2) (
10 2 1 3
+ − − − + −
− − + − − + −
− − − − + − + − −
− − − − − − + + −
=
− − + + − + −
−
4829
4)(10)(4) (3)( 6)( 5))
((3)(1)(4) ( 3)(10)( 5) ( 4)( 6)(2))]
( 5)[(( 6)( 5)( 1) (1)(2)(8) (10)(4)(9))
((10)( 5)(8) ( 6)(2)(9) (1)(4)( 1))]
= −
+ − −
− + − − + − −
− + − − − + +
− − + − + −
 
 
 
CONCLUSIONES 
 
En este trabajo desarrollamos un método sencillo y directo, en 
donde logramos obtener el determinante de una matriz 4x4, con 
simplificaciones en la operatividad tradicional de los cursos de 
algebra lineal. Nuestra intención en trabajos futuros, es extender 
este resultado al caso de una matriz 5x5 
 
REFERENCIAS 
 
[1] Dardan Hajrizaj "New Method Computhe the Determinant of a 3x3 
Matrix"International Journal of Algebra, Vol.3, 2009, no. 5, 2111-219 
 
[2] M.G.Sobamowo "On the extension of Sarrus' Rule to nxn(n>3) 
Matrices: Development of New Method for the Computation of the 
Determinant of 4x4Matrix". International Journal of Engineering 
Mathematics Vol.2016, 14 pags 
 
[3] Yangkok Kim and Nirutt Pipattanajinda "New method for nding the 
dterminanto f a matrix", Chamchuri Journal of mathematics Vol, 9 (2017), 
pags.1-12