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f fd* = 0 JBa Fundamentos del Análisis Complejo de ima variable fdx — O f /rfz=O^W ^ f f dz = 0 Jair X f /dz =o\^ Jeo' \ f f dz =oN^ \ JdtT ^ \ f f(lz =O \ Jder \ í fd^ f dz = O da JAIRO CHARRIS RODRIGO DE CASTRO JANUARIO VARELA ACADEMIA COLOMBIANA DE CIENCIAS EXACTAS, FÍSICAS Y COLECCION JULIO CARRIZOSA VALENZUELA No. ACADEMIA COLOMBIANA DE CIENCIAS EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES COLECCIÓN JULIO CARRIZOSA VALENZUELA No. 8 Fundamentos del Análisis Complejo de una variable ¡AIRO CHARRIS CASTAÑEDA RODRIGO DE CASTRO KORGI ¡ANUARIO VARELA BORDA Departamento de Matemáticas y Estadística Universidad Nacional de Colombia SANTAFE DE BOGOTA, D.C. - COLOMBIA 2000 © Academia Colombiana de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales Trans. 27 No. 39A - 63 Apartado 44763 Fax (57-01)3680365 URL; http: //www.accefyn.org.co E-mail: accefyn@org.co © Jairo Charris Castañeda—Rodrigo de Castro Korgi - Januario Varela Borda Reservados todos los derechos. Este libro no puede ser reproducido total o parcial mente sin autorización. Presidente de la Academia Director de Publicaciones Comité Editorial Período 1998-2000 Luis Eduardo Mora-Osejo Santiago Díaz-Piedrahita Víctor Samuel Albis González Diógenes Campos Romero Hernando Dueñas Jiménez Paulina Muñoz Vila Gerardo Pérez Gómez ISBN; 958-9205-28-3 ISBN: 958-9205-39-9 Clasificación Dewey Obra completa Volumen 8 515.93 Charris Castañeda, Jairo Fundamentos del análisis complejo de una variable/Jairo CharrisCastañeda - Rodrigo de CastroKorgi-Januario Varela Borda - Santafé de Bogotá: Academia Colombiana de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales, 2000. Funciones de variable compleja. 1. De Castro Korgi, Rodrigo II. Varela Borda, Januario. III. Título. IV Serie Esta obra ha sidoposible gracias a la colaboración del Ministerio de Educación Nacional República de Colombia MINISTERIO DE EDUCACION NACIONM. SVj Impresión: EDITORA GUADALUPE LTDA e-mail: guada@coll.telecom.com co Apartado 29765 -Tel.: 269 05 32, Santa Fe de Bogotá, D.C. Printed and Made in Colombia - Impreso en Colombia, 2000 Contenido Prólogo 1. Conjuntos, funciones, números reales 1 1.1. Conjuntos y funciones 1 1.2. Los números reales 1.3. Conjinitos finitos 8 infinitos 20 1.4. Dos propiedades de los números racionales 25 1.5. Punciones trigonométricas 28 Ejercicios 2. El sistema de los números complejos 52 Ejercicios 3. El plano complejo 65 Ejercicios 4. Series y series numéricas 79 Ejercicios 5. Funciones continuas 112 Ejercicios 6. Funciones derivables Ejercicios 7. Condiciones de derivabilidad. Funciones holomorfas 133 Ejercicios 8. Sucesiones y series de funciones ^39 147 Ejercicios 9. Series de potencias ^63 Ejercicios 10. Funciones analíticas 1G5 Ejercicios 176 11. Nociones adicionales de topología del plano 181 Ejercicios 200 12. Integración sobre curvas 206 Ejercicios 222 13. Teoría local de Cauchy ...229 Ejercicios 240 14. Singularidades 249 Ejercicios 262 15. El teorema de los residuos 267 Ejercicios 275 16. Algunas aplicaciones de la teoría de los residuos 278 Ejercicios 294 17. Algunos principios básicos 299 Ejercicios 399 18. La esfera de Riemannn. Transformaciones de Mobius 313 Ejercicios 334 19. La forma homológica del teorema de Cauchy 340 Ejercicios 350 Referencias Bibliográficas 363 Indice de Autores 305 Indice de Materias 367 Prólogo Miguelito a Mafalda: —Hoy mi maestra nos enseñó que dos más dos son cuatro. Luego nos hizo pasar a va rios chicos a! pizarrón para que sumáramos; "Dos más dos; cuatro". Después toooooodos copiamos en nuestros cuadernos: "Dos más dos: cuatro". Te juro que nunca me sentí tan lejos de von Braun' ... r . j 1 Quino: 'Mafalda La presente es una exposición elemental pero rigurosa de las nociones y resultados básicos del análisis complejo de una variable. El nivel es el de un primer curso de posgrado en matemáticas o ciencias añnes, pero no supone ningún conocimiento previo del tema. De hecho, 1^ notas originales en las que se basa esta presentación, Capítulos ®® ' las nociones sobre homotopía en el Capítulo 11, y los Capítulos a 18, fueron especialmente escritas para cubrir las doce lecciones ( e os horas de duración cada una) que constituían el antiguo curso alta e Compleja Introductoria, que normalmente se impartía a estudiantes e primero osegundo semestres del Programa de Maestría en Matemáticas de la Universidad Nacional de Bogotá, El resto del material, Capitu os a5yla primera parte del Capítulo 11, el cual no se cubría normalmente en las clases, tenía por fin suministrar una referencia rápida destina a a subsanar deficiencias en la formación previa de los estudiantes. Cumple también la función de unificar el lenguaje. El incluir este material hace la presentación esencialmente autocontenida. 'Wernher von Braun. Físico e ingeniero alemán, experto en proyectil^. Acargo del Proyecto Apollo de la NASA, desarrolló los cohetes Saturno y e! modulo luna que hicieron posible los primeros alunizajes. 111 IV PROLOGO Aunque tampoco se discutía usualmente en clase, consideramos a- propiado incluir un capítulo, el 19, dedicado a la versión hoinológica del teorema de Cauchy, en el cual aparecen las demostraciones recientes de John D. Dixon y Alan F. Beardon, Proponemos también en este capítulo una demostración analítica de un resultado que, aunque sólo extiende ligeramente el Teorema de Cauchy, tiene una interpretación física nota ble. Su demostración usual, de carácter geométrico, se atribuye a Emi! Artin. El texto se encuentra distribuido en diecinueve capítulos, ninguno de los cuales, salvo el primero, se ha subdividido en secciones. Cada uno de estos capítulos, con la posible excepción del primero, puede cubrirse cómodamente en una sesión de dos horas de cíase. Los axiomas, defini ciones, lemas, teoremas, notas, fórmulas yejercicios de cada capítulo se han numerado independientemente en forma binaria (a.6), donde a se refiere ai capitulo. Todos los capítulos contienen abundantes ejercicios. que os e un nivel relativamente más avanzado se han marcado con un asterisco (*) ypueden omitirse en primera lectura, aunque algunos ontienen resultados que son frecuentemente útiles en diversos contex- tos^Las notaciones A:=B yB^A significan que Ase define en términos Aunque el material tratado es el corriente en un primer curso sobre In ® yla organización se apartan algunas veces dewusual. Esperamos que esto yla inclusión de demostraciones aparente- iinfl t? . alpnos de ios resultados justifiquen en alguna medidaic^ion más en un campo en el cual la literatura en todos los es a undante y, en general, de excelente calidad, ayuda económica del CINDEC de la poeráfirn HoT '̂2° posible parte del levantamiento ti- de la Univer<iH^^Í A, agradece a la Facultad de Ciencias en este traba' ^ ^1 haberle permitido incluir su colaboraciónen este trabajo dentro de sus actividades de Año Sabático. En ^ trabajo pudiera llegar a su término. con ellos, sus sugerendalMh t^onversacones que sostuvimos contenidos n^mif ejercicios y sus observaciones sobre los ficación c^nSa^e^LX ^muchas demostraciones, e influyeron en la organización yen el punto de vista final. En la r;visión de los primeros PROLOGO manuscritos colaboraron varios estudiantes: Martha P. Dussan, Arnold Oostra van Noppen, Yadira L, Prieto y Adriana Villalobos (q.e.p.d), entre otros. Muchas de sus observaciones y sugerencias en cuanto a requisitos, claridad de la exposición y otros aspectos didácticos, fueron atendidas e incorporadas al texto. La revisión editorial y la corrección de la versión final estuvieron a cargo del profesor Jaime Lesmes Camacho. El cuidado con el que llevó a cabo estas labores le permitió detectar un remanente considerable de errores, redundancias e imprecisiones, mu chas de las cuales hubiera sido vergonzoso que apai-ecieran impresos. A todas estas personas expresamos nuestro profundo agradecimiento. Capítulo 1 Conjuntos, funciones, números reales En este capítulo fijaremos el lenguaje y revisaremos las propiedades básicas del sistemade los números reales. Trataremos de ser breves, sin sacrificar la precisión necesaria. 1.1 Conjuntos y funciones La noción básica es la de conjunto. No haremos, sin embargo, una pre sentación formal de este concepto, dejándolo a la intuición del lector. Sólo diremos que los conjuntos son agrupaciones o colecciones de ob jetos que deseamos considerar a su vez como objetos autónomos. Los representaremos preferencialmente con letras mayúsculas A, B, C, D, F, G, X, Y, Z, etc. Si X es un conjunto, ae X significará que a es un objeto, o un elemento, o un punto de X. Se lee "a pertenece a -X" . Si a no es un objeto de X, escribiremos a ^ X. Si X, V son conjuntos, X (Z Y, que se lee "X está contenido en T", significará que todo objeto de X es también un objeto de Y (Figura 1.1 (a)). Se dice que X es un subconjunto de Y, y es usual escribir también Y Z X (léase Y contiene a JX") para expresarlo. La notación X ^ V, o lo que es lo mismo, la Y ^ X, indicará que X no es un subconjunto de Y (Figura 1.1 (b).), y será equivalente a afirmar que existe a € X tal que a^Y. Capítulo 1 (a) XCY. (b) X%Y. Figura l.l, Contenencia de conjuntos. Dos conjuntos X, Yson iguales, A" = K, si tienen los inisinos elementos, es etír, si ^ CKyKCX. Si A" yy no son iguales, es decir, si X ^Y 0 Y<¿X,se dice que X y Y son diferentes, y se escribe X Y. Si C B pero A ^ B, se dice que A está estrictamente contenido en D. s usual escribir A <z B para expresar este hecho. Si un conjunto A tiene un único elemento a, escribiremos A = {a}, de tal manera que XEAsi ysólo si X= a. Que B= {a, 6} significará que x ED si ysólo si X—a oX= b. Si G= 6, ysólo en este caso, será {a, 6} = {a}. A su vez, A•= {a,,a2,..., an} significará que x E A si y sólo x = ai para a gun t = 1^2,... ,n. Si P{x) es una condición sobre una variable x y conjunto A tal que a E A si y sólo si P(a) es una afirmación ve a era, usaremos la notación A = {x : P(a:)} para representar tal coiyunto. Se dice que Aes el conjunto de los objetos que verifican P{x). 1 [xj es una condición en x y A" es un conjunto, el conjunto Ade los je os que verifican la condición x EX y P(x) siempre existe y es un a^bconjimto de Jf. En lugar de X= {x : x€XyP(,)} es corriente escnbir>l={a:€A::P(a:)}, v Denotaremos con 0 el conjunto vacio, el cual es un conjunto sin ele- men os. a razón de introducir un conjunto vacío es en muchos aspectos an oga a a e introducir el número Oen la aritmética elemental. Per mite ademas interpretar O, en forma semejante a 1, 2, 3, etc., como el numero e cementos (cardinal) de un conjunto (véase más adelante). Evidentemente 0 es un subconjunto de cualquier conjunto (pues si Aes Conjuntos. Funciones. Números Reales 3 un conjunto, no existe a e 0 tal que a ^ A). Esto asegura que existe un único conjunto vacío (pues 0 C 0' y 0' C 0). Decir que A = 0 es equivalente a decir que no existe ningún objeto a tal que a E A. Cla ramente A = 0 si y sólo si A C 0. Si no existe un objeto a tal que P{a) sea verdadera, {x : P(x)} = 0. Por ejemplo, {x ; x / x} = 0. Si 0 / A C P. se dice que A es un subconjunto propio de B. Si A y B son conjuntos, AUP (la unión de A y B) denotará el conjunto de los objetos que están al menos en uno de Ao B (Figura 1.2 (a)). Asu vez, An P (la intersección ríe A y B) representará el conjunto de los elementos comunes a Ay P (Figura (1.2 (b)). Si AnP —0, se dice que Ay B son conjuntos disyuntos. Claramente AC AUP, B C AUP, AnPCA, AHPCP. (a) AuP (b) AnP (c) A\ P Figura 1.2. Unión, intersección y diferencia de conjuntos. Otras propiedades son: (1)AUA=A, AnA = A, AUP-PUA, AnP = PnA,AU0 —A, An0 = 0. (2) AUP =Asi ysólo si P CA, An P = p si y sólo si P c A. (3) AU(PUC) = {AUP)UC, (AnP)nC = An(PnC). (4) Au(PnC) = (AuP)n(AuC). (.5) An(PuC) = (AnP)u(Anc). (1.1) Capítulo 1 Si X, Y son conjuntos, X (la diJtrcncLU da A' y i' t) d c.omplcvLcnto de Y en X) será el conjunto de ¿o.s clcnir.nto.'i de X yuc ?iu están en Y (Figura 1.2 (c)). Claramente A' \ A = 0, A s. 0 = A', A x K = Ax(Any),Axy = 0siy sólo si A C y, y si A, B son .subcoajuntos de A, .A n S = 0 si y sólo si A C A \ AclonuLs. (1.2) A \ (A Ui?) = (A X A) n (A X Zí), A X(An C) = (A XA) U(A X B). Verificaremos la segunda de tales igualdades: si j: e Ax (AflZ?) entonces a: 6 A y a: ^ An5, así que x e X y x ^ A o x ^ B-, esto es, x e A x A o a; € A X5, y entonces x G (A x A) U(A x B)\ recíprocamente, si X€ (A XA) U(A XB), se tendrá que .x GA x A o .c GA x B. do lo cual a;€Ayx^Aox^B; esto implica que x GA y x ^ An B, de lo cual XGA X(AnB), Si a, bson objetos, (1.3) (a,6} := ({a},{a, ¿)}} será la pareja (o dupla) ordenada de primera coordenada a y sr.gmida coordenada b. Teorema 1.1. (q^ y si a = cy b= d. Demostración. La condición es obviamente suficiente. Para ver (}ue es necesaria, supongamos primero a —b, así que (a,6) = Como (c,d} e (a,6), será {c,d} = {a}, así que c = d = a ~ b. Esto implica u—cy6_ d, Supongamos ahora a ^ b. Claramente {a} = {c}, así que parte, {a,&} = {c,d}, así que d = a o d = b. Pero, si —a se tendría que d = c, de lo cual, por el argumento anterior, sena a—b~ c= d. Entonces d 7^ o, y deberá ser d = h. 2Í ysó^o Íf - 6^^ '̂ ^ hecho, (a, b) ={b, a) si Definición 1.1. Si AyVson conjuntos, el conjunto : xgA, yey} se denomina el producto cartesiano de X yY(Figura 1.3 (a)). CON.H'NTOS, Fl'.N'ClONES, NCMEaOS REALES Evidentemente 0xY = Xx0 = 0. SiAxy = 0, deberá ser A = 0 o y = 0. En general, A x y / y x X. Escribiremos (1.5) (a.fj.r) := ((a.í)),c). El conjunto (a, b, c) se denomina la tripla ordenada de coordenadas a, b, c. X xY Y Y G y X A X (a) (b) (c) Figura 1.3. (a) A x y, (b) G es una gráfica de X xY, (c) G es una gráfica funcional. Un subconjunto G de A x y se denomina una gráfica (Figura 1.3 (b)). Si G C A X y es una gráfica y x G A, el corte de G con x, G(x), es (Figura 1.4) (1.6) G{x)~{yeY : (x,y)GG}. y G(x) X A Figura 1.4. El corte G{x). 6 Capítulo l Si G C Xy es una gráfica, la tripla R = {X, G, Y) se denomina una relación entre elementos de X y de Y. Se dice entonces que G es la gráfica de R. El conjunto X se denomina el conjunto de definición o de partida de i?; y, el de llegada. Si {x, y) e G, es usual c^crüjir xRy y decir que x y y están relacionados por R. Los conjuntos (1.7) Dom(fí) := {x e X:G(x) 0}, Coá{R) := (J G(x) xe.f Doin(.R) Í'íGura 1.5. R= {X,G,Y), Dom(/?), Cod(fí). de'̂ ^^ denominan respectivamente el dominio y el codorninio '̂fl' ^ vacío ose reduce a un punto, se dice que Ges unafuncional y que R es una relación funcional (Figura 1,3 (c1). s oequivale a decir que si xRy y xRy' entonces y= y'. apuLLin'if.f'P yDom(/) =X. se dice que / es una f •. X Y •^ '̂'"de^eny (Figura 1.6) yse escribe simplemente puede darseVáln'"®"'''®" '̂ ^ «n que G G(x) tiene un términos de /. En efecto, para todo x e X. yse denota con rr ^ ^ual se denomina la imagen de x por f Xe X}. = {/(^)}' yentonces G= {(x, /(x)) : ~'^''^~^yf-X —> y es una función, := {/W :X6.4} „ r'(f;):=PeX:/WeB} CON.Il'NTO?, KCNCIONES. N'VMEROS REALES 7 se denominan respectivamente la imnpc/i directa de /l y la imagen reci proca de D. por / (Figura 1.7). f{A) Figura l.G. La grdfca de la función f = {X,G.Y). él. A, f-^(B) = A,uA, Figura 1.7. La función f = {X.G.Y) y los subconjuntos >1. f{A), B, f'PB). Es claro que Dom(/) = /"H^) y Cod(/) = f{X). Es costumbre en este caso denominar a /(X) la imagen oel recorrido de / ydenotarlo también con Im(/). Si Im(/) = Y, se dice que / es sobreyectiva (Figura 1.8). Si Capítulo 1 B = {¿>}, es corriente escribir /"^(6) en lugar de Si es vacío o se reduce a un punto para todo beY, o sea si = {x} para todo x e X, se dice que f es inyectiva (Figura 1.9), Y X Figura 1.8. / = (X,G,Y) es sobreyectiva. Y X Figura 1.9. f = (X,G,Y) es inyectiva. Si a € Dom(/), se dice que / está definida en a; si .4 C Dom(/), que / está definida en A. Si G C X xY y G' QY y. Z son gráficas, el conjunto (1.8) G'o G := {(xjz) : existe y e F^con (x,y) e G, {y,z)&G'}, el cual es xin subconjunto de X y Z, se denomina la gráfica compuestade G' y G. Si / = {X, G,Y) y g = (Y, G', Z) son relaciones, g o f := ° G,Z) se denomina la relación compuesta de g y f • Si f y g son funciones, también y o / lo es y G' o G(.t) = {gifi^))}^ 9 o f{x) = 9{f{x)) para todo x ^ X. Si G C J'ir Xy es una gráfica, (1.9) ^ ^•= : {x,y)eG} CY yX de G. Si / = inversa de /. Si ^también una gráfica,^ denominada la gráfica inversa ^ ^ f (Y,G ^,X) se denomina la relación i tanto / como / ^son funciones, lo cual ocurre si y sólo si f es tanto sobreyectiva como inyectiva, en cuyo caso se dice que / es biyectiva (Figura 1.10), / ^se denomina la función inversa de f. Nótese que y —f(^) equivalente a f~^{y) —x. Además, f~^ o f{x) = x y f ° f (y) = Vi cualesquiera que sean x € X, y e Y. C'MN.U'NrOS, PUNCIDNK?, Nt'MKlUlS HKAI.KS 9 Si Z es un cniijiuito. ;) : c c Z) se denomina la diagonal de Z. Fvidi'iiUMueute es una gráfica funcioiial. e iz " {Z,ñ.x,Z) se denomina la /iiiicuj?) idñitica de Z. Como es claro, A^^ = A^ e caso / ' es lamlnéii l)iyectiva y (/ ') ^= /. ' = t.-/. Si f : X —» y es biyectiva. así que f ^: Y —>• A' es también una función, se tiene entonces que o / = i,Y y f o f~^ = iy. En tal A' Figura 1.10. Lu función J = ^A'.G,!'! es biyectiva. Nota 1.1. En todo lo que sigue admitiremos sin discusión que dados conjuntos A'', Y y objetos o, b, siempre podemos formar los conjuntos xuy, Any, x'̂ Y, {a}, {a, 6}, (n,i>) yA'xy. También admitiremos que siX yY son conjuntos no vacíos yexiste alguna regla que a cada elemento x £ X asocia un único elemento r(x) de Y, ex¿síe entonces f -.X —^Y talquef{x) =t{x). Esdécir, admitiremos que podemos formar siempre el conjunto G= {(íti''*(x)) : x GA}. Nota 1.2. La notación para la función inversa de f puede ser causa de alguna confusión. Por ejemplo, si beY, f (&) denota a la vez el conjunto G-i(fc) y a su único elemento. Esperamos que el contexto evite siempre esta posible confusión. Si X es un ctmjimto, f = (0,0,X) es una aplicación inyectiva de 0 en A, Si A - 0, / = /-I = ig, y es la única aplicación de 0 sobre sí mismo. Nota 1.3. Sii? = (A,G,y) es una relación y es su relación inversa, es claro que Dom(H ) — ° ^ Cod(i?-^) = Dom(i?). Para una relación R={X,G,Y) der que G(x) = 0 para algún x£A(en cuyo caso Dom(fí) ^ A) y que G{x) contenga más de un punto. En general Cod(ií) i- T, aun si R es una función, Si R es funcional, (Dom(ñ),G.y) es una función. I 10 Capítulo 1 Oefinición 1.2. Si X es mi ('üiijiiiito, el caiLjuntu de los suhconjuntos de X es (1.10) P{X) := {A : A C .Y). Claramente 0,X 6 PiX). El {•onjiiiitcj p(X} sv tmiihirii <•] ron- junto de las partes áo. X. Definición 1.3. XjwA. familia de conjmiLos con índices en ¡ es uiui aj)li- cación / : 1 —^ C, donde C es un conjunfo de (•oujinitos, .Si A, -- /íO. es usual escribir / = Si iAi)i^j es una familia de conjuntos, [J.^^ A¡ (la unión de los Ai) será el conjunto de los elementos que están al lueiio.s en uno de los Ai (con UiG/ = 0 si / = 0). Asu vez, si I ^ 0, flic/ (la iutcrscrcian de los Ai) será el de aquéllos que están en todos los Las relaciones (1.11) le/ i€i xnA=U(A^A). 16/ tS/ válidas si/ ^ 0, y conocidas como leyes de De Morgan, .será.n útiles en el futuro. Verificaremos la primera de ellas. El argumento es típico de los usados para este tipo de comprobación; sea x EX ^ Uier entonces XEX y X^ Uie/^ó así que x E X y, para todo i E I, x ^ Ai\ entonces ^ ^ ^ para todo i E I, y será x E ^i): recíprocamente, SI Xe Díg/C^ \ .<4t), será x 6 AT x Aj para todo i E I, y, por lo tanto, XE X y^ para todo i E I, x ^ Ai; se concluye que x E X y x ^ Uíg/ asíquexeXN.Uie/^¿. Nota 1.4. En todo lo que sigue admitiremos que al definir un conjunto a partir de otros, este conjunto siempre existe (aunque puede ser vacío). Así, sí X es un conjunto, PiX) existe; y si los Ai,¿ E I, son conjuntos, también Uíg/-^ '̂ y existen como conjuntos, el último cuando 7 7^ 0. Si 7 = 0, ®stá definido; sin embargo, frecuentemente se conviene en cierto valor. Por ejemplo, si todos los Ai son subconjuntos de un mismo conjunto X, es natural tomar flig^ Ai = X. ('(iN ri NiDS. FfNcioNcs. NrMKnus Kk.m.ks IL 1.2 Los números reales Supondreiiius (¡iic d Icctur está familiaiizado cuii las propiedades básicas del sistema (S, '.Rf ) de los niínieros reales. Recordamos que la adi ción 4 y la inuhiplic'aci()ii • son Ici/cs de co77jpos¿c¿07i interna en R, el conjunto de las iralrs (aplicaciones de R x R en R); es decir, x -\-y y x-y (os t.ambién laxslumbre escribir .vy en lugar ilc x •y) son números reales •HÍ X y y lo son. Hecordamos además que existen en R dos elementos privilogia<l()S dislinios l) y 1 tales ([uc (1.12) .r+Ü = .r. .fl = .r. xER, (¡ue para todo E R existe (—.r) E S tál.qtic (1.13) .r+(-.r)=.a y también, cuando x ^ ü, .r~' tal que (1.14) x-.r"' = l. Tales leyes .satisfacen también las relaciones 4- (y + 2) = (.t + y) + 2 (1.15) (1.16) (1.17) x+y=y+x X•{yz)^{x-y)-z X-y = V'X X• [y + z) = X•y + X•z. La primera de las relaciones en (1.12) y las relaciones (1.13) y (1-15) implican que (R, 4-) es lo que se llama un grupo abeliano en el cual Oes el elemento neutro y (—x) es el inverso aditivo de x (véanse [22], [29]). La ecuación a -f x = íj tendrá entonces la única solución x = 6+ (—o.) (la cual se denota también con b—a), pues a-l-(6+ (—a)) = (a-f- (—a))-}-^ = 0-l-6=b, ysia-l-c=í) entonces (-a) + (a + c) = ((-a) + o) + c = c = (-a) -\-b = b-a, así que si a -h x = a necesariamente x = O, y si a + .T = Oentonces x = (—a). En particular —(—a) = a, pues ambos, a y —( —ü), son soluciones de (—a) -I- x = 0. De a-(0+0) = a-0+a.-O = nT se concluye queo-O = Ocualquiera que sea a e R. Entonces (-a)6 = -ub, yaque (-a)í; y -oh son soluciones de 12 Capiti:lo 1 ab+x = 0. También {—n)f —6) = ah. ya que auib'» n'sui'Ivcu la <'Ciiitfi<')n (—a)¿;+ X = 0. Por otra pai'l{" s • y O si .r O / y. pues ./• - y O implica, si y 7^ O, que (x •y) •y"' = O•y"' - () - ' y •y" ' 1 • 1 - x. Esto garantiza que •es una ley ile coni{)i)SÍr¡ón iníerna cii ?. {0} y. en virtud de (1.12). (1.14) y (1.16j. que (R'. •) i-.s un grupi> aheliano con elemento neutro 1 y en ei cual es el in\'eis'i inull ij)licai ivi> de .r. Si a,b € M*, la ecuación ax —b tendrá enfonee.s la suiueit'm i'iuira x /en"' en R* (escrita también | o b/a). ya cpie o(r;~'/j) - ft/u" ĵh -- ll> —b, y si ac = 6 entonces a~^{ac) - {n~^a)c - r = a '^h —b^a. de lo cual se deduce, por ejemplo, quesi o Ocnt otices n/a = 1. l/<i ^ a a' ^ ^ Ü y (a~')~' = a. Como las cstructura.s (E, r) y (E". •) están ligadas j)or (1.17), (R,+, •) es lo (¡ue se conuco como un í.-í/f:/-ye fdiiiiuddtii'u (o un campo; véanse [22], [29]). Las relaciones (1.12) a í 1,17) se cnmk eti como los axiomas algcbinicos de E. La estructura de orden de E está determinada ¡)or v\ sul¡conjunto R de los llamados números reales positivos. Si para .4, !i C E definimos A+B AB : = {x + y : X & A, y 6 B]. [xy :x €A, ye B}, {—X : X e A}, {a ^ : GS tíi O^ yl. el conjunto tiene las propiedades fundamentales siguientíts: (1.18) g+n (-E4.) = {0}, 1= R+ U (-IK+), S+ + R+ C R+, 2+R+ C R+. Estas relaciones seconocen como los primeros axiomas de onlcn de R. Si a,6 e R, la notación a < ¿¡ (léase "a es menor o igual que IB) .signifícará que b—ae R+, y la a > i (léase "a es mayor o igua.l que ¿j" ), que b < a. Como es claro, a > Oequivale a que a e R.j.. Decár que a e (—M^.) es equivalente a decir que a = —6, b e M+, o, lo que e.s lo mismo, a cjue —a € 1R+; esto tíltimo equivale, dado que —a = O—a, a que o < 0. y se dice en tal caso que a es un número real neyativo. La.s dos piiincras ("ilN.tlMOS. l'"rNC!0-VKS. Ni'MICHO.-: He.ALBS 13 pro])ied;ules (1.16) si- irailuccu en Si o < l) y a > 0. entonces a = ü. Si ft € E. cntoiice.s u < O ó a > 0. La.s (los lílt itiui,-^, eir (1.20) Si o > Oy /) > ü. entonces u +b> O, ah > 0. La alinnacióii (1.19) c.s aún etiuivaleiite a la conjunción de las dos afir maciones (1.21) Si (( < h y }¡ < (I, entonces a = b. y (1.22) Dados (í. 1) € E. (t<?)ó'j<(j. Teorema 1.2. La reiacidn < tiene adtanás ía.s .siguientes propiedades:a < n, .si a < 6 y b <c entonces o < c, cuaie.squiera que sean a. h, c en R. Dcmo.strarión. (1) es claro, pues e —u = ü £ Rj.. Ahora, las hipótesis de (2) garantizan ([ue b—a y r-b están en R+. y como c—a = (c-i))-t-(ft—n). (1,20) a.segtira (pie c - a e R+- Nota 1.5. Las afirmaciones (1.21) y (1.23) expresan que < es una relación de orden. Si se añade (1.22), esta relación es lo que se conoce como una relación de orden total o un orden lineal (dos elementos son siempre comparables). La relación (1.20) expresa que < es compatible con la estructura de campo de R. Nota 1.6, Para un niámero real a se tiene que a G R+ o (-a) 6 R4.. Esto implica que = a •a GR+, pues = a -a = (—a)(-a). En particular, 1 = 1 •1 GM+. Nótese que si a G(-R+) y be R+, a<b (pues a < O y O< 6). Notación 1.1. Si a,b eR, a <b (léase "a es estrictamente menor que b") significa que a < b y a ^ b. Como es claro, a < b si y sólo si a < b o a = b. En lugar de o < b es también corriente escribir b > a (léase "b es estrictamente mayor que a"). Si a > O, se dice que a es estrictamente positivo. Si a < O, que a es estrictamente negativo. :i.i9) (I.2: 14 Capítulo 1 Si A es un subcxjiijunt.o de E, un eieiueuUj n de E lal cpie a > para todo X€ A se denomina una cota mperínr de A (mía roía inferior, si a < r para todo x EA). Si a G y o.s cota .superior de .•!, se dice (¡ue a es un máxtTno de A (un imnvnu, si n es cofa iníerior). Si a. h son luáxinios de A, a < b y b < a, así (luo a = b. Es tlecir. un ronjimlo A tu ne, si lo tiene, un umco máximo: max/1 {y, también, un único mínimo: niin.4). Si C R, denotará ol conjunto de ]a.s cola.s sipieriores de .4 (y. A~. el de sus cotas inferiores). Decir que a € >! +(« e A-) es ecpiivaiente a decir que no existe 6€ -4 tal que a < b{b < a). Por ejeiuiilo. R' -• R,| = 0 (si a e K, no puede ser a> x para lodo x E R+, ime.s serian a € a+ 1 €^R+ y a + 1 < o, lo cual sería absurdo). También E = 0 y 0 = 0 = ¡g (pues dado a e E, no existe ¿>6 0 tal ipie a < ho b< a). Por otra parte (-R^)+ = k; = -R^, y (, as máximo de (-R.^) y mmimo de E.|., Definición 1.4. Si ^ 0. se dice que Aes acotado snprriormcnic (tnfenormentc, si A- / 0). Si ^ 0 / .se <¡ice que /I ,-.s acatado. Teorema 1.3. Un subconjunto A de R es Hcot.ndo si v sóh .sí existe a > Otai gue -a < X< ü para todo x e A. Demostración. Supóngase que A es acotado. Si /I = 0 sea a = 1. Si existe X6 yl, sean cEA^,deA~. Como d<xyc> x entonces d < c. bea entonces a el máximo de {~d, c}. Lo recíproco os trivial. ^ Definición 1.5. Si aeK, el valor absoluto de a es |a| := rriax{í2,—a}. Chámente |a| >O, con |a( =Osi ysólo si a=0. Además ¡~a\ - (a|. y ia| _ SI y sólo si -b < a < b. Decir que Aes acotado es equivalente a decir que existe a > Otal que [x| < a para todo x e y4. Hay muchos sistemas numéricos que satisfacen todas las propiedades de Rmencionadas hasta el momento. El sistema (R, +, •, R^} tiene, sin embargo, una líltima propiedad quclo caracteriza: Axioma de Caracterización de los Reales (A.C.R.). Si Aes un subconjunto no vacío de Ry A+ ^ 0, A+ tiene un mínimo a. El axioma (A.C.R.) se atribuye a Arquírnedes y se conoce también como el axioma de completez del orden de los reales. Se dice que a es el extremo superior de A: a = sup A:= niin(A+) Claramente ü > x para todo x e A, y si 6< a, debe existir x € A tal que 6< X. Esta propiedad caracteriza completamente a sup A. ('oN.u'NTos. FrxcioNHS, NÚNir.rios Hk.\i.ks 15 Nota 1.7. Si A" i=- 0, de A~ = -(-A)"'" se deduce que (—A)"'" ^ 0. Como —min(—A)"^ = max(A~), se deduce que si A y A~ son no vacíos, A~ tiene un máximo. Se dice que tal máximo es el ex tremo inferior de A: iiif(A) := max(A~). Se tiene que inf(A) = —niin(—A)"*" = —sup(—A), En el axioma cl(> caractiTÍzadón de lo.s reales es necesario hacer dos hipíjtesis sobre .4: A / 0. A^ fí C. para poder asegurar la existencia do sup A. Por ejemplo. C - R y R no tiene un inínimo. a.sí que sup 0 no existe. Tauipo<'u existen supE y supEt-- pnes R'̂ = RlJ. = 0, A su %•<•/,, para, a.segurar la exist(nu'ia de iaf 4 hay que suponer que A 0. A~ •/- 0. Para garantizar la existencia simultánea de inf A y suji A se deiie entonces suponer que A es acotado y no vacío. Para eliminar oslas hipótesis es co.stmnbre extender R. la relación < y las operaciones + y •, aiiadicnclu dos puntos distintos —00, co, ninguno de los cuales está en E. sujetos a las siguientes condiciones: (1.24) (1) —00 < 00. (2) —00 < X< 00 para todo x 6 R. (3) - 00 + X= .r+ (-00) = -00, si - co < X< 00. (4) X+ 00 = co 4- X= 00, si —co < X< 00. (5) x(-co) = (-oo)x = -co, si O< X< 00. (6) x{-oo) = (-oo)x = 00, si - co < X< 0. (7) xco = cox = co, si O< X< 00. (8) xoo = oox = -co, si —00 < X< 0. = O, si - 00 < X < 00. X co X —00 (10) ^=co, si X>0; ^=-OC, si X<0. (11) —(—co) = co. Se dice que —00, 00 son los números reales infinito.'i.^os elementos de R se llaman entonces los reales finitos. El conjunto R = RU (—oo,co} dotado de las anteriores operaciones y de la relación de orden < se denomina, el sistema de los reales extendido.^. 16 Capítulo 1 Nota 1.8. Es costumbre escribir a:+(—oo) = x—oo, o:—(—oo) = x+oo. Nótese que (—oo)+oo, oo+(—oo) no están definidos. Tampoco están definidos O•oo, oo -O, O•(-oo), (—oo) •O, ni ^ cuando ay6son reales infinitos. Si 4 C R y A®, son rcspcctivaiurnff el coiijuiifo de coras sii¡>c- riores c inferiores de A en R. entonces cc 6 A '', -oo G A' ' así (luc 4® y A© nunca son vacíos. Definimos (1.25) j Supi4 min 4®, Inf 4 ;= max4'®.í siempre que el máximo y e] mínimo existan. E.s ciaro aíU'inás que si 4 C R y 4 0, entonces 4® = 4® U {oo} y 4'' —A" u {-oo}. El axioma (A.C.R.) puede entonces enunciarse en la siguiojitrr forma. Axioma de Caracterización de los Reales Extendidos (A.C.R.E.). Todo subconjunto de R tiene nn extremo superior y un rxtre;/jo inferior en R. Nota 1.9. Si 4 C R y 4® = 0, entonces 4® = {oo} y el extremo superior Sup4 de 4 en R es oo. Si 4 C R y 4~ = 0, entonces 4® = {—oo} e Inf4 — —oo. Evidentemente 0® = M, así que Sup0 = —00. De manera análoga, 0® = R e Inf 0 = oo. Si 4 C R, 4 7^ 0 y 4® 0, entonces Sup4 = sup4. Análogamente, Inf 4 = inf 4 si 4 y 4~ son no vacíos. Si A ^ 0, es claro que Inf 4 < Sup4. Definición 1.6. Un subconjunto 4 de R es {finitamente) inductivo si (1.26) (1) 0 6 4, y (2) Si a 6 4, entonces a + 1 A. Los conjuntos R y son inductivos. Si (4¿)¿£7 es una familia de subconjuntos inductivos de R, 4 = 0,6/ 4¿ es inductivo. Definición 1.7. El conjunto N, intersección do todos los subconjuntos inductivos de R, se denomina el conjunto de los números naturales. Evidentemente NC R+. De hecho, N C 4 si 4 es inductivo, y si 4 es inductivo y4 C N, necesariamente 4 = N. Como Nconticiie el conjunto ('OMr\TO-<. rr.VCION'KS. NfMHHOS RP..\LIÍS 17 N' formado ¡«ir Oy jMir los números de la íorina ii + 1 con n 6 N, y este coniunto es (^^{lenlenicnte iiuhu'tivo. N= N'. .•\lgnnos elementos de N son entonces O, 1 = ü - 1. 2 1 -t 1, 3 := 2 —1. 4 := 3 -r 1, -.., etc. Se deduce el siguicnl(> teorema, Teorema 1.4. Si ni es iiu niimeio iiafiirai (aitoaces in > 0; y si m > 0; necesariamente in > 1. Teorema 1.5. Si ni y n son númvios natriraies. m + n es un ntímero natural. Demostración. Sea N" el conjunto de los m'nnerüS naturales ni tales que m + u e N para tcnlo n € N. Evidcnteincnte 0 € N", y si m € N", también m 4- 1 £ N". pues t- 1) -f n. = (rn + 7i) + 1 € N para todo rt € N. Entonces N" C NC N". a.sí (¡ue N= N". El Teorema 1.6. Si m > n son naturales, m - n és un natural. Demostración. Sea N'" el ronjunto de los naturales n tales que si m. GNy 71. < 777, existe p GNcon fi4-p = ni. Evidentemente OGN'", y si ti GN y n 4- 1 < 7n, ni G N, dado (luo ni = p 4- 1, p £ Ni tiene que n < p; existirá entonces q G N tal que n + q = p. de lo cual (n + 1) 4- q = m. Eiit(.)nce.s N'" = H. EÍ Corolario 1.1. Si rn < n .son naturales, ni 4- 1 < n. Dertiostración. Si fuera n < rn 4-1, sería 0<n —77i<l. EÍ Teorema 1.7. Si 4 C N o.s no vacío, 4 tiene un mínimo. Demostración. Como OG 4~, 4~ ^ 0. Sean n = Inf 4 y 7n G 4 tal que 771 < a4- 1. Entonces 7/i - 1 < ti, de lo cual ni < n, para todo n G 4. Así que, m = min 4. Claramente, tti = a. EÍ Teorema 1.8 (Arquímedes). El conjunto N no es acotado superior mente. Si a, b son reales, n > O, existe 77 GN tai que na > b. Demostración. Si fuera N® ^ 0, existiría a = supN. Esto es absurdo, pues existiría 71 G N tal que a - 1 < n, de lo cual a < n 4-1 € N. Ahora, si fuera na. < b para todo 7¡. GN, se tendría que 6/0 GN®. EÍ Nota 1.10. Si 4 C N es superiormente acotado y no vacío, y si a = sup 4, necesariamente a G 4; es decir, a = max4. En efecto, existirá n G 4, 77 > a —1, así que n > m. para todo 777 G 4. Entonces, a —n. 18 Capítulo i Un mGtocio fiTíciicritc do dciiiostrncioii ostfí cii el sij^uicntc teorema. Teorema 1.9 (Principio de Inducción). Si /'(./•) c-.s \¡nn alirumción sobre una. variable x, y si (1) P(0) es verdadera, y (2) P(n + 1) .se deduce de P{n) para todo n e N. entonces P(n) es verdadera para todo r¿ en N. Dcmostración. SeaÑ={neN : P(n)}. Claranionle dg M. ysi a GÑ, asi que P{n) es verdadf^a, también P{7i + 1). al drduriiM' cit- Pin), lo sera. Entonces n + 1 g N, y será N = N. EÍ Ejemplo 1.1. Como aplicación del teorema anterior demos! raremos que sjm e Njntonces mn e Npara todo n GN. Sea P{v.) la <..ndición mrz GN . Entonces P(0) es verdadera (pues mO Og N), y .si su ponemos que P{n) es verdadera también lo será P[n + 1), puesto que m{n + 1) = rnn -f- n e N, corno se deduce del Teorema 1.5. Introduciremos ahora algunas definiciones y notaciones. 1. Z ;= Nu (-N) será el conjunto do Io.s números enicio.i. 2. Q 2{Z ) Z* —Z —{0}, será el conjunto de los nilmeros ratónales. Un número racional x se escribe entonces eu la forma ®~ donde a y bson enteros y b ^ 0. 3. Si a,6 GKy a < 6, () ( j¿) .— {s: . a <X< b} será el intervalo abierto de extremos «y (ii) [a, b) = [x ; a < X< b} será el intervalo semi-abierto a derecha, de extrem.os a y b. (iii) (a, 6] {a; ; a < X< 6} será el intervalo semi-abierto a izquierda de extremos a y h. (iv) [a, 6] .= {a: : a<x < 6} será el intervalo cerrado de extremos ay b. ('l)N.irNT(iS. Fl"NC!ONK.«. XVMKROS RkALES 19 4. (n,oo) := {a- e R : a < x < oo}. [<7,oc) :.= {.r £ E ; n < .r < oo}, 5. (—oo, fl) :-= {x G R : —oo < .r < o}, (—oo,ci] := {.T € R : —oo < x < n}. 6. (—co,oo) := R. Los conjuntos definidos eu los numerales 3, 4, 5 y 6 anteriores se deno minan los intervalos de R (Figura 1.11). « b. (a) Los intervalos {—oo, a] y (h,+oo) a b (b) El intervalo (a, b) a b a b (c) El intervalo {a, b) (d) El intervalo [a, b] PlGlutA 1.11. /nfenni/os. Nota 1.11. Es claro que (a, a] = [a,o) = (o,a) = 0; tojo) = {«}. Los puntos de un intervalo, distintos de los extremos, se denominan puntos interiores del intervalo. Nota 1.12. El contexto permitirá evitar, asilo esperamos, la confusión notacional existente entre el intervalo (a, b) y la pareja ordenada (a, b). Los intervalos de R se definen de manera obvia. Por ejemplo, si a € K, [a, oo] = {.x e R : .x > a}, etc. Nota 1.13. Si I es un intervalo de R, dados a,b E I, a < b, se tiene evidentemente que [a,fe] C I. Recíprocamente, si / C R tiene la anterior propiedad y a* = Inf/, b* = SupJ, entonces {a*,b*) C I C [a*, 6*]. En efecto, la segunda inclusión es clai-a; en cuanto a la primera, obsérvese que si x G (a*,b*), deben existir a, 6 "G I con •a < X < b y, como [a,6] C J, será x G /. Se concluye que I será (a*,6*), [a*,6*), (a*,6*] o [a*,fe*], según que ninguno, uno o ambos de a*, b* pertenezca a I. 20 Capítulo 1 Una de las propicciacij^s más notables del i-oiijiijiio se establece en el signu'nie teurema. de los enteros Teorema 1.10 (Euclides). Si m, n £ Z, n / 0, e.Yjste/j q.r e Z, O< r < lili, únicos, talos t/iie rn —nq -r r. Demostración. Nótese cpie r será nn ni'imero nalnral. Podemos sujav ner también que n es nn natural, jjiies .si in --- ni¡ \ r. lambit'n in = i-n)i-g) + T. Supongamo.s primero que m es un nal mal. .Si ni = O, la afirmación es clara con f/= 7'U. Supónganlos eni onces ijiie 777 = ncivr, O< r < 7Z, asíque O< /•+1 < 72. Si /' +1 < n, la aiirmaeii'm es clara, pues m+1 = n7+ (7- + I). Si /•+ 1 = 7i, entonces 7u -) ] ii{(¡ ^ I) t ü, lambién de la forma deseada. Ahora, si m < 0 y (-rn) í:. nq r. ü < r < n. será m = n{—q) si r = Qy rn = n{-q - 1) + [n —r) si r > (). lo cual lamipleta la demostración do existencia, pue.s O< n - /• < La unicidad resulta de observar que .si m., ?i. > Oson ontoro.s entonces n?n. > 11.. de lo cual nq +r^ nq' + r', que equivale a riiq-q') = - r < n, es imposible con q> g'. 0 Se concluye que todo número entero m c.f de. una 1/ sólo una de. las formas m = 2k o m = 2k + 1, donde k GZ. En el primer caso se dice que m es par, en el segundo, que es impar. 1.3 Conjuntos finitos e infinitos Precisaremos ahora Ia.s nociones de conjunto finito a infinito. Los argu mentos deesta sección son simples pero a veces engorrosos. Aconsejamos al lector asimilar las definiciones y los enunciados y recurrir más a su intuición que a las demostraciones. Recordamos que / ; X —^ Y es sobreyectiva si f{X) = Y,e inyectiva si f{x) ^ f{y) cuando x^y. Definición 1.8. Se dice que un conjunto X es infinito, si existe una aplicación inyectiva y no sobreyectiva / de X en sí mismo. En caso contrario se dice que X es finito. Ejemplo 1.2. El conjunto N de los naturales es infinito, pties f{n) = 72 -I- 1 es inyectiva pero no sobreyectiva. Si X —0, X es finito, pues / = (0,0,0) es la linica aplicación de 0 en sí mismo. El siguiente es un axioma de la teoría de conjuntos. COMl Nroí. FlNiUONES. NÚMEROS Realics 21 Axioma de Elección (A.E.). Si (Aí),g/ es tina íainilia de suhconjim- tos no vacíos de iiíi conjunto A' tales que .4, Ci .Aj —0 si i ^ j, y si 1^0, existe f : / —> Uis; fi'^ ^ ^ Nota 1.14. El enunciado anterior es equivalente a: existe un conjunto A que tiene con cada A,- exactamente un punto en común (si (A.E.) vale, sea A = /(/); recíprocamente, sea / : I —t dada por f{i) =tinico elemento en .4n.4i). Si J fí 0 y A; ^ 0 para todo i GI, el axioma (A.E.) asegura, aún si los Aj no son dos a dos disyuntos, la existencia de / con f{i) e A;. Basta, en efecto, tomar f =pog, donde g : I —^ ^ ÍO' ^ou 5(2) e Ai x {2}, está dada por (A.E.), y p : X X I —> X es p{{a, i)) = a. El axioma (A.E.) asegura la existencia de un mecanismo que permite elegir un punto de cada conjunto no vacío de una familia dada de con juntos, sea esta finito o infinita. Frecuentemente este mecanismo está dado j)or la descripción do la familia misma (véanse los Ejercicios 1.23 y 1.24), pero (A.E.) iisegura que. auti si éste no es el caso. la elección es posible. El axioma (A.E.) tiene implicaciones muy itnportantes. Las que estudiaremos en este capítulo se refieren a la distinción entre conjuntos finitos e itifiiiitOR. Lema 1.1. Las aft'rmacjone.s .siguientes son equivalentes: (1) Existe f •. X —> X, inyectiva y no sobreyectiva. (2) Existe g •. X —X. sobreyectiva y no inyectiva. Demosíracio'ít. Cualquiera de las hipótesis (1) o (2) asegura que X ^ 0. Sea entonces a E X. Para ver que (1) implica (2), sea (1.27) g{x) = si xE f{X), X= /(y), si 3; G X \ /(X). Evidentemente g es sobreyectiva, y no es inyectiva, pues y(/(a)) — Recíprocamente, si (2) se verifica, sea / : X >X —UigxP (^^ tal que f{x) Eg~^{x). La existencia de / está garantizada por Como g{f{x)) - a;, / es inyectiva; pero no es sobre^ctiva, pues g (x) tiene al menos dos elementos para algún x € X. 0 22 Capítulo 1 Nota 1.15. Por lo tanto, si toda aplicación inyectiva de X en sí mismo es sobreyectiva, toda aplicación sobreyectiva g : X —y X será automáticamente inyectiva. De la demostración del Lema 1.1 se deduce fácilmente {véase el Ejercicio 1.31) que si X ^ 0 y f : X —y Y es inyectiva, existe g : Y —y X, sobreyectiva, tal que 9 o f = ix, y, recíprocamente, que si g : X —y Y es sobj-eyectiva, existe f : Y —y X, inyectiva, tal que g o f = iy. Corolario 1.2. Un conjunto X es ¡nñnito si y sólo si cxisti- g : X —> X sobreyectiva y no inyectiva. Corolario 1.3. Las afirmaciones .siguientes son equivalentes: (1) X esfinito. (2) Toda aplicación inyectiva f : X —y X es .sobreyeetim. (3) Toda aplicación sobreyectiva f : X —y X es inyectiva. Notación 1.2. Si n e N, (O, n) := [O, n] D N. Lema 1.2. Si existe f : (O, n) —y (O, m), inyectiva, entonces n < ni. Si además f no es sobreyectiva, n < ra. Demostración. Todo es claro si n = 0. Haremos inducción sobre n. Si / : (O, n + I) —> (O, m) es inyectiva y O < p < n -i- 1 os tal que f{p) —max/((0, n + 1)}, sea i \ (O, n) —y (0,7¿ + 1) dada, jjor i[k) = k, < p, i{k) = k + l, k > p. Claramente f o i es inyectiva, y apli- ca (O, n) en {0,m— 1), puesto que f{k) < f{p) < rn si k ^ p, y /oz((0,n)) = /((0,71 + 1) —{p}) C (O, /(p) —1). Entonces n < m — y n+1 < ra. Supongamos ahora que / no es sobreyectiva. Si / o¿ lo fuera, se tendría que /(p) = m y /((0,rz + 1)) = (0,m), lo cual es absurdo. Entonces n < ra - l, y n ^ 1< m. !ZÍ Corolario 1.4. Si f • (o,n) —y (O, m) es sobreyecti\^, entonces m. < n, oj ademas f no es inyectiva, m < n. Demostración Consecuencia de lo.s Lemas 1.1 y 1.2 y de lo dicho ai final de la Nota 1.15. 0 Corolario 1.5. Los conjuntos (0,n), neN, son ñnitos. Para que exista ^a^aphcaaon biyectiva f : (O, ti) (Q, m) es necesario ysuLciente que T/í T\- CoN.ii'Mos. PrNCiosK, NcMEHüS Reales 23 Corolario 1.6. Si X es infinito y n e N. no existe ninguna aplicación sobreyectiva f : —• A". Dcuiostración, Su{)óiiga.se lo contrario y sea n niíninio para el cual existe tal /. Entonces ?; > 1 y / e.s inyectiva (]nics si f[i) = /(j). O< ¿ < j < n. y 'P : (ü. n - 1) —^ (0. se defino por 'p{k) = k, k < i, .p(fc) = k T 1. k > i. es claro que / oy- es aún sobreyectiva). Sean entonces ¡j : X —>• inyectiva y h • X —A" inyectiva y no .sobreyectiva. C'laraineutc yo /i o / : (O, n) ^ (O, )i) es inyetti\a y no sobreyectiva. 0 Corolario 1.7. Si X es inlinito, existe f : N —t X, inyectiva. Demostración. Como X ^ 0, existe fo • (0,0) ^ Yconto X es infinito, fo no c.s sobreyectiva. Sean .r, € Xv/u((0, 0)) y : (0,1) >X dada por /,(Ü) = /,(0). /,(1) = -tv Haremos inducción sobre n ^ 1, suponiendo que ("xiste /„ : (0,n) —> X, inyectiva, tal que fn{k) — fn-i{k) si ke (0,71 - 1). Como fn uo es sobreyectiva, podemos definir entonces /„+i : (U,7í + 1) —> A" tal que fn+i{f^) = ^ ^ (O'")' fn+\{n + 1) 6 A' \ fn{{0, ")). Claramente /„+i es inyectiva, Sea ahora / . rq X definida por f{n) = f„{n), 71 = 0,1,2,.... Es fácil verificar que / es inyectiva. 0 Corolario 1.8. Si X es infinito, e.viste g : X —> N, sobreyectiva. Si un conjunto X tiene un subconjmito infinito Y, X mismo es infi nito, pues s\ g -.Y —> Yes iuvecliva y no sobreyectiva, f :X 5- X, definida por /(.r) = .r, .r e Xn f{s) =_.9(t), ^ V. es inyectiva y no sobreyectiva. Se concluye que si X es finito yY C X, también es finito. Es también evidente que si X es infinito y / . X yY es inyectiva, /(X) es infinito. Por lo tanto, si existe / inyectiva de Nen X, og sobreyectiva de X en N, X es necesariamente infinito. Esto implica el siguiente teorema. Teorema 1.11. SíX esfínítoy/ :X —> N, entonces/(X) esacotado. Demostración. Si no, existirían 710 < n, < ••• < Y^ • /(X), definida por h{k) = Uk, sería inyectiva. Esto suministraría una aplicación sobreyectiva g de /(X) en N, y go/ ; X yNsería también sobreyectiva. 0 Corolario 1.9. Si X es finito y no vacío, existen n 6 Ny / : (0,n) —> X, sobreyectiva. 24 Capítulo 1 Demostración. Si no, razonando como en el Corolario 1.7. ne podría construir / : N —> -Y, invectiva. EÍ Corolario 1.10. Si X es fíiiito y no vacío, existen tj/i lúiifo n y iiíja aplicación biyectiva f : {0,n) —> X. Demostración. Sea n, mínimo, para el cual existe / : (O, ni sobreyectiva. Entonces, / os inyectiva, EÍ Definición 1.9. Si X es finito y no vacío, y n es como en <-1 Corolario 1.10, se dice que X tiene n + 1 eleinc.nto.s, (j (¡ue el cni-ílinnl di' .Y e.s n4-1: Card(X) = n -f- 1, Se dice también (jue 0 tir.nc. O idi:iin.i\t(>s y cjue su cardinal es 0; Card(0) 0. Si X es finito, existe un línico n e N tal que n = Card(.Y). Si existe / biyectiva de (O,n) .sobre X, X os finito con n. + \ elementos. En efecto, si existiera : X —» X inyectiva y no .sobreyectiva. /"' opa f •. (O, n) —> (0,ri) sería inyectiva y no sobreyectiva. El siguiente concepto precisa la noción do enumerar un conjunto: asignar un número natural distinto a cada uno de sus elementos. Definición 1.10. Si existo / : X enumerable. -¥ N inyectiva, se dice que X es Todo conjunto finito es enumerable. Si X os infinito enumerable, se dice quesucEirdinal es Ho (oícpít •sufc cero): Card(.Y) —Kq. En part icular, Card(N) = Kq. Más aún, si >4 C N es infinito, Card(/1) = Decir que X ^ 0 es enumerable equivale a decir que existe una aplicación sobreyectiva g : N —> X. Nota 1.16. Si X, Y son enumerables, también lo es X x Y. En efecto, si (f> •. X —> N, ^ : y —> N son inyectivas, f : X xY —>• N, dada, por f{x,y) = (véase Ejercicio 1.35), es inyectiva. En particular, N x N es enumerable, y existirá 0 : N —>• N x N sobreyectiva. El anterior resultado implica que si (>ln)neN es una familia, de conjuntos enumerables, A = UncN enumerable. En efecto, si para todo m € N, : N —> Am os sobreyectiva, / : N X N —>• A dada por f(m,n) = /mC^) os sobreyectiva, y también lo será / o 0 : N —>• A. Conjuntos, ruscioNES, Números Reales 25 Ejemplo 1.3. El conjunto Z de los números enteros es enumerable, pues la aplicación (Í> : Z k N m = 2fc + l, sifc>0, -2(fc + 1), si fe < O, es inyectiva (y, Teorema 1.10, también sobreyectiva). También es enu merable el conjunto Q de los números racionales, pues la aplicación íp : Z X Z' —> Q, 'g{m, n) = m/n, es sobreyectiva. •! y ' *. '.V f Nota 1.17. En realidad, X es enumemble infinito si y sólo si exis- fe / : N —> X biyectiva. En efecto, si X es enumerable, 'Cxis- u te una función sobreyectiva g ; N —> X. Para cada x € X, sea , n(j:) = ininp~^(a;). Si el conjunto A = {Ti(a:) : a € X} es finito,/ y m es su máximo, es evidente cómo definir X —^ (0,m) inyec tiva y (O, m) —> X sobreyectiva. Por lo tanto, si X es infinito, también lo es A. Si ahora definimos n, = minA, e inductivamente Tim-t-i = min(A N {n,,..., rin,}), y si ^ ; A —> X es </>(n(a:)) = x y : N —> A es ip^m) —Um, es claro que basta tomar f = <(> o ip. Lo recíproco es trivial. ' 1.4 Dos propiedades de los números racionales Si a > O es un número real , se define [aj como el máximo del conjunto {m e N : m < a} (Nota 1.10). Si a < O, se define [aJ = a si a G Z, [aJ = — aj - 1 si a ^ Z. Es fácil ver que, para todo a £ E, [aJ < a < [aj -j- 1, con [aJ —a si y sólo sí a G Z. El entero [a] se denomina el mayor entero en a. A su vez, foj, definido por faj = a si a G Z, [aj = [aJ -H1 si a ^ Z, se denomina el menor entero mayor que a. Es fácil verificar que [a] = min{m GZ ; m > a} yque [a] —1 < a < [a]. Consideraremos en esta sección dos propiedades notables del conjun to Q de los números racionales. Teorema 1.12. Si a < b son números reales, existe a: 6 Q tal que a < X < b. Demostración. Sea m G N tal que m(6 - , , Iamj +1 , am -t-1 < mo, asi que a < < £>• a) > 1. Eí Entonces am < 26 Capítulo 1 Nota 1.18. Existe un número real a > O, evidentemente único, tal que a? = a •a = 2. Para ver esto, obsérvese qué A = {x > O: < 2} es superiormente acotado (por 2, por ejemplo) y no vacío (1 6 ^), y que si a = Sup A, necesariamente —2. En efecto, no puede ser < 2, pues si O< Ú< 1 es tal que 5 < {2~ o?)f{2a + 1), sería (a + <5)^ < 2. Y tampoco puede ser 2 < a^, pues con O< e < (a^ —2)/2a, e < 1, sería (a —> 2, y a —a sería aún cota superior de A. Escribiremos a = y/2. Tal número real no puede ser racional. En efecto, si lo fuera, si m es entonces el mínimo del conjunto de los p € N tales que p/g — %/2 para algún g 6 N , y si m/n = \/2, al ser m = 2k, A: 6 N, no podrá ser n = 2j para ningún j 6 N (pues sería \/2 = kjj y k < m). Pero, de hecho, = 27i^ implica que m —2k para algún fc € N (si m = 2A: + 1, A: € N, no podría ser —2n^), entonces 2A:^ = y sería n = 2j, j € N. Se deduce que E n Q 7^ 0. El conjunto R \ Q se denomina el conjunto de los números irracionales.Teorema 1.13. Si a < b son números reaies, existe a; € E \ Q íaJ que a < X < b. Demostración. En virtud del Teorema 1.12, podemos suponer que a es racional. Sea entonces n € N tal que n{b —a) > \/2 (Teorema 1.8). Entonces b —a > y/2ln, y b > a + \/2/n > a. Corno a + -v/^/ri es irracional (si fuera a + y/2¡n = r 6 Q, sería \/2 = 7-i(r —a) £ Q), el teorema queda demostrado. IZÍ Notación 1.3. Si a,6 e R, la notación a b significará que a no es menor que b ni igual a b. A su vez a ^ b queiTá decir que a no es estrictamente menor que b. Como es claro, a ^ b si y sólo si b < a. A su vez, a itb si y sólo sib < a. Notación 1.4. Si Oi,... ,0,^ son números reales yl<p<g<n, (1.28) Q gp + • i=P . + Oí En particular, (J-29) ¿ «i =á. +áá +, •H- On, •"^ai—op. Í=1 l=,p CoNJCNTOS. Fl'NTlONE.'!, NÚMEROS REALES 27 Es conveniente definir P 1 (1.30) i=g Esto haremos en lo que sigue, .X ws '. Vvl - Notación 1.5. Si (Aj)igj es una familia de subconjuntos de un con- • junto X e I = {ri eZ : n> m}, es corriente escribir (1.31) En particular, (1.32) . También, (1-33) 00 U U Tiein=m 00 U ~ U n=0 neN IJ .A,i 1^ A„. n=—00 ji€Z -'.J ''í: Notación 1.6. Si / : Jí —> Y y A C X, denominaremos restricción de f a A, y la denotaremos con / [" A, a la aplicación g : A —i- Y . dada por g{z) —f{z) para todo z E A. Las siguientes nociones son a menudo útiles. Definición 1.11. Sea / : X —> R, donde X C R, Se dice que / es: 1. Creciente. S\ x < y implica f{x) < f{y)- 2. Estrictamente creciente. Si r < y asegura que f{x) < f{y). 3. Decreciente. Si a: < y implica /(y) < í{^)- 4. Estrictamente decreciente. Si .t < y asegura que /(y) < J{x). 5. Monótona. Si es creciente o decreciente. 6. Estrictamente monótona. Si es estrictamente creciente o estricta mente decreciente. 28 Capítulo 1 1.5 Funciones trigonométricas Consideraremos en esta sección las funciones trigonométricas. Estas son importantes en la descripción polar de los números compiojos. Desafor tunadamente, cualquier presentación formal de estas funciones requiere algunos conocimientos de la teoría de funciones de una variable rea!, tales como los que usualmente se encuentran en un curso de cálculo elemen tal: límites, derivadas, integrales propias e impropias, teorema del valor medio, teorema fundamental del cálculo. Todo esto puedo encontrarse, por ejemplo, en [3]. Supondremos que el lector tiene algún conocimien to de los conceptos de derivada y de integral de una función continua de variable real. Demostraremos, no obstante, aquellos resultados per tinentes. Esto nos colocará en la desagradable situación do tener que recurrir a nociones y hechos de carácter general relativos a los límites y la continuidad de funciones que sólo trataremos en capítulos posteriores de este libro. Haremos esto, con el compromiso de que evitaremos todo tipo de razonamiento circular. Naturalmente, podríamos suponer que el lector ya conoce suficiente trigonometría como para hacer innecesaria esta sección, pero creemos que una presentación rigurosa de un tema nunca está de más (sólo el rigor es garantía de certeza). La que daremos es básicamente una adaptación del denominado método de inversión de Abel-Jacobi usado en la definición de las funciones elípticas (funciones doblemente periódicas) a partir de las integrales elípticas. Comenzamos por observar que la función (p(x) = 1 -b a;2 es integrable en el sentido impropio en [0,co), es decir, que / <p(x)dx:= lim / ¡pdx Jo b-too Jq existe enR (lanoción de límite y sus propiedades básicas pueden encon trarse en el Capítulo 3). En efecto, si 6 > 1, íp{x)dx =j {p{x)dx +J <fi{x)dx, Conjuntos, Funciones, Números Reales 29 il'{b) = <fiix)dx es una función creciente de b (i/^(¿) < 'ipib') si 6 < b'), así que lim tib) = sup{i/>(fe) :!<!)< oo} < 1, b—»oo como se verifica fácilmente a partir de la definición de límite. Como además J íp{x)dx =J^ ip{x)dx, concluye, de hecho, que <p{x) es impropiamente integrable en (-00,00),se con dx < dx Obsérvese también que + 2. ip(x)dx = 2 ip{x)dx = 2 ip{x)dx. Jo —00 Definimos entonces (X.34) y dt(1.35) n^)--=j^Y^2^ dxr _^=2 r-^=2 r - ^ J-oo 1+ Jo 1+ ^ .2'-t- X (véase la Figura 1.12). Como 1+í X e 30 Capítulo 1 se concluye que O < tt < 4. Por ot,ra parte, F(0)^ü. F(—x) = —F{x), X e Rj i^(x) >0 si X > O, <0 si X < 0. 7r/2 y X —ir/2 Figura 1.12. La gráfica de F. Además, F{x) < F{y) si x < y, pues F{y)~F{x) = í'^> y>g. Jj. 1 + 1 + + x-^ Obsérvese también que F(x) = f, \im,^^^F{x) = -f y que L es continua y derivabíe en (—00,00) con (1.36) F'{x) = 1 + X' X € Esto últiino es consecuencia del siguiente resultado, conocido como el eorema undamental del Cálculo (véase también ¡3], Teorema 5.1). Lema 1.3 (Teorema Fundamental del Cálculo). Sí / es coiíÉimia em^m ervaol, I y f (i) dt, xe /, entonces ges contímia en / y derrvafaíe en todo punto interior x„ de /. con y'(x„) ^ /(xj. Demostración. Si Xj, e /, entonces 9{x)~ g{x^) =p f{t)dt CO.NJl'N-TOS, Fl NCIONES. NÚMERO? REAI.ES 31 para todo .r £ /. Sea n > Otal que J = [.r„ - «.Xo + a] n / es un intervalo cerrado. Como ,/ e? entonces loinpacto. existe AÍ > O tal que 1/(01 < l'i"''' todo t € J (Capítulo 11, Definición 11,1 y Teorema 11,3), Por lo tanto, si (.r - .Col < «. la relación anterior implica que _ y(x„)| < jl/|x - .rol- lo cual asegura la continuidad de g en Xo, pues implu'a obviamente que limj_;ro <7(x) = 5(Xo) (véase el Capítulo 5, Teorema 5,1). Supóngase ahora ciue .fo GJ no es un ptinto extremo de / y sea a > O tal ciue [.i-a - a,X(, + ct] C 7, Sea i > Oy tómese O< 5 < n tal que 1/(0 - /(•''n)l < £ si |f - .Coi < Entonces, de gix) - y(.rO _ ^ ^ ^ •r - Xn se deduce que g{.r) -g[.Vo) .r - .r„ -fi-r.) < e si ü < l.T —xJ < á, lo cual fisegura que lim = f{Xo) Y T^XO X — .Xo completa la demostración. 2Í Se concluye (vca.se el Capítulo 5, Teorema 5,6, más adelante) que F{R) = (-f, f) y que si F~' : (-f, f) —> R es la función inversa de F, F'^ es continua y estrictamente creciente (Figura 1.13), Vi I H I 2 X Figura 1.13, La función tgx = F '(x). 32 Capítulo 1 Escribiremos (1.37) tgx :=F \x), -2 2' Como es claro, tgO = O, tgs < Osi x < O, tgx > Osi x > 0. Definimos además (véanse Figuras 1.14 y 1.15) (1,38) cosx ;= 1 tgx TT TT —, „ senx := —, < x < —. VTTti^ v/l + tg2 X 2 2 Figura 1.14. La fundón senx y su pTolongadón. y Figura 1,15. La fundón cosx y su prolongadón. Evidentemente (1.39) _Iim^tgx=-oo, lira tgx = oo; lira eos X = lim eos x = 0. y (1,40) Conjuntos, Funciones, Números Reai.es lim senx=—1, llinseni = l. 33 Definimos entonces (1.41) cos(-|) =cos(0 := O, sen(-^) ;= -1, sen(|) := 1, así que sen.T y cosx son continuas en [-fi?]' Finalmente definimos, para x 6 [-§, ?]> (1,42) sen(x + A:7r) = scni, k = 2j —sen X, k = 2j + 1, j € Z, (1.43) cos(.i- + kn) = cosx, fc = 2j - cosx, k = 2j + 1, j 6 Z, Esto extiende sen y eos a todo R. y las extensiones son, en virtud de (1.39) y (1.40), continuas en R (véase, al respecto, el Ejercicio 5,5 más adelante). Nota 1.19. Para ser precisos obsérvese, con respecto a lo anterior, • que si = 2[|J, en cuyo caso O< ^ —2|_fJ < 1, tomando X= X—i|j7r se llega a que (1.44) TT 1 ^ 0<x<—, x = x + fc7r. A: = - • 2 LíT. >Por otra parte, si = 2[|J + 1, tomando x = x—([fJ + l)7r se • obtiene que TT I 3/ I —— < X < o, x = x + A:7r, fc = — + 1. 2 Ltt J I Esto justifica la afirmación de que (1.42) y (1.43) extienden sen y S-cos a todo R. h-/ * Ahora, de F(tgx) = x se deduce que F(tg(x + h)) -F(tgx) = h, así que, teniendo en cuenta que tgx es estrictamente creciente, 1 F(tg(x + h)) -F(tgx) tg(x + h) - tgx tg(x + h) - tgx h = 1. h^Q, 34 Capítulo 1 y como tga; es adeiiiás coiiliniiri. se concluyf de (1.3ü) ciuc 1 (1.46) tg'(:c) = F'itgx) El resultado anterior es también consecuencia del siguiente lema, conoci do como la regla de derivación en cadena o regla de la cadena (véase [3], Teorema. 4.2), el cual será también liti! más adelante, Lema 1.4 (Derivación en cadena). Sean I, /' intarvHlos nidrrtos de B., f : I —>• g :/' —> E. Supo'nga,so que f es (Jci'ívhIjJc en un punto a e I y que g es deiivahle en /(a). Entonces g o / as derj\-a/jie en a y {g°fy(a) = g'if(a)) Demostración. (Véase el Capítulo 6, Teorema 6.3). Si ,/ e.s un inlervalo abierto y F : .7 —> R es derivable en un j)unto o G .1. la función F* : J —> R definida por f F{x) ~ F{a) , X e ;r ^ nf:{x) = i X - a F'{a), X — a es continua en a. Esto resulta de que limi_mF,*(T) = F'{a) = F*{a). Además, F{x) —F{a) = Fa(x)(x —a) para todo x € J, relación que asegura a su vez que F es continua en a. Esto implica en nuestro caso, con las notaciones obvias, que 9{f{^)) -5(/(a)) =5}(a)(/(x))(/(x) - /(a)) de lo cual f)i^) - (ffo/)(o) ~ X ^ a.X — a La conclusión resulta entonces de la continuidad de f v f* en a v de 9}^^^ en fia). EÍ J y Ja y Del anterior resultado y de las reglas elementales de derivación de productos y cocientes, asi como de la relación (x'")' = se deduce entonces, a partir (1.38) y (1-46), que ' (1.47) sen'x = cosx, cos'x = —senx ^ 2<-^< 2' Necesitamos ahora el siguiente resultado, conocido como el Teorema del Valor Medio (véa.se [3], Teorema 4.5). CO.VJL'.NTOS. Flncioxes. Númehos Reai.es 35 Lema 1.5 (Teorema del Valor Medio). Si / e.s continua en el inter valo [a, /j¡ de R. n < b. y si f es derivable en (n,6), existe x 6 (o, b) tal que f{b) - /(ü) - f'{.r){b - o). Demostración. Supongamos primoro que f{b) = /(a) - Cambiando / por —/. si es necesario, podemos suponer entonces que existe x G(a, &) tal que f{x) > fiy) para todo y€ [a,??! (Capítulo 11. Teorema 11.4). Sea /; como en el Loma l.-i. Como /; os continua on x y/;(y) > Osi y < Xmiontra.'í que /j(y) < üsi y> .r. .so dcduco que /^(.r) = / (x) —O, y el teorema queda demostrculo en este caso. Para establecer el caso general basta aplicar el caso particular ante rior a la función X f{b)-f{a) s5(x) = /(x)-/(fl) a)- EÍ Del Teorema del Valor Medio se deduce el siguiente corolario, sumamente útil. Corolario 1.11. Si / es continua en un intervalo I y /'{x) = Oen todo punto interior x de 1 (un punto no extremo de /), necesariamente f es constante en 1. Dem-ostraciÓJi. En efecto, si <i £ /. para todo be I ex^te c€J tal que y({,) _ fia) = f'ic)ib-a) = 0. así que /(6) = f{a). 0 Generalizaremos ahora las relaciones (1.47) a todos los puntos^x GR. En efecto, del Lema 1.5 se deduce que para .x <Ocon jx] pequeño, sen^^ 4- x^ - sen^ =cos^x' +-^x, x<x<O- A su vez, para, x > O, también pequeño, sen(| +x) -sen ^ -(sen(-- -f x) -sen(--)^ =-cos(^-^ +x')x, donde O< x' < x, como resulta de (1.42) y (1.43). Como x' ^ Ocuando X-t Oy eos es continua en ±f, se deduce que sen (2) —O—008(2)- De la misma manera se demuestra que sen (—2) ~ (2) ~ cos'( —5) = —1, y como para fc G2, TT TT (sen(x -I- ferr))' = (isenx)' = icosx = cos(x + ¿tt), --<x<-, 36 Capítulo 1 se concluye, mediante una nueva aplicación ele la regla de la {-adoiia, que sen'(:c +kir) —cos(x -t- /ctt), —^ < J: < así que (1-48) sen'a: = cosx, x e K. De la misma manera se verifica que (1-49) cos'x = —scnx, x 6 R. Esto implica que si /(x) = sen^x + cos^x entonces (mediante la re gla de la cadena) f'{x) ~ Opara todo x € E, y como /(O) = 1, que (Corolario 1.11), (1.50) sen^x -f- cos^x =1, x € R, (lo cual es obvio de (1.38) para —| < x < |). Por otra parte, (1.48) y (1.49) implican también que tanto senx como cosx satisfacen la "ecua ción diferencial" (1.51) f"{x)+f{x) = 0, xeR. Este hecho tiene, en virtud del siguiente lema, importantes consecuen cias. Lema 1.6. Si / satisface (1.51) y /(O) = /'(O) = O, necesariamente f{x) = Opara todo x en R. Dcmostmción. En efecto, si s(x) = (/(x))^ + (f(x)f eotonces g'{x) = j (^)(j 1^) + / (x)) (como se deduce de la regla de la cadena), así que g (x) —O, XGR. Entonces g es constante, como resulta del Corolario 1.11. Como además g(O) = Q, la afirmación queda demostrada. EÍ Teorema 1.14. Si a e R, para todo x en R se tiene que sen(a -f- x) = senacosx 4- cosasenx, (1-53) cos(a -t- x) = cosacosx —senasenx. Conjuntos. Funciones. Números Reai.es 37 Demostración. Si /(x) = sen(a 4- x) —senacosx - cosasenx, entonces /"(x) 4-/(x) = Oy /(O) = /'(O) = 0. Esto demuestra (1.52). La relación (1.53) se demuestra do manera análoga. IZÍ Si /(x) = senx4-sen(-x) y g{x) —cosx-cos(-x), también /"(x) 4- /(a;) = O= f;"(x) 4- g{x) pava todo x e R. Como además /(O) = /'(O) = ^(0) = g'(0) = O, se concluye que (1.54) sen(-x) = —senx, cos(—x) = cosx, x € R. Esto implica que si a € R. (1.55) (1.56) para todo x € E. Como senO = Oy cosO = I, (1.42) y (1.43) implican que sen2/c7r = O y eos 2kiT = 1, fc G Z. De (1.52) y (1.53) se concluye entonces que (1.57) sen(x 4-2/:7r) = senx, co.s(x + 2ic7r) = cosx, x € E, fe € Z. Esto se expresa diciendo que sen y eos son funciones periódicas de período 2-k. Nota 1.20. De (1.38) y (1-42) se deduce que senx = Osi y sólo si X = krr, k e Z. A su vez, de (1.38), (1.39) y (1-43), que cosx = O si y sólo si X= {2k+ 1)^/2. Se concluye que |cosx| = 1 si y sólo si X= kir y que cosx = 1 si y sólo si x = 2kTr, k eZ. Nota 1.21. De la continuidad de senx y cosx se deduce (Capítulo 3, "teorema 3.5 y Nota 3.6; Capítulo 5, Corlario 5.2) que sen(E) = [—1,1] = cos(E). Por lo tanto, si r, s € E y —1 < x, s < 1, existen X, t/ 6 E con eosx = r, seny = s. Si además 4- = 1, es decir, si (r, s) está sobre el círciilo unitario C= {(a, i») : a^ 4- = 1} de E^, necesariamente sen y = drsenx = sen(±x). Como cos(±x) = cosx, . esto implica que existe z € E tal que r = eos z, s = senz. . _ sen(a —x) = senacos.x —cosasenx, cos(a —x) = eos a eos x 4- seu a sen x. " Nota 1.22. Si para x € ,(1.58) entonces O < x* < ; definimos X* := X — 2 X .27r 7r 38 Capítulo l (1.59) sena:"" = sena:, coss* = cosx. Más generalmente, si para a, x € R definimos (1.60) + si + y (1.61) + si a:- +2[¿J:r>a. entonces x** G[a, a + 2x) y sen x** = sen x, eos x** = eos x. Esto y lo dicho en la Nota 1.21 aseguran que si r, s GR con = 1, dado a G R existe 6 e [a, a + 2tt) tal que r cosí?, s = sen6. Tal e es único pues cos0 = cos0' y sen0 = sen0' implican que cos(0 - e') = 1, lo cual es posible sólo si 0 = 6' + 2k-K, fe GZ, y como 0, 9' € [a,o+ 27r), necesariamente fe = Oy 0 = 6'. Como sen(a + 27r) = sen a ycos(a +27r) = eos a, existe también uno ysólo un € (a, a + 27r] tal que r = eos 9', s = sen 9'. ~2 < X< ^, es claro, de (1.38), que (1.62) tgx = sen X cosx La relación (1.62) permite extender tgx a todo x € R, x í2fe + l)7r/2, feez (Figura 1.10). ^ ^ ^ '(Figura 1.16) A su vez, se definen secx := 1(1.63) cosx a: ^ (2fe + l)7r/2, fe e Z, (Figura 1.17) y (1.64) cosx ® ¡srí- *=£2, En los ejercicios el lector podrá encontrar algunas propiedades de estas runciones. CON-U'NTO.S. Fl'NnONES, NÚMKRÜS RUALES / -4? PICUUA l.K). La función tg j y su pTolongacióii. y -'27T FlGUR.'X 1.17. La fujiciói} seci. 39 X X 40 Capítulo 1 Nota 1.23, Las abreviaturas sen, eos, tg, ctg, seo y ese correspon den respectivamente a seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante, los nombres usualmente dados a estas funciones. Nota 1.24. Si : M —> dada por (1.35), es \isúal escribir = arctga: (el arco cuya tangente es x) (Figura 1.12). A su vez, arcsen : [—1,1] —> ^itnción inversa de la función sen : [—f,f] —^ [—l)l]i y arceos : [—1,1] —>• [O,tt], la de eos : [O, tt] —> [—1,1] (Figura 1.18). Análogamente se definen: arcctg : R—>-(0,7r), ai'csec : {x 6 R : [a;| > 1} —>• [O, ^) U(f ,7r] (Figura 1.19), arccsc : {a; € R : jx] > l} —>• [—f, O) U (O, |]. - Es fácil verificar (Ejercicio 1.41) que (1.65) ir TT arcctg X = — — arctgx, arccsc x = — — arcsecx. y TT 2 1 -1 y ' X \/ 1 1 TT 2 (a) La función arcsen (b) La función arccosa:. Figura 1.18. Conjuntos. Funcíones, Números Iíe...-es 41 y -Tt 1 X 1 -1 1 Figura 1.19. La función arcsecx. El número real tt definido por (1.34) es uno de los más importantes en matemáticas. Describiremos de manera suscinta e informal la manera como este número hizo su primera aparición en esta ciencia. Sean /, g '• [a,¿j] —> R funciones continuas con ^(.r) < /(x)para todo x € [«,&]• El área A(/?) de la región R = í(^iy) •• a < X< b, g{x) < y < /(x)} entre f y g (Figura 1.20) está definida por ¡•b (1.66) A{R)= / [f{x)-g{x)]dx. Ja Si D{r) denota entonces el disco cerrado de centro en (0,0) yradio r > O, es decir, si D{r) = {(x, y) : x^ + < r}, se tiene evidentemente que Lí(r) ={(x,y):-r<x<r, - x^ <y< así que si Ar = A{D{r)) entonces A. = 2\/t 2 dx = 2rX Haciendo v —x/r, la fórmula anterior toma la forma (1.67) Ar =2r^ J \/l - «2 du, 42 CaPÍTUI-0 1 Figura 1.20. La región R = : a < x < b, g{x) < y < f[x)). como resulta de observar que du = Ifrdx. Haciendo ahora u = sen0 (pues |fí| < 1), < 6* < |, y observando que \/l - = COS0 y du = cosí?se obtiene que frz/2 fn/2 f-n/'l Ai-= 2r^ / cos'̂ 9dO = T^ / d9 + r^ / (ros26'</í?. •?—7r/2 •/—7r/2 J —7r/2 Hemos usado el hecho de que cos'̂ ^ = 1 —scn^d (rolacibn (1-50)) y, también, que sen' 9 = eos9 y eos 29 —cos^ 9—scn^ í? = 2cos^ 9—1, como resulta de (1.48), (1.50) y (1,53). Pero con ^ = 20, 1 f" 1 J- / cosipd<p =-[sen(7r) - sen(-7r)] —O, ^ ^ J —TT ^ de tal manera que Cl-68) Por otra parte, es posible establecer (véase más adelante el Capítulo 12, relación (12.15)) que la longitud Lr del círculo C(0,r) es Lr — 27r7'. ('OS.U'NTOS. I-'I NCIONES. Nf'MKROS ReAI.KS 43 Fue en ol contexto de (1.68) y (1.66) donde primero apareció el míinrro tt. Arqui'nicdcs ileniostró que las áreas de dos discos arbitra rios c.stahan cu la inisina proporción que el cuadrado de sus radios y que las longitudes de sus círculos lo estaban en forma proporciona! a éstos. La constante <ie proporcionalidad resulta ser tt (el área del disco de radio iinidail) en el primer caso y 27r en el segundo (la longitud del círculo de radi(7 unidad). Reciirrieiulo al método de aproximación exhaustiva de Eudoxio, Ai'íiuímedes dio diversas aproximaciones racionales a tt (22/7 y 3.1416 son. ciuizá, las más usadas). Hoy día existen aproximaciones racionales de tt con más de cinco mil millones de cifras decimales. La irracionalidad de tt. ya sospechada por Arquúnedes, y, de hecho, su tras- ceTulcnda (no puede ser raíz de un polinomio con coeficientes enteros), fueron establecidas por C. F. Lindeinaim a fines del siglo XIX. En [1], [2]. [3], 15], [19], [26] y 138], el lector podrá encontrar otras presentaciones del material de este capítulo. Ejercicios 1.1. Verifique las reUicioncs (1.1). 1.2. Verifique la primera de las relaciones (1.2). *1.3. Sea P[x) la condición .t ? ar. Demuestre que {a: : P(a:)} no existe. (Indicación. Si A= {;c : P(x)} existiera, se llegaría a que Ae Asi y sólo si A ? A). 1.4. Verifique la segunda de las relaciones (l.H). 1.5. Sean iA^)i^¡ una familia de snbconjuntos de AT, f :X >Y. Verifique que iei id i6/ y dé ejemplos de f : X —^ Ky de dos subconjuntos Ai, A2 de X tales que /(Al n A2) C/(Al) n /(A2). Demuestre además que /(Ai n Ai) = /(Ai)n/(A2) cualesquiera que sean Al, A2 C X si ysólo si / es inyectiva. 1.6. Sean / : X >Y, (Pi)íe2 una familia de subconjuntos de Y. Demuestre 44 que 1.7. Sean / ; X Capítulo 1 ieJ ie7 teJ igj Y, A C X, B C Y. Deniucslro que Acr'ifiA)), f{r\B))CB y dé ejemplos en los cuales las inclusiones sean estrictas. ¿En qué cir cunstancias es válida la primera de estas relaciones para todo A C A'? ¿Y, la segunda, para todo B C K? 1-8. Sean f, A y B como en el ejercicio anterior. Verifique ciuc '^B] = X \ y que si / es inyectiva, f{X \ A) C Y n f{A). 1.9. Sea G C X XY una gráfica. Demuestre que = G, y que si G' CG entonces (G')~' C G"V Demuestre que si J = (A,G, Y) es una función, G~' es funcional si y sólo si / es inyectiva, y que (Y, G"', X) es una función si y sólo si / es biycctiva. 1.10. Sea G C A XA una gráfica. Se dice que R = (A, G, X) es una relación de equivalencia en A si: (1) Ax C G ((a, a) € G para todo a GA). (2) G C G-i (de lo cual, G'^ = G ; (a, 6) e G si y .sólo si (6, a) GG). (3) G oG C G (si (a, 6) € G y (fc, c) 6 G entonces (n,c) £ G). Demuestre entonces que x € Gix) para todoi € A, que G{x)r\G{y) -é ® si y sólo si xRxj, en cuyo caso G(x) = G(y), y que A = Uxex En lugar de xRy es usual escribir, para una rehvción de equivalencia R, a; s y (mod Tí). Se dice que G{x) es la clase de equivalencia módulo R de-xy q\ conjunto {G{a:) : s £ A} de las ciases de equivalencia módulo R se denomina el conjunto cociente de X por Tí y se denota con A/Tí. La aplicación ip ; A —+ X/R que a x asocia G{x) {q¡{x} ;= G(x)) se denomina la aplicación canónica o la aplicación cociente de R (en la práctica es bastante corriente identificar una relación, especialmente de equivalencia, con su gráfica: G= Tí). 1.11. Verifique que A X (Y U 2) = (A X Y) U (A X Z), A X(Y n Z) = (A XY) n (A X Z). CoN'jrNTOS. Funciones. Nlmero.s Rrai.es 45 1.12. Sean n, h, c números reales. Verifique que - (fi + ¡j) = (-«) + (-ft)- - (íi -h)^ (-a) + b. (a + b) - c = a + {b ~ c). {a-h) + c-a-{b-c). {a-b)-c = a- (,6 + c). 1.13. Sean a, 6, c mimero.s reales con be 7¿ 0. Demuestro que (íi/c)-' - c/ft. {ab)/c=- a(b/r), {a/b)c = a/[b/c), {a/b)/c = a/bc. 1.14. Sea íi £ R, ü 0. Demuestre que n= si ysólo si a= ±1- 1.15. Demuestre que si u, b&Z entonces a+b€ZyabeZ. 1.16. Verifique que si n, b. c, d£R, bd f O, entonces a¡b =cfd si ysólo si ad = be. Demuestre además que a/b+ c/d= {ad+ bc}/{bd). a/f)-c/d = (ac)/(M), (a/b)/(c/d} = {ad)/{bc), c^O. Concluya que si x, J 6Qeutouces x+»£« yxy €Q, yq-a «» O, también y""' £ Q y 3:/y £ Q- , . /íHi I Olí donde 0+ —O n M+, satisface*1.17. Compruebe que el sistema (Q,+- i'v£+/' . Pnrri los aiiomas algebraicos de Bylos dos <«í" tal pruebe, sur embargo, que el coujuuto A={x £« :x S2} es acotado superiormente en <3 pero no tiene extremo superior Q. 1.18. Sean a, fi, c, d números reales. Demuestre que (a) Si c<6yc<dentonces a+c<b +d. (b) SiO<a<6yO<c<d entonces ac <bd. (c) Si O<n<6yc- <d<Oentonces be <ad. 1.19. Sean a, 6, c, d miineros reales. Demuestre que (a) a < 6si y sólo si a < f» o a = b. 46 Capítulo 1 (b) Sia<¿)yif<c entonces a < c. (c) Si Q < b entonces b ^ a. (d) Si a < 6 y c < cí entonces a + c < b + d. (e) Si a < 6 y c > O entonces ac < be. (f) Si Q< 6 y c < Oentonces he < ac. 1.20. Sean a, b números J'cale.s. Verifique que (a) |a| = a si a > 0; \a\ = -a si a < 0; -\a\<a< |a|; |a| < bsi y sólo si ~b < a < b. (b) |a[ = Osi y sólo sí a = 0; |a| = bsi y sólo si a = i o a = —b. (c) |a|̂ = a^, m = |o| = Oj jal _ jg¡ y j-j ¡^2 _ (d) |a+ ¿I < |a| + j6| con |a+ ¿I = |a|+ |¿| si y sólo si nb > 0. (e) ||ü|- |6|| < |a-6|. (f) |a6| = |a||¡!|. 1.21. Demuestre que si >1 C Z es superiormente (inforionnento) acotado y no vacío, A tiene un máximo (un mínimo). Verifique entonces que si a e M, [üj = max{m € Z;m< a}, ycompruebe que [aj < ü< [aj + 1 con a = [aJ si y sólo si a £ Z. 1-22. Sea una familia de conjuntos. El conjunta de todas las aplica ción^ f : I —^ t,aies que f{i) € A, para todo i €I se denota íli^iAi yse denominad producto cartesianu (¡cneraliznáo de {A,),qi- emuestre que si / = 0 entonces U¿e/^i = 0 y = {(0, 0.0)}, mien^^as que si J ^ 0 y 0 pa^a algún i e I entóneos Uí^jAí = 0. Demuestre también que si / ^ 0 y d, 0 para todo i e I, el axioima es equivalente a afirmar que Uí^jAí ^ 0. Sea (d,),g; una familia de subconjuntos no vacíos de Ncon I 0 PíLl uf ' ^ Si 0 # di Cz para todo i £ /, f fZ'n d^^°«trar, sin usar el axioma (A.E,), que existe avinma ^ ^ ^ uccesario el a€Af n ' " garantizar que si 0 7^ d CZes posible escogeroe A? ¿Que se puede decir si d 0 es arbitrario? *1.24. Sea (AJis, una familia de intervalos cerrados de Rcon / 0. ¿Es eces^ e Axioma de Elección para demostrar que existe una función raciona? ; ^ ^ ^raeional ¿£ Q, sea el conjunto de ios irracionales mayores que i. Demuestre, sin usar d axioma de elección, que existe f •O ») I A tal que f(i.) £ A^ para todo ¿£ Q- J •U.eQ A., {'OMl NTa.><. FLNC'IO.VLS, NvmiuíO.S Re.m.es 47 1.25. Demneslre que si ni. n > Uson enteros entonces nin > ti. 1.2Ü. Demuestre ipie <i^ - Ir si y sólo si a = ±b. y concluya ijuesi r > O, existe a In -siniio uii 11 í Z- ti > O, tal que tr = c. 1.27.Verifique que 7^- -t- E_ = R.^-- R-.R+ = R^-. 1.28. Deiimcslre que í-i .'i i Q es ta! que A c' [~A) = Q. .4 ri (-.4) C {0}, .4 \ A C .4 V .4-4 Q -4, entonces .4 = Q+ (Indicación. Denine.si.re primero que ü, 1 £ .4 y concluya que N C .4). 1.29. Demuestre (pie si .4 C R es tal que .4 U(-.4) = R, .4 n (-.4) C {0}, .4 -t -4 C .4 y .4.4 ^ .4, eiitonres .4 = R.,.. *l,ilO. Es uii axioma de la teoría de eoiijunlos ¡lue si .4 rs iin conjunto yA ^ p..TÍstc B £ .4 tal ¡¡nc B H.4 = 3. Demuestre que este axioma implica: (a) Si Aes mi conjunto, .4 £ .4, (Indicación. Considere {A}). (b) Si .4 y B son conjuntos y .4 € B entonces B £ .4. (Indicación. Considere {A, B}]. (r) Exi)li(iue por qin^ no existe el cnrijimfo de todos los conjuntos que pualen dr.jhiirsc en ciistcllnna con menos de vantc palabras. (d) Si .4 = {•!' ' existe (es decir, si es un conjunto) se dice (|iie P(J-) es i-ahrlirizonfi: en j. Deiimest.re que las afirmaciones ".r £ ;i'", ".I" es un conjunto" y ".c = .r" no son coíecíú'i^ímíes en x. 1.31. Sean A', V conjuntos. Demuestre que: (a) Si X/- 0 yJ •• X —> r, para que exista g; y —^ Xtal .que gof = ix es necesario ysuficiente que / sea inyectiva. (b) Si y 0 y/ :X^ r, para que exista g: Y Xtal que f og = ÍY es necesario ysuficiente que / sea sobreyectiva. *1.32. Sea / :X —> V. Demuestre que si G= {{x,y) • R, = (X G X) es una relación de equivalencia en X (Ejercicio I.IU), yque si ¿ :'x —i X/Rf es la aplicación canónica de Rj, existe una aplicación inyectiva f :X/Rj Ytal que fop^f. *1 33 Sean / •A' —> Y, Rmía relación de equivalencia en Xcon gráfica G, :X >X/R SU aplicación canónica. (a) Demue-stre que /í^ =Hyque para que exista una aplicación / : ^Ytid que /o= / es necesario ysuficiente que GCG/, donde G/ es la gráfica de Rj (Ejercicio 1.32). (b) Demuestre que f es inyectiva si y.sólo si G= Gj. 48 Capítulo 1 1.34. Sea ACZ acotado inferiormente y no vacío. Sea a = inf^. üeiiiuestre que a G A, asi que a es mínimo de A. Para cada míjiiero real a, sea [a] = m¡n{m e Z : m > a}. Demuestre que f"! = « si y sólo si n G2, que fol —1 < a < [a], y que ía] es el iiiiico entero con la anterior propiedad. El entero fal se denomina el menor entero mayor que a. Compruebe que W = a a. SI a G Z [gJ + 1, si a ^ Z. 1.35. Sean a GR y n GN. Se define inductivamente ÍgO^I, |a"+'=a"a, n > 0. Asu vez, si a 7^ Oyn G2, n < O, se define á" = (o~')~". Demuestre que ' a"a-' = q"-'. (a")"' = a""*, (afc)" = cualesquiera que sean m, nGZ. Se supone que a O, 6 üsi alguno de números m o n es < 0. (Indicación. Si n > O, haga inducción sobre (a-ií-i 1 ^ í = (a"')""- Las relaciones _ p . °' (° ) —a ^6 ^ pueden ser útiles). Compruebe que si „2t. ° " >Opara todo nGZ. yque si aGR, a 7^ O, entonces O n ^ ^®'""estre también que si g < O, a^-'+i <> fe £j. ¿C¿ue se puede decir de a si o" = 0. n > O? 1.36. Para -1 < i < 1, sean Demuestre que dt G(sena:) = i, 2 - - 2' H{cosx)~x, 0<x<n. 1.37. Para GyH como en el Ejercicio 1.36 demuestre que G(l) =í G(hl,l]) =[^,|], ,^1 Co.^.ii'NTOs. Funciones. Númekos Re.\les 49 1.38. Verifique que tg.r y ctgx son periódicas de período tt. ¿Cuáles son los períodos do secx y csc.t? \'orifique adenuls ijue t.g.r + tgí; , , ctg.rclgt/-l - ctgx + ctg-, siempre que todas las funciones que aparecen t?stén definidas. 1.39. Viuiíiquo (pie t.g(-r) = - tg .r, ctg(-x) = - ctg X, sec(-x) =áecx, csc(-i) = -cscx. 1.4Ü. Comprutibc que 1) soc'x = 1+tg^x. csc^X =1+ctg^X, 2) tg' .V = spc" X, 3) sec'.r = secxtgi, 4) Ron2x = 2senxco8X, „ .c 1 + eos X 5) cus - = — ctg' I = - csc^ X, csc'x = - eseXctgx, eos 2x = eos" X- sen^ x, ., X 1 - eos X 2 = 6) cosmxcosnx= 1[cos(m +n)x +cós(í?i - n)x], 7) sen mx sen nx =5[cos(ni - n)x - cos(7n +n)x], 8) sen mx eos tix = 5[seii(7)t. +n).r +sen(7íi - n)x]. 1.41. Sean GyH como en el Ejercicio 1-3G. Demuestre que sen G(.t) = x, cosH(x) = x y, de hecho, que G(x) =arcsenx, Jí(x) = aiccosx (véase la Nota 1,24). Demuestre las relaciones (1.65) yverifique que 1 arcsen x arccos'x = -1 < ^ < l'> -1 < X < 1; v^l - arcctg' X= — 1 l + x^ 1 , xgM; . |x| > 1;arcsec .c = |xl\/x^ —1 1 arccsc x = - • |.rl\/x'^ —1 Haga las gráficas de arcctg x y arccsc x. , lil > 1. 50 Capítulo l 1.42. Sean O < 9 < tt, x = cosO, T.a(x) = cosnd, n > O, Deniuost,rp que ro(i) = l, Tiíi) = X y que 2xr„(T) = Tii+ií-x) + 71 > i, -1 < ,r < 1. Concluya que T^íx) es un polinoiiiio de grado n cu x y (|uc la rel;\ción anterior vale para todo número real (la coIcitíóii {7(,(,r} ; ti > ()} se conoce como el sistema de los poliiujinios de Cheby.sliev de primera clase). 1.43. Sean O< B< n, x —cosí?, í/n(x) = ^ . Demuestre (pii' í/o(x) = 1, ÍJi(x) ^ 2x y que 2xU„{x] = í/„+i(i) + C/„_i(;r), ?; > 1. -1 < ,;• < 1. y concluya que Un{x) es un polinomio de grado ii en x y cpie l;i relación anterior es válida para todo x £ R ((í/„(,r)} .se cüiiuct! como el sistema de los polinomios de CIicby.sl)ev de segunda clase). 1.44. Compruebe que T,,{x)T,^{x, ^ -I V I - X dx ^ —̂ri^rnrí* J U,^[x)Urn(x)\/l - x'̂ dx ^;in4»n, d°nde —Osi m ^ 72, (5„„ = I, Aq = tt, A„ = 7r/2, n > 1, (in = ^/2, n > 0. (Indicación. Use las relaciones (6) y (7) del Ejercicio 1.40). 1.45. Sean X,Y conjuntos, f •. X —7 y. La aplicación / induce aplicaciones /. : P{X) A P{y), m, r •• p{Y) ^ P(A-) ¿Qué relación existe entre /.{/'(B)) yByentre y 4? 1.46. Sean AT, Yconjuntos, / ;AT -4 K. La aplicación / induce aplicaciones /• :P(P(A)) P(P(y)}, r :P(P(1')) -4 P(P(X)) definidas respectivamente para ACp(X) y BCp{Y) por r(B) = {/-^(B)|BeB}. Compruebe que BC/.(/'(B)) yque r{f.[A)) CA Conjuntos, Fi^ncionf-s. NÚMcnos Rr..\!.ks 51 1.47. Sean 7? = (A',6'. A') una relación de otiuivalencia, ip : .Y —> X/R la aplicación cociente. Si 1 C A' es tal que f y : V —^ XjR es biyectiva, se dice que Y es un sistema ile representantes de R. (a) Demuestre qtie V e,s un sistema de ropres<mtantes de R si y sólo si y tiene tin úuici> elemento en común con cada clase de equivalencia módulo B. (b) Deumesire que el axioma (A.E.) es equivaleitte a la afirmación: Toda relación de eguivalcncia (A',G,A) tiene un sistema de repre sentantes. (Indicación. Si / / 0, -4, # 0 para todo i ^ y A, nAj = 0 para i ^ j. entonces G= ^ gráfica de titia relación de equivalencia sobre A' = IJ.g/ A,.) 1.48. Demuestre citie la relación de inclusiótt C es una relación de orden en p(A'), pero que si A tiene más de \m punto, no es una relacioti de orden total. Capítulo 2 El sistema de los números complejos El sistema (C,+, •) de los números complejos s(? obtiene al datar C = K XR de las leyes de composición interna (2,1) (a, b) + (c, d) = (a + c,b + d) (a, b) • (c,d) = (ac - bd, ad + br) (véase Figura 2.1). En lugar de (a, b)'{c, d,) es usual e.scribir sinipleineutc (a, b)(c, d). Usaremos preferencialmente las letras C denotar los ele mentos de C, especialmente cuando aparecen como variables. Si ¿ = (a,b) 6 C, a se denomina la parte real de z: a = ^tz. A su vez, b es la parte imaginaria de z: b= Qz. El número complejo z (a, —6) se conoce como el conjugado de z (Figura 2.2), Es costumbre identificar el número complejo (q,0) con el número real a: (a,0)^a. Esta identificación permite considerar a R como un subconjunto de C, También se definen (2,3) -(a, 6) := (-a,-fe), (a,fe)-(c,d) :=(a,fe)-F(-(c,d)), Kl, SiSTKM.A UE 1.0S NÚMEKOS COMPLEJOS 53 asi que (a, fe) - {(\d) = (n,fe) + (-(c,(/)) = (a - c,fe -d). Figura 2.1, Los números complejos z, z 2 - í, 2?- El número complejo (2.4) í:=(0,1), que juega un papel importante en la teoría de los números complejos, se deivornina la zimdad imaginaria. De hecho, un número complejo la forma (0,6) se denomina un número imaginario. Dado que (0,6) - (6,0)(0,1) = bi, como resulta inmediatamente de (2.1), los números imaginarios son los múltiplos reales de i. Se tiene que (2.5) í2 = (0,l){0,l) =(-l,0) =-l. El tener la relación (2,5) es uno de los motivos para introducir (C, +, •)• Como (2.6) (íi, fe) = (a,0) + (O, fe) ^ a+ fei, 54 Capítulo 2 todo número complejo z se escribe {2.r) + Si 2 = {a,b)
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