Álgebra_9_Wenceslao_Reséndiz_Aguilar - Wenceslao Reséndiz

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SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA DEL ESTADO DE HIDALGO 
DIRECCIÓN GENERAL DE FORMACIÓN Y SUPERACIÓN DOCENTE 
DEPARTAMENTO DE ESCUELAS NORMALES 
ESCUELA NORMAL SUPERIOR PÚBLICA DEL ESTADO DE HIDALGO 
TEOREMA DE LOS CEROS RACIONALES 
REGLA DE RUFINI Y TEOREMAS DE LOS FACTORES LINEALES 
ÁLGEBRA Y FUNCIONES 
 
Wenceslao Reséndiz Aguilar 
Teorema sobre ceros racionales de un polinomio 
 
Si el polinomio 
𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2𝑥
2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 
Tiene coeficientes enteros y 
𝒄
𝒅
 es un número racional de 𝑝(𝑥) tal que 𝑐 y 𝑑 no posean un factor primo 
común, entonces 
a) El numerador c del cero es un factor del término constante 𝑎0 
b) El denominador d del cero es un factor del coeficiente 𝑎𝑛 
 
Como ayuda, para recordar este importante teorema, únicamente tenemos que considerar este cociente: 
 
𝑃𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠 =
𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑡é𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑎0
𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑎𝑛 
 
 
Teorema sobre la expresión de un polinomio expresado como un producto de factores 
lineales 
 
Todo polinomio 
𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2𝑥
2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 
De grado n se puede expresar como un producto de n factores lineales 
𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛(𝑥 − 𝑐1)(𝑥 − 𝑐2)(𝑥 − 𝑐3)(𝑥 − 𝑐𝑛) donde los números 𝑐𝑖 son los ceros de 𝑝(𝑥), 
posiblemente complejos y algunos pueden repetirse. 
 
División sintética 
 
Un método muy sencillo que nos sirve para factorizar un polinomio 𝑝(𝑥) en sus factores lineales 𝑥 − 𝑐 es la 
regla de Ruffini, matemático y médico italiano, que consiste en el acomodo de los coeficientes del 
polinomio 𝑝(𝑥) y el término 𝑐 de la siguiente manera: 
 
Regla de Ruffini 
 
Ejemplo 1: 
Efectuar la siguiente división 
 
 
 
Paso 1. Colocamos los coeficientes del dividendo en una fila. En caso de que el polinomio no esté completo se 
completa con ceros en los lugares correspondientes. 
 
 
 
 
 
 
 
Paso 2. Se coloca la constante 𝑐 en este caso 1 con signo cambiado 
 
 
 
 
 
 
 
Paso 3. Se baja el primer coeficiente (3) 
 
 
 
 
 
 
 
Paso 4. Se multiplica 1 por 3 y se acomoda debajo del 13 para después sumarse. 
 
 
 
 
 
 
 
Paso 5. Se vuelve a repetir el proceso, ahora el 1 se multiplica por 16 y se coloca debajo de -13 para después 
sumarse. 
 
 
 
 
 
 
 
Finalmente el resultado de la división es 3𝑥2 + 16𝑥 + 3 y residuo 5 
 
Ejercicio 1 
 
Verifique, utilizando el teorema del residuo que 𝑝(1) = 5 es decir 
 
𝑝(1) = 3( 1 )3 + 13( 1 )2 − 13( 1 ) + 2 = 3 + 13 − 13 + 2 = 5 
 
Ejemplo 2. Verifique que el polinomio 𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 − 5𝑥 − 6 es divisible por (𝑥 − 2), (𝑥 + 1) 𝑦 (𝑥 + 3) 
 
Para que el polinomio p(x) sea divisible por los binomios requeridos el residuo debe ser cero para cada división 
de acuerdo al teorema del factor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 2. 
 
Verifique utilizando el teorema del factor que los binomios (𝑥 − 2), (𝑥 + 1) 𝑦 (𝑥 + 3) son factores del 
polinomio p(x), es decir, verifique para cada uno de los casos que: 𝑝(2) = 0, 𝑝(−1) = 0 𝑦 𝑝(−3) = 0 
 
𝑝(2) = (2)3 + 2(2)2 − 5(2) − 6 = 8 + 8 − 10 − 6 = 0 
 
 
𝑝(−1) = (−1)3 + 2(−1)2 − 5(−1) − 6 = −1 + 2 + 5 − 6 = 0 
 
 
𝑝(−3) = (−3)3 + 2(−3)2 − 5(−3) − 6 = −27 + 18 + 15 − 6 = 0 
 
 
Actividad 1. Ceros racionales de un polinomio 
 
Encuentra los ceros racionales de las siguientes funciones polinomiales 
 
a) 𝒑(𝒙) = 𝟐𝒙𝟒 + 𝒙𝟑 − 𝟕𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟑 
 
Para hallar los ceros racionales recordemos el siguiente cociente 
 
𝑃𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠 =
𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑡é𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑎0
𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑎𝑛 
 
 
Los divisores de 𝑎0 = 3 𝑠𝑜𝑛 1, −1, 3 𝑦 − 3 mientras los de 𝑎𝑛 = 2 𝑠𝑜𝑛 1, −1, 2 𝑦 − 2 
 
Entonces los candidatos a ceros racionales son 1, −1,
1
2
, −
1
2
, 3, −3,
3
2
 𝑦 −
3
2
 
Se pueden probar todas las posibilidades, pero para este ejemplo, solo probaremos algunos casos. 
Utilizando la regla de Ruffini 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Al evaluar todas las posibilidades de los ceros racionales solo se encontraron dos ceros racionales que son 
−1 𝑦 
1
2
 
 
Nota: 
Para no evaluar todas las posibilidades con la regla de Ruffini puedes utilizar el teorema del factor y evaluar 
todos los candidatos a ceros de la función polinomial en la calculadora Minimath cuya dirección electrónica es 
http://www.minimath.net/index_es.ghtm 
 
Recordemos que Todo polinomio 
𝒑(𝒙) = 𝒂𝒏𝒙
𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏𝒙
𝒏−𝟏 + ⋯ + 𝒂𝟐𝒙
𝟐 + 𝒂𝟏𝒙 + 𝒂𝟎 
De grado n se puede expresar como un producto de n factores lineales de la forma 
𝒑(𝒙) = 𝒂𝒏(𝒙 − 𝒄𝟏)(𝒙 − 𝒄𝟐)(𝒙 − 𝒄𝟑)(𝒙 − 𝒄𝒏) 
 
 
Por lo tanto el polinomio se puede escribir como el siguiente 
producto de factores lineales que obtuvimos con los ceros del 
polinomio y por el polinomio que resta 
 
𝒑(𝒙) = 𝟐𝒙𝟒 + 𝒙𝟑 − 𝟕𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟑 = (𝒙 + 𝟏) (𝒙 −
𝟏
𝟐
) (𝟐𝒙𝟐 − 𝟔) 
Factorizando el binomio cuadrático 
𝟐𝒙𝟐 − 𝟔 = 𝟐(𝒙𝟐 − 𝟑) 
𝒑(𝒙) = 𝟐𝒙𝟒 + 𝒙𝟑 − 𝟕𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟑 = 𝟐(𝒙 + 𝟏) (𝒙 −
𝟏
𝟐
) (𝒙𝟐 − 𝟑) 
Ahora igualando a cero el binomio cuadrático 
 
 𝒙𝟐 = 𝟑 
 
𝒙 = ±√𝟑 
http://www.minimath.net/index_es.ghtm
Finalmente podemos escribir la factorización completa 
 
𝒑(𝒙) = 𝟐(𝒙 + 𝟏) (𝒙 −
𝟏
𝟐
) (𝒙 + √𝟑)(𝒙 − √𝟑) 
 
Y los ceros de la función polinomial son los siguientes 
 
𝑥1 = −1, 𝑥2 =
1
2
, 𝑥3 = √𝟑 𝒚 𝑥4 = −√𝟑 
 
b) 𝒑(𝒙) = 𝒙𝟒 + 𝟑𝒙𝟑 − 𝟑𝟎𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟓𝟔 
 
Solución: 
 
Aplicando el teorema de los ceros racionales 
 
Los divisores de 𝑎0 =56 𝑠𝑜𝑛 1, −1, 2, −2, 4, −4, 7, −7,8, −8,14, −14,28, −28,56 𝑦 − 56 
Los divisores de 𝑎𝑛 = 1 𝑠𝑜𝑛 1 𝑦 − 1 
 
Para hallar los ceros racionales se divide cada uno de los divisores de 𝑎0 entre cada uno de los divisores de 𝑎𝑛 
Los candidatos a ceros son los siguientes números 1, −1, 2, −2, 4, −4, 7, −7,8, −8,14, −14,28, −28,56 𝑦 − 56 
 
Encontramos dos de los cuatro posibles ceros: 
 
𝐶𝑒𝑟𝑜𝑠: 4, −7 
 
Empleando la regla de Ruffini 
 
 1 3 -30 -6 56 
4 4 28 -8 -56 
 1 7 -2 -14 0 
-7 -7 0 14 
 1 0 -2 0 
 
 
Con estos ceros del polinomio podemos escribir sin 
problema su factorización total. 
 
𝑝(𝑥) = (𝑥 − 4)(𝑥 + 7)(𝑥2 − 2) 
 
Ahora igualando a cero el binomio cuadrático 
 
x2 = 2 
x = ±√2 
 
 
Finalmente podemos escribir la factorización completa 
𝑝(𝑥) = (𝑥 − 4)(𝑥 + 7)(𝑥 + √2)(𝑥 − √2) 
 
 
Los ceros de p(x) son 
 
𝑥1 = 4 
𝑥2 = −7 
𝑥3 = −√2 
𝑥4 = √2 
 
 
 
 
 
c) 𝒑(𝒙) = 𝟐𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟕𝒙 + 𝟑𝟎 
 
 
Aplicando el teorema de los ceros racionales 
 
Los divisores de 𝑎0 =30 𝑠𝑜𝑛 1, −1, 2, −2,3, −3,5, −5,6, −6,10, −10,15, −15 
Los divisores de 𝑎𝑛 = 2 𝑠𝑜𝑛 1, −1,2 𝑦 − 2 
 
Para hallar los ceros racionales se divide cada uno de los divisores de 𝑎0 entre cada uno de los divisores de 𝑎𝑛 
Los candidatos a ceros son los siguientes números 1, −1,
2, −2,3, −3,5, −5,6, −6,10, −10,15, −15,
1
2
, −
1
2
,
3
2
, −
3
2
,
5
2
, −
5
2
,
15
2
, −
15
2
 
 
Encontramos los tres posibles ceros: 
 
𝐶𝑒𝑟𝑜𝑠: 2, −3,
5
2
 
 
Empleando la regla de Ruffini 
 
 2 -3 -17 30 
2 4 2 -30 
 2 1 -15 0 
-3 -6 15 
 2 -5 0 
5/2 5 
 2 0 
 
 
 
Con estos ceros del polinomio podemos escribir sin 
problema su factorización total. 
 
𝑝(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥 + 3) (𝑥 −
5
2
) 
 
Los ceros de p(x) son 
 
𝑥1 = 2 
𝑥2 = −3 
𝑥3 =
5
2
 
 
 
 
 
d) 𝒑(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 − 𝟖 
 
Aplicando el teorema de los ceros racionales 
 
Los divisores de 𝑎0 =8 𝑠𝑜𝑛 1, −1, 2, −2,4, −4,8 𝑦 − 8 
Los divisores de 𝑎𝑛 = 1 𝑠𝑜𝑛 1𝑦 − 1 
 
Para hallar los ceros racionales se divide cada uno de los divisores de 𝑎0 entre cada uno de los divisores de 𝑎𝑛 
Los candidatos a ceros son los siguientes números 1, −1, 2, −2,4, −4,8 𝑦− 8 
 
Encontramos los tres posibles ceros: 
 
𝐶𝑒𝑟𝑜𝑠: −1, −2,4 
 
Empleando la regla de Ruffini 
 
 1 -1 -10 -8 
-1 -1 2 8 
 1 -2 -8 0 
-2 -2 8 
 1 -4 0 
4 4 
 1 0 
 
Con estos ceros del polinomio podemos escribir sin 
problema su factorización total. 
 
𝑝(𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥 + 2)(𝑥 − 4) 
 
Los ceros de p(x) son 
 
𝑥1 = −1 
𝑥2 = −2 
𝑥3 = 4 
 
 
 
 
 
 
 
e) 𝒑(𝒙) = 𝟑𝒙𝟓 − 𝟏𝟎𝒙𝟒 − 𝟔𝒙𝟑 + 𝟐𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟏𝒙 − 𝟔 
 
 
Solución: 
 
Aplicando el teorema de los ceros racionales 
 
Los divisores de 𝑎0 = −6 𝑠𝑜𝑛 1, −1, 2, −2, 3, −3, 6 𝑦 − 6 
Los divisores de 𝑎𝑛 = 3 𝑠𝑜𝑛 1, −1, 3, −3 
 
Para hallar los ceros racionales se divide cada uno de los divisores de 𝑎0 entre cada uno de los divisores de 𝑎𝑛 
 
Por ejemplo tomemos el primer divisor de 𝑎0 y lo dividimos entre cada uno de los divisores de 𝑎𝑛 
1
1
= 1, 
1
−1
= −1, 
1
3
,
1
−3
= −
1
3
 
Para el −1 queda lo mismo 
Ahora lo hacemos para tercer divisor. 
2
1
= 2, 
2
−1
= −2, 
2
3
,
2
−3
= −
2
3
 
Y así sucesivamente para obtener todos los ceros 
 
Los candidatos a ceros son los siguientes números 1, -1, 2, -2, 3, -3, 1/3, -1/3, 2/3 y -2/3 
 
Hacer la división sintética con la regla de Ruffini es un poco laboriosa entonces recurrimos al teorema de factor, 
si lo recuerdas dice lo siguiente el binomio (x-c) es un factor de p(x) si y solo si p(c)=0. Para que este proceso 
se nos simplifique podemos utilizar Minimath y evaluar reiteradamente los valores propuestos para los ceros 
del polinomio. 
 
Encontramos cuatro posibles: 
 
𝐶𝑒𝑟𝑜𝑠: 1, 2, 3 𝑦 
1
3
 
 
Empleando la regla de Ruffini 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Con estos ceros del polinomio podemos escribir sin 
problema su factorización total. 
 
𝑝(𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 3)(𝑥 −
1
3
 )(3𝑥 + 3) 
 
Factorizando 3𝑥 + 3 = 3(𝑥 + 1) 
 
Queda: 
𝑃(𝑥) = 3(𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 3) (𝑥 −
1
3
 ) (𝑥 + 1) = 3(𝑥 + 1)2(𝑥 − 2)(𝑥 − 3) (𝑥 −
1
3
 ) 
Los ceros de p(x) son 
𝑥1, 𝑥2 = −1 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 2, 𝑥3 = 2, 𝑥4 = 3 𝑦 𝑥5 =
1
3
 
 
Impresión de pantalla para evaluar un polinomio con Minimath