Álgebra 1

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DECLARACIÓN UNIVERSAL DE LOS DERECHOS HUMANOS
El 10 de diciembre de 1948, la Asamblea General de las Naciones Unidas aprobó y proclamó
la Declaración Universal de los Derechos Humanos, cuyos artículos figuran a continuación:
Artículo 1.-
Todos los seres humanos nacen libres e iguales en dignidad y derechos y (...) 
deben comportarse fraternalmente los unos con los otros.
Artículo 2.-
Toda persona tiene todos los derechos y libertades proclamados en esta 
Declaración, sin distinción alguna de raza, color, sexo, idioma, religión, opinión 
política o de cualquier otra índole, origen nacional o social, posición económica, 
nacimiento o cualquier otra condición. Además, no se hará distinción alguna 
fundada en la condición política, jurídica o internacional del país o territorio de 
cuya jurisdicción dependa una persona (...).
Artículo 3.-
Todo individuo tiene derecho a la vida, a la libertad y a la seguridad de su 
persona.
Artículo 4.-
Nadie estará sometido a esclavitud ni a servidumbre; la esclavitud y la trata de 
esclavos están prohibidas en todas sus formas.
Artículo 5.-
Nadie será sometido a torturas ni a penas o tratos crueles, inhumanos o 
degradantes.
Artículo 6.-
Todo ser humano tiene derecho, en todas partes, al reconocimiento de su 
personalidad jurídica.
Artículo 7.-
Todos son iguales ante la ley y tienen, sin distinción, derecho a igual protección 
de la ley. Todos tienen derecho a igual protección contra toda discriminación 
que infrinja esta Declaración (...).
Artículo 8.-
Toda persona tiene derecho a un recurso efectivo, ante los tribunales 
nacionales competentes, que la ampare contra actos que violen sus derechos 
fundamentales (...).
Artículo 9.-
Nadie podrá ser arbitrariamente detenido, preso ni desterrado.
Artículo 10.-
Toda persona tiene derecho, en condiciones de plena igualdad, a ser oída 
públicamente y con justicia por un tribunal independiente e imparcial, para la 
determinación de sus derechos y obligaciones o para el examen de cualquier 
acusación contra ella en materia penal.
Artículo 11.-
1. Toda persona acusada de delito tiene derecho a que se presuma su inocencia 
mientras no se pruebe su culpabilidad (...).
2. Nadie será condenado por actos u omisiones que en el momento de 
cometerse no fueron delictivos según el Derecho nacional o internacional. 
Tampoco se impondrá pena más grave que la aplicable en el momento de 
la comisión del delito.
Artículo 12.-
Nadie será objeto de injerencias arbitrarias en su vida privada, su familia, su 
domicilio o su correspondencia, ni de ataques a su honra o a su reputación. Toda 
persona tiene derecho a la protección de la ley contra tales injerencias o ataques.
Artículo 13.-
1. Toda persona tiene derecho a circular libremente y a elegir su residencia 
en el territorio de un Estado.
2. Toda persona tiene derecho a salir de cualquier país, incluso del propio, y 
a regresar a su país.
Artículo 14.-
1. En caso de persecución, toda persona tiene derecho a buscar asilo, y a 
disfrutar de él, en cualquier país.
2. Este derecho no podrá ser invocado contra una acción judicial realmente 
originada por delitos comunes o por actos opuestos a los propósitos y 
principios de las Naciones Unidas. 
Artículo 15.-
1. Toda persona tiene derecho a una nacionalidad.
2. A nadie se privará arbitrariamente de su nacionalidad ni del derecho a 
cambiar de nacionalidad.
Artículo 16.-
1. Los hombres y las mujeres, a partir de la edad núbil, tienen derecho, sin 
restricción alguna por motivos de raza, nacionalidad o religión, a casarse y 
fundar una familia (...).
2. Solo mediante libre y pleno consentimiento de los futuros esposos podrá 
contraerse el matrimonio.
3. La familia es el elemento natural y fundamental de la sociedad y tiene derecho 
a la protección de la sociedad y del Estado.
Artículo 17.-
1. Toda persona tiene derecho a la propiedad, individual y colectivamente.
2. Nadie será privado arbitrariamente de su propiedad.
Artículo 18.-
Toda persona tiene derecho a la libertad de pensamiento, de conciencia y de 
religión (...).
Artículo 19.-
Todo individuo tiene derecho a la libertad de opinión y de expresión (...).
Artículo 20.-
1.	 Toda	persona	tiene	derecho	a	la	libertad	de	reunión	y	de	asociación	pacíficas.
2. Nadie podrá ser obligado a pertenecer a una asociación.
Artículo 21.-
1. Toda persona tiene derecho a participar en el gobierno de su país, 
directamente o por medio de representantes libremente escogidos.
2. Toda persona tiene el derecho de acceso, en condiciones de igualdad, a las 
funciones públicas de su país.
3. La voluntad del pueblo es la base de la autoridad del poder público; esta 
voluntad se expresará mediante elecciones auténticas que habrán de 
celebrarse periódicamente, por sufragio universal e igual y por voto secreto 
u otro procedimiento equivalente que garantice la libertad del voto.
Artículo 22.-
Toda persona (...) tiene derecho a la seguridad social, y a obtener, (...) habida 
cuenta de la organización y los recursos de cada Estado, la satisfacción de los 
derechos económicos, sociales y culturales, indispensables a su dignidad y al 
libre desarrollo de su personalidad.
Artículo 23.-
1. Toda persona tiene derecho al trabajo, a la libre elección de su trabajo, a 
condiciones equitativas y satisfactorias de trabajo y a la protección contra el 
desempleo.
2. Toda persona tiene derecho, sin discriminación alguna, a igual salario por 
trabajo igual.
3. Toda persona que trabaja tiene derecho a una remuneración equitativa y 
satisfactoria, que le asegure, así como a su familia, una existencia conforme 
a la dignidad humana y que será completada, en caso necesario, por 
cualesquiera otros medios de protección social.
4. Toda persona tiene derecho a fundar sindicatos y a sindicarse para la defensa 
de sus intereses.
Artículo 24.-
Toda persona tiene derecho al descanso, al disfrute del tiempo libre, a una 
limitación razonable de la duración del trabajo y a vacaciones periódicas 
pagadas.
Artículo 25.-
1. Toda persona tiene derecho a un nivel de vida adecuado que le asegure, así 
como a su familia, la salud y el bienestar, y en especial la alimentación, el 
vestido, la vivienda, la asistencia médica y los servicios sociales necesarios; 
tiene asimismo derecho a los seguros en caso de desempleo, enfermedad, 
invalidez, viudez, vejez u otros casos de pérdida de sus medios de 
subsistencia por circunstancias independientes de su voluntad.
2. La maternidad y la infancia tienen derecho a cuidados y asistencia especiales. 
Todos los niños, nacidos de matrimonio o fuera de matrimonio, tienen derecho 
a igual protección social.
Artículo 26.-
1. Toda persona tiene derecho a la educación. La educación debe ser gratuita, 
al menos en lo concerniente a la instrucción elemental y fundamental. La 
instrucción elemental será obligatoria. La instrucción técnica y profesional 
habrá de ser generalizada; el acceso a los estudios superiores será igual 
para todos, en función de los méritos respectivos.
2. La educación tendrá por objeto el pleno desarrollo de la personalidad humana 
y el fortalecimiento del respeto a los derechos humanos y a las libertades 
fundamentales; favorecerá la comprensión, la tolerancia y la amistad entre 
todas las naciones y todos los grupos étnicos o religiosos, y promoverá el 
desarrollo de las actividades de las Naciones Unidas para el mantenimiento 
de la paz.
3. Los padres tendrán derecho preferente a escoger el tipo de educación que 
habrá de darse a sus hijos.
Artículo 27.-
1. Toda persona tiene derecho a tomar parte libremente en la vida cultural de 
la	comunidad,	a	gozar	de	las	artes	y	a	participar	en	el	progreso	científico	y	
en	los	beneficios	que	de	él	resulten.
2. Toda persona tiene derecho a la protección de los intereses morales y 
materiales	que	le	correspondan	por	razón	de	las	producciones	científicas,	
literarias o artísticas de que sea autora.
Artículo 28.-
Toda persona tiene derechoa que se establezca un orden social e internacional 
en el que los derechos y libertades proclamados en esta Declaración se hagan 
plenamente efectivos.
Artículo 29.-
1. Toda persona tiene deberes respecto a la comunidad (...).
2. En el ejercicio de sus derechos y en el disfrute de sus libertades, toda persona 
estará solamente sujeta a las limitaciones establecidas por la ley con el único 
fin	de	asegurar	el	reconocimiento	y	el	respeto	de	los	derechos	y	libertades	
de los demás, y de satisfacer las justas exigencias de la moral, del orden 
público y del bienestar general en una sociedad democrática.
3. Estos derechos y libertades no podrán, en ningún caso, ser ejercidos en 
oposición a los propósitos y principios de las Naciones Unidas.
Artículo 30.-
Nada	en	esta	Declaración	podrá	 interpretarse	en	el	sentido	de	que	confiere	
derecho alguno al Estado, a un grupo o a una persona, para emprender y 
desarrollar actividades (...) tendientes a la supresión de cualquiera de los 
derechos y libertades proclamados en esta Declaración.
1
Secundaria
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ÁLGEBRA
Matemática
 Delta
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los principios de la Ley General de Educación.
 Título de la obra 
® MATEMÁTICA DELTA 1, secundaria
 Álgebra
© Derechos de autor reservados y registrados
 MAURO ENRIQUE MATTO MUZANTE
© Derechos de edición, arte y diagramación
 reservados y registrados conforme a ley
 DELTA EDITORES S.A.C.
 EDICIÓN, 2020
 Coordinador de área:
 Mauro Enrique Matto Muzante
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 Ilustración general:
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 Impresión:
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 ISBN N.o 978-612-4354-28-1
 Proyecto Editorial N.o 31501051900810
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 Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú 
 N.o 2019-10442
PROHIBIDA
LA REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL
LEY DE LUCHA CONTRA LA PIRATERÍA LEY 28289
PUBLICADA EL 20 DE JULIO DE 2004
TÍTULO VII
DELITOS CONTRA LOS DERECHOS INTELECTUALES
CAPÍTULO I
DELITOS CONTRA LOS DERECHOS DE AUTOR 
Y CONEXOS
Reproducción, difusión, distribución y circulación de la obra sin la 
autorización del autor. 
 
Artículo 217.o.- Será reprimido con pena privativa de libertad no 
menor de dos ni mayor de seis años y con treinta a noventa días-multa, 
el que con respecto a una obra, una interpretación o ejecución artística, 
un fonograma o una emisión o transmisión de radiodifusión, o una 
grabación audiovisual o una imagen fotográfica expresada en cualquier 
forma, realiza alguno de los siguientes actos sin la autorización previa y 
escrita del autor o titular de los derechos:
a. La modifique total o parcialmente.
b. La distribuya mediante venta, alquiler o préstamo público.
c. La comunique o difunda públicamente por cualquiera de los medios 
o procedimientos reservados al titular del respectivo derecho.
d. La reproduzca, distribuya o comunique en mayor número que el 
autorizado por escrito.
La pena será no menor de cuatro años ni mayor de ocho y con 
sesenta a ciento veinte días-multa, cuando el agente la reproduzca total 
o parcialmente, por cualquier medio o procedimiento y si la distribución 
se realiza mediante venta, alquiler o préstamo al público u otra forma 
de transferencia de la posesión del soporte que contiene la obra o 
producción que supere las dos (2) Unidades Impositivas Tributarias, 
en forma fraccionada, en un solo acto o en diferentes actos de inferior 
importe cada uno.
Apertura
En esta sección 
encontrarás 
temas 
novedosos que 
propiciarán 
sostener 
una relación 
cercana con la 
Matemática.
Se aborda el 
desarrollo del 
tema, donde 
encontrarás las 
definiciones 
organizadas 
siguiendo una 
secuencia 
didáctica.
Marco 
teórico
Conoce tu libro
Tema
93MateMática DELTA 1 - álgebra
7
Ecuaciones lineales
Si el peso del camión es de 975 kg, ¿cuánto pesa su carga?
Ecuación
Es una igualdad entre dos expresiones matemáticas en las que al menos está presente 
una variable (incógnita).
Donde:
x es la variable
Ejemplos:
a) 3x + 2 = x – 1
b) x + 12 – 3 = 5
x + 3
5 – 4 = 2
x + 3
5 – 4 = 2
x + 3
5 = 2 + 4
x + 3 = 5(6)
 x = 30 – 3
 x = 27
Ejemplo:
Dada la ecuación.
 4x + 2 = 10
Si x = 2
 4(2) + 2 = 10
Luego, 2 es solución de la ecuación.
Para resolver una ecuación, aplicamos el método de transposición de términos.
Ejemplos:
a) Resuelve la ecuación.
Resolución:
Observamos que:
Luego, 27 es la solución de la ecuación.
(El 4 pasa sumando)
(El 5 pasa multiplicando)
(El 3 pasa restando)
Solución de una ecuación lineal
Es aquel valor que toma la incógnita de una ecuación y verifica la igualdad.
1500 kg
5x + 3 = x – 2
Primer 
miembro
Segundo 
miembro
Lectura de 
la balanza
El método de 
transposición de 
términos consiste 
en pasar los términos 
de un miembro a 
otro con la operación 
contraria. 
Transposición
+ = –
– = +
× = ÷
÷ = ×
Francisco Vieta
(1540 - 1603)
Fue el primer 
matemático que 
utilizó letras para 
designar las 
incógnitas y las 
constantes de 
las ecuaciones 
algebraicas.
Import a nt e
Not a
Título del tema
Para una mejor 
organización, los temas 
están numerados.
Comentarios 
y/o lecturas 
que 
refuerzan el 
desarrollo 
del tema
95MateMática DELTA 1 - álgebra
 Luego de resolver:
	 •	 a3 – 1 = 4
	 •		2b	+	3	=	7
	 •		2c	–	5	=	c	+	2
	 Indica	el	valor	de:
	 																														M	=	a	+	b	+	c
	 Determina	 el	 triple	 del	 valor	 de	 x	 que	 verifica	 la	
ecuación.
 x	+	3x – 1 = 
5
7
	 Calcula	el	valor	de	x	en	la	ecuación.
		 7	+	2(2x	–	(x	+	1))	=	1	–	2x
	 Luego	halla	M.
	 																										M	=	(x	+	2)2	+	4
	 Encuentra	el	valor	de	x	en	la	ecuación.
 x	+	23 	+	
x	–	2
4 = 
x
2 	+	1
	 Halla	el	valor	de	x	que	verifica	la	ecuación.
	 Resuelve	la	ecuación:
	 3(x	–	2)	+	4(x	+	1)	=	19
	 Luego,	indica	el	valor	de	x	+	2.
Resolución:
• a3 – 1 = 4 ⇒ 	a	=	3(4	+	1)	⇒		a	=	15
•		2b	+	3	=	7		⇒ 	b	=	 7	–	32 ⇒		b	=	2
•		2c	–	5	=	c	+	2		⇒ 	2c	–	c	=	2	+	5		⇒ 	c	=	7
Nos piden:
M	=	a	+	b	+	c	=	15	+	2	+	7	=	24
 Rpta. 24
Resolución:
Tenemos:
 x	+	3x – 1 = 
5
7
															7(x	+	3)		=	5(x	–	1)
																7x	+	21	=	5x	–	5
																7x	–	5x	=	–5	–	21
																								2x	=	–26
 x = –13
Nos	piden	el	triple	de	x,	entonces:
																								3x	=	–39
 Rpta. –39
Resolución:
7	+	2(2x	–	(x	+	1))	=	1	–	2x
			7	+	2(2x	–	x	–	1)	=	1	–	2x
					7	+	4x	–	2x	–	2	=	1	–	2x
									4x	–	2x	+	2x	=	1	+	2	–	7
 4x = –4
 x = –1
Nos	piden:	M	=	(x	+	2)2	+	4
																		M	=	(–1	+	2)2	+	4	=	12	+	4
																		M	=	5
 Rpta. 5
Resolución:
Hallamos el MCM de los denominadores:
x	+	2
3 	+	
x	–	2
4 = 
x
2 	+	
1
1 
																			MCM(3;	4;	2)	=	12
Luego,	 dividimos	 entre	 cada	 denominador	 y	
multiplicamos.
											4(x	+	2)	+	3(x	–	2)	=	6(x)	+	12(1)
																4x	+	8	+	3x	–	6	=	6x	+	12
																				4x	+	3x–	6x	=	12	–	8	+	6
 x = 10
 Rpta. 10
Resolución:
Aplicamos	la	transposición.
Resolución:
3x	–	6	+	4x	+	4	=	19
														7x	–	2	=	19
																										7x	=	19	+	2
																					7x	=	21
 x = 3
Piden:	x	+	2	=	5
 Rpta. 5
 Rpta. 5
3
+	6	=	7
x	+	3
2 – 1
=	7	–	6
x	+	3
2 	–	1	=	3(1)		⇒ 
x	+	3
2 	=	3	+	1
x +	3	=	2(4)	⇒	x	=	8	–	3	=	5
41
2
3
5
6
 – 1x	+	3
2 
3
Ejercicios resueltos
Nombre de la 
sección
Algoritmo de 
resolución 
del problema 
planteado.
Preguntas y/o 
situaciones 
problemáticas 
reales o simuladas, 
planteadas de 
acuerdo al tema.
Ejercicios 
resueltos
Se muestran 
ejercicios que 
están resueltos 
didácticamente, 
los mismos que 
servirán para 
el análisis del 
estudiante.
3MateMática DELTA 1 - álgebra
Síntesis
Contenido del tema, 
que incluye teoremas, 
postulados, fórmulas, 
propiedades, leyes, etc., 
resumido en organizadores 
gráficos para tener un 
panorama general del 
contenido.
Modela y resuelve
Los problemas con 
numeración impar serán 
resueltos por el docente, 
mientras que los pares serán 
resueltos por el estudiante 
siguiendo la secuencia 
realizada por el educador.
83MateMática DELTA 1 - álgebra
15x2y3
–3xy2
16x3y5
–8xy2
a) a)= =
36n5m8
–9n4m5
35n4m7
–7n2m2
d) d)= =
–24a4b6
6ab5
–12a3b7
3ab3
b) b)= =
16x4 – 8x2
4x
24x2 – 18x3
6x
e) e)= =
–18x3y3z2
–6xy3z
–28x2y4z2
–7xy3z2
c) c)= =
24x3y – 15x2y2
3x2y
24x2y2 – 16xy2
4xy2
f) f)= =
28abc4 – 49abc2
7abc
27abc3 – 18abc2
9abc2
g) g)= =
 Efectúa las divisiones. Efectúa las divisiones.1 2
D(x) d(x)
R(x) Q(x)
monomio ÷ monomio
polinomio ÷ monomio
polinomio ÷ polinomio D(x) = d(x) 
. Q(x) + R(x)
Divide:
1.° Los signos
2.° Los coeficientes
3.° Las variables
Divide:
Cada término del polinomio entre el monomio
Algoritmo de la división
Dividendo y divisor 
completos y ordenados
Dividendo
residuo
divisor
cociente
Coeficientes del 
dividendo
repetirsuma por (–a) 
en la siguiente 
columna
opuesto 
de a
Forma:
D(x)
x + a
Esquema:
–a
×
Método de Ruffini
2
1
3 3
Coeficientes del 
dividendo
Resultado 
de (5)
separa 
esquema
Coeficientes 
del divisor
cambian de 
signo
multiplica
repetir 
(4) al (7)
Esquema:
×
÷Divide
Suma
Suma
Método de Horner
4
1
3 8
6
7
2
5
Síntesis
Modela y resuelve 
División de 
polinomios
Nombre de la 
sección
Nombre de la 
sección
Espacio para resolver 
el problema.
Organizador 
visual
Enunciado del 
problema o de la 
situación planteada.
173MateMática DELTA 1 - álgebra
Practica y demuestra
Sea f una función de A en B.1
Tenemos la gráfica de la función g.2
0 2 4 6 8 10 x
2
4
6
8
y
g
Halla los valores de A, B, C y D, si estos son 
enteros.
• g(2) = A • g(B) = 5 • g(C) = 2 • g(10) = D
A A = 6, B = 4, C = 6, D = 5
B A = 4, B = 6, C = 5, D = 8
C A = 6, B = 2, C = 4, D = 5
D A = 6, B = 9, C = 4, D = 6
E A = 4, B = 6, C = 2, D = 8
Dada la función f = {(5 ; 3), (3 ; 7), (5 ; a – 1), (2 ; 5)}.
Encuentra el valor de a.
3
A 2 B 4 C 3
D 6 E 7
Sean las funciones:4
1 •
2 •
3 •
• 1
• 3
• 4
f
2 •
3 •
4 •
• 1
• 2
• 3
g
Calcula el valor de g(f(2)) + f(g(4))
 f(3) + g(3)
M = .
Se define f(x) = 3x – 1.
Determina el valor de R = f(f(1)).
5
Sea h la función con regla de correspondencia: 
 h(x) = ax + 5, y h(x) = ax + 5 y (2 ; 21) un punto que 
pertenece a h, halla el valor de a. 
6
Encuentra el valor de H = g(4) – g(–1), 
si g(x + 3) = x + 9.
7
Dado el conjunto de pares ordenados: 
• f = {(1 ; 2), (2 ; 4), (4 ; 4), (5 ; 6)}
• g = {(2 ; 2), (3 ; 3), (4 ; 4), (5 ; 5)}
• h = {(1 ; 2), (1 ; 5), (2 ; 4), (3 ; 9)} 
¿Cuáles son funciones? 
8
A 2 B 3 C 4
D 1 E 0
A 5 B 6 C 7
D 8 E 4
A 5 B 8 C 6
D 9 E 7
A 2 B 10 C 3
D 5 E 6
A solo f B solo g C f y g
D f y h E todas
Nivel I
Indica el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las 
proposiciones:
a. ( ) Dom f = {1; 3; 5} b. ( ) f(3) = 9
c. ( ) Ran f = {4; 6; 8; 9} d. ( ) f(1) = 6
A VFFV B FFVV 
C VVFF D FVFV 
E FFFV
1 •
3 •
5 •
• 4
• 6
• 8
• 9
A B
Preguntas 
planteadas, 
estas pueden 
ser situaciones 
reales o 
simuladas. Espacio 
para realizar 
anotaciones de 
resolución.
Alternativas
Nombre de la sección
Test
Esta evaluación incluye 
preguntas del contenido de 
los temas desarrollados en 
la unidad y son de elección 
múltiple.
Practica y 
demuestra
En esta sección se 
plantean preguntas que 
han sido organizadas por 
niveles de complejidad 
y de elección múltiple 
en la que el estudiante 
demostrará lo aprendido 
durante la sesión.
Preguntas y/o 
situaciones 
problemáticas reales o 
simuladas, planteadas de 
acuerdo a la unidad.
Número de test
Alternativas
Nombre: n.° de orden: Sección:
133MateMática DELTA 1 - álgebra
A 1 B 2
C 4 D 5
A 34 años B 25 años
C 9 años D 5 años
Indica el valor que verifica la ecuación.
5 Si n es el valor que verifica la ecuación:
(x + 5)2 – (x – 3)2 = 10x + 28
Calcula el valor de M = n + 2.
4 Encuentra el valor de x.
Indica el valor que verifica la igualdad.
4(x – (x – (x – 3))) = x + 3
1
2
3
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
Las edades de Marta y Valeria suman 13 años. 
Si Marta tiene 10 años, ¿cuántos años tendrá 
Valeria en 2 años más?
6
A 2 B 3
C 6 D 5
A S/ 300 B S/ 180
C S/ 150 D S/ 120
En un mes de 31 días, Carlos trabaja 25. Si 
durante los días de trabajo gasta S/ 6 diarios en 
transportes, ¿cuánto gasta en movilizarse por 
razones de trabajo?
Test n.° 3
A 42 B 37 
C 19 D 33 
 
 
x – 3
2 + 2 = 5
A 1 B 3
C 6 D 9 
2x + 1
3 – 3
5
+ 1 = 3
4
5MateMática DELTA 1 - álgebra
1
3
2
4
R
es
ue
lv
e 
pr
ob
le
m
as
 d
e 
re
gu
la
rid
ad
, e
qu
iv
al
en
ci
a 
y 
ca
m
bi
o
Traduce datos 
y condiciones 
a expresiones 
algebraicas y 
gráficas.
Operaciones básicas en 8
Números naturales y operaciones en 
Conjunto de números enteros
Operaciones con números enteros
Potenciación 21
Definición
Propiedades
Radicación 35
Definiciones
Propiedades
Tipos de radicales
Operaciones combinadas
Polinomios 51
Expresiones algebraicas
Término algebraico
Grado de un polinomio
Valor numérico
Adición y sustracción de polinomios
Multiplicación de polinomios 63
Producto de expresiones algebraicas
Productos notables
División de polinomios 77
División entre expresiones algebraicas
Métodos para dividir polinomios: Ruffini y Horner
Ecuaciones lineales 93
Ecuación
Solución de una ecuación lineal
Planteo de ecuaciones lineales 105
Enunciado verbal y algebraico
Planteo de ecuaciones
Sistema de ecuaciones lineales 119
Método de reducción
Método de sustitución
Método de igualación
Otros casos
Planteo y resolución de sistemas lineales 135
Enunciado verbal y algebraico
Planteo de sistemas lineales
Desigualdades e inecuaciones 149
Desigualdad
Inecuación lineal
Sistema de inecuaciones
Planteo de inecuaciones
Funciones 162
Definiciones
Funciones
Representación de una función
Unidad Competencia y capacidades Contenidos pedagógicos Páginas
Comunica su 
comprensión 
sobre las 
relaciones 
algebraicas.
Usa estrategias 
y procedimientos 
para encontrar 
equivalencias y 
reglas generales.
Argumenta 
afirmaciones 
sobre relaciones 
de cambio y 
equivalencia.
Índice
Abu Abdallah Muhammad ibn Mūsā al-Jwārizmī, 
conocido en español como Al-Juarismi, el mismo 
que vivió entre 780 y 850 d. C., aproximadamente; 
fue un matemático, astrónomo y geógrafo árabe. 
Poco se sabe de su lugar de nacimiento y otros 
datos sobre su vida; lo que no está en discusión, es el 
gran aporte que este matemático le dio a la ciencia 
y la influencia que trajo de la cultura árabe e hindú 
al mundo occidental.
Al-Juarismi
y el 
ingreso 
del
al mundo occidental
Su obra principal se tituló «Hisab al-Jabr w’al-Muqabala», que significa «Compendio del cálculo 
por restauración y compensación», contiene un profundoestudio de la resolución de ecuaciones 
que permitió potenciar la forma de resolver problemas. La palabra al-jabr hace referencia a la 
restauración del equilibrio de una ecuación por la trasposición de términos, al pasar sumando a 
uno de los miembros un término que está restando en el otro. El vocablo al-muqābala expresa 
la compensación o reducción de términos del mismo grado que aparecen en los dos miembros 
de una ecuación. Parte de los temas que aborda Al-Juarismi en su obra, es la solución de 
ecuaciones lineales o cuadráticas. En su libro, empieza diciendo: Descubrí que las personas 
requieren tres tipos de números: unidades, raíces y cuadrados; un dato curioso de esta obra es 
que, a diferencia de los textos que manejamos actualmente, Al-Juarizmi no empleaba símbolos 
de ninguna clase, sino solo palabras.
Es bueno saber también que la palabra álgebra deriva del vocablo latinizado al-jabr; algoritmo, 
de algoritmi, título de la obra en latín Algoritmi de numero Indorum del mismo Al-Juarismi que 
significa Algoritmi sobre los números de los indios. La palabra algoritmo es usada frecuentemente 
para describir secuencias detalladas y repetitivas de reglas utilizadas en cálculos matemáticos 
u otros problemas.
Álgebra
6
Con el tiempo, las obras de 
Al-Juarismi se tradujeron al latín. 
Al matemático italiano Fibonacci, 
también conocido como Leonardo 
de Pisa, se le atribuye la divulgación 
de los números indoarábigos en 
Occidente. Supo de ellos en sus 
viajes por los países mediterráneos y 
posteriormente los explicó en su obra 
Liber abaci (Libro del ábaco).
Desempeños
• Establece relaciones entre datos, relaciones de equivalencia o variación entre dos magnitudes. 
Transforma esas relaciones a expresiones algebraicas, a ecuaciones lineales, a desigualdades, a 
funciones lineales, a proporcionalidad directa o a gráficos cartesianos.
• Comprueba si la expresión algebraica o gráfica que planteó, le permitió solucionar el problema, y 
reconoce qué elementos de la expresión representan las condiciones del problema.
• Expresa, con diversas representaciones, su comprensión sobre la solución de una ecuación lineal y 
sobre la solución del conjunto solución de una condición de desigualdad, para interpretar un problema 
según su contexto y estableciendo relaciones entre representaciones.
• Interrelaciona representaciones gráficas, tabulares y algebraicas para expresar el comportamiento 
de la función lineal y sus elementos para interpretar y resolver un problema según su contexto.
• Establece la relación de correspondencia entre la razón de cambio de una función lineal y la constante 
de proporcionalidad para resolver un problema.
• Selecciona y emplea estrategias, como simplificar expresiones algebraicas, solucionar ecuaciones y 
determinar el conjunto de valores que cumplen una desigualdad usando propiedades de la igualdad 
y de las operaciones; y determinar valores que cumplen una relación de proporcionalidad directa e 
inversa entre magnitudes.
• Plantea afirmaciones sobre las propiedades de igualdad, las condiciones para que dos ecuaciones 
sean equivalentes o exista una solución posible y las características y propiedades de las funciones 
lineales. Las justifica con ejemplos y sus conocimientos matemáticos. Reconoce errores en sus 
justificaciones o en las de otros, y las corrige.
Fuentes:
www.bbc.com, www.bbvaopenmind.com, www.tiempo.com
Pasaron varios siglos antes de que el trabajo de Al-Juarismi fuera extensamente conocido. Sin 
embargo, sus métodos y las técnicas matemáticas que se desarrollaron gracias a ellos son vitales 
en la ciencia y la tecnología de hoy, por no mencionar el comercio y la industria.
Algunos atribuyen como padre del Álgebra a Diofanto de Alejandría y otros a Al-Juarismi; 
no obstante, ambos realizaron importantes investigaciones, estudios y tratados que nos han 
ayudado a simplificar el duro proceso que se tenía para resolver expresiones algebraicas.
En su libro Science and Islam (2002), el británico Ehsan Masood escribe lo siguiente: Cuando se 
trata de números y matemática, el legado (de los eruditos medievales de Oriente Medio) es 
enorme e innegable.
7MateMática DELTA 1 - álgebra
8
Tema 1
Operaciones básicas en 
Operaciones con números naturales
Operaciones combinadas
Cuando aparecen operaciones combinadas, es necesario seguir la prioridad de los 
signos de operación en el siguiente orden:
1.º Si en la expresión aparecen signos de colección, deberá operarse primero la parte 
interna.
2.º Se realizan las multiplicaciones y divisiones.
3.º Se realizan las adiciones y sustracciones.
4.º Si en un término aparecen operaciones de multiplicación y división, se evaluará de 
izquierda a derecha para evitar posibles errores.
Adición
Operación básica que consiste en combinar o 
añadir dos o más grupos de objetos.
Ejemplos:
Calcula el valor de C = 5 + 3(20 – 2 × 6 ÷ 3) – 24 ÷ 3.
Ejemplo:
Resolución:
Realizamos en primer lugar las operaciones entre paréntesis:
 C = 5 + 3(20 – 2 × 6 ÷ 3) – 24 ÷ 3 Multiplicamos y dividimos dentro del paréntesis
 C = 5 + 3(20 – 4) – 24 ÷ 3 Restamos dentro del paréntesis
 C = 5 + 3(16) – 24 ÷ 3 Multiplicamos y dividimos
 C = 5 + 48 – 8 Sumamos y restamos
 C = 45
12 + 14 = 26
16 – 12 = 4
24 ÷ 4 = 6
5 × 4 = 20
5 veces 4
En 4 grupos 4 grupos de 6
El conjunto de números naturales ( )
Los números naturales, contados en conjuntos de diez y empleando los símbolos 1; 
2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 y 0 (los números «en base 10»), fueron introducidos en Europa 
por los árabes en el siglo XII. Muchas cosas sobre los números no fueron plenamente 
comprendidas en esos tiempos y no fue hasta el siglo XVI que los símbolos tomaron la 
forma como los conocemos hoy en día.
Al-Juarismi
Siglo IX
Recu e rda
Not a
Signos de colección
( ): paréntesis
[ ]: corchetes
{ }: llaves
Import a nt e
Propiedad
conmutativa
 a + b = b + a
Propiedad
conmutativa
a × b = b × a
adición
multiplicación
Sustracción
Operación matemática que consiste en la 
eliminación de objetos de una colección.
Multiplicación
Operación matemática que consiste en repetir una 
cantidad de objetos tantas veces como se indica.
División
Operación matemática que consiste en que 
teniendo un total de objetos se formen grupos con 
igual cantidad de elementos.
9MateMática DELTA 1 - álgebra
Un nuevo conjunto de números
Operaciones con números enteros
1. Adición y sustracción
 Se juntan las cantidades de signos iguales; y los de signos contrarios se restan 
colocando el signo del que tiene mayor valor absoluto.
Sea a un número natural en la igualdad a + x = 0, observamos que no hay un número 
natural x que al sumarse con a se obtenga cero, así que vamos a inventar un número 
denominándolo «a con gorro» o ˄a, tal que cualquier número natural a tiene una pareja 
˄a con la propiedad:
a + ˄a = 0
 
Como resultado el conjunto de números se extiende a
 
...; 
˄
3; 
˄
2; 
˄
1; 0; 1; 2; 3; ...
 
Queremos que todos los números nuevos se comporten tal como lo hacen los que 
ya conocemos, obedeciendo las mismas propiedades. Entonces, ¿cuál debería ser 
el significado de ˄a? A primera vista, esto parece un sin sentido, pero si observamos 
detenidamente está claro que añadir ˄a objetos debe ser lo mismo que retirar a objetos.
Así, podemos escribir ˄a = –a, donde el signo «menos» significa «retirar» o «sustraer».
Utilizando el signo menos tenemos un nuevo conjunto de números llamados enteros:
 = {...; –2; –1; 0; 1; 2; ...}
2. Multiplicación
 El resultado de multiplicar dos números con signos iguales es positivo y con signos 
contrarios es negativo.
3. División 
 El cociente de dividir dos números con signos iguales es positivo y con signos 
contrarios es negativo.
a) (2)(5) = 10 b) (–3)(–4) = 12
c) (–5)(3) = –15 d) (7)(–2) = –14
a) b) c) d) 82
–9
–3
–15
3
18
–6= 4 = 3 = –5 = –3
a) 4 + 5 + 2 = 11
–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
–5 –2 –3
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
–6 +9–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
–7 +3
–1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
4 5 2
b) –3 –2 –5 = –10
c) –6 + 9 = 3
d) 3 – 7 = –4
Ejemplos:
Ejemplos:
Ejemplos:
En la multiplicación:
(+)(+) = (+)
(–)(–) = (+)
(–)(+) = (–)
(+)(–) = (–)
En la división:
Import a nt e
(+)
(+) =
(+) (–)
(+) =
(–)
(–)
(–) =
(+) (+)
(–) =
(–)
10
Operaciones combinadas con números enteros
Ejemplos:
a) Determina el valor de H.
 H = 2 + 4[6 + 3 + 2 × (–6) ÷ 3]
 Resolución:
 Realizamos las operaciones dentro de los corchetes. 
 H = 2 + 4[6 + 3 + 2 × (–6) ÷ 3 ] Multiplicamos y dividimos de izquierda a derecha
 H = 2 + 4[6 + 3 – 12 ÷ 3] 
 H = 2 + 4[6 + 3 – 4] Sumamos y restamos
 H = 2 + 4[5] 
 Ahora, eliminamos el corchete:
 H = 2 + 4 × 5 Multiplicamos 
 H = 2 + 20 Sumamos
 H = 22
b) Halla el valor de M.
 M = –5 + 3[6 – (–8) ÷ 4 × (–2)] – 12 ÷ (–3)
 Resolución:
 Realizamos las operaciones dentro de los corchetes.
 M = –5 + 3[6 – (–8) ÷ 4 × (–2)] – 12 ÷ (–3) 
 M = –5 + 3[6 – (–2) × (–2)] – 12 ÷ (–3)
 M = –5 + 3[6 – (4) ] – 12 ÷ (–3) 
 M = –5 + 3[2] – 12 ÷ (–3) Multiplicamos y dividimos
 M = –5 + 6 – (–4) Sumamos y restamos
 M = –5 + 6 + 4
 M = 5
c) Calcula el valor de E.
 E = –3 + 2[(–16) ÷ 8 × (–4) + 2(2 × 2 – 3 × 3)] – (4 × 2 – 13)(3 – 5)
 Resolución:
 Evaluamos siguiendo las reglas de operaciones combinadas.
 E = –3 + 2[(–16) ÷ 8 × (–4) + 2(2 × 2 – 3 × 3)] – (4 × 2 – 13)(3 – 5)
 E = –3 + 2[ (–2) × (–4) + 2( 4 – 9 )] – ( 8 – 13)(3 – 5)
 E = –3 + 2[ (8) + 2 (–5) ] – (–5) (–2)
 E = –3 + 2[8 – 10] – (–5)(–2)
 E = –3 + 2[–2] – (–5)(–2)
 E = –3 – 4 – 10
 E = –17
Si:
a + (–a) = 0
 a = –(–a)
Dos signos menos
son o equivalen a un 
signo más.
Obse rva:
11MateMática DELTA 1 - álgebra
 Relaciona cada operación con su resultado. Calcula el valor de G.
 G = (25 ÷ 5) × 2 – (8 ÷ 2) × 3 – 10
 Evalúa E.
 E = 2 + 15 ÷ 3 × 2 + 2(–7)
 Escribe V si la expresión es verdadera o F si es 
falsa.
 Determina el valor de A = 8 ÷ 4 × 2 + 4 – 3.
 Halla el valor de la expresión L.
L = 12 ÷ (6 × 2) + 3(5 – 2)
a) (–3)(–4) • • 9
b) 7 – 3 × 2 • • 8
c) 4 – 12 • • 12
d) 6 ÷ 2 × 3 • • 1
 • –8
a) 4 ÷ 2 × 2 = 1 ( F ) 
 4 ÷ 2 × 2 = 2 × 2 = 4
b) 4 – 3 – 2 = –1 ( V ) 
c) 3 – 2(2 + 1) = 3 ( F ) 
 3 – 2(2 + 1) = 3 – 2(3) = 3 – 6 = –3
d) (–2)(3) = –6 ( V ) 
Realizamos las operaciones:
G = (25 ÷ 5) × 2 – (8 ÷ 2) × 3 – 10
G = (5) × 2 – (4) × 3 – 10
G = 10 – 12 – 10
G = –12
Realizamos las operaciones:
E = 2 + 15 ÷ 3 × 2 + 2(–7)
E = 2 + 5 × 2 – 14
E = 2 + 10 – 14
E = –2
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Realizamos las operaciones de izquierda a derecha.
A = 8 ÷ 4 × 2 + 4 – 3
A = 2 × 2 + 4 – 3
A = 4 + 4 – 3
A = 8 – 3
A = 5
Realizamos las operaciones en los paréntesis.
L = 12 ÷ (6 × 2) + 3(5 – 2)
L = 12 ÷ (12) + 3(3)
L = 1 + 9
L = 10
1
2
3
4
5
6
Rpta. 5
Rpta. –2
Rpta. –4
Rpta. –12
Rpta. 10
 Encuentra el valor de E.
 E = 5 – 3(4 ÷ 2 + 3 × 2 – 5)
 Determina el valor de M.
 M = 8 – 5(6 ÷ 2 + 3 × 4 + 7 – 12)
Realizamos las operaciones dentro del corchete.
E = 5 – 3(4 ÷ 2 + 3 × 2 – 5)
E = 5 – 3(2 + 6 – 5)
E = 5 – 3(3)
E = 5 – 9 
E = –4 
Realizamos las operaciones dentro del corchete.
M = 8 – 5(3 + 12 + 7 – 12)
M = 8 – 5(10)
M = 8 – 50
M = –42
Resolución:
Resolución:
7
8
Ejercicios resueltos
Rpta. –42
12
 Halla el valor de R.
 R = 5 – 2[7 × 2 – 4(5 × 5 – 20 ÷ 5 – 3 × 6) – 4]
B = 4 + 5(1) + 4 + 5(1)
B = 18
C = 4(1) + 3(2) + 1 + 2 + 1
C = 14
Nos piden:
A + B + C = 14 + 18 + 14
A + B + C = 46
4
4
1
1 11
11
1
1
1
1
1
1
1
1 1 2
2
2
12
 Determina el valor de B.
 B = 18 ÷ 6 × 2 + 8 × 2 ÷ 4 + 2(5 × 3 – 5 × 2) – 7
9
10
 Reduce la expresión.
A = 12 – 2{3 + 2[5 – 3(4 ÷ 4 × 2 – 3)] – 4[3× 4 – (2 × 2 + 3)]}
Resolución:
A = 12 – 2{3 + 2[5 – 3(1 × 2 – 3)] – 4[3 × 4 – (4 + 3)]}
A = 12 – 2{3 + 2[5 – 3(2 – 3)] – 4[3 × 4 – (7)]}
A = 12 – 2{3 + 2[5 – 3(–1)] – 4[12 – 7]}
A = 12 – 2{3 + 2[5 + 3] – 4[5]}
A = 12 – 2{3 + 2[8] – 4[5]}
A = 12 – 2{3 + 16 – 20}
A = 12 – 2{–1}
A = 12 + 2
A = 14
11
B = 18 ÷ 6 × 2 + 8 × 2 ÷ 4 + 2(5 × 3 – 5 × 2) – 7
B = 3 × 2 + 16 ÷ 4 + 2(15 – 10) – 7
B = 6 + 4 + 2(5) – 7
B = 6 + 4 + 10 – 7
B = 20 – 7
B = 13
Efectuamos las operaciones en paréntesis y 
corchetes.
R = 5 – 2[7 × 2 – 4(5 × 5 – 20 ÷ 5 – 3 × 6) – 4]
R = 5 – 2[7 × 2 – 4(25 – 4 – 18) – 4]
R = 5 – 2[7 × 2 – 4(3) – 4]
Ahora reducimos el corchete:
R = 5 – 2[14 – 12 – 4]
R = 5 – 2[–2]
R = 5 + 4 = 9
Resolución:
Resolución:
 Calcula la suma de perímetros de las figuras. 
(Perímetro: medida del contorno de una figura).
Resolución:
Hallamos el perímetro de cada figura.
A = 3 + 2 + 2 + 2 + 1 + 4
A = 14
2
2
2
4
1
3
12
1u
A CB
Rpta. 13
Rpta. 9
Rpta. 14 Rpta. 46
13MateMática DELTA 1 - álgebra
 Calcula el valor de M.
 M = 2 – 4 – 9 ÷ 3
 Resolución:
 
 Calcula el valor de N. 
N = 3 – 5 – 6 ÷ 3
 
 Resolución:
 Halla el valor de A.
A = 18 ÷ 3 + 4 – 3
 
 Resolución:
Números enteros 
Efectuamos
formado por
{...; –2; –1; 0; 1; 2;...}
Operaciones
Adición/Sustracción Multiplicación División
De dos números 
con signos:
• Iguales es 
positivo.
 (+)(+) = (+)
 (–)(–) = (+)
• Contrarios es 
negativo.
 (–)(+) = (–)
 (+)(–) = (–)
De dos números con 
signos:
• Iguales es positivo.
 
(+)
(+) = (+); 
(–)
(–) = (+)
• Contrarios es negativo.
 
(–)
(+) = (–); 
(+)
(–) = (–)
Operaciones combinadas
Se aplica la regla:
1.º ( ); [ ]; { } Signos de colección
2.º ×; ÷ Multiplicamos y dividimos
 de izquierda a derecha
3.º +; – Finalmente, sumamos y 
 restamos
1 2
3 4 Halla el valor de B.
B = 18 ÷ 2 + 5 – 4
 
 Resolución:
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Modela y resuelve 
Síntesis
• Iguales se juntan.
• Contrarios se 
restan colocando 
el signo del que 
tiene mayor valor 
absoluto.
Cantidades de 
signos:
14
Determina el valor de R.
R = 5 – 3[4 × 3 ÷ 6 – 1]
 Resolución:
 Encuentra el valor de P. 
P = 8 × 3 ÷ 6 – 9 ÷ 3
 Resolución:
 Calcula el valor de E.
E = 3 + 2[16 ÷ 4 – 6 ÷ 3]
 Resolución:
5 6
7 8
9 10
11 12
 Encuentra el valor de Q.
Q = 6 × 4 ÷ 8 – 4 ÷ 2
 Resolución:
 Determina el valor de P.
P = 6 – 2[6 × 2 ÷ 4 – 2]
 Resolución:
 Calcula el valor de F.
F = 7 + 2[15 ÷ 3 – 6 ÷ 2]
 Resolución:
 Halla el valor de M.
M = 15 ÷ 5 × 3 + 2(5 – 3)
 Resolución:
 Halla el valor de N.
N = 12 ÷ 4 × 3 + 3(4 – 2)
 Resolución:
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
15MateMática DELTA 1 - álgebra
 Halla el valor de E.
E = 42 ÷ 7 × 2 + 8 × 3 ÷ 4 – 2(5 × 4 – 4 × 3) + 7
 Resolución:
 Encuentra el valor de A. 
A = 24 ÷ 6 × 4 – 24 ÷ (6 × 4) + 5
 Resolución:
 Calcula el valor de M.
 M = 3 – 2[16 ÷ 4 – 2(4 × 2 × 6 ÷ (3 + 5))]
 Resolución:
13 14
15 16
17 18
19 20
 Encuentra el valor de B. 
B = 28 ÷ 7 × 2 – 28 ÷ (7 × 2) + 3
 Resolución:
 Determina el valor de S. 
S = 7 – 3[12 ÷ 4 – 5 × 2 + 1]
 Resolución:
 Determina el valor de R. 
R = 8 – 2[15 ÷ 5 – 6 × 3 + 2]
 Resolución:
 Calcula el valor de A.
 A = 5 – 2[18 ÷ 6 – 2(6 × 2 × 3 ÷ (4 + 5))]
 Resolución:
 Halla el valor de T.
 T= 36 ÷ 9 × 2 + 6 × 3 ÷ 9 – 3(7 × 3 – 7 × 2) + 5
 Resolución:
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. Rpta. 
16
 Encuentra el valor de M.
 M = [8 ÷ 2 × 4 – 2(2 – 5)][8 × 2 ÷ 4 – 2(3 – 5)]
 Resolución:
 Calcula el valor de L.
 L = 2 – 5[(–15) ÷ 5 × (–3) – 2(6 – 8)] – (12 – 4 × 5)(1 – 6)
 Resolución:
21
25 26
22
23 24
 Encuentra el valor de A.
 A = [12 ÷ 3 × 2 – 3(3 – 5)][9 × 2 ÷ 6 – 4(2 –3)]
 Resolución:
 Determina el valor de T.
 T = 2 – 5[(–16) ÷ 8 – 2(3 × (–2) × 6 ÷ (1 – 7))]
 Resolución:
 Determina el valor de R.
 R = 1 – 3[(–8) ÷ 4 – 2(2 ×(–4) × 3 ÷ (1 – 4))]
 Resolución:
 Calcula el valor de R.
 R = 1 – 3[(–18) ÷ 6 ×(–3) –3 (5 – 8)]–(15 – 4 × 3)(2 – 5)
 Resolución:
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
17MateMática DELTA 1 - álgebra
 Teniendo en cuenta queel perímetro es la 
medida del contorno de una figura. Responde las 
preguntas, respecto a las figuras:
 a) ¿Qué figura tiene mayor perímetro?
 b) ¿Cuánto suman los perímetros?
 c) Si las figuras representan terrenos y tenemos 
64 m de cerca, ¿cuántos metros de cerca 
sobraría o faltaría para cercar ambos?
 Resolución:
 
 Teniendo en cuenta que el perímetro es la 
medida del contorno de una figura. Responde las 
preguntas, respecto a las figuras:
 
 a) ¿Qué figura tiene mayor perímetro?
 b) ¿Cuánto suman los perímetros?
 c) Si las figuras representan terrenos y tenemos 
80 m de cerca, ¿cuántos metros de cerca 
sobraría o faltaría para cercar ambos?
 Resolución:
 
 
Fig. C
1 m
Fig. B
1 m
27 28
Fig. A
1 m
Fig. D
1 m
Rpta. Rpta. 
18
Encuentra el valor de E.
E = 6 × 4 ÷ 2 – 9 ÷ 3
Determina el valor de A.
A = 8 ÷ 4 + 3 – 2
Practica y demuestra
Relaciona.
1. –2 + 6 a. 6
2. (–3) × (2) b. –4
3. (–24) ÷ (–4) c. 8
4. 7 – 11 d. –6
 e. 4
A 1a; 2b; 3c; 4e
B 1e; 2d; 3a; 4b
C 1b; 2a; 3d; 4e
D 1c; 2e; 3a; 4d
E 1d; 2a; 3b; 4e
Encuentra los valores de A y B.
 A = –9 + 3 
 B = –3 + 9 
Luego, indica la relación correcta.
A A es mayor que B. 
B A es menor que B. 
C A es igual a B. 
D No se puede determinar.
E No use esta opción.
Halla el valor de M.
M = 4 – 3 + 6 ÷ 3
3
2
1
Nivel I 5
6
7
8
Halla el valor de M.
M = (–15) ÷ 3 + (–2) × (–4)
Calcula el valor de H.
H = 12 ÷ 4 ×(–3) + 12 ÷ [4 × (–3)]
A –18 B –9 C –10
D –8 E –4
A 2 B 5 C 1
D 3 E 4
A 8 B 10 C 6
D 12 E 9
4 Calcula el valor de N.
N = 7 – 11 + 2(18 ÷ 6)
A 2 B 3 C 4
D 5 E 6
A 2 B 4 C 6
D 3 E 5
A 2 B 3 C 4
D 5 E 1
19MateMática DELTA 1 - álgebra
9
10
11
12
Determina el valor de Q. 
Q = 3 – 4[6 + 8 ÷ 4 × (–2)] + 2
 
 
A –3 B 2 C 1
D –1 E –4
A 9 B –21 C 21
D –30 E –19
 A 8 B –10 C –6
D –12 E –18
13
Determina el valor de A.
A = 19 – 5 × 2 + 4 – 7 + 6 ÷ 2 + 8 – 5 × 2 + 18 ÷ 2
A 7 B 8 C 16
D 10 E 11
Encuentra el valor de L.
L = 4 – 3[2 × 4 – 5(4 × 4 –18 ÷ 6 – 5 × 2) + 3]
14
15
16
A 25 B 16 C 18
D 20 E 22
Halla el valor de M.
M = 5 – 3[12 ÷ 3 – 4(3 × 2 × 5 ÷ (2 + 4))]
A 49 B 43 C 39
D 53 E 62
 
17 Calcula el valor de T.
T = 42 ÷ 7 × 2 + 12 × 4 ÷ 6 – 2(5 × 3 – 5 × 2) + 1
A 11 B 15 C 13
D 12 E 14
Nivel II
Encuentra el valor de A.
A = (15 ÷ 5) . 3 – (12 ÷ 2) . 3 – 12
Indica el valor de R.
R = 3 – 5[2 – 3(7 – 9) – 5]
A 12 B 14 C 16
D 11 E 15
Halla el valor de A.
A = 32 ÷ 8 × 2 – 32 ÷ (8 × 2) + 5
A 34 B 2 C 36
D 39 E 31
Calcula el valor de S.
S = 19 – 5[48 ÷ 8 – 7 × 2 + 5]
20
Indica la verdad (V) o falsedad (F) de las 
proposiciones.
( ) Estos países en total fabricaron 70 millones 
de autos.
( ) El primero fabricó 20 millones más que el 
último.
( ) Los seis últimos fabricaron tanto como el 
primero.
( ) El segundo fabricó tanto como los cuatro 
últimos.
A VVVV B FFVV C FVFV
D VFVF E FVVV
 Miguel tiene un dispositivo de almacenamiento 
de 16 000 Mb (megabytes); si se sabe que una 
canción ocupa 4 Mb (4 megabytes) y un episodio 
de su anime favorito en HD ocupa 1200 Mb, 
entonces:
 • Puede almacenar ______ canciones en el 
dispositivo.
 • Si ya tiene almacenado 8 episodios de su 
anime favorito, entonces puede almacenar 
________ canciones.
 • Si quiere almacenar 400 canciones y 15 
episodios de su anime favorito, le faltaría 
________ Mb.
 A 2000; 1000; 1600
 B 4000; 3200; 600
 C 2000; 800; 2000
 D 4000; 1600; 3600
 E 8000; 1200; 1600
Teniendo en cuenta que el perímetro es la 
medida del contorno de una figura. Responde las 
preguntas, respecto a la figura: 
* La figura tiene _____ m de perímetro.
* Si la figura representa los límites de un terreno 
y tenemos 90 m de cerca, _______________ 
_____ m para cercar el terreno.
A 50; sobraría; 10
B 120; faltaría; 40
C 60; sobraría; 30
D 100; faltaría; 10
E 70; sobraría; 20
18
19
20
A 232 B 264 C 258
D 246 E 272
Encuentra el valor de E = V + A, si:
V = 3 + 5(1 + 3) + 42 ÷ 7 × 2
A = 3 – 5(1 – 3) – 42 ÷ 7 × 2
A 34 B 36 C 38
D 40 E 42
 1.º China: 22 millones
 2.º EE. UU.: 11 millones
 3.º Japón: 10 millones
 4.º Alemania: 6 millones
 5.º Corea del Sur: 
5 millones
 6.º India: 4 millones
 7.º Brasil: 4 millones
 8.º México: 3 millones
 9.º Tailandia: 2 millones
10.º Canadá: 2 millones
Halla el valor de A = L + C, si:
L = 10 – 2[18 ÷ 9 × 2 – 3(4 × 4 – 3 × 3)]–(6 × 4 – 18)(3 – 5)
C = 10 – 2[18 ÷ (9 × 2) – 3 × 4 × 4 + 3 × 3]+(4 × 6 – 18)(3 – 5)
21
22
2 m
Determina el valor de M.
M = [12 ÷ 2 × 3 – 3(1 – 6)][10 × 2 ÷ 5 – 2(1 – 3)]
23
Nivel III
El año pasado los diez países que más autos 
fabricaron en el mundo fueron:
A 154 B 148 C 130
D 135 E 162
Tema
21MateMática DELTA 1 - álgebra
Ejemplos:
a) 24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 
b) 33 = 3 × 3 × 3 = 27
c) (–3)2 = (–3)(–3) = 9
d) (–2)5 = (–2)(–2)(–2)(–2)(–2) = –32
e) (–1)9 = (–1)(–1)(–1)(–1)(–1)(–1)(–1)(–1)(–1) = –1
f) –34 = –(3 × 3 × 3 × 3) = –81 
g) –42 = –(4 × 4) = –16
h) –53 = –(5 × 5 × 5) = –125
Definiciones
Exponente cero 
b0 = 1b0 = 1 ; si b ≠ 0
Ejemplos:
a) 60 = 1 b) (–2)0 = 1
c) (5 × 3)0 = 1 d) (73)0 = 1
Exponente uno 
b0 = 1b1 = b 
Ejemplos:
a) 21 = 2 b) 151 = 15
4 factores
 exponente
 bn = p
base potenciaDonde
n ∈ +
bn = b × b × b ×... × b
 n factores
Es la operación que permite encontrar la cantidad llamada potencia (p). Consiste en 
multiplicar una cantidad llamada base (b) las veces que indique otra cantidad llamada 
exponente (n).
Es decir:
Recu e rda
Ley de signos
(+)par = (+)
(–)par = (+)
(+)impar = (+)
(–)impar = (–)
∈ : pertenece
+: enteros positivos
Import a nt e
Se le e
Potenciación
Obse rva qu e
 (–3)2 ≠ –32
 (–3)(–3) –(3 . 3)
 9 –9
10 000 = 104
2000 = 2 × 1000
2000 = 2 × 103
número 
de ceros
2
22
Exponente negativo
 ; si b ≠ 0
Ejemplos:
a) 2–3 = 
1
23 = 
1
2 × 2 × 2 = 
1
8
b) (6)–2 = 
1
63 = 
1
6 × 6 = 
1
36
c) (–3)–2 = 
1
(–3)2 = 
1
(–3)(–3) = 
1
9 
d) –4–2 = 
–1
42 = 
–1
2 × 2 = 
–1
16 = 
1
16 
Exponentes sucesivos
bm = bm = b r
n p q
Import a nt e
1
b–n = b
n
Propiedades
Multiplicación de bases iguales
Ejemplos:
a) 23 × 22 = 23 + 2 = 25
b) 52 × 53 × 5 = 52 + 3 + 1 = 56
c) 32 × 3–1 = 32 + (–1) = 32 – 1 = 31
d) 6–2 × 63 × 6 = 6–2 + 3 + 1 = 62
bn . bm = bn + m
Recu e rda
a1 = a
a0 = 1
1
0
 = No definido
(bm)n ≠ bmn
Ejemplos:
0
5
3
0
0
1
a) 52 = 52 = 51 = 5
b) 92 = 92 = 9 2 = 9 × 9 = 81
Nota: (03 = 0)
b–n = 
1
b
n
 = 
1
bn
23MateMática DELTA 1 - álgebra
Obse rva
b
b
b
n
m
n m
−
+=
24 × 34 = (2 × 3)4 = 64
1n = 1; n ∈ +
División de bases iguales
 ; siendo b ≠ 0
Ejemplos:
a) 
3
3
3
7
3
7 – 3 4= 3= b) 
12
12
12= = 12
51
49
51 49 2−
c) 7
7
7
5
3
5 3 2= 7=− d) 
8
8
8
6
2
6 6 22 8
−
− −( ) + =8 8= =
Potencia de una multiplicación
 
(ab)n = an . bn
Ejemplos:
a) (2 × 5)3 = 23 × 53
b) (3 × 4 × 5)6 = 36 × 46 × 56
c) (2 × 7 × 9)4 = 24 × 74 × 94
Potencia de un cociente
 
Ejemplos:
a) b) 
 
c) d) 
Potencia de potencia
Ejemplos:
a) (23)4 = 23 × 4 = 212 b) (52)5 = 52 × 5 = 510
c) (310)2 = 310 × 2 = 320 d) ((73)2)5 = 73 × 2 × 5 = 730 
; siendo b ≠ 0
(bn)m = (bm)n
103
53
3
= = 23
10
5
a
b
a
b
n n
n
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
3
5
3
5
2 2
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
10
9
10
9
5 5
5
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
5
7
5
7
3 3
3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
1
6
1
6
4
4
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
b
b
b
n
m
n = m−
b bn
m n m( ) = .
24
 Indica la suma de todos los valores que faltan.
 • 3 .34 = 37
 
 • = 54
 • ( 4 )–2 = 44
 • (33 . 5 ) = 36 . 58
 
 Resolución:
 • 3 . 34 = 33 + 4 = 37
 • = 53 – (–1) = 53 + 1 = 54
 • ( 4 )–2 = 4(–2)(–2) = 44
 • (33 . 5 ) = (33)2 . (5 ) 2 = 36 . 58
 Piden: 3 + 3 – 2+ 4 + 2 = 10
5
5
51
4
−
=
3
–2
24
1
2 Calcula el valor de A.
A = 22 . 2–3 . 25
 Resolución:
 Tenemos:
 A = 22 . 2–3 . 25
 A = 22 – 3 + 5
 A = 24
 A = 2 . 2 . 2 . 2
 A = 16
3 Determina el valor de L.
 
 Resolución:
 Reducimos.
 Multiplicación de bases iguales
 
 L == 7
7
7
7
3 + 2
7 + 1
+ 5 10
8
División de bases iguales
 L = 710 – 8 = 72
 L = 7 . 7 = 49
Rpta. 49
4 Halla el valor de G.
G = ( )15
25
3
 
 Resolución:
 Tenemos:
 Potencia de una multiplicación
 División de bases iguales
 
 G = 33. 53 – 2
 G = 33. 51
 G = 3 . 3 . 3 . 5
 G = 135
Rpta. 135Rpta. 16
Rpta. 10
5
5
51
4
−
=
3
Ejercicios resueltos
4
( )
= =G 15
25
3 . 5
5 . 5
G = 3
3 . 53
52
L = 
L = 
73 . 72 . 75
73 . 72 . 75
77 . 7
77 . 71
25MateMática DELTA 1 - álgebra
 Calcula el valor de B.
5 Encuentra el valor de E.
 E = 74 . 
2
7
3
 Resolución:
 Tenemos:
 E = 74 . 
2
7
3
 Potencia de un cociente
 E = 74 . 
2
7
3
 División de bases iguales
 E = 74 – 3 . 23
 E = 7 . 23
 E = 7 . 2 . 2 . 2
 E = 56
6
9 Encuentra el valor de .
 
 Resolución:
 Tenemos esta posibilidad (no es la única):
10 Calcula el valor de N.
 N = 210 – 10 . 322 – 18 . 58 – 8 . 712 – 12
 N = 20 . 34 . 50 . 70 = 1 . 3 . 3 . 3 . 3 . 1 . 1 = 81
8 Halla el valor de A.
 A = 13
–2
 + 19
–1
 + 7
2–1
 Resolución:
 Tenemos:
 A = 
3
1
2
 + 91
1
 + 7
1
2
 A = [32 + 9 + 7]
1
2
 A = [9 + 9 + 7]
1
2
 A = [25]
1
2 = 5
2 . 12 = 51 = 5
7 Determina el valor de R.
R =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
− −1
4
2 1
 Resolución:
 Tenemos:
 R =
− −
R 1
4
 2 1
2
1
 
( )= = =
−
R 1
4
4 2
1
2
1
2 2
1
2
R = 22
 .
 = 21 = 2
1
2
B =
(23 . 52)
2
(2 . 5)4
B =
(23 . 52)
2
(2 . 5)4
B =
26 . 54
24 . 54
B = 26 – 4 . 1 
B = 22 . 1
B = 2 . 2 = 4
Rpta. 4
Rpta. 2
Rpta. 56
Rpta. 5
Rpta. 8
Rpta. 81
Potencia de una multiplicación
División de bases iguales
Resolución:
Tenemos:
H = 12 6
36
3
2
.
 H = 27 – 4 . 34 – 4 = 23 . 30
 H = 2 . 2 . 2 . 1 = 8 
H = = 
26 . 33 . 21 . 31 26 + 1 . 33 + 1
24 . 34 24 . 34
H = = 
(12)3 . (6) (23 . 3)3 . 2 . 3
(36)2 (22 . 32)2
N = 
(6)10 . (25)4 . (21)12
(14)4 . (35)8 . (54)6
N = 
(2 . 3)10 . (52)4 . (3 . 7)12
(2 . 7)4 . (5 . 7)8 . (2 . 33)6
N = 
210 . 310 . 58 . 312 . 712
24 . 74 . 58 . 78 . 26 . 318
N = 
210 . 310 + 12 . 58 . 712
24 + 6 . 74 + 8 . 58 . 318
N = 
610 . 254 . 2112
144 . 358 . 546
 Resolución:
 Tenemos:
= 
210 . 322 . 58 . 712
210 . 712 . 58 . 318
26
 Se tienen los datos de los animales más grandes 
del mar, tierra y aire:
 
Peso
 (kg)
Largo / alto
ballena azul
elefante africano
cóndor andino
180 000
 4500
 15
30 (largo)
 3 (alto)
12 . 10–1 (cuerpo)
 • El peso de una ballena azul equivale al peso de 
A elefantes africanos.
 • El peso de un elefante africano equivale al peso 
de B cóndores andinos.
 • Si el peso promedio de una persona es 60 kg, 
el peso de C personas equivalen al peso de 
una ballena azul.
 Encuentra los valores de A, B y C.
14
12 Reduce.
 J = 
22 22(22)2
2 2
(22)2(2–2)(22)(–2)
2
(2–2)–4
1
2
 Resolución:
 Tenemos:
 J = 
22 22(22)2
2 2
(22)2(2–2)(22)(–2)
2
(2–2)–4
1
2
 J = 
22 22 . 24
2 2
24 . 2–2 . (22)4 . 28
1
2
 J = 
22 26
2 2
24 . 2–2 . 28 . 28
1
2
 J = 
22 . 212
2
24 – 2 + 8 + 8
1
2
 J = 
22 + 12
2
218
1
2
 J = 
214
2
218
1
2
 ⇒
 
J = 
228
218
1
2
 J = [228 – 18]
1
2
 
 J = [210]
1
2
 
= 210 . 
1
2
 
= 25
 J = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32
13 Halla el perímetro de la figura, sabiendo que el 
perímetro es la medida del contorno de una figura.
 Resolución:
 Nos piden:
 P = 12 . 2–1 + 60 . 6–1 + 36 . 4 –1 + 108 . 3–2 + 105 . 5–1+ 
1
5
–1
 P = 
12
21
 + 
60
61
 + 
36
4
 + 
108
31
 + 
105
51
 + 
5
1
–1
 P = 6 + 10 + 9 + 12 + 21 + 5
 P = 63
 Resolución:
 Nos piden:
 A = 
180 000
4500
 = 
2 . 9 . 104
5 . 9 . 102
 = 
2 . 91 – 1 . 104 – 2
5
 
 A = 
2 . 1 . 100
5
 = 
200
5
 = 40
 B = 
4500
15
 = 
3 . 15 . 100
5
 = 300
 C = 
180 000
60
 = 
18 . 104
6 . 101
 = 3 . 103 = 3000
60 . 6–1 u
105 . 5–1 u
12 . 2–1 u
108 . 3–2 u
36 . 4–1 u
11 Determina el valor de M.
 M = 
[(300 000)2 . 1000–1]3
270 000 000 000
 Resolución:
 Tenemos:
M = 
(3 . 105)2 . (103)–1
 3
27 . 1010
M = 
32 . 1010 . 10–3
 3
33 . 1010
M = 
36 . 1030 . 10–9
33 . 1010
M = 36 – 3 . 1030 – 9 – 10
M = 33 . 1011
M = 27 . 1011
Rpta. 27 . 1011 Rpta. 63 u
Rpta. 40; 300; 3000Rpta. 32
1
5
–1
 u 
27MateMática DELTA 1 - álgebra
 Escribe verdadero (V) o falso (F) según 
corresponda.
 a) –32 = 9 ( ) 
 b) 2 . 23 = 43 ( )
 c) (–2)2 = 22 ( ) 
 d) (32)3 = 36 ( )
3 4
2 Escribe verdadero (V) o falso (F) según 
corresponda.
 a) –24 = –16 ( ) 
 b) 3 . 23 = 63 ( )
 c) (–3)2 = –32 ( ) 
 d) (43)2 = 49 ( )
 Calcula el valor de M.
 M = 54 . 5–3 . 5
 Resolución:
 Calcula el valor de I. 
 I = 75 . 7–4 . 7
 Resolución:
Rpta. Rpta. 
Exponente Propiedades
Entero positivo
Cero
Uno
Entero negativo
b0 = 1; b ≠ 0
bn = b × b × b × b × ... × b
b–n = " b ≠ 0
1
bn
n factores
b1 = b
bn . bm = bn + mMultiplicación de bases iguales
División de bases iguales
(ab)n = an . bn
a
b( (
a
b
n n
n=
(bn)m = bn . m
Potencia de una multiplicación
Potencia de una división
Potencia de potencia
Potenciación
bn
bm
= bn – m
Síntesis
1
Modela y resuelve 
28
Reduce la expresión S.
Resolución:
 Halla el equivalente de E.
E = (5–2)–1 . (52)3 . 5–7
 Resolución:
 Determina el valor de G. 
 Resolución:
9 10
11 12
5 6
7 8
 Determina el valor de U.
 Resolución:
 Halla el equivalente de L.
L = (3–3)–2 . (32)4 . 3–10
 Resolución:
G = 10
3 . 10–5 . 107
104
S =23 . (22)
4. 2
25 . (22)3
56 . (52)3. 5
55 . (52)4
Reduce la expresión F.
Encuentra el valor de P.
P = (5–3)2 . 54 . (5–1)–3
Resolución:
Encuentra el valor de I.
I = (4–2)4 . 44 . (4–2)–3
Resolución:
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
F =
Resolución:
U = 8
3 . 8–6 . 87
83
29MateMática DELTA 1 - álgebra
 Calcula el valor de N.
 N = (23)2 + 232
 Resolución:
13
17 18
19 20
14
15 16
 Calcula el valor de O.
 O = 232 – (23)2
 Resolución:
 Determina el valor de Z.
Z =
− −1
27
3 1
 Resolución:
 Determina el valor de A.
A =
− −1
81
4 1
 Resolución:
 Reduce la expresión.
C = −
−
3 2
3
1
6
3
 Resolución:
 Reduce la expresión.
R = −
−
4 2
5
1
10
2
 Resolución:
 Halla el valor de I.
 Resolución:
 Halla el valor de J.
 
 
 Resolución:
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
I = + +2 2 22 2 2
2 1 0
I = + +3 3 32 2 2
2 1 0
30
 Encuentra el valor de T.
T = + + ⎥
− −1
3
1
5
1
2 1 2
 Resolución:
 Efectúa y determina el valor de M.
M = N = + +
− − −
− −
1
2
1
3
1
4
1
2
1
3
1
4
1 1 −1
 Resolución:
21 22
23 24
25 26
 Encuentra el valor de E.
E = + +
− −1
4
1
7
2
2 1 2
 Resolución:
 Calcula el valor de H.
 Resolución:
 Calcula el valor de A.
 Resolución:
 Efectúa y determina el valor de N.
− −1 1
N = + +
− − −
⎞
1
3
1
4
1
5
1
2
1
3
1
2
⎟
1
 Resolución:
A = 
156 . 124 . 510 . 63
1011 . 313 . 54
H = 
154 . 149 . 303
216 . 353 . 803
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
31MateMática DELTA 1 - álgebra
27 28
 Responde:
 a) ¿Cuántas veces la distancia de la Tierra al 
Sol equivalen a la distancia de la Tierra a la 
estrella Alfa Centauro?
 b) ¿Cuántos viajes de ida y vuelta de la Tierra al 
Sol equivalen a la distancia de la Tierra a la 
estrella Wolf359?
 c) Si una nave espacial puede viajar 
300 000 000 km en un año, ¿en cuántos años 
llegaría a la estrella Barnard?
 Resolución:
29 Responde:
 a) ¿Cuántas veces la distancia de la Tierra al Sol 
equivalen a la distancia de la Tierra a la estrella 
Wolf359? 
 b) ¿Cuántos viajes de ida y vuelta de la Tierra al 
Sol equivalen ala distancia de la Tierra a la 
estrella Barnard? 
 c) Si una nave espacial puede viajar 
300 000 000 km en un año, ¿en cuántos años 
llegaría a la estrella Alfa Centauro?
 Resolución:
30
 Halla el valor de L.
L = N = 
 Resolución: Resolución:
(200 0002 . 3003)2 (700 0002 . 2003)2
6 000 0004 140 000 0004
Tu profesor de álgebra ha calculado las distancias aproximadas a las estrellas más cercanas.
• De la Tierra al Sol: 150 000 000 km
• De la Tierra a Alfa Centauro: 45 000 000 000 000 km
• De la Tierra a Barnard: 60 000 000 000 000 km
• De la Tierra a Wolf359: 75 000 000 000 000 km
30 000 = 3 . 10 000 = 3 . 10 4
Número de ceros
Recu e rda
 Halla el valor de N.
Rpta. 
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
32
Practica y demuestra
Completa.
1. 3
3
3
2
1− =
 2. (22 . 3) = 24 . 3
 
3. 
 
Luego, halla el valor de M = a + b + c + d.
Encuentra el valor de N.
a
d
b c
1
4
5
6
7
8
2
3
1
3C =
− −
5
6 1
A 3 B 81 C 1
D 9 E 27
A 8 B 10 C 9
D 11 E 12
A 81 B 3 C 9
D 27 E 1
A 25 B 50 C 10
D 5 E 1
Halla el valor de C.
A 3 B 15 C 25
D 5 E 9
A 5 B 25 C 1
D 10 E 15
Simplifica T.
Calcula el valor de N.
N = 
1
2
–3
 + 
1
2
–2
 + 1
A 20 B 15 C 25
D 18 E 16
A 234 B 250 C 244
D 260 E 255
T = 2
4 . 217 . 231
2–13 . 2–5 . 210
Nivel I
23 . 25 . 2
= 2
24 . 22
52 . 53 . 5
I =
5–1 . 56
N = (3
2 · 53)
2 · 34
(3 . 5)6
B
factores
=
3 . 3 . 3 . ... . 3
3 . 3 . 3 . ... . 3
 factores
 
29
32
Reduce B.
Determina el valor de I.
Calcula el valor de V.
V = 34 . 3–5 . 33
33MateMática DELTA 1 - álgebra
Indica el valor de R.
R = 24 . 3–1 + 36 . 2–2
Indica el valor de Q.
Encuentra el valor de L.
9
10
11
12
13
14
15
16
1
5
1
4
1
3
Q = + +
0 –1 –2
2 1P = +  ( ) ( )2 3
8
1
4
2
– –
Determina el valor de Z.
Z = 12 . 6–1 – 32 + (–2)4
L = + +2 2 2
2
5 6 4
3
A 16 B 17 C 18
D 15 E 19
A 9 B –23 C 11
D 13 E –19
A 15 B 14 C 13
D 12 E 16
A 12 B 14 C 16
D 11 E 15
El exponente de 5 que resulta al efectuar E.
E = 52
4
 . (5–2)4
A 4 B 6 C 8
D 16 E 125
Halla el valor de N.
N = 36 . 3–2 + (–3)3 – (35 . 6)0
A 32 B 12 C 16
D –24 E –20
Calcula el valor de P.
A 78 B 81 C 85
D 87 E 89
Determina el valor de H.
. .H = 5
3
3
5
 9
7 5
. .H = 5
3
3
5
 9
7 5
.
A 75 B 15 C 50
D 25 E 9
Nivel II
.. .H = 5
3
3
5
 9
7 5
34
 Efectúa
Un grupo de alumnos ha medido las distancias de 
la Tierra a la Luna, al Sol y a Marte, obteniendo 
estos resultados.
Distancia de la Tierra a:
Luna: 382 000 000 m
Marte: 229 200 000 000 m
Sol: 152 800 000 000 m
• La distancia de la Tierra a Marte es ______ 
veces de la distancia a la Luna.
• La distancia de la Tierra al Sol es ________ 
veces de la distancia a la Luna.
22
21
23
A 12 B 16 C 8
D 6 E 24
 Indica la verdad (V) o falsedad (F) de las 
proposiciones.
( ) 200 000 = 2 . 105
( ) 3 . 107 = 3 000 000
( ) 1 500 00050 000 = 300
( ) 10 000 000 000 = 1010
Dados los valores de:
 
Se cumple que:
A El valor de A es el doble de B.
B El valor de B es el doble de A.
C Los valores de A y B son iguales.
D La suma de A y B es 20.
E El producto de valores de A y B es 50.
A B= = 











75 45
15
1
5
4 3
10
–2 2
–1
 .
indica la mitad de M.
Halla el valor de E.
Calcula el valor de a.
(3a)4 . (3–2)3 = 310 
Encuentra el valor de S = I + R.
I = 5
3 . 57
(52)4
 ∧ R = (5
3)4
36 . 312
17
18
19
2 2
5 2
4
E = )
( ) .2 2
3 2
22 2
–5
–
. (
A B C
D E
2 5 4
3 6
A 64 B 15 C 13
D 12 E 34
A 4 B 16 C 1
D 2 E 8
M = 
2n + 2 – 3 . 2n + 1 + 2n + 3
2n – 1
; luego, 
20
Nivel III
A 300; 400 B 600; 400 
C 600; 200 D 400; 600 
E 300; 200
A VFVV B FFVV C VVFV
D VFVF E VFFV
∧
MateMática DELTA 1 - álgebra
Tema
35
Radicación
Para hallar el valor de x, ¿qué operaciones debemos realizar?
La radicación es la operación que permite calcular un número b denominado raíz, que 
elevado a una potencia igual al índice n del radical, resulta el radicando a. Es decir:
Definiciones
Exponente fraccionario
Para todo a entero y n entero positivo (" a ∈ ∧ n ∈ +)
Valor absoluto de a(|a|): significa el valor positivo de a.
Ejemplos:
a) 25 = 5, porque 52 =25 b) –8
3
 = –2, porque (–2)3 = –8
c) 64
3
 = 4, porque 43 = 64 d) –4 = no existe en 
Ejemplos:
a) 9
1
2 = 9 = 3 b) 4
3
2 = 43
2
 = 4
2 3
 = 23 = 8
c) 64
1
3 = 64
3
 = 4 d) 36
3
 = 3
6
3 = 32 = 9
e) 81
1
4 = 81
4
 = 3 f) (–8)
2
3 = (–8)2
3
 = (–8)
3 2 = (–2)2 = 4
g) (–32)
1
5 = –32
5
 = –2 h) 215
5
 = 2
15
5 = 23 = 8
Ejemplos:
a) 53
3
 = 5 b) (–3)5
5
 = –3
c) 34
4
 = |3| = 3 d) (–5)2 = |–5| = 5
8
x
6
a c
b
En un triángulo rectángulo se cumple:
an = b ⇔ bn = a
Donde:
n ∈ +
Donde:
n ≠ 0
ann
 a ; si n es impar
|a|; si n es par=
Valor absoluto
|2| = 2
|–3| = 3
|–6| = 6
|11| = 11
Términos de 
radicación
an = b
índice
radicando
raíz
Recu e rda
3
Import a nt e
(+)
(–)
(+)
(–)
= (+)
= (–)
= (+)
= ∃ 
impar
impar
par
par
¿Sa bía s qu e.. .?
Se lee: 
∃ : existe
∃ : no existe
" : para todo
⇔ : si y solo si
Obse rva
c = a2 + b2
a
m
n = n am n am = n am
36
Ejemplos:
a) 3 2 2 = 3 
. 2
 2 = 
6 2 b) 5 3 7 = 5 
. 3 . 2
 7 = 
30
 7 
c) 5 3 6 = 5 
. 3
 6 = 
15
 6 d) 
8 3 55 = 8 
. 3
 5
5 = 24 5
5 
e) 7 3 10 = 7 
. 3
 10 = 
21
 10 f ) 
4 7 3 311 = 4 
. 7 . 3
 3
11 = 84 3
11 
Ejemplos:
a) 
3
4
 = 3
 4
 = 3
2
 b) 5
 2
 = 
3
4
 
c) 3 
5
3
 = 
3 5
3 3
 d) 
7 11
7 3
 = 4 
11
16
e) 4 
11
16
 = 
4 11
4 16
 = 
4 11
4 24
 = 
4 11
2 f ) 
3 250
3 2
 = 3 
250
2
 = 3 125 = 5
Propiedades
Raíz de un producto
Raíz de un cociente
Raíz de raíz
a . b = .n an bn
Ejemplos:
a) 5 . 2
3
 = 5
3
 . 2
3
 b) 3 . 12 = 3 . 12 = 36 = 6
c) 3 . 7
4
 = 3
4
 . 7
4
 d) 5
3
 . 25
3
 = 5 . 25
3
 = 5 . 52 =
3
53
3
 = 5
e) 7 . 3 . 2 = 7 . 3 . 2 f) 5 . 2 . 10 = 5 . 2 . 10 = 100 = 10
g) 4 . 33
5
 = 4
5
 . 33
5
 h) 3
4
 . 23
4
 = 3 . 23
4
 = 3 . 8
4
 = 24
4
i) 24
3
 = 8 . 3
3
 = 8
3
 . 3
3
 = 2 . 3
3
 j ) 2
5
 . 32
5
 = 2 . 32
5
 = 2 . 9
5
 = 18
5
; para: b ≠ 0
¿Sa bía s qu e.. .?
El símbolo de la 
radicación , es 
una variación de la 
letra r, primera de 
la palabra radix que 
significa raíz.
Fue introducida por 
Christoph Rudolf.
Import a nt e
La radicación solo 
es distributiva 
con respecto a la 
multiplicación y 
división.
Para:
n ∈ ∧ n ≥ 2
0
n
 = 0
1
n
 = 1
Obse rva
Se lee: 
Raíz cuadrada
x x
2
=
Se lee: 
Raíz cúbica
x
3
n a
b
 = 
n a
n b
m n a = m 
. n
 a
37MateMática DELTA 1 - álgebra
Tipos de radicales
Radicales semejantes
Son aquellos radicales que tienen igual índice y radicando.
Ejemplos:
a) 3 5
4
; –2 5
4
; 5 5
4
 son radicales semejantes
b) 7 2
3
; 13 5
5
; –11 6
2
 no son radicales semejantes
c) 4 3; 15 3; –9 3 son radicales semejantes
Los radicales semejantes se pueden reducir con sumas y restas.
Ejemplos:
a) M = 3 2 + 5 2 – 2 2
 Resolución:
 M = 3 2 + 5 2 – 2 2
 M = (3 + 5 – 2) 2
 M = 6 2
b) E = 5 3
3
 – 7 3
3
 + 11 3
3
 Resolución:
 E = 5 3
3
 – 7 3
3
 + 11 3
3
 E = (5 – 7 + 11) 3
3
 E = 9 3
3
Ejemplos:
Operaciones combinadas con números enteros:
a) Halla el valor de P.
P = 5 – 3[32 – 12 ÷ 4 × 3 + 9]
b) Reduce la expresión M.
M = 8 + 4 2 – 3 2
Operaciones combinadas
Cuando aparecen operaciones combinadas, es necesario seguir la prioridad de los 
signos de operación en el siguiente orden:
1.º Si en la expresión aparecen signos de colección, deberá operarse primero la parte 
interna.
2.º Se realizan las potencias y radicales.
3.º Se realizan las multiplicaciones y divisiones evaluando de izquierda a derecha. 
4.º Se realizan las sumas y restas.
Resolución:
Dentro de los corchetes:
P = 5 – 3[32 – 12 ÷4 × 3 + 9] Potenciación y radicación
P = 5 – 3[9 – 12 ÷ 4 × 3 + 3] Multiplicación y división de izquierda a derecha
P = 5 – 3[9 – 9 + 3] Suma y resta
P = 5 – 3[3] Ahora la multiplicación
P = 5 – 9 Finalmente la resta
P = –4
Resolución:
Observamos que: 8 = 4 . 2 = 4 . 2 = 2 2
Entonces: M = 2 2 + 4 2 – 3 2
 M = (2 + 4 – 3) 2
 M = 3 2
Import a nt e
En las operaciones 
combinadas se 
efectúa:
1.° ( )n ; n
2.° × ; ÷
3.° + ; –
Obse rva
4 + 3 × 22
4 + 3 × 4
4 + 12 = 16
primero
segundo
tercero
n an . b = n an . n b
 n impar = a . n b
 n par = lal . n b
38
¿Sa bía s qu e.. .?
Algoritmo
Conjunto ordenado y 
finito de operaciones 
que permite hallar 
la solución de un 
problema.
N = r . b ⇒ r = Nb
bʹ = 
r + b
2 ∧ r' = 
N
bʹ
Ejemplo:
Halla la raíz 
cuadrada de 40.
40 = 10 × 4
bʹ = 
10 + 4
2 = 7
⇒ rʹ = 
40
7 = 5,71
b = 
7 + 5,71
2 = 6,35
⇒ r = 406,35 = 6,3
Método babilónico
3.º Se resta al primer grupo el cuadrado del valor hallado 
en el paso anterior (en este caso 22 = 4), y se baja el 
grupo marcado a la derecha.
4.º En la parte inferior derecha se escribe el doble de la 
parte destacada. Observa que 4 es el doble de 2.
6.º Se sube el valor de n a la parte superior del espacio 
destacado, escribiéndolo a continuación de la cifra 
que había ya en el mismo.
 Se baja el otro grupo, en este caso 21 del lado del 5 y 
se procede como en los pasos cuarto, quinto y sexto.
7.º Si no hay más grupos, se ha hallado la raíz cuadrada 
del número.
 Observa: 52 es el doble de 26.
2.º Se busca el cuadrado perfecto menor y que más 
se aproxime a este último grupo y se extrae su raíz 
cuadrada.
 En nuestro caso este valor es 4 (más próximo a 6), y 
su raíz es 2.
6 81 21 2
6 81 21 2
–4 
2 81 
6 81 21 2
–4 
2 81 
4  2 × 2
6 81 21 26
–4 
2 81 
–2 76 
5 21
4 6 × 6
Luego:
La raíz cuadrada de 68 121 es 261. Pues 261 × 261 = 68121.
6 81 21 2
–4 
2 81 
–2 76 
5 21
4 6 × 6
6 81 21 261
–4 
2 81 
–2 76 
5 21
0
–5 21
4 6 × 6
52 1 × 1
5.º Encuentra un valor n que añadido al encontrado 
en el cuarto paso y multiplicado por el mismo n sea 
aproximado a 281, pero menor que el valor encontrado 
en el tercer paso; resta y baja el grupo marcado a la 
derecha.
 Separamos la cifra de la derecha de 281 dividimos 
28 ÷ 4 = 7, este es el posible valor de n , multiplica 
 47 × 7 = 329, el resultado es mayor que 281; cuando 
el resultado es mayor que el número, disminuye en la 
unidad el posible valor de n; entonces n = 6.
 Entonces: 6 × 46 = 276
 Luego se resta: 281 – 276 = 5
Raíz cuadrada de un número natural
Para calcular la raíz cuadrada de un número natural seguimos la siguiente regla:
1.º Separa las cifras del número en grupos de dos, 
empezando por la derecha, el último grupo 
puede tener una o dos cifras.
Halla: 68121
último grupo primer grupo
6 81 21
Ejemplo:
39MateMática DELTA 1 - álgebra
 Determina el valor de R. Indica la suma de todos los valores que faltan.
 Escribe verdadero (V) o falso (F).
 ( V ) –8
3
 = –2
 ( F ) 16
4
 = 4
 ( F ) –4 = –2
 ( V ) 27
3
 = 3
 Halla el valor de T.
T = 4
3
 . 2
3
 Calcula el valor de S.
 S = 8
2
3 + 1
 Encuentra el valor de E.
E = 
3 3 (–2)2 + 10
3 2
a) 210
5
 = 2
b) 
3 5 = 12 5 
c) 4 . 5
3
 = 4 . 5
3
d) 4 
5
16
 = 
4 5
Resolución:
Completamos:
a) 210
5
 = 2
b) 
3 5 = 12 5
c) 4 . 5
3
 = 4 . 5
3
d) 4 
5
16
 = 
4 5
 
Piden: 
 2 + 4 + 3 + 2 = 11
2
2
3
4
Resolución:
Tenemos: 
T = 4
3
 . 2
3
 Raíz de un producto
T = 4 . 2
3
 
T = 8
3
 = 2
Resolución:
Tenemos: 
R = 4
3
 . 10
3
5
3
 
 Potencia y raíz de un producto
R = 4 . 105
3 = 405
3 ⇒ R = 8
3
 = 2
Resolución:
Tenemos: 
S = 8
2
3 + 1 Exponente fraccionario
S = 82
3
 + 1 Recuerda am
n
 = a
n m
S = 8
3
 
2
 + 1 Evaluamos la raíz
S = 22 + 1 Evaluamos la potencia
S = 4 + 1 Finalmente la suma
S = 5
Resolución:
Realizamos operaciones:
E = 
3 3 (–2)2 + 10
3 2
E = 
3 3|–2| + 10
3 2
E = 
3 3 . 2 + 10
3 2
E = 3 
6 + 10
2
E = 3 
16
2
 = 3 8 = 2
Recuerda: an
n
 = |a|, para n par
5
6
 R = 
4
3
 . 10
3
5
3
 
1
2
3
4
Ejercicios resueltos
Rpta. 2
Rpta. VFFV
Rpta. 11
Rpta. 2
Rpta. 5
Rpta. 2
40
 Halla el valor de E.
E = 27
3
 + 2 . 8 + 1
 Determina el valor de H.
H = 
50 + 18 – 8
2
 Calcula el valor de C.
 C = 9 – 4[42 – 2( 27
3
 + 35 × 32 ÷ 34 – 4 × 6)]
 Encuentra el valor de P.
P = 16 – 3[(8 ÷ 4)3 – 3123 ] + 100
 Halla el valor de Q.
Q = 103 ÷ [(10 ÷ 5)3 × 4 – (13 – 8)2 + 27
3
]2 – 81
ONEM 2004 - Nivel 1 - Fase 1
 Los ingresos I (en miles de soles) de una empresa 
dependen del precio de venta unitario de cierto 
producto c (en soles) según la relación:
I(c) = 10 + 2 49 – c
 cuando c varía entre 0 y 49.
 a) ¿Cuánto es el ingreso cuando el precio unitario 
es de 24 soles?
 b) Si el precio unitario aumenta en 9 soles, 
¿cuánto es el ingreso?
 Resolución:
Resolución:
Tenemos: 
E = 27
3
 + 2 . 8 + 1
E = 27
3
 + 2 . 8 + 1
E = 27
3
 + 16 + 1
E = 3 + 4 + 1
E = 8
Resolución:
P = 16 – 3[(2)3 – 312
2 . 3
] + 100
P = 4 – 3[(2)3 – 3
12
6 ] + 10 
P = 4 – 3[8 – 32] + 10
P = 4 – 3[8 – 9] + 10 = 4 – 3(–1) + 10
P = 4 + 3 + 10 = 17
Resolución:
Q = 103 ÷ [(2)3 × 4 – (5)2 + 27 
3
]2 – 81
Q = 103 ÷ [8 × 4 – 25 + 3]2 – 9
Q = 103 ÷ [32 – 25 + 3]2 – 9
Q = 103 ÷ [10]2 – 9 = 103 – 2 – 9 = 10 – 9 = 1
a) I = 10 + 2 49 – 24 
 I = 10 + 2 25 
 I = 10 + 2 . 5 
 I = 10 + 10 = 20 mil soles 
b) Si c = 24 + 9 = 33 
 I = 10 + 2 49 – 33 
 I = 10 + 2 16 
 I = 10 + 2 . 4 = 10 + 8 = 18 mil soles 
Resolución:
Reducimos los radicales: 
H = 25 . 2 + 9 . 2 – 4 . 2
2
H = 25 . 2 + 9 . 2 – 4 . 2
2
H = 5 . 2 + 3 . 2 – 2 . 2
2
H = (5 + 3 – 2) . 2
2
H = 6 . 2
2
 = 6
Resolución:
C = 9 – 4[42 – 2( 27
3
 + 35 × 32 ÷ 34 – 4 × 6)]
C = 3 – 2[16 – 2(3 + 35 + 2 – 4 – 4 × 6)]
C = 3 – 2[16 – 2(3 + 33 – 4 × 6)]
C = 3 – 2[16 – 2(3 + 27 – 24)]
C = 3 – 2[16 – 2(6)]
C = 3 – 2[16 – 12]
C = 3 – 2[4]
C = 3 – 8 
C = –5
7
8
9
10
11
12
Rpta. 20 mil y 18 mil soles
Rpta. 8
Rpta. 6
Rpta. 1
Rpta. 17
Rpta. –5
41MateMática DELTA 1 - álgebra
9
32
• = 4
• =
• =
•
 Halla el valor de M en: Halla el valor de E en:
Resolución: Resolución:
a
412
3
Si M = a + b + c + d.
7
6b
724
3 . 11 5
5
3
c
d
11
5
5
= 9
715
3
= 7•
•
•
• 527
3
r
3
= 5
13
5n
= 13
20
5 . 177 = 5
s
177
Si E = m + n + s + r.
Rpta. Rpta. 
Propiedades
Operaciones combinadas
Se aplica la regla:
1.° ( ) ; [ ]; { }
2.° ( )n ; n
3.° × ; ÷
4.° + ; –
Exponente
Fraccionario
Donde:
n ≠ 0
Donde: 
|a| es el valor positivo de a.
Potenciación y 
radicación
Multiplicación y 
división de izquierda 
a derecha
Finalmente, sumas 
y restas
Primero resuelve la 
parte interna de los 
signos de colección
Raíz de una 
división
Raíz de una 
multiplicación
Raíz de 
raíz
 a ; si n es impar
|a|; si n es par
= 
=
a . b
n
 = a
n
 . b
n1.
2.
3.
Radicación
m
Síntesis
21
Modela y resuelve 
m
am
n
an
an
n
a anm m n= .
n a
b
 = 
n a
n b
42
 Calcula el valor de T = + 
 Determina el valor de C = 27 + 4. Determina el valor de H = 9 + 3.
Resolución: Resolución:
3 4
Resolución:
8
 Encuentra el valor de E = 81 + 27 .
3
Resolución:
5
 Evalúa O.
 O = 5
3
 . 25
3
Resolución:
9
 Encuentra el valor de I = 64 + 8
3
Resolución:
6
 Evalúa P.
 P = 4
3
 . 16
3
Resolución:
10
 Calcula el valor de S = + 
Resolución:
7
2
3
3
2
(–4)2 53
3
433 (–3)2
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
43MateMática DELTA 1 - álgebra
15
17
13 14
16
18
11 Halla el valor de 
Reduce C. Reduce D. 
Encuentra el valor de Encuentra el valor de
12 Halla el valor de
Determina el valor de A. Determina el valor de B.
Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución:
Resolución: Resolución:
26
43C = 39
36
D =
Resolución: Resolución:
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta.80
4
P =
54
16
5
 . 20
5
10
5A =
312 + 2.
3
F =212 + 1.
3
E =
B = 20
4
 . 8
4
10
4
H =
53
40
3
44
 Halla el valor de I = 8 + 18 – 2. Halla el valor de H = 27 + 12 – 3.
 Calcula el valor de G = 21 + 36
3
Rpta. 
Calcula el valor de H = 
Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución:
Resolución: Resolución:
19
2221
 Reduce la expresión G. 
G = 16 – 8
3
[32 + 25(36 ÷ 6 ÷ 3 – 3)]
23 Reduce la expresión J. 
 J = 125
3
 – 4[42 + 16(18 ÷ 3 ÷ 2 – 4)]
24
 Determina el valor de H. 
 H = 27
3
 – 2[3 9 – 2(18 ÷ 3 × 6 – 52)]
25 Determina el valor de E. 
 E = 8
3
 – 3[3 16 – 2(24 ÷ 6 × 2 – 42)]
26
20
 
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
13 + 273
45MateMática DELTA 1 - álgebra
Rpta. 
 Encuentra el valor de M. 
 M = 54 ÷ [(15 ÷ 5)2 × 2 – 8
3
 + 32] – 64
 Encuentra el valor de E. 
 E = 43 ÷ [(9 ÷ 3)2 × 2 – 125
3
 – 32] – 16
 La velocidad de un móvil V (m/s) que depende del 
tiempo t (en segundos) está representada por la 
relación:
V(t) = 8 + 3 2t + 10
 a) ¿Cuál es su velocidad cuando el tiempo es 
3 s?
 b) Diez segundos después, ¿cuál es su 
velocidad?
 c) ¿Cómo cambia la velocidad entre el minuto 13 
y el minuto 27?
 La velocidad de un móvil V (m/s) que depende del 
tiempo t (en segundos) está representada por la 
relación:
V(t) = 12 + 4 2t + 9
 a) ¿Cuál es su velocidad cuando el tiempo es 
8 s?
 b) Doce segundos después, ¿cuál es su 
velocidad?
 c) ¿Cómo cambia la velocidad entre el minuto 
20 y el minuto 36?
Resolución: Resolución:
Resolución:Resolución:
27
29 30
28
Rpta. 
Rpta. Rpta. 
46
Calcula el valor de A = 328
7
 + 5.
A 8 B 9 C 14
D 15 E 11
Halla el valor de A. 
 A = 
Encuentra el valor de L.
L= 8 . 2 + 3
Determina el valor de E = 4 + 9 + 16 .
Calcula el valor de H. 
H = 4
3
2 + 2
1
2
3
Practica y demuestra
Halla x. 
x = 245
35
Reduce la expresión A. 
A = 80
5
4
5
6
7
8
15
3
 . 18
3
10
3
9
A 6 B 10 C 12
D 8 E 15
A 5 B 6 C 7
D 9 E 11
A 6 B 7 C 5
D 8 E 9
A 2 B 4 C 6
D 16 E 8
A 2 B 4 C 5
D 3 E 6
A 2 B 4 C 1
D 8 E 16
Encuentra el valor de E = V + A.
V = 2 . 4 . 8
2
A = 54
6
Nivel I
Determina el valor de N.
27 +381 + 25N =
A 20 B 15 C 19
D 17 E 18
A 5 B 7 C 9
D 6 E 8
47MateMática DELTA 1 - álgebra
A 2 B 3 C –3
D –4 E 4
A 15 B 10 C 14
D 8 E 13
A 3 2 B 4 2 C 5 2
D 2 2 E 2
En la operación: a × b – c = 5
a, b y c son elementos del conjunto:
A = {1; 2; 3; 4; 16; 25}
Halla el valor de: M = a + b + c.
En la siguiente operación, cada cuadradito puede 
ser reemplazado por el signo de adición (+) o por 
el signo de multiplicación (×):
25 4 9
¿Cuál de los siguientes números no puede ser el 
resultado de la operación?
10
11
Calcula el valor de N = 18 + 8 – 2.12
Calcula el valor de H.
H = 63 ÷ [(6 ÷ 3)2 + 49 – 25]2 + 0
5
 + 2(32 – 7)
Encuentra el valor de N. 
N = 1
5
 + 3[ 9 + 2 ( 0 + (6 ÷ 3)2)]
Halla el valor de P.
P = 25 – 9[(8 ÷ 4)3 – 49 + (4 – 2)2]
Determina el valor de A = 13
15
16
14
A 10 B 11 C 21
D 30 E 13
A 6 B 7 C 21
D 8 E 9
A 5 B 2 C 6
D 4 E 3
A 30 B 32 C 36
D 34 E 35
A 8 B 10 C –10
D 2 E –12
Encuentra el valor de A – B.
A = 52((–2)3 + 16) – 3 . 42 ÷ 6
B = 52(–23 + –64
3
) – 3 . 42 ÷ 6
Determina el valor de A.
A = 64
3
 – 9[(6 ÷ 3)3 – 27
3
] + 23 – 1
3
17
18
A 100 B 0 C 200
D 180 E 216 
Nivel II
1 + 5 + 16.
48
A 3 B –18 C 8
D –10 E –22
Efectúa.
H = 103 ÷ 102 + 20
3
 × 2 ÷ 5
3
 – 125
3
C = 5 – 2 32 + 42 + 0
3
Luego, indica la relación correcta.
La altura de un adolescente (en centímetros) entre 
los 10 y 15 años está indicada por la relación: 
H(x) = 12 13x – x + 9
donde, x es la edad en años. ¿Cuál es la altura de 
Carlos, si tiene 13 años?
19
20
3
Halla el valor de R = A ÷ D + I – C × A + L.
A = (–3)2 + 25 C = 6
3
24
D = 1
5
 + (–2)3
3
 L = C + 27
3
I = 2A – 6 . 24
21
Si la distancia D (en kilómetros) del centro del 
planeta al satélite está expresado por:
D(t) = 1000 9t2 + 64
donde t (en horas) es el tiempo.
¿Cuál es la distancia del satélite al centro de la 
Tierra, cuando t = 2?
Las velocidades de dos móviles V (m/s) que 
dependen del tiempo t (en segundos) están 
representadas por las relaciones:
Móvil (1): V(t) = 7 + 2 3t + 1
Móvil (2): V(t) = 6 + 3 2t – 1
• Para t = 8, la velocidad del móvil (1) es de 
 m/s.
• Para t = 13, la velocidad del móvil (2) es de 
 m/s.
23
Nivel III
La gráfica muestra el desplazamiento de un satélite 
en la órbita terrestre en sus doce primeras horas:
22
t = 0h
D
t = 12h
A 12 000 km B 3629 km
C 17 000 km D 10 000 km
E 8000 km
A C = 2H + 1 B 2 – H = C
C H + C = 0 D C . H = 35
E 2C = H + 3
A 152 cm B 148 cm
C 156 cm D 158 cm
E 142 cm
A 17; 13 B 12; 45
C 17; 21 D 45; 21
E 17; 45 
Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 1
49MateMática DELTA 1 - álgebra
A VFVF B FFVV
C VFFV D VFFF
Halla el valor de N = 16 ÷ 4 + 3 × 2 – 5.
5 Indica si la operación es verdadera (V) o falsa (F).
( ) 23 · 53 = 103
( ) (56) = 0
( ) 2 · 32 = 62
( ) 23 + 22 = 25
4 Determina el valor de P.
P = 3 – 5{1 + 2[4 – 3(6 ÷ 3 × 2 – 7)] – 3[5 × 2 –(2 × 3 + 1)]}
Encuentra el valor de T = 2 – 5(6 – 4 × 2) – 12.
1
2
3
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
–17A
–9C
13B
–12D
Calcula el valor de E = (23)2 – (32)2.6
A 2 B 4
C 5 D 3 
A –2 B 0
C 4 D 8
A –3 B –6 
C –12 D –1 
Indica el doble del valor de M.
M = 8 – 15 + 7 – 12 ÷ 2
A –77 B –82 
 –91 –87C D
50
3–5
34
Reduce la expresión M.
M = (4–2)3 · 423 · 4
Indica si la operación es verdadera (V) o falsa (F).
7 10
11
129
8
16A
4C
64B
1D
VFVFA
VFFVC
FFVFB
FFFFD
Indica si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).
( ) = –2
( ) = 9
( ) 8 = 2 2
( ) 2
3
 . 4
3
 = 2
(–2)4
4
312
6
A VFVF B FFVV
C FVVV D FVFV 
Halla el valor de M = A + B – C – D.
A = 
B = 
236
12
(–2)4
4
Encuentra el valor de R. 
R = 5 + 9
3
Determina el valor de A. 
A = 82 + 62 
( ) 2 · 3–1 =
( ) 4 · 16 = 25
( ) = 39
( ) (2 )–6 = 2–3
2 · 31
1
(–4)3
3
3 12
C = 
D = . 
3
1
8A
6C
10B
12D
1A
2C
5B
4D
10A
11C
12B
14D
Tema
51MateMática DELTA 1 - álgebra
Polinomios
Expresiones algebraicas
Una expresión algebraica es una combinación de números (coeficientes) y letras 
(variables) enlazadas por las diferentes operaciones aritméticas.
Ejemplos:
a) A(r) = πr2
b) P(x) = 2x3 + 5x + 7
c) Q(x; y) = 3x4 + 2xy3 – 9y2
Ejemplos:
a) 3x2y3; –5x3y2; 7x2y2 No son términos semejantes
b) 11x4y3; 7x4y3; –x4y3 Son términos semejantes
c) 8x2y5; 3y5x2; 42x2y5 Son términos semejantes
Ejemplos:
a) Identifica las partes del siguiente término algebraico:
 M(x; y) = –11x3y2
b) Calcula el valor de m + n si los siguientes términos son semejantes:
 A(x; y) = 2x3y5 ; B(x; y) = 7xnym
Término algebraico 
Es la mínima expresión algebraica, está formada por el producto de números 
(coeficientes) y letras (variables).
Términos semejantes 
Dos o más términos son semejantes si presentan las mismas variables con exponentes 
iguales.
¿Es posible sumar 7 libros más 5 
personas?¿Por qué?
René Descartes
(1596 - 1650)
¿Sa bía s qu e.. .?
René Descartes 
fue quien comenzó 
la utilización de las 
últimas letras del 
alfabeto (x, y ∧ z) 
para designar 
las cantidades 
desconocidas.
Import a nt e
La representación 
simbólica nos 
permite reconocer 
cuáles son las 
variables de una 
expresión.
P(x) = x2 + xy + y2 
variable: x
– 3x2y3
exponentes
variables
signo
coeficiente
 Resolución: 
 Observamos que: Coeficiente = –11
 Parte literal = x3y2
Resolución: 
El término x3y5 es semejante a 7xnym
Entonces : n = 3 ∧ m = 5
Nos piden: m + n = 5 + 3 = 8
4
52
Import a nt e
Se puede sumar 
o restar términos 
solo cuando son 
semejantes.