Teorema de Stokes e Gauss - Análise Matemática II

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ANÁLISIS MATEMÁTICO II - Grupo Ciencias
2018
Práctica 11 - Teorema de Stokes - Teorema de Gauss
Si un ejercicio se pide comprobar el Teorema de Gauss o de Stokes, deberán comprobar las hipótesis y calcular las dos integrales.
Si un ejercicio pide calcular una integral usando el Teorema de Gauss o de Stokes, se espera el cálculo de la otra integral
involucrada en el Teorema, además de la comprobación de las hipótesis correspondientes.
Si no se especifica la manera, depende del integrando y de la región cuál integral es la que conviene calcular.
A. Teorema de Stokes
1. Comprobar que se cumple la igualdad correspondiente al Teorema de Stokes en los siguientes casos,
a) Para
−→
F (x, y, z) = 3y
−→
i − xz
−→
j + yz2
−→
k y la superficie S de la primera figura.
b) Para
−→
F (x, y, z) = (x + y, 2x− z, y + z) y S la porción del plano 3x + 2y + 2z = 6 en el primer octante orientada con
el vector normal hacia el origen.
2. Calcular
∫∫
S
(∇×
−→
F ) · −→n dS siendo S la porción del paraoloide 2z = x2 + y2 para 0 ≤ z ≤ 2 orientada con el normal
exterior y
−→
F (x, y, z) = 4y
−→
i − xz
−→
j + yz2
−→
k .
3. Calcular
∮
C
xydx + zdy + ydz siendo C la curva de la segunda figura.
4. Calcular
∮
C
(x + y) dx + ydy + zdz siendo C el rectángulo de vértices (1, 2,−1), (1, 2, 3), (0, 2, 3) y (0, 2,−1).
5. Calcular
∮
C
(
(arctan (y) + sen (z)) dx +
x
1 + y2
dy + (x cos (z) + y) dz
)
, siendo C la curva intersección entre el paraboloide
x2 + 5y2 = z y el plano z = 27 orientada en sentido antihorario al verse desde el eje z positivo.
6. Considerar
−→
F (x, y, z) = 4x3y
−→
i + 3y2z2
−→
j + xz3
−→
k ,
−→
G (x, y, z) = −x4
−→
j +
(
xz3 − 2y3z
)−→
k y C la elipse determinada por
la intersección del cilindro x2 + y2 = 1 y el plano 2x + 3y − z = 9. Mostrar que∮
C
−→
F · d−→r =
∮
C
−→
G · d−→r .
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B. Teorema de Gauss
1. Comprobar que se cumple la correspondiente igualdad del Teorema de Gauss en cada caso,
a) Para
−→
F (x, y, z) = x
−→
i +y
−→
j +z
−→
k y S la superficie frontera del sólido comprendido entre los paraboloides z = 10−x2−y2
y z = 2 + x2 + y2.
b) Para
−→
F (x, y, z) = x3
−→
i + y3
−→
j + z3
−→
k y S la esfera unitaria centrada en el origen.
1
2. Calcular el flujo saliente del campo
−→
F (x, y, z) = x
−→
i −
−→
j + 3z2
−→
k a través de la superficie frontera del sólido encerrado en
el primer octante por el plano 2x + y + 4z = 2.
3. Calcular
∫∫
S
(
∇×
−→
F
)
· d
−→
S siendo
−→
F (x, y, z) =
(
sen 2
(
y2 + z2
)
+ zy, 2ex
2z, x2 + y2
)
y S la frontera del sólido compren-
dido entre la semiesfera superior x2 + y2 + z2 = 1 y el plano z = 0.
4. Calcular el flujo saliente del campo
−→
F (x, y, z) =
(
xz,−y2, xz
)
a través de la superficie frontera del sólido interior al cilindro
x2 + y2 = 1 para 0 ≤ z ≤ 4.
5. Mostrar que el volumen de un sólido V puede calcularse con
1
3
∫∫
∂V
−→
F · −→n dS siendo
−→
F (x, y, z) = x
−→
i + y
−→
j + z
−→
k .
6. Dado
−→
F (x, y, z) = (x + yz, xye−xz, e−xz), calcular
∫∫
S
−→
F · d
−→
S siendo S la porción del paraboloide z = 1−x2−y2 que está
sobre el plano xy orientado con el normal hacia arriba (notar que la superficie no es cerrada).
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Más ejercitación
1. Sea F(x, y, z) = (x+yez, Q(x, z), 5z), siendo Q una función diferenciable. Considerar el sólido S determinado por el interior
de la esfera dada por x2 + y2 + z2 = 25, con z = 4. Se sabe que el flujo de F a través de la porción del plano z = 4, con
x2 + y2 = 9 es igual a 4. Calcular el flujo de F a través de la porción de esfera que es es borde de S.
2. Calcular
∫
C
−→
G · d−→r , donde
−→
G(x, y, z = (yz + arctan z, ezy + sen z, z3) y C es la curva intersección del cono z =
√
x2 + y2
con el cilindro x2 + y2 = 1 recorrida en sentido antihorario cuando se observa desde el eje z.
3. Una part́ıcula se mueve por la acción del campo de fuerza F(x, y, z) = (z2, 2xy, 4y2) a lo largo de segmentos de recta desde
el origen, pasando por (1, 0, 0), (1, 2, 1) (0, 2, 1) y regresando al origen .Usando el Teorema de Stokes, encontrar el trabajo
realizado.
4. Verificar el Teorema de Gauss para el campo F(x, y, z) = (x4,−x3z2, 4x2z) y el sóildo determinado por x2 + y2 = 1 y los
planos z = 0 y y z = x + 2.
5. A partir del Teorema de Gauss, calcular el flujo de F(x, y, z) = (z2x, y
3
3 + tan z, x
2z + y2), sobre la semiesfera superior S
dada por x2 + y2 + z2 = 1. Sugerencia: considerar S ∪ S1, donde S1 es el disco x2 + y2 ≤ 1 con z = 0.
2
ANÁLISIS MATEMÁTICO II - Grupo Ciencias
2018
Comentarios y ejemplos - Práctica 11
A. Teorema de Stokes
El Teorema de Stokes relaciona la integral de ĺınea lo largo de una curva cerrada C en el espacio con la integral de una
superficie S que tiene a C como frontera. Puede pensarse como una generalización del Teorema de Green.
Como en el caso del teorema de Green, el Teorema de Stokes se enuncia (y demuestra) en primer lugar para un tipo particular
de superficies, aquellas que son gráficas de una función, t́ıpicamente z = f(x, y), con (x, y) ∈ D siendo D una región donde
se puede aplicar el Teorema de Green (aunque por supuesto puede darse x = g(y, z) o y = h(x, z)). Luego se generaliza a
superficies orientables.
Recordemos el resultado y hagamos algunas observaciones y generalizaciones.
Teorema de Stokes:
Sea S una superficie suave, acotada y orientable y C = ∂S su frontera. Sea ~F un campo definido sobre un abierto
que contiene a S̄ de clase C1. Entonces ∫∫
S
(
∇×
−→
F
)
· d~S =
∫
∂S
−→
F · d~r,
donde el sentido de recorrido de la curva C está inducido por la orientación elegida para la superficie.
Observaciones y ejemplos:
1. El Teorema de Stokes también es válido para una superficie orientable suave a trozos y para superficies cuya frontera
es suave a trozos. Por ejemplo,
el ciindro x2 +y2 = 2, para 0 ≤ z ≤ 1 con su base (pero sin la tapa) es una superficie orientable a trozos. Su curva
borde es x2 + y2 = 2; z = 1.
el plano x+ y+ z = 1 en el primer octante es una superficie orientable suave. Su frontera es suave a trozos, y está
dada por la unión de tres segmentos: x+ y = 1; z = 0, y + z = 1; x = 0 y x+ z = 1; y = 0.
2. Es importante elegir adecuadamente la orientación del normal y el sentido de recorrido de la curva borde para que la
igualdad del Teorema sea válida. De otra forma, las integrales tendrán signo diferente.
Suele llamarse sentido positivo (o inducido por la superficie) al sentido de recorrido de la curva cerrada C al que deja
la superficie a la izquierda cuando se la recorre de acuerdo al normal elegido para orientar la superficie. Por ejemplo,
para el cilindro del ejemplo anterior: supongamos que se orienta de modo tal que el normal apunte “hacia afuera”.
Para la base, el normal tendrá tercer componente negativa. La curva borde deberá ser recorrida en sentido horario
(mirando “desde arriba”).
para la porción del plano de la observación anterior: supongamos que el normal tiene su tercer componente positiva.
Entonces la frontera deberá ser recorrida en sentido antihorario (mirando “desde el primer octante”): comenzando
el recorrido de la curva en (1, 0, 0), por ejemplo, pasará por (0, 1, 0), (0, 0, 1) retornando a (1, 0, 0), en ese orden.
Consideremos la porción de paraboloide z = x2 + 2y2 (limitado por el plano z = 4) cuyo normal tiene tercer
componente negativa. La curva borde es la elipse x2 + 2y2 = 4, con z = 4. El sentido de recorrido de C inducido
por la orientación de S es el horario, mirando la circunferencia “desde arriba”.
3. El Teorema de Stokes puede utilizarse para calcular una integral de ĺınea en vez de una de superficie (o al revés), o
para cambiar la superficie de integración por otra que comparta la misma curva borde, recorrida en el mismo sentido.
Por ejemplo, la elipse de la observación anterior: x2 + 2y2 = 4, con z = 4, puede pensarse como la frontera del plano
z = 4 limitada por el cilindro x2 + 2y2 = 4. Para mantener el sentido de recorridode la curva elegido previamente, el
normal al plano deberá tener su tercer componente negativa (apuntar “ hacia abajo”). Llamando S1 al paraboloide y
S2 al plano, se verifica que ∫∫
S1
rot
−→
F · n dS =
∫
C
−→
F · d~r =
∫∫
S2
rot
−→
F · n dS
4. Podemos comprobar que el Teorema de Green es un caso particular del Teorema de Stokes cuando la superficie S
es una porción D del plano z = 0. Considerando el campo P (x, y)̆i + Q(x, y)j̆ como un campo en tres dimensiones
~F = P ĭ+Qj̆ + 0k̆, se obtiene que rot~F = (Qx − Py)k̆. Usamos la parametrización Φ(x, y) = (x, y, 0), con (x, y) ∈ D y
normal n = (0, 0, 1). Entonces rot
−→
F · n = Qx − Py y el Teorema de Stokes queda escrito como∫∫
S
rot
−→
F · n dS =
∫∫
D
(Qx − Py) dx dy =
∫
C
−→
F · d~r,
que es el enunciado del Teorema de Green.
1
5. Interpretación
Supongamos ~v un campo de velocidad en un flujo de flúıdos y consideremos la integral de ĺınea sobre una curva
cerrada C:
∫
C
~v · d~r =
∫
C
~v ·T ds.
Del cálculo del producto escalar, podemos decir que cuanto más cercana esté la dirección de ~v a la dirección de
n, más grande es el valor de ~v ·n. Por eso, la integral de ĺınea mide la tendencia del flúıdo a moverse alrededor de
C y se la llama circulación de v alrededor de C.
Por otro lado,
∫∫
S
rot~v · n dS =
∫∫
S
rot~v · d~S =
∫
C
~v ·T ds.
El teorema de Stokes dice, entonces, que el flujo del rotacional de un campo a través de una superficie suave y
orientable a trozos es igual a la circulación del campo en el borde de la misma.
Tomemos un punto P y llamemos Sr a un entorno de P de radio r.
Utilizando el Teorema de Stokes y el Teorema del valor medio para integrales se puede mostrar que
rot (~v)(P ) · n = ĺım
r→0
1
área(Sr)
∫
∂(Sr)
~v ·T dr.
Como la circulación es la velocidad neta del flúıdo alrededor del borde ∂(Sr), rot(~v) · n representa el efecto de
giro (o rotación) del fluido alrededor del eje normal n.
Para un punto P , rot(~v)(P ) · n(P ) es la circulación de ~v por unidad de área en una superficie
perpendicular a n(P ).
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B. Teorema de Gauss
El Teorema de Gauss relaciona la integral triple sobre un sólido Ω con una integral sobre la superficie cerrada S = ∂Ω que
la tiene como frontera.
Recordemos el resultado en su forma más general y hagamos algunas observaciones y ejemplos.
Teorema de Gauss:
Sea Ω una región acotada de R3 y sea ∂Ω su frontera, suave a trozos y orientada con su normal exterior. Sea ~F
un campo definido sobre un abierto que contiene a Ω̄ de clase C1. Entonces∫∫∫
Ω
div
−→
F dV =
∫∫
∂Ω
−→
F · d~S.
Observaciones y ejemplos:
1. El Teorema ya está establecido en su forma general, es decir cuando la supericie cerrada es unión finita de superficies
suaves. Si bien cada superficie se puede parametrizar en forma independiente de las demás, no hay que olvidar elegir
las orientaciones de sus normales para que sean exteriores al sólido. Por ejemplo,
Sea el volumen determinado por el cilindro z2 + 4y2 = 4, con −1 ≤ x ≤ 2. Su frontera es unión de:
i) S1 (la porción del cilindro), dada por Φ1(θ, x) = (x, cos θ, 2 sen θ), con (x, θ) ∈ [−1, 2] × [0, 2π] y normal
n = (0,−2 cos θ,− sen θ). Para decidir si la orientación es correcta, podemos elegir un punto: por ejemplo,
para (0, 1, 0) = Φ(0, 0) el normal es n = (0,−2 cos 0,− sen 0) = (0,−2, 0), que apunta hacia el interior del
cilindro. Luego, hay que tomar el normal opuesto.
ii) S2 (la tapa posterior x = −1), dada por Φ2(y, z) = (−1, y, z), con dominio D sobre la proyección en el plano
yz, D = y2 + 4z2 ≤ 4. El normal n = (1, 0, 0) es interior al volumen, por lo tanto tomaremos n = (−1, 0, 0).
iii) S3 (la otra tapa x = 2), dada por Φ3(y, z) = (2, y, z) sobre la misma proyección en yz, D = y
2 + 4z2 ≤ 4. El
normal n = (1, 0, 0) ahora es exterior al volumen.
Consideremos la región V determinada por 0 ≤ z ≤ 4− 2x2 − 2y2. Su frontera es unión de:
i) S1 (plano z = 0), dada por Φ1(x, y) = (x, y, 0), cuyo dominio D es la proyección en el plano xy, D = x
2+y2 ≤ 2
(el ĺımite está dado por la intersección entre ambas superficies). El normal n = (0, 0, 1) es interior al volumen,
por lo tanto tomaremos n = (0, 0,−1)
2
ii) S2 (paraboloide z = 4 − 2x2 − 2y2), dado por Φ2(x, y) = (x, y, 4 − 2x2 − 2y2), con dominio en la misma
proyección D. Su normal n = (4x, 4y, 1) es exterior al paraboloide, ya que tiene la tercer componente positiva.
2. El Teorema de Gauss puede utilizarse para calcular una integral triple en lugar de una de superficie (o al revés).
En particular, eligiendo un campo con divergencia igual a 1, puede calcularse el volumen del sólido V mediante la
integral de superficie
volumen de V =
∫∫
∂Ω
−→
F · d~S.
3. Interpretación
Tomemos un punto P y llamemos Sr a un entorno de P de radio r.
Utilizando el Teorema de Gauss y el Teorema del valor medio para integrales se puede mostrar que
div ~(F)(P ) = ĺım
r→0
1
vol(Ωr)
∫∫
∂(Ωr)
−→
F · n dS
Para un punto P , la divergencia div (~F)(P ) es la tasa de flujo neto hacia el exterior del sólido por
unidad de volumen.
En particular, si div (~F)(P ) > 0, en las cercańıas del punto P hay un flujo neto hacia el exterior. Se dice que P es una
fuente.
Si div (~F)(P ) < 0, en las cercańıas del punto P hay un flujo neto hacia el interior. Se dice que P es un sumidero.
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Un poco más de ejercitación
1. (a) Considerar dos superficies S1 y S2 con la misma frontera C. Describir, mediante dibujos, cómo deben orientarse
las superficies para asegurar que
∫∫
S1
(∇×
−→
F ) · −→n dS1 =
∫∫
S2
(∇×
−→
F ) · −→n dS2
(b) Deducir que si S es una superficie cerrada, entonces
∫∫
S
(∇×
−→
F ) · −→n dS = 0 (una superficie cerrada es aquella que
constituye la frontera de una región en el espacio)
(c) Comprobar el mismo resultado aplicando el teorema de Gauss.
2. Estudiar la aplicabilidad del Teorema de Stokes para el campo
−→
F (x, y, z) =
(
− yx2+y2 ,
x
x2+y2 , 0
)
y la superficie S, en
cada uno de los siguientes casos:
(a) S es el ćırculo de radio a centrado en el origen sobre el plano z = 0.
(b) S es la región del plano z = 0 limitado por el cilindro x2 + y2 = 1 y el plano x+ y = 1.
3. Calcular
∮
C
(y + senxdx+
(
3
2
z2 + cos y
)
dy + 2x3dz, donde C es la curva parametrizada por r(t) = ( sen t, cos t, sen 2t),
con 0 ≤ t ≤ 2π.
Sugerencia: observar que la curva está incluida en la superficie z = 2xy, para evitar calcular la integral de ĺınea.
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Como para preparar el final...
1. Para hacer este ejercicio van a tener que usar algunas identidades que calcularon en la Práctica 9, parte B, además de
la siguiente (recordemos que ∆f = fxx + fyy + fzz es el laplaciano de f):
∆f = div (∇f)
Sea Ω ⊂ R3 un dominio acotado y sean f y g dos funciones de clase C2(Ω̄). Llamemos n al normal exterior.
Usando el Teorema de Gauss, probar las identidades de Green:∫∫
∂Ω
f (∇g · n) dS =
∫∫∫
Ω
(f∆g +∇f · ∇g) dx dy dz∫∫
∂Ω
(f∇g − g∇f) · n dS =
∫∫∫
Ω
(f∆g − g∆f) dx dy dz
El producto ∇g ·n es la derivada direccional de g en la dirección del normal. Se la llama directamente derivada normal
de g y suele anotarse como ∂ηg ó como
∂g
∂n .
3
2. En las condiciones del ejercicio anterior, se dice que λ ∈ R es un autovalor del operador laplaciano si existe una función
f ∈ C2(Ω̄) con f 6≡ 0 tal que
(D) Condiciones Dirichlet
{
∆f = λf en Ω
f = 0 en ∂Ω
(N) Condiciones Neumann
{
∆f = λf en Ω
∂f
∂n
= 0 en ∂Ω
A dicha función se la llama autofunción asociada al autovalor correspondiente. Observen que kf para cualquier constante
k, también es autofunción asociada al mismo autovalor.
Utilizando la segunda identidad de Green, mostrar que si λ 6= µ son dos autovalores del laplaciano en Ω y f y g son
autofunciones asociadas a λ y µ, respectivamente, entonces∫∫∫
Ω
f g dV = 0
(a) para el problema del laplaciano con condiciones Dirichlet
(b) para el problema del laplaciano con condiciones Neumann
(Se dice que f y g son ortogonales).4