clase17 - Maria Cristina Rodriguez Escalante

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CLASE 17
FUNCIONES HOMOGÉNEAS. TEOREMA DE
EULER.
17.1. Funciones Homogéneas
Definición 17.1. Un subconjunto C de Rn se llama cono, si para cualquier x = (x1, · · · , xn) ∈ C
y cualquier t > 0 implica tx = (tx1, · · · , txn) ∈ C.
x = (x1, x2, · · · , xn)
0
Ejemplo 17.2. El subconjunto A = {(x, y) ∈ R2 : y − 2x = 0} es un cono pues, dado cualquier
(x0, y0) ∈ A y t > 0 se tiene que t(y0− 2x0) = 0 lo cual es equivalente a ty0− 2tx0 = 0 por tanto
t(x0, y0) ∈ A.
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x
y
El ejemplo anterior, nos dice que toda recta que pase por el origen de coordenadas es en par-
ticular un cono. Pero en general, cualquier semirecta iniciando desde el origen (sin necesidad de
considerar el origen) es un cono.
El siguiente ejemplo muestra que hay conjuntos que no son conos.
Ejemplo 17.3. ConsideremosA = {(x, y) ∈ R2 : y = x2}, tenemos que (1, 1) ∈ A pero tomando
t = 2 el punto 2(1, 1) = (2, 2) no pertenece al conjunto A pues 2 6= 22.
x
y
(1, 1)
(2, 2)
Ahora, dados dos conos C1 y C2 la unión sigue siendo un cono pues, dado x ∈ C1∪C2 y t > 0,
se tiene que x ∈ C1 entonces tx ∈ C1 ⊆ C1 ∪ C2, pero si x ∈ C2 entonces tx ∈ C2 ⊆ C1 ∪ C2.
Por tanto tx ∈ C1 ∪ C2.
x
y
De manera análoga podemos verificar que la intersección de dos conos también es un cono.
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Definición 17.4. Una función f : C ⊂ Rn → R, definida en el cono C, se dice que es homogénea
de grado r ∈ R si se verifica que:
f(tx) = trf(x), para x ∈ C y t > 0.
Ejemplo 17.5. Consideremos la siguiente función f(x, y) =
√
2x+ y, cuyo dominio es {(x, y) ∈
R2; 2x+ y ≥ 0} = {(x, y) ∈ R2; y ≥ −2x} el cual resulta ser un cono (¡verifique!). Por otro lado
para todo (x, y) en el dominio de f y todo t > 0 se tiene que
f(tx, ty) =
√
2tx+ ty =
√
t
√
2x+ y = t
1
2f(x, y)
lo que nos dice que esta función es homogénea de grado 1/2.
Ejemplo 17.6. La función definida por f(x, y) =
1
x2 + y2
tiene por dominio al cono R2 \{(0, 0)}.
Seguido, para todo (x, y) en el dominio de f y todo t > 0 se tiene que
f(tx, ty) =
1
(tx)2 + (ty)2
=
1
t2(x2 + y2)
= t−2
1
x2 + y2
= t−2f(x, y).
Esto implica que f es una función homogénea de grado −2.
A continuación presentamos un ejemplo de función no homogénea.
Ejemplo 17.7. Sea f : R2 → R una función definida por f(x, y) = x+ y2. Supongamos que esta
función es homogénea de grado r, entonces para cualquier t > 0 se debe cumplir que f(t(1, 0)) =
trf((1, 0)) es decir t = tr de donde r = 1. Pero, también se debe cumplir que f(t(0, 1)) =
trf((0, 1)) es decir t2 = tr de donde r = 2, lo cual es absurdo. Concluyendo que esta función no
es homogénea.
Dada f : C ⊆ Rn → R una función homogénea de grado r y x ∈ C tenemos que para t = 1+h
con h > 0 f(tx) = f((1 + h)x) = (1 + h)rf(x). Ası́ f((1 + h)x) − f(x) = [(1 + h)r − 1]f(x)
deduciendo que
∆f ≈ rhf(x)
lo cual podemos interpretar de la siguiente manera: si x aumenta en proporción h entonces f
aumenta en proporción rh.
La noción de función homogénea está relacionada con la idea de los, ası́ llamados en las cien-
cias económicas, rendimientos a escala. En el caso de una función de producción, diremos que
hay unos rendimientos a escala constante si un incremento proporcional de K y de L tiene como
resultado un incremento de igual proporcionalidad en Q(K,L); esto es, si Q es una función ho-
mogénea de grado 1, es decir Q(tK, tL) = tQ(K,L). Esto significa que, por ejemplo, doblando
tanto el capital como la fuerza de trabajo se dobla la producción. Si la función de producción Q
fuera homogénea de grado r > 1, entonces diremos que hay rendimientos a escala creciente. Por
otra parte, si la función de producción Q fuera de grado r < 1, diremos que hay rendimientos a
escala decreciente.
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Ejemplo 17.8. La función de producción de Cobb-Douglas es definida por
Q(K,L) = AKαLβ
donde A es una constante positiva, es decir A > 0, L y K son las unidades de factor trabajo y
factor capital empleadas, α, β ∈ R, α, β > 0. El dominio de la función producción es :
{(K,L) ∈ R2;K ≥ 0, L ≥ 0}.
que resulta ser un cono. Además, podemos probar que
Q(tK, tL) = tα+βQ(K,L).
Ası́ la función de producción de Cobb-Douglas es homogénea de grado α + β. En particular si
α + β = 1, dicha función tendrá rendimientos a escala constante.
Teorema 17.9. Sean f y g son funciones homogéneas definidas en un mismo cono C ⊂ Rn.
1. Si f y g tienen el mismo grado r, entonces cualquier combinación lineal de ambas es también
una función homogénea de grado r.
2. Si f tiene grado r y g tiene grado s, entonces el producto de ambas es una función homogénea
de grado r + s.
3. Si f tiene grado r y g tiene grado s, entonces el cociente de ambas, cuando está definido, es
una función homogénea de grado r − s.
Demostración. Probaremos el ı́tem 1, dejando los otros dos ı́tems como ejercicio. Sean x ∈ C y
t > 0. Por ser f y g homogéneas de grado r, f(tx) = trf(x) y g(tx) = trg(x). Sean a, b ∈ R,
luego
(af + bg)(tx) = af(tx) + bg(tx) = atrf(x) + btrg(x) = tr(af + bg)(x).
Ası́, af + bg es una función homogénea de grado r.
Ejercicio 17.10. Estudiar la homogeneidad de las siguientes funciones
1. f(x, y) =
x2(x+ y)
x2 + y2
. 2. g(x, y) = (x+ y)e
x/y.
Teorema 17.11. Sea A un cono abierto de R2 y f : A ⊂ R2 → R una función homogénea. Si f
posee derivadas parciales en todo punto de A, entonces estas son funciones homogéneas de grado
r − 1.
Demostración. Como f es homogénea de grado r, tenemos que para todo (x, y) ∈ A y t > 0
f(tx, ty) = trf(x, y).
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Derivando respecto de x ambos lados de la igualdad anterior, se tiene
t
∂f
∂x
(tx, ty) = tr
∂f
∂x
(x, y).
Luego
∂f
∂x
(tx, ty) = tr−1
∂f
∂x
(x, y), es decir,
∂f
∂x
es homogénea de grado r− 1. De manera análoga
se prueba para
∂f
∂y
.
17.2. El teorema de Euler
Para las funciones homogéneas que admiten derivadas parciales continuas en su dominio se
puede obtener un importante resultado conocido con el nombre de Teorema de Euler (ası́ llamada
por el matemático suizo Léonard Euler (1707-1783)).
Teorema 17.12 (Teorema de Euler). Sea f : C ⊂ Rn → R una función definida en el cono abierto
C, con derivadas parciales continuas. Entonces f es homogénea de grado r si, y solamente si,
rf(x) = x1
∂f
∂x1
(x) + · · ·+ xn
∂f
∂xn
(x)
donde x = (x1, · · · , xn) es un punto interior de C.
Demostración. Por simplicidad, veamos la prueba para el caso de dos variables. Supongamos que
f es homogénea de grado r y fijemos (x, y) ∈ C. Como f es homogénea de grado r entonces
0 = f(tx, ty)− trf(x, y), ∀ t > 0.
Por otro lado, como las derivadas parciales de f existen, podemos derivar respecto de t el lado
derecho de la ecuación anterior y obtener
0 = x
∂f
∂x
(tx, ty) + y
∂f
∂y
(tx, ty)− rtr−1f(x, y),
para todo t > 0. En particular, haciendo t = 1 en la ecuación anterior, tenemos
0 = x
∂f
∂x
(x, y) + y
∂f
∂y
(x, y)− rf(x, y),
es decir,
rf(x, y) = x
∂f
∂x
(x, y) + y
∂f
∂y
(x, y).
Notemos que el caso n = 2, por el teorema de Euler, toda función homogénea de grado r
cumple que:
rf(x, y) = x
∂f
∂x
(x, y) + y
∂f
∂y
(x, y).
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Ejemplo 17.13. Sea f : R2 → R una función homogénea de grado 3. Si se cumple que
∂f
∂x
(x, y) = 6xy y
∂f
∂y
(x, y) = 3x2,
usando el Teorema de Euler, Teorema 17.12 se tiene:
3f(x, y) = 6x2y + 3x2y.
Luego f(x, y) = 2x2y + x2y.
Ejercicio 17.14. Sea f : R2 → R una función homogénea de grado 2. Sabiendo f(1, 2) = 3 y
∂f
∂x
(1, 2) = 3, halle f(1/2, 1),
∂f
∂x
(2, 4) y 2
∂f
∂x
(2, 4) + 4
∂f
∂y
(1, 2). (Sugerencia: use el teorema de
Euler).
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