DOC-20230525-WA0042 - Erick alexander Acuña saenz (2)

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Ejercicios de la parábola con vértice fuera del origen de un plano cartesiano
Ejemplo 1.- Determina la ecuación de la parábola con vértice en el punto (1, -4) y foco en el punto (1, -2)
Primeramente, identificamos el tipo de parábola ubicando los puntos dados (vértice y foco) en el plano
cartesiano:
Comparando en:
Y donde el valor de “p” estará dado por la coordenada “y” del foco, es decir: k + p = -2 y al sustituir el valor
de “k” (coordenada “y” del vértice) k = -4 al sustituir da: -4 + p = -2 despejando p = -2 + 4, p = 2(puede
verse en la gráfica la distancia que hay entre el vértice y el foco).
Al sustituir las coordenadas del vértice y el valor de “p” en (x – h)2 = 4p(y – k) con V(1, -4) y p = 2 tenemos:
(x – 1)2 = 4(2)(y – (-4)) obtenemos (x – 1)2 = 8(y + 4) Ecuación ordinaria
Desarrollando los productos: x2 – 2x + 1 = 8y + 32 igualando a cero: x2 – 2x + 1 – 8y – 32 = 0
Ordenando x2 – 2x – 8y – 31 = 0
Ejemplo 2.- Obtener la ecuación de la parábola con foco en (6, 3) y directriz x + 2 = 0.
Primeramente, identificamos el tipo de parábola a que se refiere a través de la ubicación del foco en el plano:
Para ello consideremos a la directriz como x = - 2
Por lo anterior, el valor de la directriz es x = h – p es decir h – p = -2 y el valor de la coordenada “x” en el foco
es x = h + p es decir h + p = 6
Se establece un sistema de ecuaciones:
que al realizar la suma de ecuaciones da: 2h = 4 y al despejar es h = 4/2 = 2{ℎ − 𝑝 =− 2 ℎ + 𝑝 = 6 
Y por otra parte, como la coordenada “y” del foco es y = k entonces k = 3
Por lo tanto las coordenadas del vértice es: V(2, 3)
Ejemplo 3.- Obtener la ecuación de la parábola con vértice en (-2, -4), abre hacia abajo y tiene un lado recto
de 12 unidades.
Como la parábola abre hacia abajo entonces:
Y el lado recto es 12 es decir: LR = 12 y como LR = 4p entonces 4p = 12 p = 12/4 p = 3
La ecuación de la parábola está dada por: (x – h)2 = -4p(y – k) por lo tanto (x – (-2))2 = -4(3)(y – (-4))
(x + 2)2 = -12(y + 4) Ecuación ordinaria
Desarrollando el binomio al cuadrado
x2 + 4x + 4 = -12y – 48
Igualando a cero x2 + 4x + 4 + 12y + 48 = 0
Ordenando x2 + 4x + 12y + 52 = 0 Ecuación general
Ejemplo 4.- Obtener las coordenadas del foco, ecuación de la directriz y lado recto de la parábola dada su
ecuación y2+ 12x + 4y + 52 = 0.
Obteniendo la ecuación ordinaria
1er. Paso: Despejar los términos que no contengan la variable común del término cuadrático:
y2+ 4y = - 12x – 52
2do. Paso: Completar el T.C.P., sin olvidar sumar del lado derecho la cantidad obtenida.
y2+ 4y + 4 = - 12x – 52 + 4
y2+ 4y + 4 = - 12x – 48
3er. Paso: Factorizar ambos lados de la igualdad, lado izquierdo binomio cuadrado, lado derecho factor
común.
(y + 2)2 = - 12(x + 4) por lo tanto h = - 4 y k = -2 4p = 12 p = 3
Es decir: V(-4, -2) LR = 12
Y el foco, como corresponde a una parábola que abre hacia la izquierda el foco está dado por:
F(h-p, k) entonces h – p = -4 – 3 = - 7 por lo tanto F(-7, -2)
La directriz es x = h + p entonces x = -4 + 3 x = - 1 ó x + 1 = 0
Otra forma de obtener el vértice y el valor de “p”:
Por lo tanto, , y D = 12 entonces y y E = 4 entonces𝑝 =− 𝐷4 𝑝 =−
12
4 =− 3 𝑘 =−
𝐸
2
𝑘 =− 42 = − 2
Finalmente 𝑘 =− 𝐸
2−4𝐹
4𝐷 =
(4)2−4(52)
4 12( ) =
16−108
48 =
−192
48 =− 4
En conclusión, las coordenadas del foco estarán dadas por (h+p, k) entonces (-4 - 3, -2) es decir (-7, -2)