ayudantia 1 pauta 2019

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Universidad Técnica
Federico Santa Maŕıa
Departamento de Matemática
Ayudant́ıa 1
1 Semestre 2020
Coordinación MAT-023
1) Sea T : R3[x]→ R2[x] tal que
T [p(x)] = p′′(x) +
∫ 1
0
p(x)dx
a) Pruebe que T es una tranformación lineal
b) Sean B1 = {1, x − 1, (x − 1)2, (x − 1)3} y B2 = {1, x, x(x − 1)} bases de R3[x] y R2[x] respectivamente.
Determine [T ]B2B1 y use esta matriz para obtener el núcleo de T.
Solución:
a) Para demostrar que T es una transformación lineal tenemos que probar;
T (p(x) + q(x)) = (p(x) + q(x))′′ +
∫ 1
0
(p(x) + q(x))dx = T (p(x)) + T (q(x))
T (αp(x)) = (α(p(x)))′ +
∫ 1
0
(α(p(x)))dx = αT (p(x))
Otra forma: Sabemos que la derivada y la integral son transformaciones lineales y la suma de tranformaciones
lineales es una tranformación lineal.
b)
T (1) = 1 = α111 + α21x+ α31x(x− 1)
T (x− 1) = −1
2
= α121 + α22x+ α32x(x− 1)
T ((x− 1)2) = 7
3
= α131 + α23x+ α33x(x− 1)
T ((x− 1)3) = −25
4
+ 6x = α141 + α24x+ α34x(x− 1)
Por lo tanto,
[T ]B2B1 =
1 −12 73 −2540 0 0 6
0 0 0 0

Determinemos el Ker(T ). Sea p(x) = a+ bx+ cx2 + dx3
Ker(T ) = {p(x) ∈ R3[x] : [T ]B2B1p(x) = ~0}
Entonces tenemos que; 1 −12 73 −2540 0 0 6
0 0 0 0


a
b
c
d
 =
00
0

Aśı,
Ker(T ) = {a+ bx+ cx2 + dx3 ∈ R3[x] : a+
−1
2
b+
7
3
c+
−25
4
d = 0 ∧ 6d = 0}
= {b(−1
2
+ x) + c(x2 − 2x− 4
3
) : b, c ∈ R}
Por lo tanto,
Ker(T ) = 〈{−1
2
+ x, x2 − 2x− 4
3
}〉
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2) Sea Tk : R3 → R3 la transformación lineal
Tk(x, y, z) = (kx+ y + z, x+ ky + z, x+ y + kz).
a) Determine la dimensión de Ker(T−2).
b) Verifique que T0 es un isomorfismo y encuentre una fórmula para T
−1
0 .
Solución:
a) Queremos encontrar vectores (x, y, z) tales que (−2x+ y + z, x− 2y + z, x+ y − 2z) = (0, 0, 0). Aśı, consi-
deremos −2 1 1 01 −2 1 0
1 1 −2 0
 ∼
1 1 −2 00 −3 3 0
0 3 −3 0
 ∼
1 1 −2 00 −3 3 0
0 0 0 0

∼
1 1 −2 00 −1 1 0
0 0 0 0
 ∼
1 0 −1 00 −1 1 0
0 0 0 0

Aśı,  ab
c
 =
 aa
a
 = a
 11
1
.
Luego, Ker(T−2) = 〈{(1, 1, 1)}〉 y aśı, la dimensión de Ker(T−2) es 1.
b) La transformación T0 es T0(x, y, z) = (y + z, x+ z, x+ y). Como T0 es una transformación entre espacios
vectoriales de la misma dimensión, para chequear que es un isomorfismo basta mostrar que Ker(T0) = {0R3}
o bien que Im(T0) = R3; probaremos esta última propiedad.
Evaluando en CR3 , la base canónica de R3, tenemos T0(1, 0, 0) = (0, 1, 1), T0(0, 1, 0) = (1, 0, 1), T0(0, 0, 1) = (1, 1, 0)
y, aśı, la matriz representante de T en términos de CR3 es
[T ]
CR3
CR3
=
 0 1 11 0 1
1 1 0

Calculando la inversa de esta matriz, tenemos que0 1 1 1 0 01 0 1 0 1 0
1 1 0 0 0 1
 ∼
1 1 0 0 0 11 0 1 0 1 0
0 1 1 1 0 0
 ∼
1 1 0 0 0 10 −1 1 0 1 −1
0 1 1 1 0 0

∼
1 1 0 0 0 10 −1 1 0 1 −1
0 0 2 1 1 −1
 ∼
1 1 0 0 0 10 −1 1 0 1 −1
0 0 1 12
1
2 −
1
2
 ∼
1 1 0 0 0 10 −1 1 − 12 12 − 12
0 0 1 12
1
2 −
1
2

∼
1 0 0 − 12 12 120 −1 0 − 12 12 − 12
0 0 1 12
1
2 −
1
2
 ∼
1 0 0 − 12 12 120 1 0 12 − 12 12
0 0 1 12
1
2 −
1
2

Aśı,
([T ]
CR3
CR3
)−1 = [T−1]
CR3
CR3
=
 − 12 12 121
2 −
1
2
1
2
1
2
1
2 −
1
2

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Por lo tanto, T es un isomorfismo dado que las columnas de T forman un espacio vectorial de dimensión 3
y una fórmula para T−1 está dada por
T−1(x, y, z) =
(
− x
2
+
y
2
+
z
2
,
x
2
− y
2
+
z
2
,
x
2
+
y
2
− z
2
)
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3) Considere la aplicación lineal T : R3 −→ R3 tal que
T (1, 1, 0) = (2, 4,−2); T (1, 0, 1) = (0, 2,−2), T (0, 1, 1) = (2, 2, 2).
Pruebe que existe una base A de R3 tal que [T ]AA es diagonal.
Solución:
Comenzamos notando que el conjunto
A = {(0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)}
es una base de R3 (basta, por ejemplo, calcular el determinante de la matriz formada por esos vectores como
columnas). Por otro lado tenemos,
(2, 4,−2) = 4(1, 1, 0)− 2(1, 0, 1).
(0, 2,−2) = 2(1, 1, 0)− 2(1, 0, 1).
(2, 2, 2) = 1(1, 1, 0) + 1(1, 0, 1) + 1(0, 1, 1).
Luego se tiene que
[T ]AA =
 4 2 1−2 −2 1
0 0 1
 .
El polinomio caracteristico de esta matriz, es:∣∣∣∣∣∣
4− λ 2 1
−2 −2− λ 1
0 0 1− λ
∣∣∣∣∣∣ = (1− λ)(λ2 − 2λ− 4).
Se tiene que los valores propios son
1, 1 +
√
5, 1−
√
5.
Es decir la matriz tiene 3 valores propios reales y distinto. Por lo tanto existe una base B en la cual la matriz de
la transformación es diagonalizable.
Se deja propuesto, como ejercicio, determinar dicha base.
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4) Sean B = {(1, 1); (−1, 2)} y C = {(2,−1); (2, 1)} bases de R2 y sea T : R2 −→ R2 una transformación lineal tal
que
[T ]B =
(
1 1
−1 1
)
.
Calcule la matriz [T ]C .
Solución:
Notemos que
[T ]C = [I]
C
B[T ]B[I]
B
C .
Para obtener la primera matriz del lado derecho notamos que
(2,−1) = 1(1, 1)− 1(−1, 2)
(2, 1) =
5
3
(1, 1)− 1
3
(−1, 2).
Con lo cual
[I]BC =
(
1 5/3
−1 −1/3
)
.
Su matriz inversa, será la matriz, [I]CB es decir
[I]CB =
(
−1/4 −5/4
3/4 3/4
)
.
Finalmente se tiene que
[T ]C =
(
−1/4 −5/4
3/4 3/4
)(
1 1
−1 1
)(
1 5/3
−1 −1/3
)
=
(
5/2 13/6
−3/2 −1/2
)
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5) Sean B1 = {(1, 0); (0, 1)}, B2 = {(1,−1); (1, 0)}, B3 = {(0, 1); (1, 1)} bases de R2 y se sabe que T (1, 0) = (5,−2)
y T (0, 1) = (−3, 1)
a) Determine la matriz [T ]B3B1 .
b) Si se sabe que S : R2 → R2 es una transformación lineal tal que [T ◦S]B3B2 =
(
2 −1
1 2
)
, determine el valor
de S(1, 0)
Solución:
a) Tenemos que
(i) T (1, 0) = (5,−2) = α11(0, 1) + α21(1, 1) = (α21, α11 + α21)⇒ α11 = −7, α21 = 5.
(ii) T (0, 1) = (−3, 1) = α12(0, 1) + α22(1, 1) = (α22, α12 + α22)⇒ α12 = 4, α22 = −3.
Aśı, tenemos que [T ]B3B1 =
(
−7 4
5 −3
)
b) Sabemos que
[T ◦ S]B3B2 = [T ]
B3
B1
· [S]B1B2
⇒ [S]B1B2 =
(
[T ]B3B1
)−1
· [T ◦ S]B3B2 =
(
−3 −4
−5 −7
)(
2 −1
1 2
)
=
(
−10 −5
−17 −9
)
.
Por otro lado, también tenemos que
[S]B1B2 = [S]
B1
B1
· [I]B1B2 ,
donde [I]B1B2 es la matriz de cambio de base desde B2 a B1, es decir, [I]
B1
B2
=
(
1 1
−1 0
)
.
Por lo tanto, tenemos que
[S]B1B1 = [S]
B1
B2
·
(
[I]B1B2
)−1
=
(
−10 −5
−17 −9
)(
0 −1
1 1
)
=
(
−5 5
−9 8
)
.
Finalmente, tenemos que S(1, 0) = (−5,−9).
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