01 NUMEROS Y ECUACIONES (GUÍA DE EJERCICIOS) (1)

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MATEMÁTICA I - Números y operaciones (Parte 1) PRÁCTICO
Números y operaciones
Ejercicio 1 Resuelve las operaciones combinadas separando previamente en terminos.
a) 5 · (−7 + 3)− 12 : (−4) + 20 : (1− 6) =
b) 3− (4 · 2− 5 · 3) + (−6 + 3) · 8 =
c) −21 : (−2− 5) + (−14) + 6 · (8− 4 · 3) =
d) (−8) · 3 : (−6)− 15 : (−3) · (−2) + 18 : (−1− 2) =
e) (9− 13) · (−5 + 10)− [12 : (−3) + (−11)] =
f) (1− 7) : 3 · 4− 16 · (−1 + 3) : 8 + (−5− 10) =
Ejercicio 2 Resuelve y simplifica.
a)
7
16
· 21
12
=
b)
140
18
· 52
210
· 55
104
=
c) −26
7
· 21
5
·
Å
− 9
39
ã
=
d)
144
35
·
Å
−63
72
ã
=
e) −15
8
· 5
32
=
f) −40
54
:
Å
−120
21
ã
=
g)
135
4
:
25
5
·
Å
−16
9
ã
=
h)
3
70
:
5
32
=
i)
4
3
:
8
9
=
j)
33
16
· 40
6
:
65
4
=
Ejercicio 3 Resuelve las siguientes operaciones combinadas.
a)
5
8
·
Å
1
4
ã−1
+
9
5
·
…
81
9
− 7
10
=
b)
…
64
25
−
Å
3
4
− 7
12
· 2
ã−1
+
Å
1
2
ã2
=
c) 3
…
2
5
+
14
125
+
Å
5
8
ã−2
−
Å
8
3
+ 2
ã
:
7
5
=
d)
…
49
36
+
3
10
· 3
2
− 4
…
16
256
=
e) 4−2 +
Å
4
9
ã−1
−
Å
13
9
+
1
18
ã
·
…
37
144
+
1
12
=
Ejercicio 4 Efectuar las siguientes operaciones en R
a)
[
3
5 +
1
2
]
÷ 1√
2
b) 12 + 1, 3̂ c) 12÷ (−1 + 3.12 + 0, 1̂)
Ejercicio 5 Simplificar 12 (12
4−16)
400
1
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Ejercicio 6 Simplificar
(
3 · 2n + 4 · 2n−2
)2 · 3
22n+4
Ejercicio 7 En cuánto se modifica el perímetro de un cuadrado si el lado se triplica. Considera que
el lado mide ` y su perímetro original vale P . Haz el mismo análisis para el área.
Ejercicio 8 Es cierto que la suma de los múltiplos de 10 con los múltiplos de 25 son números que
terminan en cero o en cinco.
Ejercicio 9 Una piscina se llena con una canilla en 5 horas. Si está llena, esta se vacía por una rejilla
también en 5 horas. Suponga que estando por la mitad, se abre la canilla y se destapa
la rejilla. ¿Qué ocurre? Se llena? Se vacía?.
Ejercicio 10 Considera la misma piscina, que tarda 6 horas en llenarse con una canilla. Pero que,
estando llena tarda 4 horas en vaciarse destapando la rejilla. Suponga que estando por
la mitad, se abre la canilla y se destapa la rejilla. Qué ocurre? Se llena o vacía? y cuánto
tiempo pasará para que ocurra lo que tenga que ocurrir?
Ejercicio 11 Supongamos que a una circunferencia cuya longitud (perímetro) mide ` le adicionamos
un metro en su perímetro. Cuánto valdrá el nuevo radio? Y cuánto valdrá la resta del
radio nuevo menos el radio viejo.
Ejercicio 12 Calcula.
a) el 20% de 100. Qué cuenta hiciste? b) El 35% de 1000350
c) El 15% de una cierta cantidad A
Ejercicio 13 Si una cantidad A aumenta en un cierto porcentaje, digamos c%. ¿Cuál será el nuevo
valor?
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Pistas
Ejercicio 4 En estos ejercicios, pasa los números decimales a fracciones.
a) 11
√
2
10 b)
11
6 , c)
1350
251
Ejercicio 5 12 (12
4−16)
25 .
Pistas: Notemos que 16 = 24 Además, tenemos que 124 = (6 · 2)4 = 64 24 Entonces,
4 · 3 · (64 · 24 − 24)
4 · 100
=
3 · 24(64 − 1)
100
=
3 · 4(64 − 1)
25
=
12(64 − 1)
25
Ejercicio 6 Pista: Notemos que 4 = 22 Entonces, 4 · 2n−2 = 22 · 2n−2 = 2n Entonces,
3 · 2n + 4 · 2n−2 = 3 · 2n + 2n = 4 · 2n = 22 · 2n = 2n+2
Entonces,(
3 · 2n + 4 · 2n−2
)2 · 3
22n+4
=
[
2n+2
]2 · 3
22(n+2)
= 22(n+2) · 3
22(n+2)
= 3
Ejercicio 7 Si llamamos p al perímetro original. Entonces, p = 4 `. Entonces, si el nuevo lado
es `′ = 3 ` entonces, el nuevo perímetro se calcula p′ = 4 `′. Ahora, sustituyendo el valor
de `′ tendremos
p′ = 4`′ = 4 · 3 ` = 3 · 4 `︸︷︷︸
p
= 3p
Es decir, si el lado se triplica, el perímetro también.
El área nueva vale A′ = `2
A′ = `′2 = (3`)2 = 32 `2︸︷︷︸
A
= 9A
Entonces, si el lado se triplica, el área pasa a ser 9 veces lo que era originalmente.
Ejercicio 8 Lo múltiplos de 10, son aquellos que se pueden escribir como m = 10 k donde k
es un entero cualquiera. Los múltiplos de 25, se pueden escribir como n = 25 `. con `
también entero. Entonces la suma de los múltiplos de 10 con los de 5 serán
10 k + 25 ` = 2 · 5 k + 5 · 5` = 5 · (2k + 5`)︸ ︷︷ ︸
también entero!
= 5 j (j ∈ Z)
Entonces, la suma será múltiplo de 5. Entonces, o terminará en 0 o en 5.
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Ejercicio 9 Si se llena a la misma tasa (tasa: velocidad, cuantificación del cambio) entonces
quedará a la mitad siempre.
Este ejercicio sale apenas con el sentido común, pero será necesario plantear situaciones
más generales para poder abordar problemas de estas características de manera más
completa. El siguiente ejercicio plantea una situación más general.
Ejercicio 10 Este ejercicio tiene un poco más de dificultad, pero servirá para analizar casos
con más canillas y problemas semejantes.
Para analizar este tipo de situaciones, es necesario considerar bien precisamente los
datos:
i) La canilla tarda 6 horas en llenar la piscina. Bueno, pensemos que si la piscina tiene
C cantidad de litros, y llamamos vllenado a la velocidad de llenado, tendremos
vllenado =
C
6
ii) La velocidad de vaciado (usando negativo para vaciar y positivo para llenar)
vvaciado = −
C
4
Ahora, la velocidad conjunta será
vllenado + vvaciado =
C
6
− C
4
= C
ï
1
6
− 1
4
ò
= C
ï
− 1
12
ò
= − C
12
Entonces: 1) Se vacía! (porque nos quedó la velocidad negativa. 2) Tardará 12 horas la
pileta llena. Entonces, será 6 horas en vaciarse la mitad.
Ejercicio 11 Notemos que para un radio r, la longitud de la circunferencia será P = 2π r
Supongamos que adicionamos 1 metro a la langitud. Tendremos P ′ = P + 1 Pero, una
longitud nueva se corresponderá a un radio nuevo, por lo que podemos plantear:
P = 2π r
P + 1 = 2πr′
Entonces, despejando, tendremos
(r′ − r) = 1
2π
en metros
Esta será la diferencia de radios. Notemos que esta cuenta no depende de cuán grande o
pequeña sea la circunferencia original. Sirve para una circunferencia de radio 3 metros
o para una circunferencia del radio de la tierra! (≈ 6371000 metros)
Ejercicio 12 Calcular un porcentaje parece más difícil de lo que en realidad es. Simplemente
es multiplicar por una fracción! (con denominador 100). Veamos.
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a) Para calcular el 20% de 100 (que da justito, sin necesidad de hacer ninguna cuenta).
Debemos multiplicar la fracción (20%) por la cantidad en análisis. Esto es, el 20%
de 100 será:
20
100︸︷︷︸
porcentaje
· 100︸︷︷︸
cantidad
= 20
b) 35% es la fracción 35/100 que se le debe multiplicar a la cantidad (en este caso
1000/350). Entonces
35
100︸︷︷︸
porcentaje
· 1000
350︸ ︷︷ ︸
cantidad
= 1
c) 15100 ·A
Ejercicio 13 Ahora el problema a analizar es los aumentos y descuentos. Veamos, si una
cantidad aumenta un cierto porcentaje, lo primero que tenemos que hacer es calcular
ese porcentaje (como en el ejercicio anterior). Entonces, para la cantidad A calculamos
el porcentaje, en este caso c%. Entonces
c
100
·A
Ahora este porcentaje hay que adicionarlo (para aumento) o restarlo (para descuento) a
la propia cantidad A. Entonces, si A sufre un aumento del c% tendremos que el nuevo
valor de A será
A+
c
100
·A = A
[
1 +
c
100
]
(sacamos factor común A)
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	Pistas