Matemáticas para Economistas 1

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DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA
Pontificia Universidad Católica del Perú
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DEPARTAMENTO DE
ECONOMÍA
MATERIAL DE ENSEÑANZA
 Nº 5
ME
DECON
MATEMÁTICAS
 PARA
ECONOMISTAS
 Tessy Grace Vásquez
 
 
 
 
MATERIAL DE ENSEÑANZA N° 5 
 
 
 
 
MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS 1 
 
 
 
 
 
 Tessy Grace Vásquez Baos 
 
 
 
 
Abril, 2019 
 
 
 
 
 
 
 
DEPARTAMENTO 
DE ECONOMÍA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATERIAL DE ENSEÑANZA 5 
http://files.pucp.edu.pe/departamento/economia/ME005.pdf 
http://files.pucp.edu.pe/departamento/economia/ME005.pdf
Matemáticas para Economistas 1 
Material de Enseñanza 5 
 
© Tessy Grace Vásquez Baos 
 
Av. Universitaria 1801, Lima 32 – Perú. 
Teléfono: (51-1) 626-2000 anexos 4950 - 4951 
econo@pucp.edu.pe 
www.pucp.edu.pe/departamento/economia/ 
 
 
Encargado de la Serie: José Rodríguez 
Departamento de Economía – Pontificia Universidad Católica del Perú, 
jrodrig@pucp.edu.pe 
 
 
Tessy Grace Vásquez Baos 
 
Matemáticas para Economistas 1 
Lima, Departamento de Economía, 2019 
(Material de enseñanza 5) 
 
PALABRAS CLAVE: Matemáticas para la Economía. Funciones. Matrices. 
Vectores. Cálculo. Análisis real 
 
 
Las opiniones y recomendaciones vertidas en estos documentos son responsabilidad de sus 
autores y no representan necesariamente los puntos de vista del Departamento Economía. 
 
 
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú Nº 2019-05533 
ISSN 2413-8606 (Impreso) 
ISSN (En línea –en trámite) 
 
 
 
 
mailto:econo@pucp.edu.pe
mailto:jrodrig@pucp.edu.pe
Notas de Clases
Prof. Ramón Garćıa Cobián
Matemáticas para Economistas I1
Tessy Grace Vásquez Baos
Agosto, 2018
1Las notas fueron revisadas por el Prof. Ramón Garćıa Cobián, el Prof. Ale-
jandro Lugon y no hubiera sido posible sin la asistencia en redación de Christian
Marav́ı, Marco Cerón y César Castro; aśı como el apoyo del Departamento de
Economı́a, en ese entonces a cargo del Prof. Waldo Mendoza.
Matemática para Economistas 1 
 
Tessy Grace Vásquez Baos 
 
Resumen 
El presente texto consolida las notas de las clases dictadas por el Prof. Ramón García-Cobián en el 
curso “Matemática para Economistas 1". Aborda conceptos básicos de matrices, vectores y funciones, 
así como una introducción al cálculo y análisis en Rn, incluyendo espacio euclidiano, cálculo diferencial 
y el teorema de la función implícita. Este texto tiene como objetivo servir de guía a los estudiantes de 
los primeros ciclos de la carrera de economía. 
Palabras Clave: Matemáticas para la Economía. Funciones. Matrices. Vectores. Cálculo. Análisis real. 
Códgo JEL: C02 
 
Abstract 
This document presents the classroom notes of Prof. Ramón García-Cobián for the "Mathematics for 
Economics 1" course. The notes cover the concepts of matrices, vectors and functions as well as 
providing an introduction of calculus and analysis on Rn, including Euclidean space, differential calculus 
and the implicit function theorem. The objective is to serve as a guide for students in the first year of 
the Economics degree program. 
Key Words: Mathematics for economics. Functions. Matrix. Vectors. Calculus. Real Analysis. 
Jel Code: C02. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Índice general
1. Nociones de Funciones, Matrices y Vectores 3
1.1. Elementos de un modelo económico . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Ecuaciones del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1. Ecuación de definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2. Ecuación de comportamiento . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.3. Ecuación de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Teoŕıa de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4. Números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5.1. Funciones Reales de Variable Real . . . . . . . . . . . . 8
1.5.2. Funciones Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.3. Funciones Trascendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.4. Funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6.1. Matriz de números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6.2. Matriz identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6.3. Nociones de Igualdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6.4. Suma de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6.5. Multiplicación de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6.6. Resta Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6.7. Propiedades de la Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6.8. Determinante de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6.9. Propiedades de los Determinantes . . . . . . . . . . . . 25
1.6.10. Solución de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . 28
1.7. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.7.1. Multiplicación vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.7.2. Interpretación geométrica de vectores . . . . . . . . . . 32
1
2 ÍNDICE GENERAL
1.7.3. Interpretación geómétrica del vector por un escalar . . 33
1.7.4. Independencia lineal de dos vectores . . . . . . . . . . 33
1.8. Análisis del Equilibrio Económico . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.8.1. Equilibrio Parcial del Mercado . . . . . . . . . . . . . . 37
1.8.2. Modelos de Equilibrio parcial . . . . . . . . . . . . . . 37
1.8.3. Modelos de Equilibrio General . . . . . . . . . . . . . . 40
1.8.4. Modelo Macroeconómico . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2. Nociones de Cálculo y Análisis en Rn 45
2.1. Espacio Euclidiano Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.1.1. Generación de un Subespacio . . . . . . . . . . . . . . 46
2.1.2. Espacio Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.1.3. Distancia o Métrica en un Conjunto . . . . . . . . . . . 52
2.1.4. Sistemas de Ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . 53
2.2. Cálculo Diferencial y Análisis Matemático . . . . . . . . . . . 56
2.2.1. Tasa de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.2.2. Tasa de cambio de variable dependiente . . . . . . . . . 59
2.2.3. Propiedades de la Derivada: . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.2.4. Continuidad y diferenciabilidad de una función . . . . . 68
2.2.5. Concepto Riguroso de Continuidad . . . . . . . . . . . 69
2.2.6. Reglas de las derivadas o de diferenciación . . . . . . . 71
2.2.7. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.2.8. Función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.2.9. Diferenciación parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.2.10. Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.2.11. Diferencial total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.2.12. Reglas diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2.2.13. Teorema de la función impĺıcita . . . . . . . . . . . . . 105
Caṕıtulo 1
Nociones de Funciones,
Matrices y Vectores
1.1. Elementos de un modelo económico
Más allá de las particularidades de cada modelo económico, la totalidad
de estos posee una serie de elementos bien definidos:
1. Variables endógenas: son aquellas variables cuyos valores se deter-
minan dentro del modelo.
2. Variables exógenas: son aquellas variables cuyos valores se determi-
nan fuera del modelo.
3. Parámetros: se define de esta forma a cualesquiera variables que se
presenten en el modelo y que a la vez desempeñenel rol de constante
en el modelo.
1.2. Ecuaciones del modelo
1.2.1. Ecuación de definición
A lo largo del texto se hará referencia abreviada a expresiones en términos
de elementos ya conocidos. Por ello se recurre a la ecuación de definición,
3
4CAPÍTULO 1. NOCIONES DE FUNCIONES, MATRICES Y VECTORES
relación que posee la forma:
Definiens︸ ︷︷ ︸
Lo Definido
:= Definiendum︸ ︷︷ ︸
La Definición
Ejemplo 1.2.1 Una definición básica dentro del marco de la contabilidad
nacional es la de demanda agregada:
Demanda
agregada︸ ︷︷ ︸
Y d
:=
Consumo
privado︸ ︷︷ ︸
C
+
Inversión
total︸ ︷︷ ︸
I
+
Consumo
público︸ ︷︷ ︸
G
+
Exportaciones
netas︸ ︷︷ ︸
XN
. (1.1)
En (1,1), el simbolo := debe leerse como sigue ‘es definido(a) como’.
1.2.2. Ecuación de comportamiento
Una vez establecidas las variables de trabajo, las ecuaciones de compor-
tamiento explicitan las hipótesis hechas. Por ejemplo, la ecuación:
C = C(Y
+
)
plantea una relación directa entre el consumo privado C y el nivel de ingresos
Y . Por relación directa se entiende que a mayores niveles de ingreso mayor
será el nivel de consumo privado. En términos formales:
C(Y0) < C(Y1) para todo Y0 y Y1 tal que Y0 < Y1.
De manera análoga se plantea una relación inversa entre la inversión privada
y la tasa de interés:
I = I(r
−
)
y, de manera similar, por relación inversa se entiende que a mayores niveles
de tasas de interés menor será el nivel de inversión que corresponde. Formal-
mente se cumple:
I(r0) > I(r1) para todo r0 y r1 tal que r0 < r1.
Ejemplo 1.2.2 La oferta agregada depende de los factores de producción,
como el capital (K) y el trabajo (L):
Y s = Y s(K,L).
1.3. TEORÍA DE CONJUNTOS 5
1.2.3. Ecuación de equilibrio
Como es habitual, la combinación de relaciones de comportamiento gene-
ran funciones de oferta y demanda. Tradicionalmente, una forma común de
interacción entre oferta y demanda es la condición de equilibrio de mercado,
la cual estipula:
Demanda = Oferta.
1.3. Teoŕıa de conjuntos
Dado que el lenguaje en términos de conjuntos será de uso extensivo,
convencionalmente el śımbolo ∈ denotará una relación de pertenencia.
Definición 1.3.1 (Axioma de Extensión) Dos conjuntos son iguales si
poseen los mismos elementos. Es decir:
∀X, Y : X = Y ⇔ (∀z : z ∈ X ⇐⇒ z ∈ Y ).
Al respecto el primer intento por elaborar una teoŕıa de conjuntos provino
de Cantor en el siglo XIX, lo cual resultó en una teoŕıa intuitiva. En el siglo
XX, B. Russell formula la siguiente paradoja:
∀x : x ∈ x ∨ x /∈ x
y def́ınase:
ϑ := {x : x /∈ x}.
Por lo tanto:
(ϑ ∈ ϑ) ∨ (ϑ /∈ ϑ).
Pero, si ϑ ∈ ϑ, entonces, por definición de ϑ, se sigue que ϑ /∈ ϑ. Y si ϑ /∈ ϑ,
igualmente se sigue que ϑ ∈ ϑ. De cualquier manera surge una contradicción.
Posteriormente, y como consecuencia de la paradoja, surge la axiomati-
zación de las teoŕıas, atribuida a Peano, Zermelo y Von Neumann.
Definición 1.3.2 (Axioma de Especificación) Si existe un conjunto y está
dada una ‘idea’1, entonces existe un conjunto formado por los elementos de
1Idea expresable en el lenguaje formal de la teoŕıa, como P (x), siendo P un predicado
y x una variable libre.
6CAPÍTULO 1. NOCIONES DE FUNCIONES, MATRICES Y VECTORES
aquel que satisfacen dicha idea. Si P (x) es una proposición referida a x y C
es un conjunto, entonces hay un conjunto de la forma:
{x ∈ C : P (x)} .
Entonces, ya no es posible formular la paradoja de Russell pues ¿de qué
conjunto, cuya existencia estuviera ya garantizada se sacaŕıan los x tales que
x /∈ x?.2
Definición 1.3.3 (Diferencia de conjuntos)
A\B := {x ∈ A|x /∈ B}
Figura 1.1: Diferencia de conjuntos.
Por ejemplo, sean:
A = {5; 1
2
}, B = {5; 0.51}. Entonces A\B = {1
2
}
Definición 1.3.4 (Relación) Una relación es un conjunto cuyos elementos
(si los tuviera) son pares ordenados.
2Suele decirse, erróneamente, que del “universo”, i.e., del “conjunto de todos los
conjuntos”; pero éste no puede existir, pues si A es cualquier conjunto, entonces el
B := {x ∈ A : x /∈ x} es un conjunto tal que B /∈ A(Demostrarlo es un ejercicio pa-
ra el lector). Aśı, no puede haber ningún universo.
1.4. NÚMEROS REALES 7
Por ejemplo, no es relación el conjunto: {(2,−1), 3}, pero son relaciones
los conjuntos {(2,−1), (0, 3)} y ∅. Ejemplo de relaciones:
R = {(0, 0), (1, 0), (1,−2)} y
S = {(0, 0), (1, 0)}.
En el conjunto R observamos elementos diferentes que comparten el primer
componente.
1.4. Números reales
Consideremos el siguiente ejemplo: ¿Será
√
2 un número racional? De
serlo, habŕıa enteros positivos, m y n, tales que.
m2
n2
= 2, por lo tanto m2 = 2n2.
Sin pérdida de generalidad se pueden tomar m y n como primos relativos,
i.e., que no poseen factor común.
Entonces m es par y:
m = 2R, ∃R ∈ N.
Luego
4R2 = 2n2 ∴ 2R2 = n2.
Por lo que n también es par. Pero esto contradice el que m y n fueran primos
relativos. Aśı, la respuesta es que
√
2 no es un número racional, sino un
“irracional”. √
2 /∈ Q ⊆ R.
De manera similar se puede mostrar que:
π ∈ R ∧ π /∈ Q.
1.5. Funciones
Definición 1.5.1 (Función) Una función es una relación en la que no hay
elementos diferentes que compartan el primer componente.
8CAPÍTULO 1. NOCIONES DE FUNCIONES, MATRICES Y VECTORES
Esto da lugar al denominado criterio de la ĺınea vertical, mediante el cual
la gráfica de dicha función en el plano no puede ser cortada en más de un
punto cuando se le interseca con una ĺınea vertical.
Definición 1.5.2 (Dominio) Dada una función, el dominio de dicha fun-
ción es el conjunto de todos los primeros componentes.
Ejemplo 1.5.3
DR = {0, 1} ; DS = {0, 1}
Definición 1.5.4 (Rango o Codominio) Conjunto de todos los segundos
componentes de la relación
cDR = {0,−2}
cDS : {0}
Según definición 1.5.1 , R no es función, pero S śı lo es. Se dirá que R es
una “correspondencia” de DR a cDR y que S es una función de DS a cDS.
R : {1, 0} >> {0,−2}
S : {0, 1} → {0}
Notación para funciones: f : A→ B
x→ f(x) = x3 − 2x+ 1
f(−2) = −3
1.5.1. Funciones Reales de Variable Real
f : R→ R
Funciones Constantes
Son funciones que a cada número real le asignan una misma imagen:
x 7→ f(x) = 3 (polinomio de grado cero)
1.5. FUNCIONES 9
Figura 1.2: Función constante.
Funciones Polinómicas
Son aquellas f : R→ R tales que f(x) es un polinomio en x:
f(x) = a0 + a1x+ a2x
2 + · · ·+ anxn.
Función Lineal
Si f(x) = a0 + a1x, se dice que es lineal de grado 1, y tendŕıa la gráfica
1.3.
Figura 1.3: Función lineal con a1 > 0
La anterior representación de la función lineal implica:
f(x+ 1)− f(x) = (a0 + a1(x+ 1))− (a0 + a1x) = a1x+ a1 + a1x = a1.
10CAPÍTULO 1. NOCIONES DE FUNCIONES, MATRICES Y VECTORES
Como se puede observar en el caso de la función lineal, a1 representa cuánto
asciende la recta por unidad horizontal, es decir, a1 es la pendiente de la
gráfica.
Ejemplo 1.5.5 La función lineal denotada por y = f(x) = 2x − 1 tiene
la gráfica 1.4. Si se desea conocer el punto donde la gráfica interseca al eje
horizontal debe resolverse:
0 = y = 2x− 1.
Luego de resolver en x se obtiene que:
x =
1
2
.
Figura 1.4: Función lineal segundo ejemplo.
Función Cuadrática
Si la función tiene la siguiente forma f(x) = a0 +a1x+a2x
2, se dice que es
una función cuadrática, y su gráfica es una parábola con vértice en x = −a1
2a2
.
Si a2 > 0 entonces la abscisa del vértice de la parábola se encuentra abajo, y
si a2 < 0 entonces la abscisa del vértice de la parábola se encuentra arriba.
Ejemplo 1.5.6 Sea la función f con regla de correspondencia:
f(x) = x2 + 2x− 3.
En dicho caso a2 > 0, mientras que las propiedades del vértice de la parábola
permiten obtener:
abscisa del vértice = −2
2
= −1.
1.5. FUNCIONES 11
En la abscisa x = −1 se cumple lo siguiente:
f(−1) = 1− 2− 3 = −4.
Por otro lado:
0 = x2 + 2x− 3.
Con lo cual los puntos de intersección con el eje de abscisas son:
x1 = −3 y x2 = 1.
Entonces la gráfica es tal como se describe en la figura 1.5.
Figura 1.5:Función cuadrática.
Ejemplo 1.5.7 Considérese la siguiente función:
f(x) = 5x2 + 3x+ 1.
En dicho caso, se obtiene que:
abscisa del vértice = − 3
10
y en dicho punto f vale:
f(−3
10
) = 5
(
−3
10
)2
+ 3
(
−3
10
)
+ 1 =
11
20
Lo cual se puede observar en la gráfica 1.6.
12CAPÍTULO 1. NOCIONES DE FUNCIONES, MATRICES Y VECTORES
Figura 1.6: Ejemplo: función cuadrática.
Ejemplo 1.5.8 Sea la gráfica de la siguiente función:
y = −1
2
x2 + 3x− 2.
En dicho caso, el coeficiente del término cuadrático es igual a:
a = −1
2
< 0
y la fórmula de la abscisa da lugar a:
abscisa del vértice =
−3
−1
= 3
y la ordenada se obtiene reemplazando x por la abscisa del vértice:
y = −1
2
(9) + 9− 2
Por lo tanto:
y = 2.5
Recuérdese que si se desea resolver una ecuación de la forma:
x2 − 6x+ 4 = 0, (1.2)
1.5. FUNCIONES 13
se puede aplicar la siguiente fórmula para su solución:
x =
−b±
√
b2 − 4ac
2a
.
En el caso de la ecuación (1,2), que tiene la gráfica 1.7, la solución es la
siguiente:
x =
6±
√
36− 16
2
x1 = 3−
√
5
x2 = 3 +
√
5
Figura 1.7: Gráfica de función cuadrática.
1.5.2. Funciones Racionales
Este tipo de funciones se definen como el cociente de funciones polino-
miales.
Ejemplo 1.5.9 A continuación se presentan diversos ejemplos de funciones
14CAPÍTULO 1. NOCIONES DE FUNCIONES, MATRICES Y VECTORES
racionales:
y =
2x+ 1
x2 + 1
y =
1
x
y = 3x
1.5.3. Funciones Trascendentes
Función Exponencial:
y = ex.
En el caso de esta función y = 1 cuando x = 0. Esta función tiene la propiedad
de crecer al infinito muy rápido (ver figura 1.8).
Figura 1.8: Función exponencial.
Función Logaŕıtmica,(ver figura 1.9):
y = log x.
Definición 1.5.10 (Logaritmo en base b > 0) El “logaritmo en base b de
a” es el exponente al que hay que elevar b para obtener a:
logb a = m
si y solo si:
a = bm.
Se introduce como notación:
loge = ln (logaritmo neperiano).
Cabe precisar que esta función no se encuentra definida para los negativos ni
el cero.
1.6. MATRICES 15
Figura 1.9: Función logaŕıtmica.
1.5.4. Funciones de varias variables
Ejemplo 1.5.11
z = f(x, y) = 2x+ y
esto indica que:
Si x = 1 e y = −2 entonces z = 0.
Si x = 2 e y = −1 entonces z = 3.
Y aśı sucesivamente.
Ejemplo 1.5.12 Sea la función z = 2xy + x− u
x y u z
2 1 −1 7
...
...
...
...
1.6. Matrices
Definición 1.6.1 (Matriz) Se trata de una arreglo rectangular de números.
16CAPÍTULO 1. NOCIONES DE FUNCIONES, MATRICES Y VECTORES
1.6.1. Matriz de números reales
Sean las matrices:
A =
[
−2 0 4
1
2
π 37
9
]
2×3
B = [−1 1 0 3]1×4
C =

1
3
0
2
−1

4×1
D =
 1 0 00 −2 0
0 0 1

3×3
E =
[
π
2
2
−1 3
4
]
2×2
Dentro de las clases de matrices tenemos:
Matrices cuadradas: D y E.
Matriz fila: B.
Matriz columna: C.
Matriz diagonal: D.
Consideremos además los siguientes ejemplos:
G =
[
2 1
1 3
]
2×2
H =
 2 1 −11 3 2
−1 2 0

3×3
Las Matrices H y G son matrices cuadradas y simétricas a la vez. Las ma-
trices tienen elementos que son marcados por sub́ındices que indican el lugar
que ocupan en la fila y en la columna.
Por ejemplo, sea:
G =
[
2 1
1 3
]
2×2
1.6. MATRICES 17
Aśı que G11 = 2, G12 = 1, G21 = 1 y G22 = 3. Otra forma de extraer elemen-
tos de acuerdo a una ordenación puede expresarse de la siguiente manera:
A1·• = [−2 0 4], que indica la primera fila de la matriz A, o:
E•2 =
[
2
3
4
]
el cual indica la segunda columna de la matriz E.
Ejemplo 1.6.2 Sea:
D =
 1 0 00 −1 0
0 0 1

3×3
Esta matriz es conocida como diagonal pues cumple que dij = 0 ∀i 6= j
H =
 2 1 −11 3 2
−1 2 0

3×3
Esta matriz es conocida como simétrica pues cumple que hij = hji ∀i, ∀j.
1.6.2. Matriz identidad
Se dice que una matriz es identidad cuando los elementos de la diagonal
principal son todos iguales a 1 y los otros iguales a 0.
I : [1] ,
[
1 0
0 1
]
,
 1 0 00 1 0
0 0 1

1.6.3. Nociones de Igualdad
Dos matrices son iguales si sus correspondientes elementos lo son. Es
decir:
A = B si y solo si ∀i, j : Aij = A′ji.
18CAPÍTULO 1. NOCIONES DE FUNCIONES, MATRICES Y VECTORES
1.6.4. Suma de Matrices
Dadas A y B, ambas m× n, su suma A+B se define por:
(A+B)ij := Aij +Bij.
Ejemplo 1.6.3
A =
[
−2 0 4
1
2
π 37
9
]
2×3
B =
[
1 0 0
0 −2 0
]
2×3
Como ambas matrices son del mismo tipo, entonces su suma es igual a:
A+B =
[
−1 0 4
1
2
π − 2 37
9
]
2×3
1.6.5. Multiplicación de Matrices
Multiplicación de Matrices por escalar
Dadas A y B, ambas m × n, la multiplicación de una matriz por un
escalar, se define de la siguiente manera:
Si A es m× n y α ∈ R. Entonces (αA)ij := αAij
Ejemplo 1.6.4
−1
2
A =
[
1 0 −2
−1
4
−π
2
−18
9
]
2×3
Multiplicacion de Matrices por Matrices
Sean A y B matrices de dimensiones m× h y h× n, respectivamente; se
define A×B por:
AB será m× n, y (AB)ij = Ai1B1j + · · ·+ AihBhj
Esto implica que cada valor de la primera fila de la matriz A, multiplica
el correspondiente valor de la primera columna de la matriz B. O la suma
producto de la primera fila de la matriz A y la primera columna de la matriz
B, y aśın sucesivamente.
1.6. MATRICES 19
Nota.-La condición para que se dé la multiplicación de dos ma-
trices es que el primer factor debe tener tantas columnas como
filas tiene el segundo factor.
Ejemplo 1.6.5
A =
[
−2 0 4
1
2
π 37
9
]
2×3
B =
 1 2 0−1 1 1
0 −1 0

3×3
Por lo tanto:
AB =
[
−2 −8 0
1
2
− π π − 27
9
π
]
2×3
Lo que se hizo fue:
[AB]2×3 = [A]2×3 × [B]3×3
Por lo que no existe B × A.
Ejemplo 1.6.6 Sean las siguientes matrices:
C =
 1 2 00 1 −1
−1 0 0

3×3
D =
 1 2 0−1 1 1
0 −1 0

3×3
Por lo tanto:
CD =
 −1 4 2−1 2 1
−1 −2 0

3×3
DC =
 1 4 −2−2 −1 −1
0 −1 1

3×3
Si A es m × h y B es h × n entonces (AB)ij =
h∑
k=1
aikbkj, con aik repre-
sentando el elemento ubicado en la fila i, columna k.
La multiplicación matricial es siempre asociativa, pero no necesariamente
siempre conmutativa.
Ejemplo 1.6.7 De producto nulo con matrices no nulas.[
2 6
1 3
] [
−6
2
]
=
[
0
0
]
20CAPÍTULO 1. NOCIONES DE FUNCIONES, MATRICES Y VECTORES
De ese modo, debemos diferenciar resultados en números reales con los
resultados en matrices.
Para los números reales se aplica:
ab = 0⇒ (a = 0 ∨ b = 0)
(a 6= 0 ∧ ab = ac)⇒ b = c
Mientras que para las matrices:
AB = 0 ; (A = 0 ∨B = 0)
(A 6= 0 ∧ AB = AC) ; B = C
Definición 1.6.8 (Inversa de una matriz) En M(n, n), si AB = I en-
tonces se dice que B es “inversa de A” y que A es “inversa de B” (Se
escribe: B = A−1 ∧ A = B−1).
Ejemplo 1.6.9 [
2 6
1 3
]
×
[
a c
b d
]
=
[
1 0
0 1
]
2a+ 6b = 1
a+ 3b = 0
2c+ 6d = 0
c+ 3d = 1
No existe solución, por lo tanto la matriz
[
2 6
1 3
]
no tiene inversa.
Con ello, se demuestra que algunas matrices cuadradas carecen de inversa.
Pero
[
2 0
1 3
]
śı tiene inversa:
[
2 0
1 3
]
×
[
a c
b d
]
=
[
1 0
0 1
]
2a = 1
a+ 3b = 0
1.6. MATRICES 21
a =
1
2
b = −1
6
2c = 0
c+ 3d = 1
c = 0
d =
1
3
. Entonces
[
2 0
1 3
]−1
=
[
1
2
0
−1
6
1
3
]
Teorema 1.6.10 Si una matriz post-multiplicando a otra, da la identidad,
entonces esta también dará la identidad al premultiplicarlo, i.e. AB = I ⇒
BA = I.
Transpuesta de matriz
Definición 1.6.11 Si A es matriz m × n entonces su transpuesta es otra
matriz n×m definida por:
(A′ij) = Aji
Ejemplo 1.6.12
A =
[
−1 2 0
0 3 −1
2
]
2×3
Entonces:
A′ =
 −1 02 3
0 −1
2

3×2
1.6.6. Resta Matricial
A−B := A+ (−1)B
Ejemplo 1.6.13 Sean:
A =
[
1 −2 0
0 7 −1
]
2×3
B =
[
3 1 −1
−1 0 2
]
2×3
C =
 21
−1

3×1
22CAPÍTULO 1. NOCIONES DE FUNCIONES, MATRICES Y VECTORES
De ese modo,
A−B =
[
−2 −3 1
1 7 −3
]
2×3
AC =
[
0
8
]
2×1
Ejemplo 1.6.14 Consideremos los siguientes ejemplos de “sumatorias”3:
3∑
k=1
2 = 2 + 2 + 2 = 6
3∑
k=1
1
k
=
1
1
− 1
2
+
1
3
=
11
6
2∑
k=1
k + 1
k
=
1 + 1
1
+
2 + 1
2
=
7
2
∞∑
k=11
1
k
=
1
11
+
1
12
+
1
13
+ · · ·
∞∑
k=0
ark = a+ ar + ar2 + ar3 + · · · = a(1 + r + r2 + · · · ) = a
1− r
1.6.7.Propiedades de la Matrices
1. (A′)′ = A. Ejemplo.
A′ =
 −1 02 3
0 −1
2

3×2
(A′)′ =
[
−1 2 0
0 3 −1
2
]
2×3
= A
3Aunque el término “sumatoria” aún no ha sido aceptado por la Real Academia Es-
pañola, su uso está tan generalizado que ya lo será.
1.6. MATRICES 23
2. (AB)′ = B′A′. Ejemplo:
A = m× n
B = n× h
AB = m× h
(AB)′ = h×m = B′ × A′
3. [A−1]′ = (A′)−1. Ejemplo:
A =
[
−1 0
2 −1
]
2×2
A−1 =
[
−1 0
−2 −1
]
2×2
A′ =
[
−1 2
0 −1
]
2×2
(A−1)′ =
[
−1 −2
0 −1
]
2×2
(A′)−1 =
[
−1 −2
0 −1
]
2×2
Por lo tanto:
[A−1]′ = (A′)−1
4. (AB)−1 = B−1A−1, si A y B tienen inversas.
5. (A+B)′ = A′ +B′.
1.6.8. Determinante de una matriz
Teorema 1.6.15 Dada una matriz A, n×n, ∃ A−1 ⇐⇒ 0 6= det(A), donde
det(A) se define inductivamente aśı:
24CAPÍTULO 1. NOCIONES DE FUNCIONES, MATRICES Y VECTORES
Si: n = 1, entonces det([a]) := a;
Si: n = 2, entonces det
([
a11 a12
a21 a22
])
:= (a11 × a22)− (a12 × a21);
Si: n = 3, entonces det
 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33

= a11a22a33 + a21a32a13 + a12a23a31 − a31a22a13 − a21a12a33 − a32a23a11
Si ya se sabe para n, entonces para n + 1, se define de la siguiente manera:
si se elige la fila 1, entonces el det(A):
detA =


1 −2 0 −1
2 0 1 2
0 3 1 0
−1 0 2 −4

 =
= (−1)1+1 × 1
∣∣∣∣∣∣
0 1 2
3 1 0
0 2 −4
∣∣∣∣∣∣+ (−1)1+2 × (−2)
∣∣∣∣∣∣
2 1 2
0 1 0
−1 2 −4
∣∣∣∣∣∣
+(−1)1+3 × 0
∣∣∣∣∣∣
2 0 2
0 3 0
−1 0 −4
∣∣∣∣∣∣+ (−1)1+4 × (−1)
∣∣∣∣∣∣
2 0 1
0 3 1
−1 0 2
∣∣∣∣∣∣
= 27
Si se elije fila i, entonces det(A) =
n−1∑
k=1
Cik; donde Cik := es el co-factor ik
de la matriz A se define como: Ci,k = (−1)i+kMik y Mik es el determinante
de la matriz que queda luego de suprmir la fila i, columna k. Es preferible
elegir las filas o columnas con mayor cantidad de ceros.
−3C32 + C33 = 3(−1)3+2M32 + (−1)3+3M33
= −3
∣∣∣∣∣∣
1 0 −1
2 1 2
−1 2 −4
∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣
1 −2 −1
2 0 2
−1 0 −4
∣∣∣∣∣∣
= −3 ∗ (−4− 4− 5) + (4− 16) = 27
1.6. MATRICES 25
1.6.9. Propiedades de los Determinantes
1. det(A′) = det(A).
2. Al intercambiar entre śı dos filas o dos columnas, el determinante cam-
bia de signo.
Ejemplo 1.6.16 cambia 1◦ con 3◦ fila de M32 de la matriz A.∣∣∣∣∣∣
−1 2 −4
2 1 2
1 0 −1
∣∣∣∣∣∣ = 1 + 4 + 4 + 4 = 13
3. Si una ĺınea se multiplica por un número, el determinante resulta mul-
tiplicado por ese número.
Ejemplo 1.6.17 Se multiplica la última columna del M32 de la matriz A por
−2 y se obtiene que el determinante resulta multiplicado por dicho número.∣∣∣∣∣∣
1 0 2
2 1 −4
−1 2 8
∣∣∣∣∣∣ = 8 + 8 + 2 + 8 = 26
Si una matriz n × n se multiplica por α, el determinante de la matriz
resultará multiplicado por αn.
Si 2 ĺıneas paralelas son proporcionales, entonces el determinante es 0.
Ejemplo 1.6.18 Nótese que si tenemos la siguiente matriz: 1 0 −12 1 2
6 3 6

donde la tercera fila es el triple de la segunda, tenemos que:
E1 =
∣∣∣∣∣∣
1 0 −1
2 1 2
6 3 6
∣∣∣∣∣∣ = 1∗(−1)4∗(6−(−6))+3∗(−1)5∗(2−(−2)) = 12−12 = 0
26CAPÍTULO 1. NOCIONES DE FUNCIONES, MATRICES Y VECTORES
Al sumar a una ĺınea cualquiera un múltiplo arbitrario de otra ĺınea
paralela, el determinante no cambia.
Ejemplo 1.6.19 Consideremos la matriz:
E2 =
 1 0 −12 1 2
−1 2 −4

con determinante igual a -13, conforme se demuestra:∣∣∣∣∣∣
1 0 −1
2 1 2
−1 2 −4
∣∣∣∣∣∣ = −4 + (−4) + 0− (1)− 0− 4 = −13
Si ahora tenemos que la primera fila es igual a la primera fila más la tercera
fila: 1◦fila+ (1)3◦fila de E2:∣∣∣∣∣∣
0 2 −5
2 1 2
−1 2 −4
∣∣∣∣∣∣ = −20− 4− 5 + 16 = −13
Teorema 1.6.20 Si en una matriz, las filas o las columnas son linealmente
dependientes entonces el determinente es nulo ∴ si son linealmente indepen-
dientes, el determinante es diferente de 0.
Redefinición en una matriz A m× n:
1. Rango(A) := máximo número de filas linealmente independientes.
2. Rango(A) := máximo número de columnas linealmente independientes.
3. Rango(A) := máximo orden de una submatriz de determinante 6= 0.
Las tres definiciones dan lo mismo según un teorema del álgebra lineal.
Ejemplo 1.6.21
A =
 2 −1 01 0 2
3 −2 −2

1.6. MATRICES 27
0 � Rango(A) � mı́n(m,n)
máxRango(A) = mı́n(m,n)
Ası́ Rango(A) = 0 si es matriz nula.
Como A3· = 2A1· − A2·, entonces el determinante de A es cero, por lo tanto
el Rango(A)=2.
A las matrices cuadradas cuyo determinante es diferente de cero se las llama
“regulares”, y a aquellas cuyo determinante es igual a cero, se las llama
“singulares”.
Teorema 1.6.22 Si An×n es tal que det(A) 6= 0, entonces su inversa es:
A−1 =
1
det(A)
 C11 · · · C1n... . . . ...
Cn1 · · · Cnn

′
donde Cij es el co-factor ij de la matriz A, ya definido.
Ejemplo 1.6.23
A =
[
2 1
−1 0
]
det(A) = 0− (−1) = 1 ∴ ∃A−1
A−1 =
1
1
[
C11 C12
C21 C22
]′
=
[
(−1)2M11 (−1)3M12
(−1)3M21 (−1)4M22
]′
A−1 =
[
M11 −M12
−M21 M22
]′
=
[
0 1
−1 2
]′
=
[
0 −1
1 2
]
Por lo que podemos verificar: A× A−1 = I[
2 1
−1 0
]
×
[
0 −1
1 2
]
=
[
1 0
0 1
]
28CAPÍTULO 1. NOCIONES DE FUNCIONES, MATRICES Y VECTORES
Ejemplo 1.6.24
A =
 1 0 −12 1 0
−1 2 0

det(A) = −5
A−1 =
1
−5
 (−1)2M11 (−1)3M12 (−1)4M13−M21 M22 −M23
M31 −M32 M33
′
A−1 =
 0 25 −150 1
5
2
5
−1 2
5
−1
5

1.6.10. Solución de ecuaciones lineales
Si Anxnxnx1 = bnx1 y det(A) 6= 0 entonces, x = A−1b
Definición 1.6.25 Regla de Cramer:
x1 = |A1| / |A| donde A1 :=
 b1 a12 · · · a1n... ... . . . ...
bn an2 · · · ann

x2 = |A2| / |A| donde A2 :=
 a11 b1 · · · a1n... ... . . . ...
an1 bn · · · ann
 , etc.
Es un método para encontrar solución a ecuaciones lineales.
Ejemplo 1.6.26
x− y = 2
2y + z = −1
x+ 2z = 4
A =
 1 −1 00 2 1
1 0 2
 ,
1.6. MATRICES 29
b =
 2−1
4

det(A) = 3
x =
∣∣∣∣∣∣
2 −1 0
−1 2 1
4 0 2
∣∣∣∣∣∣
3
x =
2
3
.
y =
∣∣∣∣∣∣
1 2 0
0 −1 1
1 4 2
∣∣∣∣∣∣
3
y =
−4
3
.
z =
∣∣∣∣∣∣
1 −1 2
0 2 −1
1 0 4
∣∣∣∣∣∣
3
z =
5
3
.
Una manera de comprobar este resultado es resolviendo ecuación por ecuación
el sistema de ecuaciones:
x− y = 2
2y + z = −1
x+ 2z = 4
De estas ecuaciones podemos expresar x, y, z de la siguiente forma:
x = 2 + y
z = −1− 2y
30CAPÍTULO 1. NOCIONES DE FUNCIONES, MATRICES Y VECTORES
y = 2 + x
x = 4− 2z
Resolviendo:
2 + y = 4− 2z
2 + y = 4− 2(−1− 2y)
2 + y = 4 + 2 + 4y
y =
−4
3
z =
5
3
x =
2
3
Ejemplo 1.6.27
Y = C(Y ) + I(r) +G
M = PL(Y, r)
Donde:
r: Tasa de interés
Variables endógenas: Y, r
Variables exógenas: G,M,P
Si: C(Y ) = a + bY con a > 0, 0 < b < 1; I(r) = α − βr con α, β > 0 y
L(Y, r) = γY − δr con γ, δ > 0.
Entonces:
Y = a+ bY + α− βr +G
M = P (γY − δr)
Equivalente a: [
1− b β
Pγ −Pδ
]
×
[
Y
r
]
=
[
a+ α +G
M
]
1.7. VECTORES 31
D := −(1− b)Pδ − β(Pγ) 6= 0
Y =
1
D
∣∣∣∣ a+ α +G βM −Pδ
∣∣∣∣ = −(a+ α +G)Pδ − βMD
r =
1
D
∣∣∣∣ 1− b a+ α +G−Pγ M
∣∣∣∣ = M(1− b)− Pγ(a+ α +G)D
1.7. Vectores
1.7.1. Multiplicación vectorial
Ejemplo 1.7.1 Consideremos los siguientes vectores:
u =
 2−1
1

3×1
v =
[
3 −1
]
1×2
y
u× v =
 6 −2−3 1
3 −1

3×2
.
Sea:
w =
[
3 −1 2
]
1×3
u× w =
 6 −2 4−3 1 −2
3 −1 2

3×3
El producto escalar es:
u.w = 2(3) + (−1)(−1) + (1)(2) = 9
A partir de estos ejemplos podemos observar los siguientes resultados:
1. Si dados dos vectores cualesquiera, el primero es columna y el segundo
es fila, entonces siempre se pueden multiplicar como matrices.
32CAPÍTULO 1. NOCIONES DE FUNCIONES, MATRICES Y VECTORES
2. Dado dos vectores de igual número de componentes, se define su pro-
ducto escalar4 aśı:
u = [ u1 u2 · · · un ]
v = [ v1 v2 · · · vn ]
u.v =
n∑
i=1
uivi
1.7.2. Interpretación geométrica de vectores
Primero se tiene solo un componente: u = (21
2
), ver Figura 1.10
Figura 1.10: Vector de un componente.
Luego podemos tener vectores de dos componentes u = (21
2
,−11
2
) (ver
figura 1.11), que pueden aparecer como vector fila, ó vector columna.
[ u1 u2 ];
[
u1
u2
]
.
Definición 1.7.2 (Suma de vectores) Si los vectores u y v tienen igual
número de componentes (ver representación gráfica de la suma en el figura
1.12), su suma se define por:
(u+ v) :=(ui + vi)
4 También llamado “producto interno”.
1.7. VECTORES 33
Figura 1.11: Vector de dos componentes.
1.7.3. Interpretación geómétrica del vector por un es-
calar
Ejemplo 1.7.3 Sea u = (21
2
,−11
2
), si este es multiplicado por un factor,
obtenemos un comportamiento como el de la figura 1.13.
−1
4
u.
1.7.4. Independencia lineal de dos vectores
Ejemplo 1.7.4 Sean u = (2,−1) y v = (1, 1), cuya representación gráfica
de observa en la figura 1.14.
{αu|α ∈ R} es la recta Lu
{βv|β ∈ R} es la recta Lv
¿∃α, β ∈ R tal que αu+ βv = (0, 0)?
α(2,−1) + β(1, 1) = (0, 0)
(2α + β,−α + β) = (0, 0)
2α + β = 0
34CAPÍTULO 1. NOCIONES DE FUNCIONES, MATRICES Y VECTORES
Figura 1.12: Suma de vectores.
α− β = 0
α = 0
Como:
α = β
Por lo tanto:
β = 0
Existe una sola solución, a saber α = 0 = β; por lo tanto se dice que u y v
son vectores “ linealmente independientes”. Sea:
w = (−6, 3)
¿∃γ, δ ∈ R tal que, γu+ δw = (0, 0)?
γ(2,−1) + δ(−6, 3) = (0, 0)
(2γ − 6δ,−γ + 3δ) = (0, 0)
γ = 3δ
Entonces hay infinitos posibles valores por ejemplo: (15 y 5);(3 y 1);(−3 y
−1), por lo cual los vectores u y w no son linealmente independientes.
1.7. VECTORES 35
Figura 1.13: Interpretación geómétrica del vector por un escalar.
Definición 1.7.5 (Dependencia Lineal de Vectores) Un conjunto fini-
to de vectores es “linealmente dependiente”, si existe al menos una colección
de múltiplos escalares de dichos vectores tales que la suma de ellos dé el
vector nulo.
Ejemplo 1.7.6
15u+ 5w = (0, 0)
((15(2), 15(−1)) + (5(−6), 5(3))) = (0, 0).
Entonces {u,w} es linealmente dependiente.
Por otro lado, un conjunto finito de vectores es linealmente indepen-
diente, si la única colección de múltiplos cuya suma sea el vector nulo, es
trivial, a saber (0, 0, 0, ..., 0).
Ejemplo 1.7.7 u y v son linealmente independientes.
A la suma de múltiplos escalares de un conjunto de vectores se le llama
una “combinación lineal” de ellos.
Ejemplo 1.7.8
15u+ 5w = (0, 0)
36CAPÍTULO 1. NOCIONES DE FUNCIONES, MATRICES Y VECTORES
Figura 1.14: Gráfica de vectores linealmente independientes.
Una combinación lineal de vectores es nula cuando da el vector nulo.
Ejemplo 1.7.9
15u+ 5w = (0, 0)
No es nula la siguiente:
2u+ w = (−2, 1)
Una combinación, lineal de vectores es trivial si todos los múltiplos son
nulos.
Ejemplo 1.7.10
0u+ 0w = (0, 0)
Pero no toda combinación nula es ”trivial”.
Ejemplo 1.7.11
15u+ 5w = (0, 0)
Un conjunto finito de vectores es linealmente independiente si su única
combinación lineal nula es la trivial. Dicho conjunto será linealmente depen-
diente si además de la trivial, tiene otras combinaciones lineales nulas.
Ejemplo 1.7.12 ¿Son linealmente independientes los vectores u = (2, 7),
v = (1, 8) y w = (4, 5)?. Para ello, tenemos que formar:
αu+ βv + θw = 0
1.8. ANÁLISIS DEL EQUILIBRIO ECONÓMICO 37
Reemplazando:
2α + β + 4θ = 0
7α + 8β + 5θ = 0
Como hay menos ecuaciones que incógnitas, este sistema tiene∞ soluciones.
α = −3θ
β = 2θ
De ese modo las posibles soluciones pueden ser:
α = −3, β = 2, θ = 1
α = −6, β = 4, θ = 2
por lo tanto, estos vectores son linealmente dependientes y dicho sistema tiene
∞ soluciones.
1.8. Análisis del Equilibrio Económico
El equilibrio se puede entender como la igualdad de fuerzas opuestas,
reposo o ausencia de movimiento.
1.8.1. Equilibrio Parcial del Mercado
Equilibrio de la oferta y la demanda en un solo mercado (Ley de Walras,
siglo XIX).
1.8.2. Modelos de Equilibrio parcial
Hay un bien cuyo precio determina una demanda y una oferta; si ambos
son iguales, hay equilibrio en el mercado de ese bien (‘Equilibrio parcial’).
Dado p > 0 quedan determinadas:
Demanda: Qd = f(p)
Oferta: Qs = g(p)
Donde f y g son funciones dadas; p es ‘precio de equilibrio’ si f(p) = g(p).
38CAPÍTULO 1. NOCIONES DE FUNCIONES, MATRICES Y VECTORES
Ejemplo 1.8.1 Sea el modelo de equilibrio parcial:
Qd = a− bp
Qs = −c+ dp
con a, b, c, d > 0. En este modelo p∗ es precio de equilibrio si:
Qd(p∗) = Qs(p∗)
con lo cual:
a− bp∗ = −c+ dp∗
y por lo tanto:
p∗ =
a+ c
b+ d
.
Figura 1.15: Equilibrio entre oferta y demanda.
De esta forma, en el modelo del ejemplo, existe un único precio de equi-
librio.
Ejemplo 1.8.2 Sean:
Qd = a− bp2, la demanda y
Qs = −c+ dp, la oferta.
1.8. ANÁLISIS DEL EQUILIBRIO ECONÓMICO 39
Luego de igualar las funciones de oferta y demanda para hallar el precio de
equilibrio p∗, tenemos:
a− b(p∗)2 = −c+ dp∗
a+ c = b(p∗)2 + dp∗
con lo cual, se obtiene:
p∗ =
1
2b
(
−d∓
√
d2 + 4b(a+ c)
)
.
Dado que un precio con valor negativo no tiene sentido económico, la única
solución es:
p∗ =
1
2b
(
−d+
√
d2 + 4b(a+ c)
)
> 0
Por lo que existe un único equilibrio p∗.
Ejercicio 1.8.3 Sean las siguientes funciones, las ecuaciones de demanda y
oferta respectivamente:
Qd = 5− 3p
Qs = 6p− 10
Igualando la oferta y la demanda (Qs(p∗) = Qd(p∗)), tenemos:
5− 3p = 6p− 10
p =
5
3
Ejercicio 1.8.4 Sean las siguientes funciones, las ecuaciones de demanda y
oferta respectivamente:
Qd = 3− p2
Qs = 6p− 10
3− p2 = 6p− 10
p1 = 1
p2 = −7 (económicamente no es válido).
Por lo tanto, en este ejemplo la solución es: p = 1.
40CAPÍTULO 1. NOCIONES DE FUNCIONES, MATRICES Y VECTORES
Ejemplo 1.8.5 Sean las siguientes funciones de demanda y oferta:
Qd = 10 +
1
p
Qs = 5− 1
p
Conforme se observa en el gráfico 1.16, ambas funciones convergen (tienden)
a ciertos puntos. La función de demanda converge a 10, mientras que la
función de oferta converge a 5. El precio de equilibrio se da cuando:
Qs(p∗) = Qd(p∗)
10 +
1
p∗
= 5− 1
p∗
p∗ = −2
5
Dado que el valor obtenido es negativo, decimos que no existe precio que dé
solución a este problema; por lo tanto no hay equilibrio aun cuando varias
funciones sean convergentes.
Figura 1.16: Oferta y demanda.
1.8.3. Modelos de Equilibrio General
En los modelos de equilibrio general no solo se considera el equilibrio de
un mercado, sino de una economı́a que es un conjunto finito de mercados,
1.8. ANÁLISIS DEL EQUILIBRIO ECONÓMICO 41
uno para cada bien.
Al existir ‘n’ mercados (n ∈ N), existe un vector de precios (p1, p2, ..., pn)
uno por cada bien, y de esta forma, las decisiones de los agentes en un
mercado pueden depender de los precios de otros mercados, aśı:
Qd1 = Q
d
1(p1, p2, . . . , pn)
Qs1 = Q
s
1(p1, p2, . . . , pn)
...
Qdn = Q
d
n(p1, p2, . . . , pn)
Qsn = Q
s
n(p1, p2, . . . , pn)
Un equilibrio general está dado por un sistema de precios p1, p2, ..., pn tal
que, en cada mercado la oferta y la demanda coinciden:
Qsi = Q
s
i (p1, p2, ..., pn)
Ejemplo 1.8.6 n = 2 (caso bidimensional)
Modelo lineal:
Qd1 = f1(p1, p2) = a0 + a1p1 + a2p2
Qs1 = g1(p1, p2) = b0 + b1p1 + b2p2
Qd2 = f2(p1, p2) = α0 + α1p1 + α2p2
Qs2 = g2(p1, p2) = β0 + β1p1 + β2p2
Equilibrio general es un par (p∗1, p
∗
2) tal que:
a0 + a1p
∗
1 + a2p
∗
2 = b0 + b1p
∗
1 + b2p
∗
2
α0 + α1p
∗
1 + α2p
∗
2 = β0 + β1p
∗
1 + β2p
∗
2
Formándose aśı el siguiente sistema de ecuaciones:
(a1 − b1)p∗1 + (a2 − b2)p∗2 = b0 − a0
(α1 − β1)p∗1 + (α2 − β2)p∗2 = β0 − α0
Que será reescrito para facilitar la solución, de la siguiente manera:
θ1p
∗
1 + θ2p
∗
2 = h
θ3p
∗
1 + θ4p
∗
2 = k
42CAPÍTULO 1. NOCIONES DE FUNCIONES, MATRICES Y VECTORES
Para que exista solución única, debe cumplirse que:
θ4θ1 − θ2θ3 6= 0
aśı la solución toma la forma de:
p∗1 =
∣∣∣∣∣∣ h θ2k θ4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ θ1 θ2θ3 θ4
∣∣∣∣∣∣
p∗2 =
∣∣∣∣∣∣ θ1 hθ3 k
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ θ1 θ2θ3 θ4
∣∣∣∣∣∣
Determinantes: ∣∣∣∣ θ1 θ2θ3 θ4
∣∣∣∣ = θ1θ4 − θ2θ3 (Regla de Cramer)
Por lo tanto reemplazando los valores anteriores, obtenemos los siguientes
resultados. Existe solución (p∗1, p
∗
2) únicamente si:
(a1 − b1)(α2 − β2)− (a2 − b2)(α1 − β1) 6= 0
y esa solución es:
p∗1 =
(b0 − a0)(α2 − β2)− (β0 − α0)(a2 − b2)
(a1 − b1)(α2 − β2)− (a2 − b2)(α1 − β1)
p∗2 =
(a1 − b1)(β0 − α0)− (b0 − a0)(α1 − β1)
(a1 − b1)(α2 − β2)− (a2 − b2)(α1 − β1)
Ejemplo 1.8.7
Qd1 = 10− 2p1 + p2
Qs1 = −2 + 3p1
Qd2 = 15 + p1 − p2
Qs2 = −1 + 2p2
Planteamosaśı las siguientes ecuaciones a resolver:
10− 2p1 + p2 = −2 + 3p1
15 + p1 − p2 = −1 + 2p2
Resolviendo asi ecuación a ecuación, obtenemos los siguientes resultados:
p∗1 =
26
7
p∗2 =
46
7
1.8. ANÁLISIS DEL EQUILIBRIO ECONÓMICO 43
Ejemplo 1.8.8 Modelo n-mercantil.
Se llega a un sistema lineal en p1, p2, ..., pn:
a11p1 + a12p2 + · · ·+ a1npn = b1
a21p1 + a22p2 + · · ·+ a2npn = b2
...
an1p1 + an2p2 + · · ·+ annpn = bn
Existe solución única si el determinantes es diferente de cero:
D ≡
∣∣∣∣∣∣∣
a11 · · · a1n
...
. . .
...
an1 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣ 6= 0
con lo cual:
p∗i =
1
D
∣∣∣∣∣∣∣
a11 b1 a1n
...
. . .
...
an1 bn ann
∣∣∣∣∣∣∣ .
1.8.4. Modelo Macroeconómico
Ingreso:
Y = C + I +G
Modelo en ‘forma original’ o hipótesis de conducta, donde: C = Consumo,
I = Inversión y G = Gasto gubernamental. Se asume que el consumo depende
del nivel de ingreso:
C = a+ bY ,
siendo 0 < b < 1 la propensión marginal al consumo. Con variables endóge-
nas: Y y C mientras que las variables exógenas son: I y G. Se pide resolver
el modelo, lo cual significa considerar las variables exógenas como datos y
obtener las endógenas en función de los datos. Por lo tanto:
Y = a+ bY + I +G
Y =
(
1
1− b
)
(a+ I +G)
Modelo en ‘forma reducida’ :
C = a+
(
b
1− b
)
(a+ I +G)
44CAPÍTULO 1. NOCIONES DE FUNCIONES, MATRICES Y VECTORES
Caṕıtulo 2
Nociones de Cálculo y Análisis
en Rn
2.1. Espacio Euclidiano Rn
Rn = {(x1, . . . , xn)|x1 ∈ R, . . . , xn ∈ R}, n-tuple conjunto ordenado de x
(números reales). En Rn se extiende la noción de definición de conjunto de
vectores linealmente dependientes o linealmente independientes.
Ejemplo 2.1.1 ¿Es el siguiente conjunto de vectores (−1, 0, 1, 0); (0, 0, 1, 0)
linealmente independientes o no?
(−α, 0, α, 0) + (0, 0, β, 0) = (0, 0, 0, 0)
−α = 0 ∧ 0 = 0 ∧ α + β = 0 ∧ 0 = 0
α = β; β = 0
α = 0 ∧ β = 0
Es una solución trivial. Por lo tanto, al ser la solución trivial la única com-
binación nula, estos vectores son linealmente independientes.
Ejemplo 2.1.2 ¿Es {(−1, 0, 1, 0)} un conjunto de vectores linealmente in-
dependiente o no?
−α = 0 ∧ 0 = 0 ∧ α = 0 ∧ 0 = 0
Por lo que α = 0, es trivial. Aśı la respuesta es afirmativa.
45
46 CAPÍTULO 2. NOCIONES DE CÁLCULO Y ANÁLISIS EN RN
¿Todo conjunto de un solo vector es linealmente independiente? No, pues
hay conjuntos de un solo vector como el {(0, 0, 0, 0)} que es linealmente de-
pendiente.
Todo conjunto formado por un solo vector no nulo es linealmente inde-
pendiente.
2.1.1. Generación de un Subespacio
Dado un conjunto de vectores en Rn:{un, ..., vn}, se llama subespacio
generado por dicho conjunto al conjunto de todas las combinaciones lineales
de ellos.
Ejemplo 2.1.3 Sea:
C = {(−1, 0, 1, 0); (0, 0, 1, 0)};
entonces, el subespacio generado por C es el conjunto de todas las combina-
ciones lineales de los vectores de C:
S[C] = {α(−1, 0, 1, 0) + β(0, 0, 1, 0)|α ∈ R ∧ β ∈ R}
¿(2, 1, 0, 2) ∈ S[C]?
Śı, caso que ∃ᾱ, β̄ ∈ R tales que:
ᾱ(−1, 0, 1, 0) + β̄(0, 0, 1, 0) = (2, 1, 0, 2)
−ᾱ = 2 ∧ 0 + 0 = 1 ∧ α + β = 0 ∧ 0 + 0 = 2.
Como este resultado es incosistente, podemos afirmar que (2, 1, 0, 2) no per-
tenece a S[C].
¿(−2, 0, 3, 0) ∈ S[C]?
−α = −2 ∧ 0 = 0 ∧ α + β = 3 ∧ 0 = 0
α = 2
β = 1
Por lo tanto,(−2, 0, 3, 0) śı pertenece a S[C].
2.1. ESPACIO EUCLIDIANO RN 47
Ejemplo 2.1.4 Sea el conjunto:
P := {(1, 1); (0,−1)}
S[P ] = {α(1, 1) + β(0,−1)|α, β ∈ R}
{(α, α− β)|α ∈ R ∧ β ∈ R}
¿(2, 5) ∈ S[P ]?
Śı, pues:
(ᾱ, ᾱ− β̄) = (2, 5)
Resolviendo encontramos:
ᾱ = 2
β̄ = −3
Todos los vectores de R2 pertenecen a S[P ], pues:
∀a,∀b, (a, b) ∈ S[P ]ya que
(α, α− β) = (a, b)
α = a
β = a− b
Nótese que un conjunto de vectores genera todo el espacio si su sub-
espacio generado es igual al espacio entero.
Definición 2.1.5 (Base de Rn :) Es cualquier conjunto de vectores que ge-
nere todo Rn y que sea linealmente independiente.
Ejemplo 2.1.6 P es una base de R2, pues si α(1, 1) + β(0,−1) = (0, 0),
entonces.
α = 0 ∧ β = 0
Por lo que P śı es base por ser linealmente independiente y generar todo el
espacio.
48 CAPÍTULO 2. NOCIONES DE CÁLCULO Y ANÁLISIS EN RN
Ejemplo 2.1.7
ξ = {(1, 1), (0,−1), (1, 0)}, S[ξ] = R2.
Pero ξ no es linealmente independiente ∴ ξ no es base de R2. Además “C”
del ejemplo 1.11.3 no es base de R por que no genera todo el espacio.
Ejemplo 2.1.8 En R2 una base es B = {(2,−1); (0, 1)} pues:
Primero: Es linealmente independiente ya que la única solución de α(2,−1)+
β(0, 1) = (0, 0) es α = 0 ∧ β = 0.
Segundo: B genera todo el espacio de R2, es decir S[B] = R2 ya que si (a, b) ∈
R2 entonces:
α(2,−1) + β(0, 1) = (a, b)
(2α, β − α) = (a, b)
α =
a
2
∧ β = b+ a
2
∴ (a, b) = (
a
2
)(2,−1) + (b+ a
2
)(0, 1)
Por lo tanto śı es base.
Ejemplo 2.1.9 En R2 una base es Bc = {(1, 0); (0, 1)} (Base Canónica de
R2), ya que la única solución de:
α(1, 0) + β(0, 1) = (0, 0)
es α = 0, β = 0, y por lo tanto dichos vectores son linealmente indepen-
dientes. Además genera todo el espacio ya que para cualquier (a, b), se tiene
que:
(a, b) = a(1, 0) + b(0, 1). (2.1)
Ejemplo 2.1.10 En Rn una base es Bc = {(1, 0, ..., 0); (0, 1, 0, ..., 0); ...; (0, 0, ..., 1)}.
Teorema 2.1.11 Todas las bases de Rn tienen el mismo número de ele-
mentos a saber “n”. Se llama la dimensión de Rn al número n.
2.1. ESPACIO EUCLIDIANO RN 49
2.1.2. Espacio Vectorial
Definición 2.1.12 Es un conjunto provisto de dos operaciones, una opera-
ción binaria interior y una operación binaria exterior, tales que:
1. Una operación binaria interior ∗:
∗ : V × V → V
Es conmutativa, asociativa, posee elemento neutro, y todo v de V posee
inverso, i.e.:
u ∗ v = v ∗ u;
u ∗ (v ∗ w) = (u ∗ v) ∗ w;
∃θ ∈ V, ∀u ∈ V, θ ∗ u = u;∀u ∈ V, ∃ū ∈ V, u ∗ ū = θ.
2. Una operación binaria exterior F:
F : R× V → V .
Es “asociativa en escalares”, tiene como escalar neutro al 1 y es dis-
tributiva:
(αF(βFu) = (αβ)Fu;
1Fu = u;
αF(u ∗ v) = (αFu) ∗ (αFv);
(α + β)Fu = (αFu) ∗ (βFu).
Ejercicio 2.1.13 Sea V el conjunto de todas las funciones reales definidas
sobre [0, 1]; sea ∗ que dice: f ∗ g
(f ∗ g)(x) := f(x) + g(x).
Sea F la que se define por:
(αFf)(x) = (α)(f(x))
Tarea: Comprobar que (V, ∗,F) constituyen un espacio vectorial.
Nota: Normalmente se abusa en la notación usando + en vez de ∗ y sólo
yuxtaposición en vez de F.
50 CAPÍTULO 2. NOCIONES DE CÁLCULO Y ANÁLISIS EN RN
Teorema 2.1.14 Cualquier espacio vectorial tiene bases y todos las bases de
un mismo espacio son igualmente abundantes, i.e., (todas las bases tienen el
mismo número de elementos); y por lo tanto al número de elementos de una
cualquiera de las bases se llama “dimensión del espacio vectorial”.
El conjunto de todas las matrices en R2 es un espacio vectorial.
Demostración:
Sea M(m,n) el conjunto de todas las matrices de orden m × n, sobre el
campo de los números reales R
Sea A = [aij]i=1,...,mj=1,...,n ∈M(m,n).
Sea B = [bij]i=1,...,mj=1,...,n ∈M(m,n).
Sea C = [cij]i=1,...,mj=1,...,n ∈M(m,n).
1. Asociatividad de la adición:
aij + (bij + cij) = (aij + bij) + cij, ∀i, j
2. Conmutatividad de la adición:
aij + bij = bij + aij, ∀i, j
3. Elemento neutro en la adición: existe un elemento 0 = [zij(= 0)]i=1,...,mj=1,...,n ∈
M(m,n), llamado el vector cero tal que:
aij + cij = aij + 0 = aij, ∀i, j
por lo tanto:
a+ 0 = a, ∀a ∈M(m,n).
4. Elementos inversos en la adición. Para cada a ∈M(m,n), existe un ele-
mento −a = [−aij]i=1,...,mj=1,...,n ∈ M(m,n), llamado el inverso aditivo
de a, tal que:
aij + (−aij) = aij − aij = 0 =: zij, ∀i, j
por lo tanto: a+ (−a) = 0.
2.1. ESPACIO EUCLIDIANO RN 51
5. Distribución de la multiplicación por escalar con respecto a una adición
de vectores:
α(aij + bij) = αaij + αbij, ∀i, j
por lo tanto:
α(a+ b) = αa+ αb
6. Distribución de la multiplicación por escalar con respecto a una adición
en los reales:
(α + β)aij = αaij + βaij, ∀i, j
por lo tanto:
(α + β)a = αa+ βa, ∀a ∈M(m,n)
7. Compatibilidad de multiplicación escalar:
(αβ)aij = α(βaij)por lo tanto:
(αβ)a = α(βa)
8. Elemento identidad 1 en la multiplición escalar:
1aij = aij
por lo tanto:
1a = a
M(m,n) junto con las dos operaciones binarias (+, ·) satisface los ocho
axiomar anteriores y por lo tanto es un espacio vectorial (real).
Ejercicio 2.1.15 Una base para el espacio vectorial de las matrices M [(2, 2)]
está conformado por:[
1 0
0 0
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
1 0
]
y
[
0 0
0 1
]
.
Tarea: Demostrarlo.
52 CAPÍTULO 2. NOCIONES DE CÁLCULO Y ANÁLISIS EN RN
2.1.3. Distancia o Métrica en un Conjunto
Definición 2.1.16 En un conjunto S cualquiera, una Métrica es cual-
quier función de dominio S × S que toma valores en los reales, es decir
d: S × S → R tal que:
1. d(x, y) ≥ 0 ∀x, ∀y de S (innegatividad de d).
2. d(x, y) = 0⇐⇒ x = y.
3. d(x, y) = d(y, x) ∀x, ∀y(conmutatividad de d).
4. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z) ∀x, ∀y(desigualdad triangular).
Definición 2.1.17 En R2, la métrica euclidiana, es definida por:
dE((x1, x2), (y1, y2)) :=
√
(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2
Ejemplo 2.1.18
dE((−1, 2), (5, 5)) :=
√
(−1− 5)2 + (2− 5)2
:=
√
36 + 9 = 3
√
5
Definición 2.1.19 La “métrica de la suma” es definida por:
ds((x1, x2), (y1, y2)) := |x1 − y1|+ |x2 − y2|
Ejemplo 2.1.20
d((−1, 2), (5, 5)) = |−1− 5|+ |2− 5| = 9
Definición 2.1.21 La “métrica del máximo” es definida por:
dM((x1, x2), (y1, y2) := máx{|x1 − y1| ; |x2 − y2|}
2.1. ESPACIO EUCLIDIANO RN 53
Ejemplo 2.1.22
dM((−1, 2), (5, 5)) = max{6, 3} = 6
Definición 2.1.23 La “métrica discreta” es definida por:
dD((x1, x2), (y1, y2)) :=
{
0 si (x1, x2) = (y1, y2)
1 si (x1, x2) 6= (y1, y2)
}
Ejemplo 2.1.24
dD((−1, 2), (5, 5)) = 1
En el análisis métrico, las tres primeras métricas son equivalentes, en el
sentido de que todo resultado referente a la noción de “continuidad” obtenida
con una de dichas tres métricas vale también con cualquiera de las otras dos.
2.1.4. Sistemas de Ecuaciones Lineales
Todo sistema lineal con m ecuaciones algebraicas en n incógnitas puede
representarse por Ax = b donde A es una matriz de m × n, x es un vector
columna de n incógnitas y b un vector columna de m datos, de la siguiente
forma:
a11x1 + · · ·+ a1nx1 = b1
...
am1x1 + · · ·+ amnxn = bn a11 · · · a1n... . . . ...
am1 · · · amn

 x1...
xn
 =
 b1...
bn

Esto puede ser reescrito como:
n∑
j=1
a1jxj = b1
...
n∑
j=1
amjxj = bn
54 CAPÍTULO 2. NOCIONES DE CÁLCULO Y ANÁLISIS EN RN
Ejemplo 2.1.25 Sistema de ecuaciones lineales algebraicas:
2
3
x− y = 6
x+ 3y =
1
2[
2
3
−1
1 3
] [
x
y
]
=
[
6
1
2
]
x =
37
6
y = −17
9
Ejemplo 2.1.26
x+ y − z = 1
−y + 3z = 2[
1 1 −1
0 −1 3
] xy
z
 = [ 1
2
]
Siendo una de sus soluciones:
x = 1
y = 1
z = 1
Ejemplo 2.1.27
x+ y = 1
2x− y = 0
x+ 3y = 1 1 12 −1
1 3
[ x
y
]
=
 10
1

x =
1
3
x = 1⇒⇐
2.1. ESPACIO EUCLIDIANO RN 55
Cuando existen más ecuaciones que incógnitas suele aparecer una con-
tradicción, por lo que en tales casos no existe solución.
Cuando hay mas incógnitas que ecuaciones suelen existir infinitas (∞)
soluciones.
Cuando hay tantas incógnitas como ecuaciones suele haber, solución
única.
Caso (1) ∃A−1 ∴ ∃unaúnica solución∴ x = A−1b
Ax = b
A−1Ax = A−1b
Ix = x = A−1b
Caso (2) ¬∃A−1
∴ si b 6= 0 entonces ¬∃ solución.
∴ si b = 0 entonces ∃ ∞ soluciones.
Ejemplo 2.1.28 Caso 1) Sea el siguiente sistema:
2
3
x −y = 6
x +3y = 1
2
entonces:
A =
[
2
3
−1
1 3
]
A−1 =
1
3
[
3 1
−1 2
3
]
AA−1 =
[
1 0
0 1
]
Por lo tanto ∃! solución y está dada por x = A−1.b
x =
1
3
[
3 1
−1 2
3
] [
6
1
2
]
=
[
37
6
−17
9
]
56 CAPÍTULO 2. NOCIONES DE CÁLCULO Y ANÁLISIS EN RN
Ejemplo 2.1.29 Caso 2) (b 6= 0).- Sea el siguiente sistema:
2
3
x+ 2y = 0
x+ 3y = 1
entonces:
A =
[
2
3
2
1 3
]
A tiene determinante cero, podemos decir que no tiene inversa. Podemos
además demostrar que existe una contradicción de la siguiente forma:
2
3
a+ 2b = 1
a+ 3b = 0
2
3
c+ 2d = 0
c+ 3d = 1
∴ ¬∃ A−1 y no hay solución para el sistema.
Ejemplo 2.1.30 Caso 2 (b = 0).- Sea el siguiente sistema:
2
3
x+ 2y = 0
x+ 3y = 0
De este ejemplo podemos decir que x = −3y y si reemplazamos en la primera
ecuación, obtenemos 2
3
(−3y) + 2y = 0 con lo cual obtenemos que se debe
cumplir que 2y = 2y, es decir y = β con β ∈ R, por lo tanto x = −3β. De
esta forma, existen ∞ soluciones (−3β, β) con β ∈ R.
2.2. Cálculo Diferencial y Análisis Matemáti-
co
Definición 2.2.1 Función Real de Variable Real:
2.2. CÁLCULO DIFERENCIAL Y ANÁLISIS MATEMÁTICO 57
f : R→ R
x 7→ f(x) = 2x3 − x+ 1
f(−2) = −16 + 2 + 1 = −13
Función Real de Variable Vectorial:
f : Rn → R
Un caso espećıfico:
f : R2 → R
(x, y) 7→ f(x, y) = 2xy − x+ y
f(−1, 2) = −1
Otro caso:
f(x, y, z) = xy − y2z + 2x− z
Definición 2.2.2 Estática Comparativa La estática comparativa permite sa-
ber cómo cambia la solución de un modelo cuando cambian las variables
exógenas.
Sea el siguiente Modelo Estable:
0 = f1(x1, x2, . . . , xn;α1, α2, . . . , αm)
0 = f2(x1, x2, . . . , xn;α1, α2, . . . , αm)
...
...
0 = fn(x1, x2, . . . , xn;α1, α2, . . . , αm)
Donde fi representa la diferencia entre la demanda en el mercado i y la oferta
en ese mismo mercado.
Variables endógenas: Precios de los bienes x1, x2, . . . , xn.
Variables exógenas o parámetros: α1, α2, . . . , αm.
Dados ᾱ1, ᾱ2, . . . , ᾱn siendo la solución x
∗
1, x
∗
2, . . . , x
∗
n, entonces cómo variará
la solución ante cambios ∆α1,∆α2, . . . ,∆αn, arbitrarios y pequeños, en los
valores ᾱ1, ᾱ2, . . . , ᾱn.
58 CAPÍTULO 2. NOCIONES DE CÁLCULO Y ANÁLISIS EN RN
Ejemplo 2.2.3 Si:
Y = C(Y ) + I(r) +G
Con:
C(Y ) = 10 +
1
2
Y
M = PL(Y, r)
I(r) =
1
r
L(Y, r) = Y − r
Considerar los siguientes valores para:
G = Gasto gubernamental = 90
P = Índice de precios = 1
M = Oferta monetara = 200
Solución
Y = 10 +
Y
2
+
1
r
+G
M = P (Y − r)
Y − M
P
= r
1 = (Y − M
P
)(
Y
2
− 10−G)
0 =
Y 2
2
− (M
2P
+ (10 +G))Y + (
M
P
(10 +G)− 1)
0 =
Y 2
2
− 200Y + 19999
Y ∗ =
100±
√
10000− (10000− 1
2
)
1
2
' 200
La solución es: Y ∗ = 200, r∗ = 0,1, ¿Como vaŕıan Y ∗ y r∗, ante un cambio
en G de 0,2, M de -2 y ∆P = 0?
G̃ = 90, 2 M̃ = 198 P̃ = 1
∴ ∆Y ∗ ∼= ∆r∗ ∼=
Para responder esta pregunta tenemos que analizar diversos conceptos:
2.2. CÁLCULO DIFERENCIAL Y ANÁLISIS MATEMÁTICO 59
2.2.1. Tasa de cambio
Si x∗ = 120 cambia a x̂ = 132
∴ ∆x∗ = 132− 120 = 12 (décima parte de x∗)
Si y∗ = 12 cambia a ŷ = 24
∴ ∆y∗ = 12 (Totalidad de y∗)
Decimos que el cambio relativo de “x” es: x∗ =
12
120
= 0, 1 = 10 %
y de “y”es: y∗ =
12
12
= 1 = 100 %
2.2.2. Tasa de cambio de variable dependiente
Sea por ejemplo:
y = f(x) = x2 + 1
Donde: x : Variable independiente. y : Variable dependiene.
Si x = 2, entonces y = 5
x = 3 =⇒ y = 10
x = 2, 1 =⇒ y = 5, 41
∆x ∆y
1 5
0,1 0,41
Por lo tanto la tasa de cambio es:
∆y
∆x
=
0,41
0,1
= 4, 1
∆x ∆y ∆y
∆x
0,01 0,0401 4.01
0,001 0,004001 4.001
60 CAPÍTULO 2. NOCIONES DE CÁLCULO Y ANÁLISIS EN RN
Conjetura: “A medida que ∆x ↓ 0; ∆y
∆x
→ 4”. Entonces, el nuevo valor
de x es 2 + ∆x y el nuevo valor de y es (2 + ∆x)2 + 1. Por lo tanto, el cambio
en Y es (2 + ∆x)2 + 1− 5 = 4∆x+ (∆x)2.
De esa manera, el cambio relativo de y respecto a x es ∆y
∆x
= 4∆x+(∆x)
2
∆x
−
4 + ∆x. Entonces, si ∆x ↓ 0, ∆y
∆x
→ 4.
En ese caso se dice:“El Ĺımite de ∆y
∆x
cuando ∆x→ 0 es 4”
Tan cerca como se quiera de 4 estará ∆y
∆x
con solo hacer que ∆x esté
bastante cercano a 0.
Dado: ε > 0, hay un δ > 0 tal que:
Si|∆x| < δ, entonces,
∣∣∣∣∆y∆x − 4
∣∣∣∣ < ε′
Otro ejemplo:
x = 20 ∧ y = 401
Entonces, el nuevo valor de x es 20+∆x, el nuevo valor de y es (20+∆x)2+1;
y el cambio en y es (20 + ∆x)2 + 1− 401 = 40∆x+ (∆x)2.
Por lo tanto, el cambio real de y respecto a x es:
∆y
∆x
=
40∆x+ (∆x)2
∆x
= 40 + ∆x
En general:
x = a → y = a2 + 1
Con el nuevo valor de x es a+ ∆x, el nuevo valor de y es (a+ ∆x)2 + 1; y el
cambio en y es (a+ ∆x)2 + 1− (a2 + 1) = 2a∆x+ (∆x)2.
Por lo tanto, el cambio real de y respectoa x es:
∆y
∆x
=
2a∆x+ (∆x)2
∆x
= 2a+ ∆x
Se dice: “El ĺımite de ∆y
∆x
dado que x = a, cuando ∆x→ 0 es 2a”. En general,
se llama derivada de y respecto a x para x = a al ĺımite ∆y
∆x
cuando ∆x→ 0.
dy
dx
(a) =
dy
dx
∣∣∣∣
a
=
dy
dx
∣∣∣∣
x=a
:=∆x→0 ĺım
∆y
∆x
2.2. CÁLCULO DIFERENCIAL Y ANÁLISIS MATEMÁTICO 61
Esto es la tasa puntual de cambio.
Ejemplo 2.2.4
y = f(x) = x3 − 2x
x = a
y = a3 − 2a
Si el nuevo valor de x fuese a + ∆x, el nuevo valor de y seŕıa (a + ∆x)3 −
2(a+ ∆x). El cambio de y es:
(a+ ∆x)3 − 2(a+ ∆x)− (a3 − 2a)
3a2∆x+ 3a∆x2 + ∆x3 − 2∆x
Cambio relativo de y respecto a x seŕıa:
∆y
∆x
=
3a2∆x+ 3a∆x2 + ∆x3 − 2∆x
∆x
= 3a2 + 3a∆x+ ∆x2 − 2.
este último término tiende a 3a2 − 2 cuando ∆x → 0. De esta forma, ”la
derivada de y respecto a x en x = a es 3a2 − 2”. Otra forma de ver la
derivada es considerarlo como la pendiente de la recta tangente a la gráfica
de la función en el punto de abscisa a.
Ejemplo 2.2.5 Sea g = función tal que g(5) = 2.
La derivada de y respecto a x cuando x = 5 es 3.
dy
dx
(5) = 3
Ejemplo 2.2.6
y =
x
3
− 2
dy
dx
(4) =
(
1
3
(4 + ∆x)− 2
)
−
(
4
3
− 2
)
∆x
=
1
3
ĺım
∆x→0
∆y
∆x
=
1
3
62 CAPÍTULO 2. NOCIONES DE CÁLCULO Y ANÁLISIS EN RN
2.2.3. Propiedades de la Derivada:
1. Si y = xn con n ∈ N, entonces dy
dx
(a) = nan−1
Disminuir el exponente una unidad y multiplicar por el exponente ori-
ginal.
2. Si z = u(x) + v(x), entonces dz
dx
= du
dx
+ dv
dx
.
3. Si z = αu(x), entonces dz
dx
= αdu
dx
Las dos últimas propiedades nos muestran que la “derivación es una operación
lineal”.
Ejemplo 2.2.7
y = −2 + 6x+ 3
5
x3 − 1
2
x4
∴
dy
dx
=
d(−2)
dx
+
d(6x)
dx
+
d
(
3
5
x3
)
dx
+
d
(
−x4
2
)
dx
=
= 6 +
9
5
x2 − 2x3
Por lo tanto:
f ′(a) = ĺım
∆x→0
f(a+ ∆x)− f(a)
∆x
Donde f(a+∆x)−f(a)
∆x
es el cociente diferencial.
f ′(a) = ĺım
∆x→0
∆y
∆x
=
dy
dx
(a)
f ′(a) : Es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el
punto de abscisa a.
Ejemplo 2.2.8 Sea:
f(x) = x2 − 4x+ 3
f ′(x) = 2x− 4
y sea a = 10
Entonces:
f ′(10) = ĺım
∆x→0
f(10 + ∆x)− f(10)
∆x
2.2. CÁLCULO DIFERENCIAL Y ANÁLISIS MATEMÁTICO 63
Figura 2.1: Función Ĺımite.
= ĺım
∆x→0
f(10 + ∆x)− 63
∆x
(10 + ∆x)2 − 4(10 + ∆x) + 3− 63
100 + 20∆x+ ∆x2 − 40− 4∆x− 60
∆x
=
∆x2 + 16∆x
∆x
ĺım
∆x→0
(16 + ∆x) = 16
Ĺımite del cociente diferencial en dicho punto cuando ∆x→ 0.
Mayor aproximación, mayor exactitud:
dy
dx
(10) = 16
Ejemplo 2.2.9
y = x3
dy
dx
= 3x2 ≥ 0 ∀ x ∴
x dy
dx
y
0 0 0
1 3 1
−1 3 −1
Ejemplo 2.2.10
y = x2 − 4x+ 3
64 CAPÍTULO 2. NOCIONES DE CÁLCULO Y ANÁLISIS EN RN
dy
dx
= 2x− 4
dy
dx
(a) = 0
queremos evaluar: dy
dx
(α) si y solo si 2α− 4 = 0, α = 2 ∴ vértice es (2,−1)
∴ Si b > 2 =⇒ dy
dx
(b) > 0
Si b < 2 =⇒ dy
dx
(b) < 0
Ejemplo 2.2.11 Calcular:
ĺım
x→−1
(
x2 − x− 2
x+ 1
)
Como el numerador se anula para x = −1 ⇒ decimos que el numerador es
igual a (x+ 1)(x− 2).
Luego ∀x cercano a −1 (pero 6= −1), el cociente vale (x+1)(x−2)
x+1
= x− 2
∴ ĺım
x→−1
(
x2 − x− 2
x+ 1
)
= ĺım
x→−1
(x− 2) = −3
Pero para: (
x2 − x− 21
x+ 1
)
no hay ĺımite cuando x→ −1, pues ĺım
x→−1
(x2−x−21) = 1−(−1)−21 = −19
por lo que, si x vale “casi”−1, el cociente valdrá “casi”−19
�
, con � un número
tan pequeño como queramos, es decir, el cociente será de valor absoluto tan
grande como queramos.
Definición:
Si f : R→ R y a ∈ Dom(f)
Entonces:
El “ĺımite diestro”de f en a se define como “ ĺım
x→a+
f(x) := el ĺımite al
cual se aproxima f(x) al descender x hacia a”.
2.2. CÁLCULO DIFERENCIAL Y ANÁLISIS MATEMÁTICO 65
Figura 2.2: Ĺımite diestro y siniestro
El “ĺımite siniestro”de f en a se define como “ ĺım
x→a−
f(x) := el ĺımite al
cual se aproxima f(x) al ascender x hacia a”(ver gáfico 2.2).
Ejemplo 2.2.12 Sea (ver gáfico 2.3)
f : R→ R
x→ f(x) :=
{
1 + 2x, si x > 3
−x+ 2, si x ≤ 3
}
ĺım
x→3+
f(x) = 7
ĺım
x→3−
f(x) = −1
pero ĺım
x→1+
f(x) = 1
ĺım
x→1−
f(x) = 1
¿Cuándo existe un ĺımite? ¿Cómo se calcula su valor?
Definición 2.2.13 (Definición de Ĺımite) Se dice que el ĺımite de la fun-
ción f en el punto a es L si ∀ε > 0 ∃δ > 0, ∀x 6= a del dom(f) (|x− a| <
δ =⇒ |L− f(a)| < ε). Tan cerca como se quiera de L estará la imagen de
todo punto bastante cercano de a.
66 CAPÍTULO 2. NOCIONES DE CÁLCULO Y ANÁLISIS EN RN
Figura 2.3: Ejemplo de ĺımite diestro y de ĺımite siniestro
Ejemplo 2.2.14 Sea la función:
f(x) =
x2 − 1
x+ 1
Dom(f) = {x ∈ R/x+ 1 6= 0}
= R\ {−1}
ĺım
x→−1
f(x) = −2, pues ∀ε > 0
Si |x− (−1)| < ε
2
con x 6= −1,
entonces:
|−2− f(x)| =
∣∣∣∣−2− (x2 − 1)x+ 1
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣−2− (x− 1)(x+ 1)x+ 1
∣∣∣∣
= |−1− x| (ya que x 6= −1)
= |1 + x| < ε
2
< ε
Nótese que según lo anterior, dado un positivo � cualquiera, basta con definir
δ := �
2
.
2.2. CÁLCULO DIFERENCIAL Y ANÁLISIS MATEMÁTICO 67
Proposición 2.2.15 Si existen los ĺımites de f y g en a, entonces:
1. ĺım
x→a
(f(x) + g(x)) = ĺım
x→a
f(x) + ĺım
x→a
g(x)
2. ĺım
x→a
(αf(x)) = α ĺım
x→a
f(x)
3. ĺım
x→a
(f(x)g(x)) = ĺım
x→a
f(x)ĺım
x→a
g(x)
4. ĺım
x→a
(
f(x)
g(x)
)
=
ĺım
x→a
f(x)
ĺım
x→a
g(x)
si ĺım
x→a
g(x) 6= 0
5. ĺım
x→a
(f(x))n =
(
ĺım
x→a
f(x)
)n
Ejemplo 2.2.16 Calcule el valor del siguiente ĺımite:
ĺım
x→2
(x3 − 2x2 + 6) = ĺım
x→2
x3 − ĺım
x→2
2x2 + ĺım
x→2
6
= 8− 8 + 6
= 6
Ejercicio 2.2.17 Resolver el siguiente ejercicio:
Dado
q =
v2 + v − 56
v − 7
, v 6= 7
Halle el ĺımite a la izquierda y el ĺımite a la derecha de 7. De esta forma,
factorizando tenemos:
ĺım
x→7
(x− 7)(x+ 8)
(x− 7)
= ĺım
x→7
(x+ 8)
= 15
Pero:
ĺım
x→7
x+ 7
x− 7
= no existe
Pues el ĺımite del numerador es > 0 y el del denominador = 0.
Ejercicio 2.2.18 El siguiente ĺımite:
ĺım
x→0
senx
x
= 1
68 CAPÍTULO 2. NOCIONES DE CÁLCULO Y ANÁLISIS EN RN
Para esta demostracin empleamos L’Hopital 1, derivando arriba y abajo, y
obtenemos:
ĺım
x→0
cosx
1
= 1
2.2.4. Continuidad y diferenciabilidad de una función
Definición 2.2.19 Una función f : R → R es “continua en a”si existe
ĺım
x→a−
f(x) y existe ĺım
x→a+
f(x) y además ĺım
x→a−
f(x)= ĺım
x→a+
f(x) = f(a). Es
decir, existen ambos ĺımites laterales y además coinciden con f(a).
Definición 2.2.20 La continuidad de una función se define como la propie-
dad de que la función sea continua en cada punto de su dominio.
Ejemplo 2.2.21 La siguiente función es continua:
f(x) = −x3
Ejemplo 2.2.22 La siguiente función es continua:
f(x) =
1
x
Pues
dom(f) = R\ {0} y ∀a 6= 0, ĺım
x→a
(
1
x
) =
1
a
.
Ejemplo 2.2.23 Sea una función
f : R→ R tal que x 7→ |x|
f es no diferenciable en 0, pero si en cualquier x 6= 0, ya que por cero pasan
infinitas rectas “tangentes” en (0, 0) a la gráfica de la función (ver gráfica
2.4).
Ejemplo 2.2.24 Sea la función:
f(x) =
1
x
= x−1.
1Ver la llamada “regla de L’Hopital”para calcular ĺımites de cocientes de funciones
diferenciales, por ejemplo, en Sydsaeter et al., Matemáticas para el análisis económico,
pp. 193-195.
2.2. CÁLCULO DIFERENCIAL Y ANÁLISIS MATEMÁTICO 69
Figura 2.4: Ejemplo de ĺımite
Ella será diferenciable si lo es en cada punto de su dominio:
f
′
(a) = (−1)x−2|x=a
= − 1
x2
∣∣∣∣
x=a
= − 1
a2
2.2.5. Concepto Riguroso de Continuidad
Ejemplo 2.2.25 Sea la función:
f : R→ R tal que x→ f(x) := x2 ∴ dom(f) = R.
Demostremos que f es continua. (Por demostrar (PD): ∀a ∈ dom(f), f es
continua en a).
Sea a ∈ R, entonces: PD: ∀ε > 0,∃δ > 0, (x 6= a y |x− a| < δ ⇒
|x2 − a2| < ε) Si x 6= a es tal que |x− a| < δ, entonces |f(x)− f(a)| =
|x2 − a2| = |x− a||x+ a|.
70 CAPÍTULO 2. NOCIONES DE CÁLCULO Y ANÁLISIS EN RN
Pero como |x − a| < δ, se tiene que −δ < x − a < δ ∴ a − δ < x <
a + δ ∴ |x| < |a| + δ. Entonces: |x− a| |x+ a| 5 δ(|a| + δ) = δ2 + 2 |a| δ.
Ahora, queŕıamos hallar algún valor de δ tal que δ2 +2|a|δ fuera < al ε dado.
Por ejemplo,
Si a 6= 0, entonces, (2.2)
con δ < min
(√
ε
2
; ε
6|a|
)
, se obtiene que δ2 + 2|a|δ < ε
2
+ ε
2
= ε.
El caso paraa = 0 se deja como ejercicio.
Entonces definimos una función:
f : R→ R
y donde a ∈ R, decimos que “f es continua en a”si:
1. Existe el ĺım
x→a
f .
2. ĺım
x→a
f .= f(a).
3. a pertenece al dominio de f
Chang: “Si uno de estos tres requisitos falla, entonces f es discontinua en a”.
Nos: “f es discontinua en a”si:
1. a pertence al dominio de f .
2. ĺım
x→a
f 6= f(a)
Ejemplo 2.2.26 Sea la función g, definida:
g(x) =
1
x
Chang: “g es discontinua en 0”(Falso) pues 0 /∈ dominio de g.
Ejemplo 2.2.27 Sea la función h : R→ R y
x→ h(x) :=

1 si x < 0
0 si x = 0
−1 si x > 0

por lo que podemos decir que h es discontinua en 0, puesto que 0 ∈ dominio
de R y no es posible que h(0) = ĺım
x→0
h(x).
2.2. CÁLCULO DIFERENCIAL Y ANÁLISIS MATEMÁTICO 71
2.2.6. Reglas de las derivadas o de diferenciación
La operación derivada, cumplirá las siguientes reglas:
1. d
dx
(xn) = nxn−1, con n ∈ R
2. Si y = f(x) y z = g(x), entonces:
d
dx
(y ∓ z) = dy
dx
∓ dz
dx
;
equivalentemente podemos escribir
(f ∓ g)′(x) = f ′(x)∓ g′(x).
3. Si y = f(x) y z = g(x), entonces
d
dx
(y.z) =
(
dy
dx
)
(z) +
(
dz
dx
)
(y)
Ejemplo 2.2.28 Sean las siguientes funciones
y = x3 − 2x ∧ z = 2x2 + x
entonces si derivamos obtenemos:
d
dx
(y.z) = (3x2 − 2)(2x2 + x) + (4x+ 1)(x3 − 2x)
d
dx
(y.z)(1) = 1(3) + 5(−1)
d
dx
(y.z) |x=1 = −2
4. Nuevamente si y = f(x) y z = g(x), entonces:
d
dx
(y
z
)
=
dy
dx
(z)− dz
dx
(y)
z2
, si z(x) 6= 0.
72 CAPÍTULO 2. NOCIONES DE CÁLCULO Y ANÁLISIS EN RN
Ejemplo 2.2.29 Considerando las mismas funciones del ejemplo pa-
sado, obtenemos:
d
dx
(y
z
)
=
(3x2 − 2)(2x2 + x)− (x3 − 2x)(4x+ 1)
(2x2 + x)2
d
dx
(y
z
)∣∣∣∣
x=1
=
(1)(3)− (−1)(5)
(9)
=
8
9
5. Equivalentemente podemos denotar:
(f.g)′(x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)(
f
g
)′
(x) =
f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)
g2(x)
Ejemplo 2.2.30 Sean f , g y h funciones definidas en: R → R, demostrar
que se cumple:
(fgh)′(x) ≡ f ′(x)g(x)h(x) + f(x)g′(x)h(x) + f(x)g(x)h′(x)
Aśı
(fgh)(x) = f(x)[g(x)h(x)]
= [f( gh︸︷︷︸
ϕ
)](x) = (fϕ)(x)
de modo que
(fϕ)′(x) = f ′(x)ϕ(x) + ϕ′(x)f(x)
= f ′(x)g(x)h(x) + (gh)′(x)f(x)
= f ′(x)g(x)h(x) + [g′(x)h(x) + g(x)h′(x)]f(x)
= f ′(x)g(x)h(x) + f(x)g′(x)h(x) + f(x)g(x)h′(x)
Ejemplo 2.2.31 En la teoŕıa microeconómica es muy importante encontrar
la relación que existe entre IMe (Ingreso medio) e IMg (Ingreso marginal),
aśı como CMe y CMg, por lo que resolvemos:
Relación entre IMe e IMg. Una empresa produce un bien (cantidad
Q), su función de ingreso medio, la cual es el precio, se expresa como IA =
2.2. CÁLCULO DIFERENCIAL Y ANÁLISIS MATEMÁTICO 73
f(Q) y su ingreso marginal es IM (I denota el ingreso.) ¿Qué relación existe
entre IM e IA?
IM =
d
dQ
(I)
pero
I = IA ∗Q
de modo que:
IM =
d
dQ
(Q ∗ IA)
IM =
d
dQ
(Qf(Q))
IM =
d(Q)
dQ
.f(Q) +Qf ′(Q)
IM = f(Q)︸ ︷︷ ︸
IA
+Qf ′(Q)
IM − IA = Q︸︷︷︸
+
f ′(Q)︸ ︷︷ ︸
−
< 0
pues la demanda es decreciente, pero como:
IA =
I
Q
= Q
P
Q
= P
IA es la inversa de la función de demanda y de donde podemos concluir que
se cumple la ley de la economı́a
IA > IM
Ingreso medio > Ingreso marginal
Relación entre el costo medio y el costo marginal)
Sea C(Q) la función de costo total: C = C(Q).
Definimos el costo medio como:
CA =
C(Q)
Q
74 CAPÍTULO 2. NOCIONES DE CÁLCULO Y ANÁLISIS EN RN
Figura 2.5: Ingreso medio e Ingreso marginal
por lo que:
d
dQ
(costo medio) =
d
dQ
(
C(Q)
Q
)
=
Q d
dQ
C(Q)− C(Q)dQ
dQ
Q2
=
C ′(Q)
Q
− C(Q)
Q2
=
1
Q
(
C ′(Q)− C(Q)
Q
)
=
1
Q
(CM − CA)
luego:
d
dQ
(CA) T 0 si y solo si CM T CA (ver gráfico 2.6)
2.2. CÁLCULO DIFERENCIAL Y ANÁLISIS MATEMÁTICO 75
Figura 2.6: Costo medio y costo marginal
Ejemplo 2.2.32 Dado IA = 60−3Q (ver gráfico 2.7), hallar IM . Para en-
contrar IM , expresamos el ingreso medio en su forma general: IA = H−mQ
con m > 0.
Esta forma general proviene del siguiente procedimiento, sea Q ∈ R+
IM(Q) = IA(Q)−Q
∣∣f ′(Q)∣∣
entonces:
IM(Q) = (H −mQ)−Q |−m|
= H − 2mQ
si la curva de IA es recta y la curva IM es recta, su pendiente es el doble
del IA y tiene la misma ordenada en el origen.
Ejemplo 2.2.33 Dada la función IA = (Q − 4)2 + 2 (ver gráfico 2.8) con
76 CAPÍTULO 2. NOCIONES DE CÁLCULO Y ANÁLISIS EN RN
Figura 2.7: Primer ejemplo de función de ingreso medio
0 5 Q 5 5, de modo que:
d
dQ
(IA) = 2Q− 8
Se pide encontrar el vértice, donde Q se anula.
IM =
d
dQ
I =
d
dQ
(Q3 − 8Q2 + 16Q+ 2Q)
IM = 3Q2 − 16Q+ 18
0 =
d
dQ
IM = 6Q− 16
de modo que:
Q =
8
3
IM(
8
3
) = 3.
64
9
− 16.8
3
+ 18 =
10
3
2.2. CÁLCULO DIFERENCIAL Y ANÁLISIS MATEMÁTICO 77
Figura 2.8: Segundo ejemplo numérico de la función de ingreso medio
2.2.7. Regla de la cadena
Considerando la siguiente correspondencia entre las funciones f y g:
x
f−→ y g−→ z
Surgen las siguientes preguntas:
¿Cómo influye una variación en x tanto en y como en z?
y = f(x) ∧ z = g(y). Luego, z = g(f(x)) = (gof)(x)
Podemos encontrar: ¿
dz
dx
?
Definición 2.2.34 Sean:
f : R→ R ∧ g : R→ R dada.
tales que ∀x del dom(f), f(x) ∈ dom(g) y sea a ∈ dominio de f . Se define la
función “gof” como la composición de f y g mediante:
(gof)(x) := g(f(x))
78 CAPÍTULO 2. NOCIONES DE CÁLCULO Y ANÁLISIS EN RN
Figura 2.9: Diagrama de la Regla de la Cadena
x −→ f(x) −→ g(f(x))
¿Cómo es la derivada (gof)′(a)?. Es igual a g′(f(a))(f ′(a))
Si: y = f(x) ∧ z = g(y)
Entonces se quiere:
dz
dx
∣∣∣∣
x=a
=
dy
dx
∣∣∣∣ .
y=f(a)
dz
dy
∣∣∣∣
x=a
Ejemplo 2.2.35 Considerando las siguientes correspondencias:
β → α→ δ → γ
por lo que mediante la regla de la cadena podemos obtener:
dγ
dβ
=
dγ
dδ
.
dδ
dα
.
dα
dβ
Ejemplo 2.2.36 Sean las siguientes funciones:
y = 2x3 − x+ 6
z =
1
y
.
2.2. CÁLCULO DIFERENCIAL Y ANÁLISIS MATEMÁTICO 79
Nótese que ∀ x de R, y(x) 6= 0; por lo cual tiene sentido la composición de
funciones: x 7→ y 7→ z
Calcule
dz
dx
.
Para calcular
dz
dx
, encontramos:
dz
dx
=
dz
dy
dy
dx
= (−y−2)(6x2 − 1)
= − 1
y2
(6x2 − 1)
=
(1− 6x2)
(2x3 − x+ 6)2
ahora, queremos saber que pasa si x = 2, es decir queremos saber a qué es
igual
dz
dx
|x=2, por lo tanto:
dz
dx
∣∣∣∣
x=2
= − 23
400
Ejemplo 2.2.37 Sea una economı́a en donde el ingreso Y , se relaciona con
el consumo C por f del siguiente modo Y
f−→ C, tal que:
C = f(Y ) :=
√
Y + 1
Además, el bienestar V es función del consumo C, y está definido como:
V = C
2
3 = g(C)
Aśı, la relación entre variables se denota por:
Y
f−→ C g−→ V
Entonces:
dV
dY
∣∣∣∣
Y=1
=
dV
dC
∣∣∣∣
C=2
dC
dY
∣∣∣∣
Y=1
=
(
2
3
C
−1
3
)∣∣∣∣
C=2
(
1
2
Y
−1
2
)∣∣∣∣
Y=1
80 CAPÍTULO 2. NOCIONES DE CÁLCULO Y ANÁLISIS EN RN
dV
dY
=
(
2
3
1
3
√
2
)(
1
2
.
1√
1
)
=
1
3
3
√
2
Decimos que si la derivada es:
pequeña, entonces la variable dependiente no es muy sensible respecto
a cambios en la variable independiente;
es > 0 (positiva), entonces la variable dependiente crece si crece la
variable independiente.
grande, entonces la variable dependiente es muy sensible respecto a
cambios en la variable independiente;
es < 0 (negativa), entonces la variable dependiente crece si decrece la
variable independiente.
Ejemplo 2.2.38 Sean las siguientes variables:
y = u3 + 1 ∧ u = 5− x2
entonces:
dy
dx
=
dy
du
.
du
dx
= (3u2)(−2x)
=
dy
du
.
du
dx
= 3(5− x2)2(−2x)
aśı
dy
dx
| x=2 = 3(5− (2)2)2(−2(2)) = −12
dy
dx
| x=2 =
dy
du
|y=1 .
du
dx
|x=2= (3)(−4) = −12
Ejemplo 2.2.39 Sean las siguientes variables:
w = ay2 ∧ y = bx2 + cx
2.2. CÁLCULO DIFERENCIAL Y ANÁLISIS MATEMÁTICO 81
entonces:
dw
dx
= (2ay)(2bx+ c)
de modo que podemos descomponer y operar de la siguiente manera:
dw
dx
| x=−1 =
dw
dy
|y=b−c .
dy
dx
|x=−1
dw
dx
| x=−1 = (2ay) |y=b−c .(2bx+ c) |x=−1
dw
dx
| x=−1 = 2a(b− c)(−2b+ c)
Ejercicio 2.2.40 Calcular dy
dx
en cada uno de los siguientes casos:
1. y = (3x2 − 13︸ ︷︷ ︸
u
)3, entonces:
dy
dx
= 3u2,6x = 3(3x2 − 13)2(6x)
2. y = (8x3 − 5)9, entonces:
dy
dx
= 9(8x3 − 5)8(24x2)
3. y = (ax+b)4, entonces:
dy
dx
= 4(ax+ b)3(a)
4. y = log(5x2 − 2x) ∧ d(log z)
z
=
1
z
, entonces,
dy
dx
=
1
(5x2 − 2x)
.(10x− 2)
82 CAPÍTULO 2. NOCIONES DE CÁLCULO Y ANÁLISIS EN RN
Ejemplo 2.2.41 Sea la siguiente igualdad:
y = (16x+ 3︸ ︷︷ ︸
u
)−2 que puede ser expresada como y =
1
(16x+ 3)2
entonces para calcular dy
dx
usamos la regla del cociente:
dy
du
.
du
dx
=
dy
dx
= −2(16x− 3)−3(16)
que proviene de:
dy
dx
=
(16x+ 3)2(0)− (1)2(16x+ 3)(16)
(16x+ 3)4
=
−2(16)
(16 + 3)3
Ejemplo 2.2.42 Sea la siguiente función f , definida como:
y = f(x) := 7x+ 21
por lo tanto:
dy
dx
= 7
además existe su función inversa local pues en cualquier punto es inyectiva.
De de ese modo:
inversa de x =
y − 21
7
, es f−1(y)
por lo que:
f−1(y) =
x− 21
7
y
(f−1)′(x) =
1
7
de ese modo:
(f−1)′(x)f ′(x) = 1
2.2.8. Función inversa
Se denota a la función inversa de f : R → R como f−1, y se llama
“inversa de la función”f a una función g tal que:
gof es la identidad, donde identidad es definida como una función : R→ R es tal que x 7→ x,
2.2. CÁLCULO DIFERENCIAL Y ANÁLISIS MATEMÁTICO 83
es decir, que:
x→ identidad(x) = x
donde la identidad corresponde gráficamente a la bisectriz del primer y tercer
cuadrante.
Ejemplo 2.2.43 Sea la función f definida en:
f : R→ R
: x 7→ x3
y sea la función g definida en:
g : R→ R
: x 7→ 3
√
x
entonces:
(gof)(x) = g(f(x)) = g(x3)
=
3
√
x3 = x
= identidad
luego g es la inversa de f , es decir, g = f−1.
Teorema 2.2.44 (Función inversa) Si una función f tiene derivada en x
y esta tiene valor distinto de 0, entonces(
f−1
)′
(f(x)) =
1
f ′(x)
Definición 2.2.45 (Inyectividad) Una función f es “inyectiva si es una
función que a puntos diferentes del dominio les asigna puntos diferentes en
el codominio, es decir:
si x 6= y entonces f(x) 6= f(y)
En general si f ′(a) 6= 0, entonces f tiene inversa local cerca de a; de ese
modo la recta tangente no es horizontal (pero si f ′(a) = 0, entonces quizá
tenga inversa o quizá no).
84 CAPÍTULO 2. NOCIONES DE CÁLCULO Y ANÁLISIS EN RN
Ejemplo 2.2.46 Sea la función f :
f(x) = x3
por lo tanto:
f ′(x) = 3x2
f ′(2) = 12
por lo que:
(f−1)′(2) =
1
12
paralelamente:
f−1(y) = 3
√
y
de modo que:
(f−1)′(y) =
1
3
.
1
y
2
3
con y = 23
¿Existirá la función inversa para y = f(x) = x2?. No, porque f no es inyec-
tiva.
Por lo tanto, una función tendrá inversa si todas las ĺıneas horizontales
cortan a la función en solo un punto o no lo cortan. Sin embargo, si se define:
ϕ :
]
2
1
2
, 3
1
2
[
=⇒ R
x 7→ ϕ(x) = x2
entonces ϕ es inyectiva, por lo tanto existe la inversa de ϕ , es decir, existe
ϕ−1. En lo anterior, se dice que ϕ es una restricción de f al
]
21
2
, 31
2
[
por lo
que se habla de inversas locales, pues en este caso ϕ−1 es una inversa local
de f cerca de 3.
Teorema 2.2.47 (Función inversa local) Si:
f : R→ R
2.2. CÁLCULO DIFERENCIAL Y ANÁLISIS MATEMÁTICO 85
y a pertenece al dominio de f y además f ′(a) 6= 0, entonces existe la inversa
local de f “cerca de a (es decir, en algún intervalo abierto que contiene al
punto a).
Entonces, para x “cerca de a, la inversa se define como:(
f−1
)′
(f(x)) =
1
f ′(x)
Ejemplo 2.2.48 Sea la función f(x):
f(x) = x2 ∧ a = 3
entonces:
f ′(3) = 6 6= 0
por lo tanto decimos que existe la función f−1 cerca de 3.(
f−1
)′
(f(3)) =
1
f ′(3)
=
1
6
. Luego
(
f−1
)′
(9) =
1
f ′(3)
Definición 2.2.49 (Monotonicidad) Una función f es monótona si es
que f es creciente o si es que f es decreciente.
f es creciente si x′ = x entonces f(x′) = f(x).
f es estrictamente creciente si x′ > x entonces f(x′) > f(x).
f es decreciente si x′ 5 x entonces f(x′) = f(x).
f es estrictamente decreciente si x′ < x entonces f(x′) > f(x).
De modo que la “función constante śı es monótona. Además, cuando la de-
rivada de f existe y es continua decimos que:
f es creciente si f ′(x) > 0.
f es decreciente si f ′(x) < 0.
Ejemplo 2.2.50
a. y = −x6 + 5 (x > 0).
dy
dx
= −6x5 < 0, con x > 0 por lo que es decreciente.
b. y = 4x5 + x3 + 3x.
dy
dx
= 20x4 + 3x2 + 3 > 0, por lo que es creciente.
86 CAPÍTULO 2. NOCIONES DE CÁLCULO Y ANÁLISIS EN RN
2.2.9. Diferenciación parcial
Definición 2.2.51 (Diferenciación parcial) La diferenciación parcial se
da porque la función a diferenciar, depende de dos o más variables indepen-
dientes, tal como:
z = f(x, y)
entonces la diferenciación parcial se usa para medir la sensibilidad de z cuan-
do vaŕıa x. Es decir, la variación de z, (∆z) si x vaŕıa (∆x) “céteris pari-
bus”(manteniéndose constante el resto).//
Por lo tanto:
∆z
∆x
refleja la sensibilidad de z respecto a x;
del mismo modo si ∆y, céteris paribus produce ∆z, entonces:
∆z
∆y
refleja la sensibilidad de z respecto a y;
aśı las derivadas parciales son definidas de la siguiente manera:
∂z
∂x
: = ĺım
∆x→0
∆z
∆x
∂z
∂y
: = ĺım
∆y→0
∆z
∆y
Ejemplo 2.2.52 La demanda de dinero (que representamos con L) es fun-
ción del ingreso o salario (representado por Y ) y de la tasa de interés (re-
presentada por r). Esto se puede representar de la siguiente manera:
L = L(Y
+
, r
−
)
esto quiere decir que la demanda de dinero depende directamente del ingreso
o salario (es decir, a mayores niveles de ingreso, mayor será la cantidad de-
mandada de dinero de los agentes), pero, a su vez, esta función de demanda
de dinero depende inversamente de la tasa de interés (en otras palabras, a
mayores niveles de tasa de interés, menor será la cantidad demandada de
dinero de los agentes, pues mayor será el costo de oportunidad de mantener
dinero).
2.2. CÁLCULO DIFERENCIAL Y ANÁLISIS MATEMÁTICO 87
Por lo tanto si:
L = 2Y 2 − 100r
Entonces, la función evaluadas en los siguientes argumentos resulta:
L(100, 6 %) = 20000− 6 = 19994
y las variaciones que causan cada uno de estos argumentos a la demanda de
dinero es:
∂L
∂Y
|Y=100
r=0,06
=
(2(Y + ∆Y )2 − 100r)− (2Y 2 − 100r)
∆Y
∂L
∂Y
|Y=100
r=0,06
=
4Y∆Y + 2∆Y 2
∆Y
= 4Y + 2∆Y
y como ∆Y → 0, entonces:
∂L
∂Y
|Y=100
r=0,06
= 400
Ejemplo 2.2.53 Sea las funciones determinadas por:
z = 2x3y − xy2 + 6x− 3y
de manera que:
∂z
∂x
= 6x2y − y2 + 6
y del mismo modo:
zy ≡
∂z
∂y
= 2x3 − 2xy − 3
de ahora en adelante cualquier función f con sub́ındice x (fx) muestra la
diferenciación parcial de la función f con respecto a su argumento x, aśı:
zx ≡
∂z
∂x
| x=2
y=−1
≡ ∂z
∂x
(2,−1) = −24− 1 + 6 = −19.
Ejemplo 2.2.54 (Mercado y Estática Comparativa)
Demanda ∴ Q = a− bP , con a, b > 0, dados
Oferta ∴ Q = −c+ dP , con c, d > 0, dados
88 CAPÍTULO 2. NOCIONES DE CÁLCULO Y ANÁLISIS EN RN
Figura 2.10: Mercado y estática comparativa
El equilibrio se da si y solo si:
Demanda = Oferta
a− bP ∗ = −c+ dP ∗
por lo que el precio de equilibrio es:
P ∗ =
a+ c
b+ d
y reemplazando, obtenemos:
Q∗ = a− bP ∗
= a− b(a+ c
b+ d
)
=
ad− bc
b+ d
¿Cómo y cuánto afectan a los valores de equilibrio los pequeños cambios en
los parámetros?//
2.2. CÁLCULO DIFERENCIAL Y ANÁLISIS MATEMÁTICO 89
En un modelo estático como el de mercado, donde:
∂P ∗
∂a
=
1
b+ d
> 0, prop. directa
∂P ∗
∂d
=
−(a+ c)
(b+ d)2
< 0, prop. indirecta
si la sensibilidad → 0 entonces decimos que hay poca sensibilidad.
∂P ∗
∂c
> 0 >
∂P ∗
∂d
Ejemplo 2.2.55 (Macroeconomı́a) El nivel de demanda agregada, medi-
do por el gasto es equivalente a la suma agregada del consumo privado, el
nivel de inversión privada y el nivel de consumo público en un contexto de
economı́a cerrada.
Y = C + I +G
Sin embargo, el consumo agregado es calculado mediante la siguiente ecua-
ción:
C = a0Y0 + a1
donde a1 es el nivel de consumo autónomo, y a0 es la propensión marginal a
consumir e Y0 es el nivel de ingreso disponible, es decir el ingreso menos los
impuestos T 2.
Y0 = Y − T
Las variables endógenas son: Y , C, Y0 y las variables exógenas: I, G, T , a0,
a1, por lo que reeplazando obtenemos:
Y = a0(Y − T ) + a1 + I +G
de modo que:
Y ∗ =
I +G+ a1 − a0T
1− a0
Por lo tanto las