Notas 02 Funciones - Axel Sánchez Nazario

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FUNCIONES 
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Para empezar a trabajar con funciones, debemos empezar por definir conjuntos de una manera conveniente a 
nuestros fines. Es así como surge la idea de intervalo. 
 
 
Un intervalo es un conjunto que se define indicando su valor inicial y su valor final. Si los dos extremos son 
números definidos, el intervalo se llama FINITO, y será alguna de las siguientes combinaciones. 
 
 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜
𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜
{
 
 
 
𝐴𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 ( 𝑎 , 𝑏 ) = { 𝑥 | 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 ; 𝑥 ∈ ℝ }
𝐶𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑜 [ 𝑎 , 𝑏 ] = { 𝑥 | 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 ; 𝑥 ∈ ℝ }
𝑠𝑒𝑚𝑖 − 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 { 
[ 𝑎 , 𝑏 ) = { 𝑥 | 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏 ; 𝑥 ∈ ℝ }
( 𝑎 , 𝑏 ] = { 𝑥 | 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏 ; 𝑥 ∈ ℝ }
 
 
 
El símbolo de paréntesis indica que el extremo no se incluye, mientras que el símbolo de corchete indica que el 
extremo sí es parte del intervalo. 
 
 
Si ALGUNO de los extremos son números INFINITOS, el intervalo recibe ese mismo nombre. 
 
 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜
𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜
{
 
 
 
 
 
[ 𝑎 ,∞ ) = { 𝑥 | 𝑎 ≤ 𝑥 ; 𝑥 ∈ ℝ }
( 𝑎 ,∞ ) = { 𝑥 | 𝑎 < 𝑥 ; 𝑥 ∈ ℝ } 
(−∞ , 𝑏 ] = { 𝑥 | 𝑥 ≤ 𝑏 ; 𝑥 ∈ ℝ } 
(−∞ , 𝑏) = { 𝑥 | 𝑥 < 𝑏 ; 𝑥 ∈ ℝ } 
(−∞ ,∞ ) = { 𝑥 | 𝑥 ∈ ℝ } 
 
 
 
El símbolo ∞ se utiliza para señalar que se desconoce el valor de ese extremo, pero es tan grande o tan pequeño, 
que es imposible determinarlo. Por esa razón siempre es un extremo abierto. 
 
 
Recordemos que los números reales ℝ se acostumbran trabajarlos en una recta numérica horizontal: 
 
 
 
A partir del cero y hacia la izquierda, decrecen los números hasta llegar al −∞ mientras que hacia la derecha 
crecen hasta llegar al ∞ 
 
 
Un valor colocado a la derecha de otro, será mayor que el segundo. 
 
 
FUNCIONES 
2 
 
Cuando relacionamos dos intervalos o conjuntos lo hacemos a través de una regla de correspondencia. 
 
 
𝑦 = 𝑥2 + 6𝑥 𝑥 = 3 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑦 = ±√ 𝑥 − 2 𝑦 = 2𝑡
3 + 4𝑡 
 
 
Todas las expresiones anteriores reciben el nombre de Relaciones, porque al hacer las operaciones 
correspondientes, asocian al conjunto de valores de una variable, con el conjunto de valores de la segunda 
variable. 
 
 
Al primer conjunto se le conoce como dominio, mientras que al segundo conjunto se le llama codominio. 
 
 
 
 
De todas las relaciones posibles, nos interesan aquellas que reciben el nombre de función. 
 
 
Para que una relación pueda catalogarse como función, debe cumplir en esencia dos cosas: 
 
 
1) Ningún elemento del dominio puede quedar sin asociado en el codominio 
 
 
2) Ningún elemento del dominio puede tener más de un asociado en el codominio 
 
 
Estas dos condiciones hablan de que valores constituyen el dominio de una función, por lo tanto será la situación 
primaria en el análisis y trabajo con funciones, es decir, establecer claramente su dominio. 
 
 
A este respecto, todas nuestras funciones tendrán por dominio el conjunto de los números reales ( ℝ ), hasta que 
alguna condición, operación o restricción lo impidan. 
 
FUNCIONES 
3 
 
* Función Real de Variable Real 
 
Es la función que tiene por dominio el conjunto de los números Reales y por codominio el conjunto de los números 
Reales. 
ℝ⟶ ℝ 
 
En esta expresión, cuando decimos función real, nos referimos a la naturaleza del codominio, mientras que cuando 
hablamos de variable real, estamos refiriéndonos al dominio. 
 
 
De esta manera, tendremos situaciones como las siguientes, que debemos aprender a leer correctamente: 
 
Función entera de variable real ℝ⟶ ℤ Función real de variable entera ℤ ⟶ ℝ 
Función real de variable compleja ℂ ⟶ ℝ Función racional de variable real ℝ⟶ ℚ 
 
En este curso estaremos trabajando con función real de variable real hasta que se indique otra cosa. 
 
 
* Notación de funciones. 
 
 
Una función se escribe con la notación 𝑦 = 𝑓(𝑥) que se lee “ye igual a efe de equis” 
 
 
La letra entre paréntesis nos indica quien es la variable independiente, en este caso la x, mientras que la variable 
que se encuentra despejada, en este caso la y, es la variable dependiente. 
 
 
La letra 𝑓 representa de manera simbólica, a todas las operaciones que hay que realizar con la variable x para 
obtener su correspondiente valor de y. 
 
 
Esto será aplicable a funciones de muchas variables independientes. Así tendremos: 
 
𝑉 = 𝑓(𝑟 , ℎ) Las variables independientes son r y h, mientras que V es la variable dependiente. 
𝑧 = 𝑓(𝑥 , 𝑦) Las variables independientes son x, y, mientras que z es la variable dependiente. 
 
 
Nuestro curso se limitara a funciones de una sola variable independiente. 
 
FUNCIONES 
4 
 
* Gráfica de una función. 
 
 
Cuando trabajamos funciones de una variable independiente 𝑦 = 𝑓(𝑥), a cada valor de x le corresponde otro valor 
de y. Entonces, tenemos una pareja de valores que necesitamos representar de forma gráfica. 
 
El plano cartesiano es la forma más sencilla de hacer 
esta representación. 
 
El eje de abscisas sirve para ubicar los valores del 
dominio de la función. 
 
En el eje de ordenadas ubicamos los valores de la 
variable dependiente, que se conocen como recorrido 
de la función. 
 
Cada pareja ordenada 𝑃(𝑥 , 𝑦) nos indica el valor x del 
dominio con su correspondiente valor y del recorrido. 
 
 
Al unir los puntos que forman una función en un plano cartesiano, se forma la gráfica de la función. 
 
 
 
 
 
 
Pero recordemos que las funciones deben cumplir sus dos condiciones básicas: 
 
1) Ningún elemento del dominio puede quedar sin asociado en el codominio 
 
2) Ningún elemento del dominio puede tener más de un asociado en el codominio 
 
 
Por lo tanto, habrá gráficas de relaciones que no son función. 
 
 
FUNCIONES 
5 
 
Por ejemplo, en las siguientes gráficas, podemos ver algunas relaciones que no son función: 
 
 
 
 
 
Un truco muy simple para reconocer a una función, es desplazar de manera imaginaria una recta vertical de 
izquierda a derecha. Si la recta toca sólo una vez a la curva en todo su desarrollo, entonces se trata de una función. 
 
 
Basta que en un sólo instante toque más de una vez a la curva, para concluir que no es función. 
 
 
Cuando tenemos una relación y nos interesa trabajar con ella, podemos restringir los valores del recorrido, de 
manera que ya cumpla con la definición de función. 
 
 
Relación pero no función Función (mitad superior) Función (mitad inferior) 
 
 
 
Observemos que restringimos los valores del recorrido para que sea función, pero los valores del dominio 
permanecen siempre incluidos. 
 
 
Elegir la sección superior o inferior dependerá del problema o la situación que le dio origen a la función. 
 
 
 
FUNCIONES 
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* Clasificación de funciones. Una de las formas más empleadas para clasificar funciones, se basa en identificar 
la operación de mayor jerarquía que aparece en su regla de correspondencia. 
 
 
Esto nos conduce a dos grandes grupos: algebraicas y trascendentes. 
 
 
Funciones Algebraicas: son aquellas cuando en la regla de correspondencia sólo intervienen las operaciones 
algebraicas (suma, resta, multiplicación, división, potencia o radicación). 
 
Polinomiales Racionales Irracionales 
𝑓(𝑥) = 4𝑥2 + 𝑥 − 1 𝑓(𝑥) =
 2𝑥2 − 6𝑥 + 3 
𝑥 − 3
 𝑓(𝑥) = √ 𝑥2 + 3 
 
 
Las funciones Polinomiales no tienen ninguna restricción para su dominio, por lo tanto 𝐷𝑓 = ℝ = (−∞ ,∞) 
 
 
Las funciones Racionales tienen por restricción que su divisor nunca sea cero. 
 
 
Las funciones Irracionales tienen por restricción que su radicando sea un valor admisible para la raíz en cuestión. 
 
 
Funciones trascendentes: son aquellas cuando en la regla de correspondencia, al menos una operación no sea 
algebraica. 
 
Trigonométricas Exponenciales Logarítmicas 
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑓(𝑥) = 32𝑥 𝑓(𝑥) = ln(𝑥 − 1) 
 
 
Las funciones trascendentes requieren un estudio másdetallado que será tratado más adelante en estas notas. 
 
 
Otra clasificación de funciones se elabora de acuerdo con la forma en la cual se encuentra expresada la regla de 
correspondencia. 
 
Explícitas Implícitas Paramétricas 
𝑓(𝑥) =
3
2
𝑥 − 7 
𝑥 − 4
2
=
𝑦 + 1
3
 𝑓(𝑥) = { 
𝑥 = 2𝑡 + 4
𝑦 = 3𝑡 − 1
 
 
FUNCIONES 
7 
 
Se dice que la función está en su forma explícita cuando la variable 
dependiente se encuentra despejada en la regla de correspondencia. 
𝑓(𝑥) =
3
2
𝑥 − 7 
 
 
Se dice que la función está en su forma implícita cuando la variable 
dependiente no se encuentra despejada en la regla de correspondencia. 
𝑥 − 4
2
=
𝑦 + 1
3
 
 
 
Se dice que la función está en su forma paramétrica cuando la ambas 
variables, dependiente e independiente, se encuentra trabajando en 
términos de una tercera variable de apoyo, conocida como parámetro. 
𝑓(𝑥) = { 
𝑥 = 2𝑡 + 4
𝑦 = 3𝑡 − 1
 
 
 
Lo interesante de estas tres formas de expresión es que 
cualquiera de ellas habla de la misma función, en 
nuestro ejemplo una recta. 
 
 
Su dominio son todos los valores que puede tomar la 
variable independiente (𝑥) que en este ejemplo es el 
conjunto de números reales. 
 
 
Su recorrido son todos los valores que puede tomar la 
variable dependiente (𝑦) que en este ejemplo es el 
conjunto de números reales. 
 
 
Cuando la función se encuentra en forma paramétrica, 
los valores que puede tomar el parámetro (𝑡) 
determinarán tanto al dominio como al recorrido. 
 
 
 
 
Con un poco de álgebra o trigonometría, podemos ir de una forma a otra en la regla de correspondencia. 
 
 
Esto último será de mucha utilidad en funciones más elaboradas, o al momento de estar resolviendo aplicaciones 
y operaciones superiores, como derivación e integración. 
 
FUNCIONES 
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* Funciones Básicas 
 
Son las funciones más simples y básicas. Haciendo operaciones con ellas, construimos cualquier otra función 
algebraica o trascendente. 
 
 
Función constante 
 
𝑓(𝑥) = 𝑘 𝐷𝑓 = ℝ ; 𝑅𝑓 = 𝑘 
Función identidad 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥 𝐷𝑓 = ℝ ; 𝑅𝑓 = ℝ 
 
 
 
 
* Función valor absoluto 
 
 
Son las funciones que al obtener el valor de 𝑓(𝑥), sólo consideramos su tamaño, sin importar el signo del 
resultado, por lo que siempre tendremos una imagen positiva. 
 
 
Por ejemplo, el valor absoluto de una constante es muy sencillo: 
 
 
| 6 | = 6 | − 5 | = 5 | 0 | = 0 
 
 
Como vemos, cuando el argumento es positivo, se escribe su valor absoluto tal y como se encuentra. 
 
 
Cuando el argumento es negativo, eliminamos el signo y sólo escribimos su tamaño. 
 
 
El cero no tiene signo definido pero su valor absoluto se considera cero. 
 
 
 
FUNCIONES 
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Para trabajar con funciones en valor absoluto, debemos identificar en que valores el argumento es negativo, y en 
ellos cambiarle el signo. 
 
 
Una manera sencilla de cambiar el signo es multiplicar por −1 al argumento. 
 
 
Esto ocasiona que tengamos que escribir la función con varias reglas de correspondencia, indicando el intervalo 
de trabajo para cada una de ellas. 
 
𝑓(𝑥) = | 𝑥 | = { 
−𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0
𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
 
 
 
𝐷𝑓 = (−∞ ,∞ ) 𝑅𝑓 = [ 0 , ∞ ) 
 
 
El punto donde la función “rebota” con el eje X, se 
conoce como vértice. 
 
 
 
Muchas veces, tenemos la duda de donde se encuentran los vértices y como trazamos la gráfica resultante para 
una función en valor absoluto. 
 
 
Los vértices se encuentran donde el argumento resulte cero. Por ejemplo con 𝑓(𝑥) = | 𝑥2 − 4 | 
 
 
Tenemos que identificar cuando 𝑥2 − 4 = 0 
 
 
Al resolver la ecuación, tenemos 𝑥 = −2 o también 𝑥 = 2 
 
 
¿Cómo se obtiene su gráfica? 
 
 
Cuando multiplicamos un valor de 𝑓(𝑥) por −1 estamos obteniendo su simétrico con respecto del eje X. Entonces 
basta con hacer la gráfica de la ecuación sin el valor absoluto, y después trazar la parte de la curva que se encuentre 
por debajo del eje X simétrica con él. 
 
 
 
FUNCIONES 
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𝑦 = 𝑥2 − 4 𝑦 = | 𝑥2 − 4 | 
 
 
 
Podemos observar como toda la sección de la curva que se encuentra por debajo del eje X, al multiplicarla por 
−1 se refleja simétricamente hacia arriba del eje X. 
 
Entonces, la función se puede escribir así 𝑓(𝑥) = | 𝑥2 − 4 | = { 
𝑥2 − 4 𝑠𝑖 𝑥 ∈ (−∞ ,−2 ] ∪ [ 2 ,∞ )
4 − 𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 ∈ ( −2 , 2 ) 
 
 
 
El dominio es 𝐷𝑓 = ℝ y su recorrido es 𝑅𝑓 = [ 0 ,∞ ) 
 
 
Este ejercicio no acaba de llevar a otra situación muy frecuente en la vida cotidiana: la función que define un 
problema no siempre se puede establecer con una sola regla de correspondencia. 
 
 
* Función definida por más de una regla de correspondencia. 
 
 
Es una función que por su naturaleza, no es posible de describir con una sola regla de correspondencia, sino que 
dependiendo del intervalo donde se encuentra la variable independiente 𝑥, tendrá una regla de correspondencia 
específica para dicho intervalo. 
 
 
El recorrido de la función será la unión de los intervalos en donde se mueve 𝑓(𝑥) para cada una de sus reglas de 
correspondencia. 
 
 
Es importante vigilar que en los cambios de regla de correspondencia NUNCA se encuentren dos diferentes 
valores de 𝑓(𝑥), para que siga siendo una función. 
 
FUNCIONES 
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Por ejemplo la función 
 
 
𝑓(𝑥) = { 
2𝑥 + 4 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −1 
 2 𝑠𝑖 − 1 < 𝑥 < 3
𝑥 − 2 𝑠𝑖 𝑥 > 3 
 
 
 
Tiene por dominio 𝐷𝑓 = ℝ− { 3 } 
 
 
Y por recorrido 𝑅𝑓 = ℝ 
 
 
 
Observa que no son tres funciones separadas. Son la misma función pero cada regla de correspondencia trabaja 
en intervalos diferentes de su dominio. 
 
 
La unión de todos esos intervalos de la variable independiente constituye el dominio de la función. 
 
 
De igual manera, la unión de todos los intervalos que toma la variable dependiente constituye el recorrido de la 
función. 
 
 
Los puntos donde la función cambia de una regla de correspondencia a otra, son puntos de especial atención, por 
lo que se les conoce como puntos críticos. 
 
 
En ellos, no deben existir dos valores diferentes para 𝑓(𝑥). 
 
 
En nuestro ejemplo, el cambio en 𝑥 = −1, solo tocamos a la función con la primera regla de correspondencia. 
 
 
En 𝑥 = 3 tenemos un salto en la función. En nuestro ejemplo, ninguno de los extremos se incluyó. Esto es válido 
siempre y cuando eliminemos al valor 𝑥 = 3 del dominio de la función. 
 
 
Como los puntos son infinitamente pequeños, para poderlos apreciar en la gráfica, dibujamos dos agujeros en 
donde quedan esos valores. 
 
FUNCIONES 
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* Función par y función impar. 
 
 
Cuando trabajamos con funciones, en ocasiones se presentan características interesantes, que pueden ser útiles 
para algunos desarrollos posteriores. Tal es el caso de las funciones par e impar. 
 
 
Se llama función par, a aquella en donde se verifica que 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) 
 
 
Su cualidad es que su gráfica resulta simétrica con respecto del eje Y. 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 ⟹ 𝑓(−𝑥) = (−𝑥)2 = 𝑥2 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 ⟹ 𝑓(−𝑥) = cos(−𝑥) = cos 𝑥 
 
 
 
 
Se llama función impar, a aquella en donde se verifica que 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) 
 
 
Su cualidad es que su gráfica resulta simétrica con respecto del origen. 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 ⟹ 𝑓(−𝑥) = (−𝑥)3 = −𝑥3 𝑓(𝑥) = sen 𝑥 ⟹ 𝑓(−𝑥) = sen(−𝑥) = − sen𝑥 
 
 
 
 
 
 
FUNCIONES 
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* Ejercicio: Determina el dominio, recorrido y gráfica de las siguientes funciones. 
 
𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 1 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 6𝑥 
𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 4𝑥 − 1 𝑓(𝑥) = | 𝑥2 − 1 | 
𝑦 =
 | −𝑥2 + 4𝑥 + 5 | 
3
 𝑦 =
 | 𝑥2 + 10𝑥 + 29 | 
4
 
𝑦 = −1 − √ 9 − (𝑥 + 2)2 𝑦 = −2 + √ (𝑥 + 2)2 − 4 
𝑓(𝑥) =
{
 
 
 
𝑥2 + 2 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [ −2 , 0 )
 2 𝑠𝑖 𝑥 ∈ ( 0 , 2 )
4 −
𝑥2
2
 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [ 2 , 4 ]
 𝑓(𝑥)= { 
 𝑥2 + 2𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −2
√ 9 − (𝑥 − 1)2 𝑠𝑖 − 2 < 𝑥 ≤ 1
 3𝑥 − 4 𝑠𝑖 𝑥 > 1
 
𝑥2 − 4𝑦 + 6 = 0 𝑦 = 3𝑥 + 2𝑦2 
𝑥𝑦 = 1 𝑦3 = 𝑥 − 2 
𝑓(𝑥): { 
𝑥 = 2𝑡 − 2
𝑦 = 4 − 𝑡 
 𝑓(𝑥): { 
𝑥 = 2𝑡 + 2 
𝑦 = 2𝑡2 + 4𝑡
 
𝑓(𝑥): { 
𝑥 = 3 𝑐𝑜𝑠2𝜃
𝑦 = 2 cos 𝜃 
 𝑓(𝑥): { 
𝑥 = 3 cos 𝜃
𝑦 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝜃
 
 
 
 
FUNCIONES 
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* Funciones trigonométricas circulares. 
 
 
Son las funciones que se construyen a partir de un círculo unitario (su radio es 1) que trazamos en un plano 
cartesiano con centro en el origen. 
 
A partir del punto 𝑃(1 , 0) se traza un arco de 
circunferencia de longitud 𝜃 medido en radianes (en la 
figura en color verde). 
 
Desde el punto final de este arco se traza un segmento 
de recta con el centro de la circunferencia, que 
evidentemente mide 1 unidad por ser un radio. 
 
Desde el punto final del arco trazamos un segmento 
perpendicular al eje X. La longitud de esta altura se 
conoce como 𝑠𝑒𝑛 𝜃 
 
Si unimos la base de esta altura con el centro de la 
circunferencia, tenemos un segmento de recta al cual 
llamamos cos 𝜃 
 
 
De la Geometría Euclidiana sabemos que el ángulo central 𝜃 de la circunferencia, es igual a la longitud de arco 
𝜃 , por lo cual podemos trabajar el argumento de las funciones trigonométricas circulares tanto en grados 
sexagesimales (dividimos a la circunferencia en 360 partes iguales que llamamos grados) como en radianes 
(longitud decimal de una arco). 
 
 
Convenciones: 
 
i) Los arcos de circunferencia medidos en contra de las manecillas del reloj serán positivos, mientras que 
si se trazan a favor de las manecillas del reloj serán negativos. 
 
ii) Los segmentos de recta medidos hacia la derecha del origen son positivos mientras que los medidos 
hacia la izquierda serán negativos. 
 
iii) Los segmentos de recta medidos hacia arriba del origen son positivos mientras que los medidos hacia 
abajo serán negativos. 
 
En base con estas referencias, para cualquier valor de 𝜃 
 
 
𝑠𝑒𝑛 𝜃 ∈ [ −1 , 1 ] cos 𝜃 ∈ [ −1 , 1 ] 
 
 
FUNCIONES 
15 
 
Las otras cuatro funciones trigonométricas provienen de una relación entre las dos básicas: 
 
tan 𝜃 =
𝑠𝑒𝑛 𝜃
cos 𝜃
 cot 𝜃 =
cos 𝜃
𝑠𝑒𝑛 𝜃
 sec 𝜃 =
1
cos 𝜃
 csc 𝜃 =
1
𝑠𝑒𝑛 𝜃
 
 
 
Inclusive la identidad trigonométrica Pitagórica básica 𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 1 proviene del triángulo rectángulo de 
la figura anterior. 
 
 
Ahora bien, como el arco de circunferencia 𝜃 puede seguir dando tantas vueltas como se quiera, hacia el sentido 
positivo como al sentido negativo, de inmediato nos percatamos que las funciones trigonométricas circulares son 
cíclicas, es decir, se repiten a cada tanto de valores. 
 
 
En el terreno del cálculo, nos interesa el dominio, recorrido y grafica de cada una de ellas, identificando el período 
de repetición de los valores. 
 
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + 2𝜋) 𝐷𝑓 = ℝ 𝑅𝑓 = [ −1 , 1 ] 𝑃𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜: 2𝜋 
 
 
 
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 + 2𝜋) 𝐷𝑓 = ℝ 𝑅𝑓 = [ −1 , 1 ] 𝑃𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜: 2𝜋 
 
 
 
En estas gráficas podemos observar como las funciones 𝑠𝑒𝑛 𝑥 y cos 𝑥 siguen la misma trayectoria pero 
desfasadas entre ellas 𝜋 2⁄ 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 = 90° 
 
FUNCIONES 
16 
 
𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛 (𝑥 + 𝜋) 𝐷𝑓 = ℝ− { 
2𝑛 − 1
2
𝜋 ; 𝑛 ∈ ℤ } 𝑅𝑓 = ℝ 𝑃𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜: 𝜋 
 
 
 
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡 𝑥 = 𝑐𝑜𝑡 (𝑥 + 𝜋) 𝐷𝑓 = ℝ− { 𝑛 𝜋 ; 𝑛 ∈ ℤ } 𝑅𝑓 = ℝ 𝑃𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜: 𝜋 
 
 
 
 
 
FUNCIONES 
17 
 
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 (𝑥 + 2𝜋) 𝐷𝑓 = ℝ− { 
2𝑛 − 1
2
𝜋 ; 𝑛 ∈ ℤ } 𝑅𝑓 = (−∞,−1] ∪ [1,∞) 𝑃𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜: 2𝜋 
 
 
 
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑠𝑐 𝑥 = 𝑐𝑠𝑐 (𝑥 + 2𝜋) 𝐷𝑓 = ℝ− { 𝑛 𝜋 ; 𝑛 ∈ ℤ } 𝑅𝑓 = (−∞,−1] ∪ [1,∞) 𝑃𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜: 2𝜋 
 
 
 
 
FUNCIONES 
18 
 
Las funciones trigonométricas son muy útiles como podemos apreciar en los siguientes ejemplos: 
 
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝐷𝑓 = ℝ 𝑅𝑓 = [ −1 , 1 ] 𝑃𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜: 2𝜋 
 
 
Si en esta función multiplicamos por 2 al argumento, la gráfica conserva su amplitud de [ −1 , 1 ] pero acelera su 
período. La frecuencia aumenta, pero conserva su amplitud. 
 
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝐷𝑓 = ℝ 𝑅𝑓 = [ −1 , 1 ] 𝑃𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜: 𝜋 
 
 
Si la función original se multiplica por 2, la gráfica aumenta su amplitud de [ −2 , 2 ] conservando su período. La 
frecuencia se conserva, pero aumenta su amplitud. 
 
𝑓(𝑥) = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝐷𝑓 = ℝ 𝑅𝑓 = [ −2 , 2 ] 𝑃𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜: 2𝜋 
 
 
FUNCIONES 
19 
 
Si a la función original le sumamos 2, la gráfica conserva su amplitud, pero ahora ocurre en otro rango de valores, 
en este caso de [ 1 , 3 ] conservando su período. La curva sólo se traslada en Y. 
 
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 2 𝐷𝑓 = ℝ 𝑅𝑓 = [ 1 , 3 ] 𝑃𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜: 2𝜋 
 
 
Si en la función original le sumamos al argumento 2, la gráfica conserva su amplitud de [ −1 , 1 ] pero ahora 
ocurren en otro intervalo de valores de X. La curva sólo se traslada en X. 
 
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + 2) 𝐷𝑓 = ℝ 𝑅𝑓 = [ −1 , 1 ] 𝑃𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜: 2𝜋 
 
 
Si la función original se multiplica por −1, todos los valores cambian de signo. La curva es el reflejo simétrico 
de la original con respecto del eje X. 
 
𝑓(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝐷𝑓 = ℝ 𝑅𝑓 = [ −1 , 1 ] 𝑃𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜: 2𝜋 
 
 
 
FUNCIONES 
20 
 
* Funciones trigonométricas hiperbólicas. 
 
Cuando trabajamos funciones trigonométricas circulares, nos apoyamos en un círculo unitario con centro en el 
origen cartesiano. 
 
Ahora, las funciones trigonométricas hiperbólicas, las vamos a definir desde una hipérbola equilátera cóncava 
hacia las X, con centro en el origen. (Sólo utilizaremos la rama de la derecha de la hipérbola) 
 
A partir del punto 𝑃(1 , 0) se traza un arco de 
hipérbola de longitud 𝜃 medido en radianes (en la 
figura en color verde). 
 
 
Desde el punto final del arco trazamos un segmento 
perpendicular al eje X. La longitud de esta altura se 
conoce como 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝜃 
 
 
Si unimos la base de esta altura con el centro de la 
hipérbola, tenemos un segmento de recta al cual 
llamamos cosh 𝜃 
 
 
Convenciones: 
 
i) Los arcos de hipérbola medidos hacia arriba del eje X serán positivos, mientras que si se miden hacia 
abajo del eje X serán negativos. 
 
ii) Los segmentos medidos hacia la derecha del origen son positivos. 
 
iii) Los segmentos medidos hacia arriba del origen son positivos mientras que los medidos hacia abajo 
serán negativos. 
 
 
De estas convenciones y con ayuda de la gráfica, podemos darnos cuenta que el argumento 𝜃 de las funciones 
trigonométricas hiperbólicas se encuentra comprendido en todos los Reales, es decir 𝜃 ∈ ℝ 
 
En base con estas referencias, para cualquier valor de 𝜃 
 
𝑠𝑒𝑛ℎ 𝜃 ∈ ℝ cosh 𝜃 ∈ [ 1 ,∞ ) 
 
 
 
FUNCIONES 
21 
 
Las otras cuatro funciones trigonométricas provienen de una relación entre las dos básicas: 
 
tanh 𝜃 =
senh 𝜃
cosh 𝜃
 coth 𝜃 =
cosh 𝜃
senh 𝜃
 sech 𝜃 =
1
cosh 𝜃
 csch 𝜃 =
1
senh 𝜃
 
 
 
La grafica también nos permite observar que las funciones trigonométricas crecen o decrecen muy rápido con 
relación a los valores del argumento, por lo que se acostumbra manejar una equivalencia con funciones 
exponenciales al estar trabajando. 
 
De esta manera, tenemos que su dominio, recorrido y gráfica lucen así 
 
𝑓(𝑥) = senh 𝑥 =
𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥
2
 𝑓(𝑥) = cosh 𝑥 =
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
2
 
𝐷𝑓 = ℝ 𝑅𝑓 = ℝ 𝐷𝑓 = ℝ 𝑅𝑓 = [ 1 , ∞ ) 
 
 
 
𝑓(𝑥) = tanh 𝑥 =
senh 𝑥
cosh 𝑥
=
𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
 𝐷𝑓 = ℝ 𝑅𝑓 = ( −1 , 1 ) 
 
 
FUNCIONES 
22 
 
 
 
 
𝑓(𝑥) = coth 𝑥 =
cosh 𝑥
senh 𝑥
=
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥
 
 
 
𝐷𝑓 = ℝ− {0} 
 
 
𝑅𝑓 = (−∞ ,−1) ∪ (1 , ∞ ) 
 
 
 
𝑓(𝑥) = sech 𝑥 =
1
cosh 𝑥
=
2
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
 𝐷𝑓 = ℝ 𝑅𝑓 = ( 0 , 1 ] 
 
 
 
 
 
𝑓(𝑥) = csch 𝑥 =
1
senh 𝑥
=
2
𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥𝐷𝑓 = ℝ− {0} 
 
 
𝑅𝑓 = ℝ− {0} 
 
 
 
FUNCIONES 
23 
 
* Función logaritmo natural. 
 
Es una función que aparece con mucha frecuencia en matemáticas. Sin entrar en mayores detalles, se define así: 
 
 
𝑓(𝑥) = ln 𝑥 = ∫ 
1
𝑡
𝑥
1
 𝑑𝑡 𝑐𝑜𝑛 𝑥 > 0 
 
 
𝐷𝑓 = ( 0 ,∞ ) 𝑅𝑓 = ℝ 
 
 
La curva es asintótica con el eje Y, cruza al eje X en 
el valor 𝑥 = 1, y nunca deja de crecer hacia la derecha. 
 
 
El número 𝑒 es el valor en el cual ln 𝑒 = 1 
 
 
Las principales propiedades de la función ln 𝑥 son: 
 
ln 1 = 0 ln( 𝑎𝑏 ) = ln 𝑎 + ln 𝑏 ln 𝑒𝑥 = 𝑥 
ln 𝑒 = 1 ln ( 
𝑎
𝑏
 ) = ln 𝑎 − ln 𝑏 ln 𝑎𝑥 = 𝑥 ln 𝑎 
 
* Ejercicio: Determina el dominio, recorrido y gráfica para las siguientes funciones: 
 
 
𝑓(𝑥) = ln( 2𝑥 ) 𝑓(𝑥) = ln( −𝑥 ) 𝑓(𝑥) = ln( 𝑥 − 1 ) 
 
 
La función Logaritmo Natural puede ser muy útil como operador para simplificar expresiones, y ayudar a resolver 
más fácilmente derivadas e integrales. 
 
Por ejemplo, apliquemos el operador logaritmo natural a la expresión 𝑦 = √ 
𝑥 − 1
𝑥2
 
3
 
 
ln 𝑦 = ln(√ 
𝑥 − 1
𝑥2
 
3
) = ln ( 
𝑥 − 1
𝑥2
 )
1
3
=
1
3
 ln ( 
𝑥 − 1
𝑥2
 ) =
1
3
 [ ln(𝑥 − 1) − ln(𝑥2) ] 
 
FUNCIONES 
24 
 
Entonces resulta 
ln 𝑦 = ln(√ 
𝑥 − 1
𝑥2
 
3
) =
1
3
 [ ln(𝑥 − 1) − 2 ln(𝑥) ] 
 
 
Este procedimiento se puede aplicar para desarrollar el logaritmo natural de una expresión, pero también para 
simplificar expresiones de sumas y restas de logaritmos en un solo logaritmo natural. 
 
 
* Ejercicio: Aplica el operador logaritmo natural a la siguiente expresión: 
 
𝑦 =
√ 1 − 𝑥2 
(𝑥 + 1)2 3⁄
 
 
 
* Ejercicio: Simplifica a un sólo argumento las siguientes expresiones con logaritmo natural: 
 
 
1
2
ln(𝑥 + 1) − ln 𝑥 ln(𝑥 − 2) − ln(𝑥 + 2) + 2 ln 𝑥 
1
2
ln(𝑥 − 9) +
1
2
ln 𝑥 
 
 
* Función logaritmo de base a. 
 
La función ln 𝑥 utiliza como base el número 𝑒. Si empleamos cualquier otro número real como base, tendremos 
los logaritmos generales de base 𝑎 
 
𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥 𝐷𝑓 = (0 ,∞) 𝑅𝑓 = ℝ 
 
 
Todas las funciones logaritmo, sin importar su base, 
pasan por el punto (1 , 0) 
 
 
Identificamos el valor de la base localizando la 
intersección de la curva con la recta 𝑦 = 1, el valor 
correspondiente de 𝑥 es la base en cuestión. 
 
Para toda función logaritmo se cumple 
 
𝑦 = log𝑎 𝑥 =
ln 𝑥
ln 𝑎
 
 
FUNCIONES 
25 
 
Es decir, cualquier función logaritmo se podrá escribir como una equivalencia de la función logaritmo natural. 
 
 
Por ejemplo 
𝑦 = log5(3𝑥 − 1) =
ln(3𝑥 − 1)
ln 5
 
 
 
Por supuesto que ln 5 es una constante y por lo tanto, se puede trabajar como tal. 
 
 
* Función exponencial. 
 
En términos simples, es la función inversa de la función logaritmo natural. 
 
𝑦 = exp 𝑥 = 𝑒𝑥 ⟺ 𝑥 = ln 𝑦 
 
 
𝑓(𝑥) = exp 𝑥 = 𝑒𝑥 𝐷𝑓 = ℝ 𝑅𝑓 = (0 ,∞) 
 
 
La función siempre es positiva, creciente y tiene una 
asíntota horizontal que es el eje X 
 
 
𝑓(0) = 𝑒0 = exp 0 = 1 
 
 
𝑓(1) = 𝑒1 = exp 1 = 𝑒 
 
 
𝑒 = 2.718281828459045 
 
 
 
Aunque el valor del número 𝑒 también se le ha definido de las siguientes maneras 
 
 
𝑒 = lim
ℎ → ∞
 (1 + ℎ)1 ℎ⁄ 𝑒 = lim
𝑛→∞
∑ 
1
𝑛!
∞
𝑛 = 0
= lim
𝑛 → ∞
( 1 +
1
1!
+
1
2!
+
1
3!
+ ⋯+
1
𝑛!
 ) 
 
 
FUNCIONES 
26 
 
Las principales propiedades de la función exponencial son: 
 
𝑒0 = 1 𝑒1 = 𝑒 𝑒ln𝑥 = 𝑥 ; 𝑥 > 0 
𝑒𝑎𝑒𝑏 = 𝑒𝑎+𝑏 
𝑒𝑎
𝑒𝑏
= 𝑒𝑎−𝑏 𝐷𝑥 𝑒
𝑥 = 𝑒𝑥 
 
 
La última propiedad nos dice que la derivada de la función exponencial, da por resultado la misma función 
exponencial. 
 
 
* Función exponencial de base 𝒂 
 
Al igual que con los logaritmos, si cambiamos la base de trabajo, tendremos las funciones exponenciales de 
cualquier base 𝑎 
 
 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 𝐷𝑓 = ℝ 𝑅𝑓 = (0 ,∞) 
 
 
La función siempre es positiva, creciente y tiene una 
asíntota horizontal que es el eje X 
 
 
𝑓(0) = 𝑎0 = 1 
 
 
𝑓(1) = 𝑎1 = 𝑎 
 
 
𝑎𝑥 = ln 𝑎 ( 𝑒𝑥 ) 
 
 
Hasta este momento hemos planteado funciones de potencias en las cuales el exponente es constante o la base es 
una constante 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥4 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 𝑓(𝑥) = 4𝑥 
 
 
Finalmente podemos establecer que la potencia más complicada es una variable elevada a otra variable. 
 
FUNCIONES 
27 
 
* Función exponencial general 
 
𝑦 = 𝑢𝑣 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑢 = 𝑓(𝑥) ; 𝑣 = 𝑔(𝑥) 
 
 
Por ejemplo la función 𝑓(𝑥) = (𝑠𝑒𝑛 𝑥)2𝑥 
 
 
Evidentemente, el dominio y recorrido, así como la gráfica de la función son bastante más elaboradas que todos 
los casos vistos anteriormente, y por consiguiente, necesitaremos más y mejores herramientas para trabajar con 
ellas. 
 
 
 
* Operaciones con funciones. 
 
 
Existen muchas operaciones que se pueden aplicar a funciones, pero en este tema nos vamos a concentrar en las 
siguientes: 
 
igualdad adición sustracción producto 
 
división composición inversa 
 
 
Igualdad: Dos funciones son iguales cuando sus reglas de correspondencia son iguales y están definidas en el 
mismo dominio. 
 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) 𝑦 𝑎𝑑𝑒𝑚á𝑠 𝐷𝑓 = 𝐷𝑔 
 
 
Para las operaciones algebraicas suma, resta, producto y división, sólo se requiere hacer la operación requerida 
con las reglas de correspondencia de las funciones originales. 
 
 
Sin embargo, la operación algebraica sólo se podrá realizar si 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 ≠ ∅ 
 
 
En tal caso, el dominio de la operación estará comprendido en la intersección de los dominios originales, 
incluyendo las nuevas restricciones que la operación genere. 
 
FUNCIONES 
28 
 
* Ejercicio: Tomando como base las siguientes funciones, realiza la operación indicada, indicando el dominio de 
la nueva función. 
 
𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 2 𝑔(𝑥) = 4𝑥2 + 2𝑥 − 1 ℎ(𝑥) = 5𝑥 + 2 
 
 
𝑖(𝑥) = √ 𝑥2 − 4 𝑗(𝑥) = 4𝑥
2 + 2𝑥 − 1 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ≥ 0 
 
 
𝑘(𝑥) = { 
𝑥 + 1 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑥 < 0
 2𝑥 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 < 1
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑖 3 < 𝑥 < 5 
 
 
 
Operaciones: 
𝑓 + 𝑔 𝑗 − 𝑘 ℎ ∙ 𝑔 𝑖 − 𝑓 
ℎ
𝑗
 
𝑔
𝑘
 
 
 
 
* Composición de funciones. 
 
Esta es una operación que se realiza entre dos o más funciones. Surge de la necesidad por aplicar una función al 
resultado de otra función, conservando el dominio de la primera. 
 
En el esquema podemos apreciar como desde el 
dominio de la función 𝑔, llegamos a su recorrido 𝑅𝑔 
 
 
Este conjunto servirá ahora como dominio de la 
función 𝑓, con lo que finalmente llegaremos al 𝑅𝑓 
 
 
La operación composición 𝑓 ∘ 𝑔 nos permite hacer el 
proceso anterior con una sola regla de 
correspondencia, partiendo del 𝐷𝑔 y terminando en 𝑅𝑓 
 
 
En términos formales definimos a la composición de 𝑓(𝑥) sobre 𝑔(𝑥) así 
 
 
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) 𝑐𝑜𝑛 𝐷𝑓∘𝑔 = { 𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐷𝑔 ; 𝑔(𝑥) ∈ 𝐷𝑓 } 
 
 
Por lo general 𝑓 ∘ 𝑔 ≠ 𝑔 ∘ 𝑓 con lo que se concluye que la composición no es conmutativa. 
FUNCIONES 
29 
 
Entonces la composición 𝑓 ∘ 𝑔 solo será posible cuando 𝑅𝑔 ∩ 𝐷𝑓 
 
 
Por lo tanto, el dominio de la función composición 𝐷𝑓∘𝑔 siempre será un subconjunto del dominio 𝐷𝑔 
 
 
El recorrido de la función composición 𝑅𝑓∘𝑔 será un subconjunto del recorrido 𝑅𝑓 
 
 
Al momento de realizar la composición de dos funciones debemos ser cuidadosos, puesto que parece ser sólo una 
simple sustitución. Sin embargo, la validez de la nueva función proviene cuando se cumplan los supuestos de la 
definición. 
 
 
Por ejemplo, se requiere 𝑓 ∘ 𝑔 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 1 𝑔(𝑥) = √ 𝑥 + 2 
 
 
Empezamos obteniendo el dominio y recorrido de ambas funciones 
 
 
𝐷𝑓 = ℝ 𝑅𝑓 = [ 1 , ∞ ) 𝐷𝑔 = [ −2 ,∞ ) 𝑅𝑔 = [ 0 ,∞ ) 
 
 
Para cumplir con la definición de composición, investigamos 𝑅𝑔 ∩ 𝐷𝑓 = [ 0 ,∞ ) 
 
 
Entonces ya podemos hacer la composición 
 
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 3(√𝑥 + 2)2
+ 1 = 3(𝑥 + 2) + 1 = 3𝑥 + 6 + 1 = 3𝑥 + 7 
 
 
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 3𝑥 + 7 
 
 
𝐷𝑓∘𝑔 = [ −2 , ∞ ) 
 
 
𝑅𝑓∘𝑔 = [ 1 , ∞ ) 
 
 
Podemos apreciar que el resultado fue una recta, pero 
su dominio trabaja en 𝑥 ≥ −2 
 
 
FUNCIONES 
30 
 
* Ejercicio: Determina (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) para las siguientes funciones: 
 
a) 𝑓(𝑥) = √ 𝑥2 − 1 𝑔(𝑥) =
2
𝑥
 b) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 1 
 
 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 1 𝑔(𝑥) = √ 𝑥 + 2 
3
 d) 𝑓(𝑥) = √ 𝑥 − 2 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 4 
 
 
 
* Función Inversa. 
 
 
El objetivo de esta operación es regresarnos del 
recorrido de una función al dominio que le dio origen. 
 
Por lo tanto, sólo deberemos invertir todas las parejas 
ordenadas que forman a la función, para así obtener su 
función inversa. 
 
( 𝑥 , 𝑦 ) ∈ 𝑓−1 ⟺ ( 𝑦 , 𝑥 ) ∈ 𝑓 
 
 
La función inversa debe cumplir con las condiciones de una función 
 
1) Ningún elemento del dominio puede quedar sin asociado en el codominio 
 
2) Ningún elemento del dominio puede tener más de un asociado en el codominio 
 
 
Para asegurarnos que esto se cumpla, la función original debe ser uno a uno. Si no lo cumple, debemos restringir 
los valores del dominio para que su recorrido ya cumpla con esta condición. 
 
 
Después, basta con intercambiar las variables independiente y dependiente una por la otra, en todas las parejas 
ordenadas de la función. En la regla de correspondencia de la función original, cambiaremos a una variable por 
la otra y ya tendremos la regla de correspondencia de la función inversa. 
 
 
Al hacerlo, el dominio de la función original 𝐷𝑓 pasará a ser el recorrido de la inversa 𝑅𝑓−1 y el recorrido de la 
función original 𝑅𝑓 pasará a ser el dominio de la inversa 𝐷𝑓−1 
 
Las gráficas de una función y su inversa siempre son simétricas con relación a la función identidad 𝑦 = 𝑥 
 
FUNCIONES 
31 
 
Por ejemplo, se requiere la función inversa de la siguiente función: 
 
 
𝑓 = { ( 𝑥 , 𝑦 ) | 𝑦 = 2𝑥 + 3 ; 𝑥 ∈ [ −2 , 2 ]} 
 
 
Se observa que es un segmento de recta con pendiente 2, por lo tanto es uno a uno y admite inversa. 
 
 
Para encontrarla sólo debemos cambiar de orden todas las parejas, y en la regla de correspondencia 
intercambiamos 𝑥 con 𝑦 
 
 
𝑓−1 = { ( 𝑦 , 𝑥 ) | 𝑥 = 2𝑦 + 3 ; 𝑦 ∈ [ −2 , 2 ]} 
 
 
Esta ya es la función inversa, aunque se encuentra en forma implícita. Si se requiere su forma explícita, basta con 
despejar a la variable dependiente 𝑦 inversa 
 
𝑓−1 = { ( 𝑥 , 𝑦 ) | 𝑦 =
𝑥 − 3
2
 ; 𝑥 ∈ [ −1 , 7 ]} 
 
 
 
𝐷𝑓 = [ −2 , 2 ] 𝑅𝑓 = [ −1 , 7 ] 
 
 
𝐷𝑓−1 = [ −1 , 7 ] 𝑅𝑓−1 = [ −2 , 2 ] 
 
 
Se puede apreciar como las gráficas de ambas 
funciones son simétricas con respecto de la función 
identidad 𝐼 
 
 
Este último hecho ocasiona que siempre 
 
 
𝑓 ∘ 𝑓−1 = 𝑓−1 ∘ 𝑓 = 𝐼 
 
 
 
FUNCIONES 
32 
 
* Ejercicio: Determina la función inversa para cada una de las siguientes funciones, investigando primero si 
admite inversa. Dibuja la gráfica de ambas funciones, indicando su dominio y recorrido. 
 
 
𝑓(𝑥) = { ( 𝑥 , 𝑦 ) | 4(𝑥 − 2)2 − 9(𝑦 − 3)2 = 36 ; 𝑥 ≥ 5 ; 𝑦 ≥ 3 } 
 
 
𝑔(𝑥) = { ( 𝑥 , 𝑦 ) | 𝑦 = 4 − √ 25 − (𝑥 − 3)2 ; 3 < 𝑥 ≤ 8 } 
 
 
ℎ(𝑥) =
1 + 𝑥
𝑥
 
 
 
 
* Funciones trigonométricas circulares inversas. 
 
 
Las funciones trigonométricas circulares son cíclicas, por lo tanto no son uno a uno. Por ejemplo 
 
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝐷𝑓 = ℝ 𝑅𝑓 = [ −1 , 1 ] 𝑃𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜: 2𝜋 
 
 
 
Sin embargo, es necesario tratar con la inversa de esta función. Para ello lo que hacemos es restringir el dominio 
original de la función, de manera que sea biunívoca, sin dejar fuera a ningún valor del recorrido original. 
 
 
El truco será elegir un intervalo del dominio que abarque a todo el recorrido, que se encuentre lo más cerca del 
centro de la gráfica, y que incluya todos los posibles valores antes de que se empiecen a repetir. 
 
 
De esta forma, se define la rama principal para la función. 
 
 
 
FUNCIONES 
33 
 
Rama principal de la función 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
 
 
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
 
 
𝐷𝑓 = [ −
𝜋
2
 ,
𝜋
2
 ] 𝑅𝑓 = [ −1 , 1 ] 
 
 
 
Con estas características ya es uno a uno, y por lo tanto 
admite inversa, la cual definimos así: 
 
 
Función inversa de 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
 
 
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛−1𝑥 = 𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
 
 
𝐷𝑓−1 = [ −1 , 1 ] 𝑅𝑓−1 = [ −
𝜋
2
 ,
𝜋
2
 ] 
 
 
 
 
Todas las funciones trigonométricas circulares son cíclicas, pero tienen una rama principal y con ella se pueden 
definir sus funciones inversas. 
 
 
Dichas inversas son las que se usan de forma cotidiana en el mundo. De hecho, con ellas se programan las 
calculadoras y computadoras. 
 
 
Cuando un problema requiere otra sección de la función trigonométrica, decimos que se trata de una rama 
secundaria. 
 
 
A continuación, se describen las ramas principales de las funciones trigonométricas circulares, así como sus 
funciones inversas. 
 
 
 
 
FUNCIONES 
34 
 
Rama principal de la función cos 𝑥 
 
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
 
𝐷𝑓 = [ 0 , 𝜋 ] 𝑅𝑓 = [ −1 , 1 ] 
 
Función inversa de 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
 
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠−1𝑥 = 𝑎𝑛𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
 
𝐷𝑓−1 = [ −1 , 1 ] 𝑅𝑓−1 = [ 0 , 𝜋 ] 
 
 
 
 
Rama principal de la función tan 𝑥 
 
𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛 𝑥 
 
𝐷𝑓 = (−
𝜋
2
 ,
𝜋
2
) 𝑅𝑓 = ℝ 
 
Función inversa de 𝑡𝑎𝑛 𝑥 
 
𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛−1𝑥 = 𝑎𝑛𝑔 𝑡𝑎𝑛 𝑥 
 
𝐷𝑓−1 = ℝ 𝑅𝑓−1 = (−
𝜋
2
 ,
𝜋
2
) 
 
 
 
FUNCIONES 
35 
 
Rama principal de la función cot 𝑥 
 
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡 𝑥 
 
𝐷𝑓 = (0 , 𝜋) 𝑅𝑓 = ℝ 
 
Función inversa de 𝑐𝑜𝑡 𝑥 
 
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡−1𝑥 = 𝑎𝑛𝑔 𝑐𝑜𝑡 𝑥 
 
𝐷𝑓−1 = ℝ 𝑅𝑓−1 = (0 , 𝜋) 
 
 
 
 
Rama principal de la función sec 𝑥 
 
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 
 
𝐷𝑓 = [ −𝜋 , −
𝜋
2
 ) ∪ [ 0 ,
𝜋
2
 ) 
 
𝑅𝑓 = (−∞ , −1 ] ∪ [ 1 , ∞) 
 
Función inversa de 𝑠𝑒𝑐 𝑥 
 
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐−1𝑥 = 𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑒𝑐 𝑥 
 
𝐷𝑓−1 = (−∞ , −1 ] ∪ [ 1 ,∞) 
 
𝑅𝑓−1 = [ −𝜋 , −
𝜋
2
 ) ∪ [ 0 ,
𝜋
2
 ) 
 
 
 
FUNCIONES 
36 
 
Rama principal de la función csc 𝑥 
 
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑠𝑐 𝑥 
 
𝐷𝑓 = (−𝜋 , −
𝜋
2
 ] ∪ ( 0 ,
𝜋
2
 ] 
 
𝑅𝑓 = (−∞ , −1 ] ∪ [ 1 , ∞) 
 
Función inversa de 𝑐𝑠𝑐 𝑥 
 
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑠𝑐−1𝑥 = 𝑎𝑛𝑔 𝑐𝑠𝑐 𝑥 
 
𝐷𝑓−1 = (−∞ , −1 ] ∪ [ 1 ,∞) 
 
𝑅𝑓−1 = (−𝜋 , −
𝜋
2
 ] ∪ ( 0 ,
𝜋
2
 ] 
 
 
 
 
 
 
* Funciones trigonométricas hiperbólicas inversas. 
 
Las funciones trigonométricas hiperbólicas son biunívocas con excepción de 𝑓(𝑥) = cosh 𝑥 y 𝑓(𝑥) = sech 𝑥, en 
las cuales tendremos que restringir su dominio. Así llegamos a las siguientes definiciones: 
 
 
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛ℎ−1𝑥 
 
𝑓(𝑥) = ln ( 𝑥 + √ 𝑥2 + 1 ) 
 
 
𝐷𝑓 = ℝ 𝑅𝑓 = ℝ 
 
 
 
FUNCIONES 
37 
 
 
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠ℎ−1𝑥 
 
𝑓(𝑥) = ln ( 𝑥 + √ 𝑥2 − 1 ) 
 
 
𝐷𝑓 = [ 1 ,∞ ) 𝑅𝑓 = [ 0 ,∞ ) 
 
 
 
 
 
𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛ℎ−1𝑥 
 
𝑓(𝑥) =
1
2
ln ( 
1 + 𝑥
1 − 𝑥
 ) 
 
 
𝐷𝑓 = (−1 , 1 ) 𝑅𝑓 = ℝ 
 
 
 
 
 
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡ℎ−1𝑥 
 
𝑓(𝑥) =
1
2
ln ( 
𝑥 + 1
𝑥 − 1
 ) 
 
 
𝐷𝑓 = (−∞ , −1 ) ∪ ( 1 ,∞ ) 
 
 
𝑅𝑓 = ℝ− {0} 
 
 
 
FUNCIONES 
38 
 
 
 
 
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐ℎ−1𝑥 
 
𝑓(𝑥) = ln( 
1 + √1 − 𝑥2
𝑥
 ) 
 
 
𝐷𝑓 = ( 0 , 1 ] 𝑅𝑓 = [ 0 , ∞ ) 
 
 
 
 
 
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑠𝑐ℎ−1𝑥 
 
𝑓(𝑥) = ln( 
1 + √1 + 𝑥2
𝑥
 ) 
 
 
𝐷𝑓 = (−∞ , 0 ) ∪ ( 0 ,∞ ) 
 
 
𝑅𝑓 = ℝ− {0} 
 
 
 
 
* Formulación de funciones. 
 
El objeto de toda función es representar el comportamiento de un proceso, para iniciar desde ahí su estudio, y su 
posterior aprovechamiento. 
 
 
Sin embargo, formular una función no siempre es simple, y en ocasiones se necesita mucha experiencia en el 
ramo que se está tratando de describir. 
 
 
En estas notas, se describe una guía muy general, con lo que el sentido común nosdice para plantear una función, 
partiendo de una situación específica. 
FUNCIONES 
39 
 
Pasos para plantear funciones: 
 
 
1) COMPRENDER EL PROBLEMA. Determinando constantes, variables y dependencias. 
 
 
2) Trazar un diagrama o modelo geométrico auxiliar. (Nos ayudará a entender el problema) 
 
 
3) ESTABLECER UN MODELO MATEMÁTICO, sin importar cuantas variables presente. 
 
 
4) SIMPLIFICAR LA ECUACIÓN a una sola variable independiente, apoyado en ecuaciones auxiliares, datos o 
condiciones del problema. 
 
 
Ejemplo: Determina una función que defina el volumen de un cilindro circular recto, inscrito en un cono circular 
recto que mide 5m de radio y 12m de altura, en términos del radio del cilindro. 
 
 
Lo primero que hacemos es preguntarnos: 
 
 
¿QUÉ QUIERO ENCONTRAR? 
 
 
En este caso, el volumen de un cilindro circular recto. 
 
 
𝑉 = 𝜋𝑟2ℎ 
 
 
Ya es una función pero tiene dos variables independientes, 𝑟 (radio) y ℎ (altura), que en notación de funciones se 
escribe así 
𝑓(𝑟 , ℎ) = 𝜋𝑟2ℎ 
 
 
Una función será más simple para trabajar mientras menor sea el número de variables independientes que 
involucra. En este curso solo estableceremos funciones con una sola variable independiente. 
 
 
Normalmente podemos elegir cual será la variable independiente, pero en este caso nos solicitan que sea el radio. 
 
FUNCIONES 
40 
 
 
Si en nuestra figura hacemos un corte frontal, se 
forman varios triángulos semejantes que podemos 
aprovechar, y con ellos obtenemos las siguientes 
relaciones de semejanza: 
 
 
12
5
=
ℎ
5 − 𝑟
=
12 − ℎ
𝑟
 
 
 
Despejando la altura en la primer igualdad 
 
 
ℎ =
12
5
 ( 5 − 𝑟 ) 
 
 
Llevando este resultado a la función objetivo 
 
𝑉 = 𝜋𝑟2ℎ = 𝜋𝑟2 [ 
12
5
 ( 5 − 𝑟 ) ] 
 
 
Simplificando tenemos 
𝑉(𝑟) =
12
5
𝜋 ( 5𝑟2 − 𝑟3 ) 
 
 
Para terminar establecemos el dominio de la función. 
 
 
El menor radio real que podemos usar es cero, por lo tanto será el extremo inferior. Lo consideramos un extremo 
abierto, para que siempre exista cilindro. 
 
Como el cilindro no se puede salir del cono, el mayor radio posible es 5, que será el extremo superior. Lo 
consideramos abierto, para que siempre exista cilindro. 
 
 
Entonces, el dominio de la función volumen es 𝐷𝑓 = ( 0 , 5 ) 
 
 
NOTA: SIEMPRE DEBEMOS ESPECIFICAR EL DOMINIO, ya que es la parte de una función que nos 
indica para que intervalo se encuentra definida. 
 
FUNCIONES 
41 
 
* Ejercicio: Establecer una función para las siguientes situaciones. Recuerda indicar el dominio de la función. 
 
 
a) Determina una función para encontrar la suma de las áreas de un triángulo equilátero y un cuadrado, en 
términos del lado del triángulo, si sabemos que la suma de sus perímetros es de 210cm. 
 
 
 
b) Un rectángulo tiene dos vértices en el eje X, y los otros dos sobre la parábola 𝑦 = 12 − 𝑥2 
Determina una función para conocer el área del rectángulo en términos de x 
 
 
 
c) Un canalón metálico para agua se forma doblando una lámina de 35 𝑐𝑚 en tres lados. Las caras laterales 
miden 10cm y el fondo mide 15cm. 
 
 
Las caras laterales se doblan formando un ángulo 𝜃 
con la horizontal. 
 
 
Determina una función para conocer la capacidad del 
canalón en términos del ángulo 𝜃 
 
 
 
d) Una fábrica tiene capacidad para producir de 0 a 100 televisores diarios. Los gastos generales fijos de la 
fábrica son de $ 22,000 y el costo directo para producir un televisor es de $ 450. 
 
Determina una función para conocer el costo total de producir 𝑥 televisores al día, y determina otra función 
para saber el costo unitario medio de un televisor. Dibuja las gráficas de ambas funciones. 
 
 
 
e) Un tanque de lámina tiene forma de cilindro circular recto de longitud 𝐿 y radio 𝑟, cerrado por dos semiesferas 
en sus extremos. 
 
Si solo se dispone de 4 𝑚2 de lámina, determina 
una función para conocer la capacidad del tanque 
en términos del radio 𝑟 
 
 
 
FUNCIONES 
42 
 
f) Se requiere construir un túnel con la sección mostrada 
en la figura. 
 
Por restricciones de construcción, debe tener un 
perímetro de 40 𝑚 
 
Determina una función para obtener el área de la 
sección en términos del radio 𝑎