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Universidad San Pedro “Facultad de Ciencias Contables y Administrativas” ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA 1 MATEMÁTICA EMPRESARIAL I DOCENTE: ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA Correo electrónico: alexiparraguirrepucp@hotmail.com Universidad San Pedro “Facultad de Ciencias Contables y Administrativas” ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA 2 MATEMÁTICA EMPRESARIAL I MÓDULO DE APRENDIZAJE N°01 FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA DE ADMINISTRACIÓN ESCUELA DE ADMINITRACIÓN HOTELERA Y TURISMO ESCUELA DE ECONOMIA Y NEGOCIOS INTERNACIONALES Docente: Alex José Iparraguirre Zavaleta AAssiiggnnaattuurraa:: MMaatteemmááttiiccaa EEmmpprreessaarriiaall II MMOOTTIIVVAACCIIÓÓNN:: LA MATEMÁTICA Y SU APLICACIÓN DENTRO DE LA VIDA COTIDEANA Cuando se descubrió el conjunto de los números irracionales, se observó que la colección de las magnitudes geométricas (por ejemplo los segmentos) era más completa que el conjunto de los números racionales, entonces se construyó una herramienta matemática más amplia denominada álgebra geométrica. Los principales elementos del álgebra geométrica fueron los segmentos de recta, donde a partir de ellos se definieron las operaciones de cálculo, por ejemplo, la adición se interpretaba como la unión de los segmentos. (En forma colineal uno a continuación de otro), la sustracción como la eliminación de una parte del segmento minuendo igual al segmento sustraendo, la multiplicación de segmentos originó la aparición del sistema bidimensional (la representación en el plano cartesiano), la división resultaba posible sólo bajo la condición de que la dimensión (tamaño del segmento) dividendo era mayor que la dimensión del divisor. El álgebra geométrica también interpretaba las identidades algebraicas. Los ejemplos siguientes, conocidos desde tiempos inmemorables, muestran claramente el uso de áreas de figuras geométricas para “demostrar” identidades algebraicas. Pruebas geométricas de algunas identidades algebraicas Los ejemplos siguientes, conocidos desde tiempos inmemoriales, muestran claramente el uso de las áreas de figuras geométricas para “demostrar” identidades algebraicas. Trinomio Cuadrado Perfecto = + + + ba b a B C A D b2 a2 ab ab a 2 ab ab b2 Área de ABCD= (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 222 bab2aba b a - b a a - b b b a (a-b) 2 b 2 (a – b)2= a2 – b(a – b) – b(a – b) – b2 222 bab2aba Desarrollo de un Trinomio al cuadrado ab ac bc ab ac bc a 2 b 2 c 2 a b c a b c bc2ac2ab2cba)cba( 2222 CAPACIDAD: Resuelve operaciones con expresiones algebraicas de variable real con las diversas situaciones presentadas utilizando sus propiedades y algoritmos Universidad San Pedro “Facultad de Ciencias Contables y Administrativas” ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA 3 MATEMÁTICA EMPRESARIAL I NNOOCCIIOONNEESS PPRREEVVIIAASS EXPRESIÓN ALGEBRAICA Es toda asociación de constantes numéricas y letras (variables), entrelazados por cualquiera de los operadores matemáticos de: adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación, o una combinación limitada de éstos. Para que una expresión sea considerada algebraica, una variable nunca se debe ubicar como exponente de una potenciación o como índice de una radicación. 25 23/12/1 yxyx2 22 )2(53 723 x7x3x5 33 x5xy2 z y4 x2E )y;x( zyx8 23 1z z5yx5 F 2 )z;y;x( 1xxP 2)x( 13 y x5 x2M 2 3 )x( Nota: Cualquier expresión que no cumpla con los requisitos mencionados se denomina expresión no algebraica o trascendente. Ejemplos xsecx3W;x5 4)x( 3x ; ....xxxx1P 432)x( CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Las expresiones algebraicas se pueden clasificar según la naturaleza de sus exponentes o por el número de sus términos. Según su número de términos Según la naturaleza de su exponente Monomio Polinomio Binomio Trinomio Cuatrinomio Polinomio 1término Racional Irracional Entera Fraccionaria ...... 2 términos 3 términos 4 términos n términos ...... ...... ...... ............ ............ Del cuadro expuesto, concluimos que la clasificación lo realizaremos de acuerdo al número de términos y según la naturaleza de los exponentes que afectan a la(s) variable(s). A continuación ampliaremos expresando lo siguiente: Por lo expuesto; analicemos las expresiones: EXPRESIÓN ALGEBRAICA CLASIFICACIÓN SEGÚN LA NATURALEZA NUMÉRICA DE SUS EXPONENTES 3 xy Es una expresión algebraica irracional. 22 yxy2x Es una expresión algebraica racional entera. 2yxy Es una expresión algebraica racional fraccionaria. 54 3 1 7 1 3 Es una constante numérica, por lo que será una expresión algebraica racional entera. 3x2 No es una expresión algebraica, se trata de una expresión trascendente exponencial. x)1x( Es una expresión trascendente exponencial. )3xx(Cos 22 Es una expresión trascendente trigonométrica. 32 xxx1 No es una expresión algebraica porque tiene infinitos términos. Universidad San Pedro “Facultad de Ciencias Contables y Administrativas” ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA 4 MATEMÁTICA EMPRESARIAL I CCOONNTTEENNIIDDOO TTEEÓÓRRIICCOO TERMINO ALGEBRAICO (MONOMIO) Es la expresión algebraica mínima en la cual sus elementos no están separados por el signo “+” o el signo “–”. Estando asociados sus elementos con los operadores matemáticos de: Multiplicación, división, potenciación y radicación. Ejemplo: 5xyz Es un monomio racional entero. 73yx 7 5 Es un monomio racional entero. xyz Es un monomio irracional. 3 5 x x Es un monomio irracional. 24yzx Es un monomio racional fraccionario. Un término algebraico consta de los siguientes elementos: Signo - 5X Y 2 3 Parte literal: VariablesCoeficientes Exponentes TERMINOS O MONOMIOS SEMEJANTES Dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal Ejemplo: 3232 yx 4 15 ;yx2 OBSERVACIONES. *Los monomios yzx 85 3 2 ; zyx 85 3 2 son semejantes porque poseen iguales variables afectadas de los mismos exponentes, asimismo observamos que presentan igual coeficiente. Por lo tanto; además de ser semejantes, son iguales. VALOR NUMERICO DE UNAEXPRESION ALGEBRAICA Se denomina valor numérico (V.N.) de una expresión algebraica al resultado que se obtiene cuando se reemplaza en dicha expresión los valores asignados a sus variables. En el cuadro anterior se visualiza que P tiene como variable a la letra x, siendo reemplazado por un valor a, luego; se procede a realizar las operaciones indicadas siendo el resultado final su valor numérico. De lo expuesto: P(a) se lee: “Valor numérico del polinomio P(x) cuando x = a” Ejemplo : Determinar el valor numérico de: cd ba5 32 Si : a = 3; b = 2; c = 6; d = 10. Resolución Reemplazando los valores en cd ba5 32 se tiene: V. N. = )10)(6( )2()3(5 32 = 10x6 8x9x5 = 60 360 V. N. = 6 PRÁCTICA DE CLASE 1. Calcularel valor de (a + 2b) si los términos siguientes son semejantes: 3y a + b; 2 5 y8; –0,2y b + 3 a) 13 b) 12 c) 15 d) 9 e) N.A. 2. Dado los términos algebraicos y semejantes: T1 = (m +2a)x6; T2 = (8 + m) x3b – 3. Calcular el valor de b2 + b + 1. a) 13 b) 12 c) 9 d) 8 e) N.A. 3. Indicar la expresión reducida que se obtiene de: P(x) = (a + b) x a + (a + 1) x b + 1 – a b x 5 si todos los términos son semejantes. a) x5 b) 2x5 c) –3x5 d) –5x5 e) N.A. Universidad San Pedro “Facultad de Ciencias Contables y Administrativas” ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA 5 MATEMÁTICA EMPRESARIAL I 4. Dado el polinomio: P (x, 2y) = 4x – 2y. Señalar: P (2; 2). a) 6 b) 4 c) 5 d) 3 e) 1 5. La expresión: EE ((xx;; yy )) == xx nn –– 22 ++ yy 55 –– nn es racional entera. ¿Cuántos valores puede tomar “n” a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 6. Obtener la suma de los términos semejantes: (c + 5) x 4c – 3 ; (2c) x c + 9 a) 17 x 13 b) 11 x 3 c) 8 x 3 d) 10 x3 e) N.A. 7. Hallar el valor numérico de 3ac ab2 . Para: a = 2, b = 9, c = 1/3. a) 12 b) 15 c) 16 d) 18 e) N.A. 8. Hallar el valor de: E = 2RrrR 3 h 22 . Para: h = 5, R = 10 , r = 3. a) 24 b) 47 c) 235 d) 47 e) N.A. 9. Hallar el valor numérico de: )bc)(ac( )bx)(ax( )ab)(cb( )ax)(cx( )ca)(ba( )cx)(bx( Para: x = –2, a = 1, b = 3, c = –3. a) 0,5 b) 1 c) 0,8 d) 0,4 e) 0,7 10. Hallar el V.N. de la expresión , Para x = 2. 3x 4 – 2x 3 – 14x 2 – 1. a) 4 b) 5 c)–3 d)13 e) 3 11. Hallar el valor numérico de: cd ba4 32 . Si: a = 2, b = 3, c = 1/2, d = 1/3 a) 2 582 b) 2 632 c) 2 692 d) 2 592 e) N.A. 12.Si f(x) = x2 + 2x - 1. Calcular : f (0) +f (1) + f (-1). a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) N.A. 13. Si P(x) = x5 - 3x + 6, hallar E en: E = P (2) - P (-2) + P (1) + P (0) a) 52 b) 56 c) 62 d) 72 e) N.A. GRADOS DE UN MONOMIO O POLINOMIO DEFINICIÓN: Se denomina grado de una expresión algebraica a una característica relacionada con los exponentes de sus variables. Nuestro estudio se centrará en el campo de las expresiones algebraicas racionales enteras, por lo tanto el grado es un número entero positivo. Se distinguen dos tipos de grados: Grado Relativo y el Grado Absoluto. Cuando hablamos del Grado Relativo nos referimos a una determinada variable de la expresión; y cuando mencionamos el Grado Absoluto, nos referimos a todas las variables de la expresión en discusión. NOTACIÓN: G. A. = Grado Absoluto G. R. = Grado Relativo GRADOS DE UN MONOMIO RACIONAL ENTERO 1. El Grado Relativo se refiere sólo a una variable y está dado por el exponente que afecta a dicha variable. 2. El Grado Absoluto del monomio está dado por la suma de los exponentes de sus variables (Suma de los grados relativos) Ejemplo 1: Sea el monomio 5 x 7 y 3 z 6 GR (x) = 7 Este monomio es de séptimo grado con respecto a “x” GR (y) = 3 Este monomio es de tercer grado con respecto a “y” GR (z) = 6 Este monomio es de sexto grado con respecto a “z” GA =7 + 3 + 6 Este monomio es de grado absoluto 16. Ejemplos 2: Sea el polinomio: P(x; y; z) =3x5 y z8 –23 x8 y2 z3 + 5x4 y6 z2 – z9 y2 Exponente de x 5 8 4 0 Exponentes de y 1 2 6 2 Exponentes de z 8 3 2 9 Grado absoluto 14 13 12 11 Universidad San Pedro “Facultad de Ciencias Contables y Administrativas” ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA 6 MATEMÁTICA EMPRESARIAL I Por la realizado se concluye: GR(x) =8 El polinomio es de octavo grado con respecto a “x” GR(y) = 6 El polinomio es de sexto grado con respecto a “y” GR(z) = 9 El polinomio es de noveno grado con respecto a “z” GA = 14 El polinomio es de grado absoluto catorce PRÁCTICA DE CLASE 1. Calcular el grado relativo y grado absoluto en los monomios. a) 8176 zyx 7 2 b) A(x; y; z) = 135yzx Respuesta :………. Respuesta :………. c) B(x; y) = 1254 yx3 d) cmnba3 237 Respuesta :………. Respuesta :………. e) M(x; y) = 43mm yx2 f) A(x; y) = abyx n2m Respuesta :………. Respuesta :………. 2. Calcular el grado relativo y grado absoluto en los polinomios. a) 52723 yx7xy5yx2 Respuesta :………. b) 794852963 zxy2zyxzyx5 Respuesta :………. 3.Si se tiene el siguiente polinomio: 1xxx5x2)x(P 3864 ; hallar su grado. a) 4 b) 3 c) 6 d) 8 e) 21 4.Hallar el grado del siguiente polinomio: 3x3xxx3)x(P 1513124 a) 15 b) 16 c) 12 d) 13 e) 35 5.Hallar el grado de: 611184 x.xx6x5x2)x(P a) 18 b) 4 c) 66 d) 17 e) 19 6.Hallar el grado de: 1xyxx)x(P 40322114 a) 64 b) 15 c) 44 d) 40 e) 32 7.Señalar verdadero o falso: 18x7x5x2)x(P 1912 I. Su término independiente es 18 II. Uno de los coeficientes es 18 III. La suma de coeficientes es 32 IV. Su grado es 19 V. El coeficiente del término lineal es 7. a) VVVFF b) VVVFV c) VVFVF d) VVFFV e) VVFVV 8.Señale verdadero o falso: 152)x( xa5H I. Su grado es 17 II. No es una expresión algebraica Racional Entero. III. Su coeficiente es 5 IV. Su grado es 15 a) FVFV b) FFVV c) FFVF d) FVVF e) FFFV 9.Si el término independiente y la suma de coeficientes de: bx5axx)x(P 24 ; son –2 y 7 respectivamente. Hallar: 22 ba a) 17 b) 25 c) 5 d) 34 e) 13 10.Si el término independiente de: 5m3x5x3)x(P 24 ; es 17. Hallar 2m. a) 10 b) 4 c) 40 d) 8 e) 80 11.Sea 5a9a2a xax2ax)x(P un polinomio de grado 13, señale la suma de coeficientes del polinomio. a) 3a b) 4 c) 4a d) 12 e) 13 12.Si se tiene el monomio: 974 zyx5)z;y;x(P . Calcular: GR(x) + GR (y) a) 11 b) 4 c) 7 d) 1 e) 15. 13.Si se tiene el monomio: 734 zyx2)z;y;x(P Hallar: GR(x) + GR(y) + GR(z) a) 10 b) 14 c) 7 d) 11 e) 13 Universidad San Pedro “Facultad de Ciencias Contables y Administrativas” ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA 7 MATEMÁTICA EMPRESARIAL I 14.Calcular el coeficiente del monomio: 5a42 yxa3)y;x(M si el grado relativo de y es 7. a) 36 b) 18 c) 12 d ) 2 e) 20. 15.Calcular el coeficiente del monomio 1b3a yabx2)y;x(M . Si el GR(x) = 5; GR (y) = 4. a) 32 b) 16 c) 18 d) 20 e) 24 . 16.Si 5yx8yx3x5)y;x(P 93754 . Hallar: GR(x) + GR(y) a) 17 b) 16 c) 15 d) 14 e) 13. 17. En el polinomio: Hallar: GR(x) + GR(y) + GR(z ) 10687243 yzx2zyxyx5)y;x(P a) 21 b) 23 c) 17 d) 15 e) 13.. 18.Si en el polinomio: P(x; y) = 1aa22bab x5yx5 , el grado absoluto es 8, mientras que el grado relativo de “x” es 5. Calcular el valor de “b”. a) 2 b)1 c) 21 d) –2 e) N.A. 19. En el polinomio: GA = 17; GR(x) = 9, calcular (a - b). P(x;y)= 6b1-ab3-a5b2-a y 7x y 2x y x a) 6 b) 7 c) 11 d) 8 e) N.A. 20.Sea el polinomio de grado absoluto igual a 30. 5a3a3a7a yx3yax)y;x(P . Calcular el valor de “a”. a) 6 b) 13 c) 17 d) 9 e) 12. 21.Calcular: m + n si los grados de los monomios son 14 y 10 respectivamente. 942m zyx7)y;x(M ; 4n2n2 zyx5)z;x(N a) 0 b) 12 c) 14 d) 16 e) 7. 22.Sea el polinomio: 2a7a9a2a1a5a yx4yx3yx2)y;x(P de grado absoluto 33. Calcular el valor de “a”. a) 11 b) 13 c) 15 d) 17 e) 14. POLINOMIOS ESPECIALES 1. POLINOMIO RACIONAL ENTERO Es el polinomio cuyo valor numérico depende exclusivamente del valor de su variable, y que presentan exponentes enteros y positivos (Expresión algebraica racional entero). Ejemplos: 6x3)x(P Polinomio de primer grado 2x3x)x(Q 2 Polinomio de segundo grado 1x2x)x(R 3 Polinomio de tercer grado FORMAS GENERALES Polinomio de primer grado (polinomio lineal) 0abax)x(P Polinomio de segundo grado (polinomio cuadrático) cbxax)x(P 2 2. POLINOMIO ORDENADO Un polinomio es ordenado cuando sus términos están dispuestos de tal forma que los exponentes de la letra en referencia (variable ordenatriz) van aumentando o disminuyendo a partir del primer término. Ejemplos: P(x) = 2x8 - 7x5 + 8x2 – 5 ordenado descendentemente P(x) = 7 + 4x - 6x2 + x3 - x7 ordenado ascendentemente 3. POLINOMIO COMPLETO Es aquel polinomio que se caracteriza por tener los exponentes de su variable ordenatriz desde el mayor hasta el cero (éste corresponde al término independiente). Ejemplos: P(x) = 8x + 2x2 - 11 - x3 + x4, Es un polinomio completo pero desordenado. Importante Si un polinomio es completo, no necesariamente estará ordenado. Si un polinomio es ordenado, no necesariamente estará completo. Un polinomio de grado “n” y completo posee “n + 1” términos distintos. Universidad San Pedro “Facultad de Ciencias Contables y Administrativas” ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA 8 MATEMÁTICA EMPRESARIAL I P (x) = x4 + x3 - x2 + 3x + 1; es un polinomio ordenado y completo descendentemente. P(x) = - 8 + x - 2x2 - 5x3; es un polinomio completo pero desordenado Observación: En un polinomio completo se cumple que: NUMERO DE TÉRMINOS = GRADO + 1 26252 223 yxyxyxyxP );( Se lee: Polinomio de variable x e y o simplemente P de x y 4. POLINOMIO HOMOGÉNEO Recibe este nombre el polinomio que es caracteriza por tener igual grado absoluto en todos sus términos. Ejemplos: a) 3x5 y9 - 5x11 y3 + 2x8 y6 + x7 y7 Grado absoluto ( G.A ) : 14 = 14 = 14 = 14 b) 2x3 - 6x2 y + 9xy2 + y3 Grado absoluto(G.A): 3 = 3 = 3 = 3 5. POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO Es aquel polinomio que es igual a cero para cualquier valor que se le asigne a la variable o variables, y que tienen iguales los coeficientes de sus términos semejantes. Ejemplo: P(x) = ax2 + bx + c = 0 Importante: Para que este polinomio sea idénticamente nulo es necesario que: a = b = c = 0 6. POLINOMIOS IDÉNTICOS Dos polinomios son idénticos, si poseen el mismo valor numérico para cualquier valor asignado a sus variables. Se caracterizan por tener iguales los coeficientes de sus términos del mismo grado (llamados términos semejantes). Ejemplo: Sean los polinomios: P(x; y) = Ax4 + Bx2 y + Cy2 Q(x; y) = Dx4 + Ex2 y + Fy2 Si P es idéntico a Q: Ax4 + Bx2 y + Cy2 Dx4 + Ex2 y + Fy2 Entonces se cumple: A = D Coeficientes de x4 B = E Coeficientes de x2 y C = F Coeficientes de y2 7. POLINOMIO EQUIVALENTES Son aquellos polinomios que teniendo formas diferentes aceptan igual valores numéricos para un mismo sistema de valores asignados a sus variables. Así por ejemplo dado los polinomios: xy4)x(Q;)yx()yx()y;x(P 22 Si ambos admiten el mismo valor numérico para cualquier valor de “x” “y”, entonces serán equivalentes ; veamos. Hagamos: x = 2 y = 1 8)1)(2(4)1;2(Q 8)12()12()1;2(P 22 Observar que: )1;2()1;2( QP En consecuencia P(x, y) Q(x ; y), son polinomios equivalentes y se les podrá cualquier representar así: 8. POLINOMIOS MÓNICO Es aquel polinomio que se caracteriza por tener como coeficiente principal a la unidad. Ejemplo: 1x2x3 Es un polinomio de grado 3 y su coeficiente es 1, por lo tanto es un polinomio Mónico Ejemplo: 3x2x 43 Es un polinomio de grado 4 y su coeficiente es 2, por lo tanto no es un polinomio Mónico PRÁCTICA DE CLASE 1. El polinomio P(x; y) es homogéneo, calcular: E = a – b + ab P(x; y) = 2xa - 5 y2 – 5xb + 3 y7 – 2x9 y5 Respuesta :………. 2. El polinomio: P(x; y) = 2xm + 1 y3 - mxn + 1 + mnx5 y4 , es homogéneo. Calcular la suma de sus coeficientes. Respuesta :………. )y;x(Q)y,x(P Universidad San Pedro “Facultad de Ciencias Contables y Administrativas” ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA 9 MATEMÁTICA EMPRESARIAL I 3. Dado el polinomio: P(x) = xa + 2 - xb - 3 + 2xc + 1 Ordenado y completo decreciente, hallar: a, b y c. Respuesta :………. 4. Hallar (m – n) si: 2(x+7) m(x + 2) + n(x – 3) Respuesta :………. 5. Si se cumple la siguiente identidad; Hallar: 3m– n+ p. 7x2 - 5x + (p + 4) (m + 1) x2 + (n – 4) x + 7 Respuesta :………. 6. Determinar (m + n + p), sabiendo que el polinomio es homogéneo de grado 7. P(x, y) = 5xm + 2 yn + 2xm + 1 y2 + x2p y4 + 3xq - 1 y5 Respuesta :………. 7. Si el polinomio está ordenado consecutivamente en orden descendente Calcular (a + b) (c + d). P(x) = 2xd + c - 3xa + b + xa + c - 4xb - 1 Respuesta :………. 8. Si el polinomio es idénticamente nulo; Halla el valor de: ( b c : a ) P(x) = (3a - b) 2x + (b + c + 2)x + c + 1 Respuesta :………. 9. Sabiendo que el grado absoluto del monomio. n12 5n n5n 8n 2 x x es 8, calcular “n”. Respuesta :………. 10.Hallar m + n + p, si el polinomio en completo y ordenado en forma descendente. P (x) = xm – 10 – 3xm – n + 5 + 15xP – n + 6 a) 10 b) 12 c) 16 d) 38 e) 40 11.Si el polinomio son idénticos, Hallar (m + 2n). P(x, y) = mx2 + 4my2 + 3nx2 + 4x2 - 3y2 F(x, y) = 13x2 + 9y2 . a) 3 b) 2 c) 10 d) 7 e) 19 12. El polinomio: 5np3mn6m px3mxnx2)x(P Es completo y está ordenado en forma creciente. Calcular: )1(P )0(P)1(P a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) P(1) 13.Si el polinomio: 3n271n2m yxyx3)y;x(P Es un polinomio homogéneo cuyo grado de homogeneidad es 16. Hallar: nm nm a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 14.Si el siguiente polinomio cuadrático 6bx3x)3a()x(P 2 , es Mónico y la suma de sus coeficientes es 7, hallar a+b A) 10 B) 16 C) 19 D) 13 E) 21 OPERACIONES CON POLINOMIOS 1. ADICIÓN DE POLINOMIOS Ejemplo : Hallar: )y;x(Q)y;x(P en los polinomios: 22 y5x3yx3)y;x(P ; x8y5yx2)y;x(Q 22 . Resolución Ordenando: 2. SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS Ejemplo1:Sean los polinomios: 32 xx32x24)x(A , x25xx325)x(B 32 . Calcular: A – B Resolución Ordenando5x25x32xB x24x32xA 23 23 22 22 22 y10x11yx5 y5x8yx2)y;x(Q y5x3yx3)y;x(P Universidad San Pedro “Facultad de Ciencias Contables y Administrativas” ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA 10 MATEMÁTICA EMPRESARIAL I Cambiando de signo al sustraendo (polinomio B) y completamos con cero los términos faltantes, para luego reducir términos semejantes. 5x 5x25x32xB 0x24x32xA 23 23 A – B = – x – 5 Ejemplo 2: Restar: 8xx2 de 10xx5 2 Resolución Ordenando: RESTAR 2 DE 2 8xx10xx5 Eliminando signo de agrupación: 8xx10xx5 22 Reduciendo: 2x4 2 Nota: Restar M de N = MN De K restar L = LK ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN CON SIGNOS DE AGRUPACIÓN Los signos de agrupación o colección son los siguientes: Paréntesis ( ) Corchetes Llaves { } Barra Para suprimir los signos de colección, si estos están precedidos del signo ( + ), conservarán los signos que llevan dentro de los signos de colección, mientras que si están precedidos del signo ( – ); cambiarán su signo. Ejemplo 1: Reducir: )y4x5y5x2(y2x8x3 Resolución Eliminando signos de colección desde el interior y reduciendo términos semejantes – { 3x + [ 8x + 2y – ( 2x – 5y – 5x + 4y ) ] } – { 3x + [ 8x + 2y – (– 3x – y ) ] } – { 3x + [ 8x + 2y + 3x + y ] } – { 3x + [ 5x + 3y ] } – { 3x 5x + 3y } – { – 2x + 3y } 2x – 3y Ejemplo 2: Reducir )1x( 3 2 ) 2 1 x( 3 1 ) 3 1 x( 2 1 Resolución Multiplicando se tiene: )1x( 3 2 ) 2 1 x( 3 1 ) 3 1 x( 2 1 1 3 x2 6 1 3 x 6 1 2 x Agrupando términos semejantes 1 6 1 6 1 3 x2 3 x 2 x 1 6 x4x2x3 1 2 x PRÁCTICA CLASE 1. Resolver: – (– (–4)) + (4x – (–4)) a) 8 + 4x b) –8 + 4x c) 4x d) 0 e) – 8 – 4x 2. Reducir: 5x + 7(x – 8) – 3(4x + 1) a) –x + 5y b) x – 5y c) – 53 d) 56 e) – 59 3.Simplificar: E =[x + {– (x + y) – [– x + (y – z)] – y}] – 2y + 2z A) x – y + z B) – x + y + z C) x + y – z D) – x – y – z E) N.A. 4. Simplificar la expresión: [–3m–{n+[–m+ ( 2m–n )–(–m+n)] + 3n ] } + 3m] A) m + 2n B) m – n C) 2m – n D) – m – n E) 0 Universidad San Pedro “Facultad de Ciencias Contables y Administrativas” ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA 11 MATEMÁTICA EMPRESARIAL I 5. Si: A – B se reduce a: 6(x + y). Hallar el valor de “p” yxxpA 33)1( 2 )yx(3x5B 2 A) 3 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 6. Resta: 3x + y + 2 de 2x – y + 2 a) –x – 2y b) x + 2y c) x - 2y d) –x + 2y e) x – 4 7. De: 3ab + 5bc restar 2bc + 3ab a) ab b) 2bc c) 2ab d) 3bc e) –2bc 8. Resolver: – (–2 + x) + x – 2 a) 0 b) x c) 2x + 4 d) 2 – 4x e) –x 9. Resolver: yxy3xy5x2yx A) x + 5y B) 11x + y C) x + 2y D) 9x – 11 y E) N.A. 10.Hallar E = 3P (x) – 5 Q(x) si se sabe que: P (x) = 2 – x + 5x2 Q(x) = x + 5 – x2 A) 20x2 + 8x – 18 B) 20x2 8x 19 C) 20x D) 2x + 5 E) N.A 11. Al simplificar: – x – { –3x + 2y – (6x – 5y) – 6y +(x – 2y ) – 7y – 3y } a) 7x + 11y b) 7x – 11y c) – 7x + 11y d) 10x – 11y e) N.A 12. Simplificar la expresión: a4b3baba2aba3 a) –a – 2b b) a – b c) 2a + b d) a – 2b e) a + 2b 13.Simplifica z2y2yzyxyxxE a) x – y + z b) – x + y + z c) x + y – z d) – x – y – z e) N.A 14.Efectuar x5x8y2x7y3y7y8 a) 4x b) 16y – 4x c) – 4x d) 20x e) – y + 2x MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA Es una operación matemática que consiste en calcular una expresión denominada producto a partir de dos o más expresiones denominadas factores. Multiplicando Multiplicador A(x) . B(x)= P(x) x R ProductoFactores Ejemplo: 1) Multiplicar: 232 xy 3 2 porzyx12 Resolución zyx8xy 3 2 zyx12 53232 LEYES DE LA MULTIPLICACIÓN a) Ley conmutativa de la multiplicación: yxxy Ejemplos: (8ab2 c)(5b7 c4) = (5b7 c4) (8ab2 c) (2x – 5) (5x – 7) = (5x – 7) (2x – 5) b) Ley Asociativa de la multiplicación: zxyyzx Ejemplos: y5)3x(x2y5)3x(x2 c) Ley de Signos: El producto de dos factores que contengan igual signo dará como resultado una expresión positiva, y el producto de dos factores de signos distintos dará un resultado negativo, así: LEY DE SIGNOS ( ) ( ) + ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( ) )ba3)(ba2()ba()ba3()ba2)(ba( Universidad San Pedro “Facultad de Ciencias Contables y Administrativas” ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA 12 MATEMÁTICA EMPRESARIAL I Observaciones Cuando existen más de dos factores, contamos cuántos de ellos son negativos, luego: 1) Si el resultado del conteo es un número par, el resultado de la multiplicación será positivo (+). Ejemplo: p)e)(d)(c)(b)(a( 2) Si el resultado del conteo es impar, el resultado de la multiplicación será negativo ( ). Ejemplo: p)f)(e)(d)(c)(b)(a( CLASES DE MULTIPLICACIÓNES MULTIPLICACION DE MONOMIOS Para multiplicar dos o más monomios, primeramente se multiplican los coeficientes atendiendo a una aplicación correcta de la ley de signos Ejemplos: Multiplicar: a) 65532 yx15)yx5)(yx3( b) 86852237 cba26)cab)(cb13)(bca2( MULTIPLICACIÓN DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO: Se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación, es decir; se multiplica el monomio con cada uno de los términos del polinomio como en la situación anterior. Ejemplo: Realizarla multiplicación: 5 2 zy 5 1 yx3zxy5 5523 Resolución: 5 2 zy 5 1 yx3zxy5 5523 Multiplicamos tal como lo indican las flechas 5 2 zxy5zy 5 1 zxy5yx3zxy5 23523523 Efectuando se tiene: 2338246 zxy2zxyzyx15 MULTIPLICACION DE POLINOMIOS Ejemplo: Realizar la multiplicación siguiente: )yx3x4)(2xy2yx3( 332 Resolución dormultiplicandomultiplica yxxxyyx )34()223( 332 )yx3x4)(2xy2yx3( 332 )yx3x4(2)yx3x4)(xy2( )yx3x4)(yx3( 33332 yx6x8yx6yx8yx9yx12 34432253 Reduciendo términos semejantes x8yx6yx8yx9yx6 4432253 MÉTODO DEL CUADRO DE DOBLE ENTRADA 0 MÉTODO DE SOFÍA Una manera sencilla de calcular los coeficientes del producto de dos polinomios; tales como: 2x5x3)x(A 23 ; 6x2)x(B 2 Luego P(x) = A(x). B(x) se indica en el siguiente cuadro: Entonces sumando los coeficientes en forma diagonal Luego P(x) será: 12x26x18x10x6)x(P 2345 3 -5 0 2 2 0 6 6 -10 0 4 0 0 0 0 18 -30 0 12 Coeficientes de A(x) Coeficientes de B(x) 3 -5 0 2 2 0 6 6 -10 0 4 0 0 0 0 18 -30 0 12 Coeficientes de A(x) Coeficientes de B(x) Universidad San Pedro “Facultad de CienciasContables y Administrativas” ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA 13 MATEMÁTICA EMPRESARIAL I PRÁCTICA DE CLASE 1. Multiplicar: (3x2)(-x3y)(-a2x) a) 3x6a2y b) 3x12ya2 c) -3x5ya2 d) x5ya2 e) 3x6y2a2 2.Multiplicar: 3x3 - x2 por 2x a) 5x3 - 2x2 b) 6x4 - 2x3 c) 6x4 - 4x2 d) 5x4 - 2x3 e) 6x5 + 2x3 3. Multiplicar: m4 - 3m2n2 + 7n4 por -4m3n a) -4m7n + 12m5n3 - 28m3n5 b) 4m7n + 12m5n3 + 28m5n3 c) 4mn7 - 12m3n5 + 28m3n5 d) -m7n + m5n3 - m3n5 e) N.A. 4.Multiplicar: (a + 3) por (a - 1) a) a2 + 3a - 1 b) a2 +2a – 3 c) a2 - 2a + 3 d) a2 - 3a – 3 e) N.A. 5.Multiplicar: (7x - 3) por (4 + 2x) a) 14x2 + 22x – 12 b) 14x2 + x – 12 c) 14x2 - 7x + 12 d) 14x2 - 22x + 12 e) 14x2 - x + 12 6. Al multiplicar los polinomios: A(x) = 2x3 – x2 + 2x – 3; B(x) = 3x2 – 6x + 1 Señalar el menor coeficiente del polinomio producto. A) 14 B) – 21 C) – 22 D) –3 E) 20 7.¿Cuál es el coeficiente de x4 en el producto de: (5x4 – 3x2 +11x – 7)(3x3 –2x +5) A) 10 B) 58 C) –15 D) –10 E) – 19 8.Señale el resultado de multiplicar la suma de: 2x – x2 + x3 con x2 – x3 + 3, con el resultado de la diferencia de 3x2 + x + 6 con 3x2 –x –1 A) 4x2+ 20x+21 B) 4x2 –21x + 20 C)4x2+ 20x – 21 D) 4x2 – 20x – 21 9.Reducir: 2y(x2 + z2) – 2xy (x – y) – 2y (z2 + x y) A) 0 B) x2 C) xy D) x + y E)N.A DIVISION ALGEBRAICA TIPOS DE DIVISIÓNES 1. División de Monomios Se dividen los coeficientes atendiendo a una correcta aplicación de la ley de signos, a continuación se dividen las variables aplicando la teoría exponencial (división de potencias con igual base) Ejemplo: Dividir: 52 432 952 zy16 zyx2 zyx32 2. División de un Polinomio con un Monomio Cada término del dividendo se divide con el divisor y se procede como en el caso anterior. Ejemplo: Dividir 423 725453925 cba3 cba6cba9cba3 Resolución 423 725 423 453 423 925 cba3 cba6 cba3 cba9 cba3 cba3 32352 ca2b3ca 3. DIVISIÓN POR EL MÉTODO DE GUILLERMO HORNER Procederemos a explicarlo mediante ejemplos, para lo cual utilizaremos los ejemplos desarrollados con los métodos: convencional y de coeficientes separados, que permitirá una comparación que muestra las bondades de este método. Asimismo, se recomienda utilizarlo cuando el divisor presenta grado mayor o igual que 2. Ejemplo 1.Dividir : 43 64275 x31x2x xx62xx6x4x2 Resolución. Coeficientes del Dividendo Coeficientes del Divisor 3 6 -1 +2 +6 0 -1 +4 +2 -1 +2 0 -1 Universidad San Pedro “Facultad de Ciencias Contables y Administrativas” ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA 14 MATEMÁTICA EMPRESARIAL I Luego se cuenta cuantos términos hay debajo de la línea horizontal (4) y se cuentan igual número de términos, de derecha a izquierda del dividendo para ubicar una línea vertical, para finalmente trazar una línea horizontal, algunas líneas bajo el último término del divisor. 3 6 -1 +2 +6 0 -1 +4 +2 -1 +2 0 -1 COCIENTE RESIDUO Así queda listo el esquema para empezar a operar. Sólo se divide entre el primer término del divisor, ubicado sobre la horizontal (3) comenzando con el primer término del dividendo (6), haciendo la operación mental ( 6 : 3 = 2 ), el resultado se coloca en el espacio reservado para el cociente, alineado con el primer término del dividendo. 3 6 -1 +2 +6 0 -1 +4 +2 -1 +2 0 -1 x 2 El número obtenido en el cociente se multiplica a los términos del divisor ubicados debajo de la horizontal (1, 0, 2, 1) y los resultados se ubican horizontalmente y consecuentemente, corriendo un lugar hacia la derecha. 3 6 -1 +2 +6 0 -1 +4 +2 -1 +2 0 -1 x 2 -2 0 +4 Para continuar, bastará aplicar la regla “SUMO Y DIVIDO”, es decir que la columna formada por (1) y (2), al sumarlas obtengo (1 2 = 3), este número se divide entre el primero del divisor (3) entonces (3 : 3 = 1), este número va al cociente y repetimos este paso, siempre al colocar los productos del número recién obtenido (1) por los del divisor colocados debajo de la horizontal (1; 0 + 2; 1), se ubicarán horizontalmente dejando al comienzo un casillero. 3 +6 -1 +2 +6 0 -1 +4 +2 -1 +2 0 -1 x 2 -2 0 +4 -1 +1 0 -2 -2 +1 Procedo con “sumo y divido”, entonces: 3 +6 -1 +2 +6 0 -1 +4 +2 -1 +2 0 -1 SUMO +2+0+1=+3 DIVIDO +3 +3 = 1 -2 0 +4 +1 0 -2 -2 +1 +20 -1 2 -1 +1 Cuando se llega al último término del cociente, se efectúa la multiplicación que deberá alinearse hasta el último término del dividendo, se efectuará únicamente la suma, ya no la división entre (3). 3 +6 -1 +2 +6 0 -1 +4 +2 -1 +2 0 -1 -2 0 +4 +1 0 -2 -2 +1 +20 -1 2 -1 +1 +3 -1 -3 0 +6 -3 -7 +2 +9 -1 Para ubicar la parte literal del cociente y residuo, se procede de igual forma que el método de coeficientes separados. Luego: Q(x) = 2x3 x2 + x + 3 ; R(x) = 7x3 + 2x2 + 9x 1 Ejemplo 02: Dividir 3x5x3 9x22x3x19x6 2 234 Resolución Universidad San Pedro “Facultad de Ciencias Contables y Administrativas” ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA 15 MATEMÁTICA EMPRESARIAL I 3 6 -19 +3 +22 +9 5 +3 2 +10 +6 -3 -15 - 9 - 6-10 -2 +3 +3 Luego: Q(x) = 2x2 3x 2 R(x) = 3x + 3 4. DIVISIÓN POR EL MÉTODO DE PAOLO RUFFINI Se utiliza para divisiones cuyo divisor es de primer grado o puede ser llevado a esa forma. Se presentan 3 casos: Primer Caso: Divisor = (x + b) Ejemplo : Dividir 3x 23x25x9x 23 Resolución 1 - 9 +25 - 23 +3 -18 +21 x 3 1 - 6 +7 - 2 x - 3 = 0 x = 3 Coeficiente del cociente Resto Luego: Q(x) = x2 6x + 7 R(x) = 2 Segundo Caso: Divisor = ax + b Ejemplo: Dividir 2x3 16x12x5x29x18 235 Resolución 18 0 -29 -16 -12 +8 +12 : 3 18 -12 -21 - 4 3x+2=0 -5 +14 -12 -6 +9 -18 6 -4 -7 +3 -6 x = - 2 3 2 3 Luego: Q(x) = 6x4 4x3 7x2 + 3x 6; R(x) = 4 Tercer Caso: Divisor = axn + b Ejemplo: Dividir 7x2 57x56x47x31x6 10 10203040 Resolución 6 -31 47 +57 21 -35 -49 : 2 6 -10 +12 +8 -56 +42 -14 3 -5 +6 -7 2x - 7=0 10 2x =7 10 x =7/2 10 7/2 Luego: Q(x) = 3x30 5x20 + 6x10 7 R(x) = 8 PRÁCTICA DE CLASE 1. Efectuar las siguientes divisiones de monomios: 1. 522 643 zyx3 zyx24 Respuesta:…………………. 2. zyx3 zyx21 42 68 Respuesta:…………………. 3. 1mn 3m2n yx2 yx8 Respuesta:…………………. 4. nm nm yx yx 1 32 8 21 4 7 Respuesta:…………………. 2. Efectuar las siguientes divisiones de polinomios con monomios: 1. 343 543453345 zyx9 zyx9zyx3zyx27 Respuesta:…………………. 2. 837 103785867 zyx6 zyx36yzx6zyx12 Respuesta:…………………. 3. 34 3564118 ba7 ba14ba42ba35 Universidad San Pedro “Facultad de Ciencias Contables y Administrativas” ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA 16 MATEMÁTICA EMPRESARIAL I Respuesta:…………………. 4. Respuesta:…………………. 3. Hallar el cociente y residuo al dividir por el método de Guillermo Horner 1. 5x3x4 19x21x5xx12 2 234 Respuesta:…………………. 2. 1xx3 5x7x8x5x4x6 2 2345 Respuesta:…………………. 3. 1x2x4x3 3x17x5xx6 23 234 Respuesta:…………………. 4. 8x7x 9x2xx8x7x 2 2345 Respuesta:…………………. 5. Dividir: 2xx3 9x7x10x18x7x6 23 2345 Respuesta:…………………. 6. Dividir: 1x2x4x3 3x52x17xx6 23 34 Respuesta:…………………. 4. Hallar el cociente y residuo por la regla de Paolo Ruffini. 1. 2x3 – 1 + x – 2x2 entre x + 1 2. 7x8 – 3x2 + x5 – x + 4 entre x - 1 3. 6x5 – 3x3 + 3x + 6 entre x – 1 4. 3 – x + 2x4 – 2x3 + 7x – 11 entre x + 2 5. Dividir: 2345 a4a3a2a entre a - 1. El residuo es: a) 0 b) 2a2 c) - 2a2 d) a2 e) 1 6. Luego de efectuar la división: 3x5x 13x3x3x13x3 2 234 El resto es: a) 3x - 1 b) 2x + 3 c) 2x + 1 d) 4x - 1 e) 11x + 1 7. Luego de dividir: 2x3x 9x5x3x2x5 2 234 Proporcione el residuo a) 65x + 73 b) 65x - 73 c) - 65x + 73 d) - 65x - 73 e) 65x + 70 8. Dividir: 1x2x3 4x7x25x16x6 2 234 Proporciones la suma de coeficientes del cociente a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 9. Luego de dividir: 2x5 8x7x5x6x15 234 El coeficiente del término lineal del cociente es: a) 1 b) - 1 c) 2 d) 3 e) - 2 10. Efectuar: 6x2x3 8x28x41x22x15 2 234 Proporcione el término independiente del residuo a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) - 1 11. Dividir: 4x5x3x2 4x7x20x15x4 23 235 a) 2x3x2 2 b) 1xx2 2 c) d) 2x3x2 2 e) 1x3x2 2 3p5n4m 6p7n8m4p11n5m10p9n7m zyx3 zxx3zyx6zyx12 1x3x2 2 Universidad San Pedro “Facultad de Ciencias Contables y Administrativas” ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA 17 MATEMÁTICA EMPRESARIAL I 12. Dividir: 23x 7x19x19x2x12x 3456 E indicar el menor coeficiente del cociente a) 1 b) 2 c) 3 d) – 5 e) –10 13. Calcular la suma de coeficientes del cociente de dividir: 1x 18x10x5xx2 29899 a) 97 b) 98 c) 99 d) 100 e) 101 PRODUCTOS NOTABLES Producto Notable: Se denomina Producto al resultado de una multiplicación y llamamos Notable a todo aquello que merece una nota o atención, es decir a aquello importante que se da a notar. Sin lugar a dudas los Productos Notables son importantes, cuyos resultados se deben conocer sin necesidad de efectuar operaciones. 1. BINOMIO AL CUADRADO TRINOMIO CUADRADO PERFECTO: perfectocuadradoTrinomio 222 bab2aba 222 bab2aba 2. IDENTIDADES DE LEGENDRE: ab4)ba()ba( )ba(2)ba()ba( 22 2222 3. DIFERENCIA DE CUADRADOS 22 bababa 4. MULTIPLICACIÓN DE BINOMIOS CON UN TÉRMINO EN COMÚN: productosuma 2 abxbaxbxax 5. BINOMIO POR TRINOMIO “SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS” 332 baabababa 3322 babababa 5. DESARROLLO DE UN TRINOMIO AL CUADRADO bc2ac2ab2cbacba 2222 6. IDENTIDAD DE ARGAN´D: Forma General: nnmmnnmmnnm yyxxyyxxyyx 42242222m ))((x Equivalencias notables de ARGAN´D: ))((x )x(x 22224224 yxyxyxyyy )1)(1(x 1)x(x 2224 xxx PRÁCTICA DE CLASE 1. Calcular: (x + 1)(x - 2) - (x - 3)(x + 2) a) -4 b) - c) 2 d) 6 e) 4 2. Reducir: (x - 3)(x - 1) - (x - 5)(x + 1) a) 2 b) 5 c) 8 d) 4 e) 6 3. Efectuar: (x + 2)2 - (x - 2)2 a) 4 b) 0 c) 8x d) 4x e) 16x 4. Efectuar: (x + 1)2 + (x - 1)2 - 2x2 a) x2 b) 2 c) 0 d) 4x2 e) -x2 5. Reducir: (x - 3) (x + 3) + 9 a) x2 b) 2x c) 2x2 d) x2 + 18 e) x2 – 18 6. Efectuar: (x - 3)2 - (x - 7) (x + 1) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 7. Simplificar: R = (x + a) (x - a)(x2 + a2)(x4 + a4) + a8 a) x4 b) x8 c) x6 Universidad San Pedro “Facultad de Ciencias Contables y Administrativas” ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA 18 MATEMÁTICA EMPRESARIAL I d) x16 e) Cero 8. Si: a + b = 4 ; ab = 3, calcular: a3 + b2 a) 64 b) 28 c) 12 d) 30 e) 36 9. Si: a + b = 6 ; ab = 4, calcular: a3 + b3 a) 108 b) 164 c) 124 d) 144 e) 44 10.Simplificar la expresión: 8 93 929 9 83 828 1x 1xx1x 1x 1xx1x a) (x + 1)17 b) (x – 1)17 c) x17 d) x e) 1 11.Calcular: (2x2 + 3y)2 a) 4x4 + 12x2y + 9y2 d) 2x4 + 6x2y + 3y2 b) 2x4 + 12x2y + 3y2 e) 4x4 + 6x2y + 9y2 c) 4x4 + 6x2y + 9y4 12.Efectuar: (x + 1)(x - 1) + (2 + x)(2 - x) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) -3 13.Efectuar abreviadamente: 22xx2 22 a) x2 b) x8 c) – 4 d) x4 e) 0 14.Sabiendo que: a + b + c = 4; a2 + b2 + c2 = 6 Hallar: ab + ac + bc a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 15. Efectuar: 22 32323232 a) 1 b) 5 c) 8 d) 3 e) 4 16.Después de efectuar y simplificar: M = x27 + (1– x) (1 +x +x2) (1+ x3 +x6) (1 + x9 + x18) Se obtiene: a) 1 b) – 1 c) x3 d) x9 e) x27 PROBLEMA RETO Podrá el perro Jhon Morrisson, que se encuentra en su casa, coger el hueso; con la condición de que recorra todo el trayecto, sin pasar dos veces por el mismo trayecto, pudiendo cruzarse los recorridos. a) Si b) no c) Faltan Datos d) no se puede determinar e) N.A HHOONNRRRRAA AA TTUU PPAADDRREE YY AA TTUU MMAADDRREE PPAARRAA QQUUEE DDIIOOSS TTEE BBEENNDDIIGGAA EENN AAÑÑOOSS……
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