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ESCUELA NORMAL SUPERIOR “DR. AGUSTÍN GARZÓN AGULLA” Viamonte 150- B° Gral. Paz – Córdoba – CP. 5900 – Tel. 4339177 E-mail: escuelagarzonagulla@gmail.com MATEMÁTICA 5° AÑO - Ciclo Orientado Actividad Virtual N° 2 - Segundo Etapa ¡Queridos/as Estudiantes! Deseamos que estén muy bien ustedes y sus seres queridos. En este nuevo plan de trabajo vamos a utilizar los aprendizajes que hemos apropiado a lo largo del año, incorporaremos los siguientes temas: FUNCIÓN LOGARÍTMICA: parámetros, su gráfica, elementos y características. ECUACIONES LOGARTMICAS. Recuerden que, aún a la distancia, estamos con ustedes, dispuestos a responder dudas, consultas y a guiarlos en la resolución de las actividades… ¿Comenzamos? Docentes responsables: 5 to A: Prof. Adriana Sanzarello 5 to B y F: Prof. Adriana Torasso. 5 to C: sin profesor. 5 to D: Prof. Susana Placereano. 5to D: Prof. Ana La Cono Para tener en cuenta: ✓ Fecha para consultas: Semana del 26 al 30 de octubre. ✓ Medio de contacto para consultas: Grupo de WhatsApp, mail, reunión por Meet (con anterioridad se enviará enlace) Los modos de comunicación varían según el docente de cada división. ✓ Fecha de entrega de la actividad resuelta: del 2 al 6 de noviembre. ✓ Medio de contacto para la Entrega de la Actividad resuelta: matematica5t0agulla@gmail.com ✓ Recuerden: Es importante que todos los trabajos estén correctamente identificados, Actividad Virtual N°2-Matemática 5°año y División -Alumno: Apellido y nombre. Colocar nombre y curso / tomar fotos claras (no borrosas) de sus actividades / enviar las fotos verticales y no horizontales / enumerar por orden de “aparición” las fotos. Bibliografía y Webgrafía: Matemática I C.O. Autores: Pablo Kaczor y Ruth Schapaschnik. Editorial Santillana Matemática I CO (Modelos matemáticos para interpretar la realidad). Autores: María Beatriz Camuyrano y Gabriela Net. Editorial Estrada Matemática Serie de Plata. Autor: De Simone y Turner. Editorial A.Z. Matemática IV y V, prácticas, de Editorial Santillana. https://www.youtube.com/watch?v=AUr9FXrZR9M Función LOGARÍTMICA I DOMINIO, RANGO y GRÁFICO https://www.youtube.com/watch?v=qrFi_c7uibo Gráfica de la Función Logaritmo https://www.youtube.com/watch?v=vWyKxiUn0CM Logaritmo ¡Esperamos sus trabajos! https://www.youtube.com/watch?v=AUr9FXrZR9M https://www.youtube.com/watch?v=qrFi_c7uibo https://www.youtube.com/watch?v=vWyKxiUn0CM 2 Introducción a las funciones logarítmicas Objetivos de aprendizaje • Graficar funciones logarítmicas. • Resolver ecuaciones logarítmicas. • Convertir ecuaciones logarítmicas a ecuaciones exponenciales. • Convertir ecuaciones exponenciales a ecuaciones logarítmicas. Introducción Las funciones logarítmicas se relacionan con las funciones exponenciales. Has calculado el resultado de b x en las funciones exponenciales. Un logaritmo es un cálculo del exponente en la ecuación y = b x. Es decir, encontrar un logaritmo es lo mismo que encontrar el exponente cuya base debe elevarse para obtener el valor deseado. El exponente se convierte en la salida en lugar de la entrada. Calculando exponentes Considera estas tablas de valores usando la base 2. Tabla 1: FUNCIÓN EXPONENCIAL Tabla 2: FUNCIÓN LOGARÍTMICA Entrada x, un exponente Salida y, Entrada x, un número que es una potencia de 2. Salida y, el exponente de 2. x y = 2 x x = 2 y y −3 −3 −2 −2 −1 −1 0 1 1 0 1 2 2 1 2 4 4 2 3 8 8 3 Observa que las dos tablas son iguales, excepto que las columnas están invertidas, — el punto (1, 2) de la primera tabla será el punto (2, 1) en la segunda tabla. La ecuación x = 2 y normalmente se escribe como una función logarítmica (log). La función logarítmica de x = 2 y se escribe como y = log 2 x o f (x) = log 2 x. El número 2 se sigue llamando base. Al igual que con las funciones exponenciales, b > 0 y b ≠ 1. En general, y = log b x se lee como, “y igual al logaritmo base b de x.” Las gráficas de estas dos relaciones deben tener en general la misma forma. Como se muestra en la gráfica, las dos curvas son simétricas en la línea y = x. Es decir, si rotas la curva roja sobre la línea y = x, va a coincidir con la curva azul. (Esto tiene sentido, porque y en la primera tabla se vuelve x en la segunda tabla y viceversa.) Puedes observar en la gráfica que la imagen (valores de y) de la función exponencial (en rojo) es todos los números reales positivos. Como la entrada y la salida se han cambiado, el dominio (valores de x) de la función logarítmica (en azul) es todos los números reales positivos. De manera similar, el dominio de la función exponencial (en rojo) es todos los números reales. La imagen de la función logarítmica (en azul) es todos los números reales. javascript:void(0) javascript:void(0) javascript:void(0) javascript:void(0) javascript:void(0) 3 Definición de logaritmo El logaritmo de x con la base b se escribe log b x, y se define como: log b x = y si y sólo si b y = x, donde x > 0 y b > 0, b ≠ 1. Conectando ecuaciones exponenciales y logarítmicas ¡Es importante recordar que el resultado de un logaritmo es el exponente! Esto es, log b x pide, “¿Qué exponente con la base b dará el resultado x?” y = log b x si y sólo si b y = x, Algunas veces, necesitarás convertir log b x = y a b y = x. Otras veces, vas a convertir b y = x a log b x = y. Los ejemplos en la siguiente tabla, muestran algunas ecuaciones en formas logarítmicas y su correspondiente forma exponencial. Forma logarítmica Forma exponencial log2 16 = 4 42 = 16 log7 1 = 0 70 = 1 log5 5 = 1 51 = 5 4-1 = 10-2 = 0.01 Conocer esta relación es esencial para entender y trabajar con logaritmos. Ejemplo Problema Escribir log3 9 = 2 como una ecuación exponencial. Necesitas cambiar a la forma b y = x. Aquí la base es 3 y el exponente es 2. Sustituye b, x e y, en la ecuación exponencial b y = x. Respuesta 3 2 = 9 Comprueba el resultado: ¿Es 3 2 igual a ? ¡Sí! Si bien la x de un logaritmo siempre debe ser positiva, el resultado (¡un exponente!) puede ser negativo. Ejemplo Problema Convertir log 4 = −2 a una ecuación exponencial. Necesitas escribir en la forma b y = x. Aquí la base es 4 y el exponente es −2. Sustituye b, x e y, en la ecuación exponencial b y = x. Respuesta Comprueba el resultado: 4 Es posible convertir ecuaciones logarítmicas a ecuaciones exponenciales. También, es posible convertir ecuaciones exponenciales a ecuaciones logarítmicas. Ejemplo Problema Escribir 5 3 = 125 como una ecuación logarítmica. Necesitas escribir en la forma log b x = y. Aquí la base es 5 y el exponente es 3. Sustituye por b, x e y, en la ecuación logarítmica, log b x = y. Respuesta log 5 125 = 3 Ejemplo Problema Convertir 10-3 = en una ecuación logarítmica. Necesitas escribir en la forma log b x = y. Aquí la base es 10 y el exponente es −3. Sustituye por b, x e y, en la ecuación logarítmica, log b x = y. Respuesta Recuerdaque las raíces también son exponentes. Ejemplo Problema Convertir en una ecuación logarítmica. Escribe la raíz cuadrada usando un exponente fraccionario. Necesitas escribir en la forma log b x = y. Aquí la base es 49 y el exponente es Sustituye por b, x e y, en la ecuación logarítmica, log b x = y. Respuesta log49 7 = 5 ACTIVIDAD 1: Escribir como una ecuación exponencial, realizar todos los pasos del procedimiento justificando y, marcar la respuesta correcta. a) . A. B. C. D. b) log 64 4 = 1 / 3 A. 4 3 = 64 B. 4 1/3 = 64 C. 64 - 3 = 4 D. 64 1/3 = 4 ACTIVIDAD 2: Escribir como una ecuación logarítmica, realizar todos los pasos del procedimiento justificando y, marcar la respuesta correcta. a) 11 2 = 121 A. B. C. D. b) 5 –3 = 1 / 125 A. log 1/5 125 = 3 B. log 5 125 = – 3 C. log 5 (1 / 125) = – 3 D. log 1 /5 125 = – 3 Graficando funciones logarítmicas Observa la siguiente gráfica, ¡al inicio de este tema! La gráfica azul es la función logarítmica y la gráfica roja es la función exponencial correspondiente. Cuando graficamos funciones logarítmicas, es importante recordar lo siguiente: • La gráfica sólo puede aparecer a la derecha del eje y. Esto es porque el domino está restringido a los valores positivos de x. • La gráfica se acerca al eje y para valores pequeños de x (cerca de x = 0). Recuerda que las funciones logarítmicas casi se comportan como funciones exponenciales. Sólo tienes que cambiar los valores de x por los de y. Por ejemplo, el segundo enunciado de arriba es como la función exponencial acercándose al eje x (cerca y = 0). 6 Ejemplo Problema Graficar f ( x ) = log 3 x. Grafica y = log 3 x. Esto es lo mismo que 3 y = x. Convierte a una ecuación logarítmica en y. Luego, convierte el logaritmo a una ecuación exponencial. x = 3 y y −2 −1 0 1 2 Empieza con una tabla de valores. Con las funciones logarítmicas, es normalmente más fácil escoger los valores de y en lugar de los valores de x. Asegúrate de incluir algunos valores negativos para y. x = 3 y y −2 −1 1 0 3 1 9 2 ¡Ten cuidado con los exponentes negativos! Usa la tabla como pares ordenados. Recuerda que la gráfica de la función mostrará todas las correspondencias entre x y y, por lo que cualquier par que pueda estar en la tabla debe ir en la gráfica. Grafica los puntos. Respuesta Como los puntos no forman una línea, no puedes usar una regla. Conecta los puntos lo mejor que puedas, usando una curva suave (no una serie de líneas rectas). Recuerda que las funciones logarítmicas se acercan al eje y (pero nunca lo tocan ni lo cruzan). 7 ACTIVIDAD 3: Realizar la tabla de la función de este ejemplo. Ejemplo Problema Graficar f ( x ) = log 4 x. Grafica y = log 4 x. Esto es lo mismo que 4 y = x. Convierte esto a una ecuación logarítmica en y. Luego convierte el logaritmo a una ecuación exponencial. x = 4y y Empieza con una tabla de valores, escogiendo los valores de y calculando x. ¡Ten cuidado con los exponentes negativos! Usa la tabla como pares ordenados y grafica los puntos. En este caso, (16, 2) no aparecerá en la gráfica. Porque conoces la raíz cuadrada de 4, intenta x = . En este caso, sería . Ese punto aparece en azul. Respuesta Como los puntos no forman una línea, no puedes usar una regla. Conecta los puntos lo mejor que puedas, usando una curva suave (no una serie de líneas rectas). Recuerda que las funciones logarítmicas se acercan al eje y (pero nunca lo tocan ni lo cruzan). 8 Vamos a comparar las gráficas logarítmicas que has visto: f (x) = log 2 x, f (x) = log 3 x y f (x) = log 4 x. Observa que: • Una base mayor hace la gráfica menos inclinada. (Esto es lo opuesto que con las funciones exponenciales, donde una base más grande significa una gráfica más inclinada). • Una base mayor hace que la gráfica se acerque al eje x por y > 0 (o x > 1) y más cerca del eje y por y < 0 (o x < 1). • Todas las gráficas de las funciones logarítmicas pasan por (1, 0), mientras que todas las funciones exponenciales siempre pasan por (0, 1). • Las gráficas logarítmicas aumentan si tienen una base mayor que 1 Si la base es menor que 1, la función logarítmica va a decrecer. Con las funciones exponenciales, las gráficas aumentaban (crecimiento exponencial) cuando la base b era mayor que 1. Y decrecían (decaimiento exponencial) cuando la base b era menor que 1. Las gráficas logarítmicas de arriba aumentan y todas tienen una base mayor que 1. Veamos lo que pasa cuando la base es menor que 1. Ejemplo Problema Graficar . Escribe una ecuación exponencial en y para ayudarte. x y 16 −2 4 −1 1 0 1 2 Crea una tabla de valores. Recuerda tener cuidado con los exponentes negativos. Recuerda sacar el recíproco de la base para tener un exponente positivo. . Observa que en esta tabla, los valores de x disminuyen y los valores de y aumentan. Usa los pares de la tabla para graficar los puntos. Podrías incluir puntos nuevos, especialmente cuando uno de los puntos de la tabla no cabe en tu gráfica. (16,−2) se sale de la gráfica. Como conoces la raíz cuadrada de 4, intenta x = : El punto (8, ) ha sido incluido en azul. Podría no ser necesario incluir puntos adicionales. También, podrías requerir de una calculadora, dependiendo de la base. 9 Respuesta Une los puntos lo mejor que puedas, usando una curva suave. Si la base es menor que 1, la función logarítmica va a decrecer. La gráfica se acerca al eje y cuando x es pequeña, pero con valores de y positivos en lugar de negativos. ACTIVIDAD 4: ¿Cuál de las siguientes gráficas representa f(x) = ? A. B. C. D. ACTIVIDAD 5: Graficar la función f ( x ) = log x, siguiendo los ejemplos. 10 Resolviendo ecuaciones logarítmicas Como has visto, hay tres cantidades esenciales en una ecuación logarítmica y = log b x: la base b, el exponente y y la entrada x. Cualquiera de ellos podría faltar en una ecuación que debes resolver. Normalmente, la manera más fácil de resolver esto, es convirtiendo la ecuación logarítmica a una ecuación exponencial. Ejemplo Problema Resolver 4 = log 5 x. 4 = log 5 x es lo mismo que 5 4 = x. Convierte la ecuación logarítmica a una ecuación exponencial. 54 = 5 • 5 • 5 • 5 54 = 25 • 25 54 = 625 En este caso, sólo necesitas evaluar para resolver x. Respuesta x = 625 Cuando resuelves b o y, es útil tener en tu mente presentes muchas relaciones exponenciales, como 53 = 125 y 25 = 32. Sin embargo, aunque no las tengas, puedes pensar un poco para aproximar o incluso encontrar soluciones exactas. Ejemplo Problema Resolver 3 = log b 64. 3 = log b 64 es lo mismo que b 3 = 64. Convierte la ecuación logarítmica a una ecuación exponencial. Podrías no saber qué número elevado a la tercera potencia es 64. Puedes intentar rápidamente con algunos. 13 = 1 103 = 1000 13 y 103 son fáciles de calcular, por lo que empezamos con ellos. 64 se acerca más a 1 que a 1000, entonces la base correcta se acercará más a 1 que a 10. Intentemos otros valores. Como 64 es par, sabes que no necesitas intentar con números impares. Un número impar a cualquier potencia resulta en un número impar. Y un número par a cualquier potencia resulta en un número par. 23 = 8 43 = 4 • 16 = 64 Entonces intenta con 2 y con4. Respuesta b = 4 ¡Lo encontraste! Asegúrate de que usas el número correcto para tu respuesta. ¡Podría ser fácil responder erróneamente “64”! 11 Ejemplo Problema Resolver y = log 5 125. y = log 5 125 es lo mismo que 5 y = 125. Convierte la ecuación logarítmica a una ecuación exponencial. y 5y 1 5 2 25 3 125 ¿Qué potencia de 5 es 125? Podrías saber, pero si no, has una tabla de valores de y y 5 y. Busca el 125 o algo cerca, en la columna 5 y. Respuesta y = 3 De nuevo, asegúrate de que usas el número correcto para tu respuesta. ¡Podría ser fácil responder erróneamente “125”! ACTIVIDAD 6: Resolver, indicando todos los pasos y marcar la respuesta correcta: a) 4 = log 2 x para x. A. 1 / 2 B. 2 C. 8 D. 16 b) 5 = log b 243 para b. A. 1 / 3 B. – 3 C. 9 D. 3 c) y = log 512 para y. A. – 9 B. 9 C. 8 D. –10 d) – 4 = log b 625 para b A. 1 / 5 B. – 5 C. 5 D. – 1 / 5 e) 5 / 2 = log 9 x para x. A. 59049 / 2 B. – 59049 / 2 C. 1 / 243 D. 243 ¡Sigamos adelante!
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