Clase01 Sucesiones - Z E

Vista previa del material en texto

Sucesiones y Límites
Límites, derivadas e integrales 
Cass, 2023
¿Qué es una sucesión?
Una sucesión se puede pensar como una lista de números escritos en un orden definido:
𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, . . . , 𝑎𝑛, . . .
El numero 𝑎1 recibe el nombre de primer término, 𝑎2 es el segundo término y, en general, 𝑎𝑛 es el 𝑛-ésimo término.
Notación: La sucesión {𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, . . . } también se denota mediante
Ejemplos
Algunas sucesiones se puede definir dado una formula para el 𝑛-ésimo término.
Ejercicio: Encuentre una fórmula para el término general 𝑎 𝑛 de la sucesión
Sol:
Sucesión de Fibonacci {𝒇𝒏}
Hay sucesiones que no tienen una ecuación que las definida de forma simple
“Cada uno de los términos es la suma de los dos anteriores”
Gráfica
Una sucesión se puede representar dibujando sus términos en una recta numérica. También, como una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos, se puede representar en un plano donde los puntos serian de la forma
Ejemplo: la sucesión 𝑎 𝑛 = 𝑛 / (𝑛 + 1) tiene las siguientes representaciones graficas:
Sucesión creciente y decreciente
Ejemplo:
La sucesión 𝑎 𝑛 =	𝑛 / (𝑛 + 1)es creciente
La sucesión 𝑎 𝑛 =	3 / (𝑛 + 5)es decreciente
La sucesión 𝑎 𝑛 =	𝑛 / (𝑛2 + 1)es decreciente
Sucesión acotada
Ejemplo: La sucesión 𝑎 𝑛 = 𝑛 está acotada por abajo (0 < 𝑎 𝑛), pero no por arriba. La sucesión 𝑎 𝑛 = 𝑛 / (𝑛 +1)está acotada porque 0 < 𝑎 𝑛 < 1 para todo 𝑛.
Convergencia
Convergencia
Convergencia
Si 𝑎 𝑛 es muy grande cuando 𝑛 es muy grande, usamos la notación:
Lim 𝑛 → ∞ 𝑎 𝑛 =	∞.
Además,	si	lim𝑛 → ∞ 𝑎 𝑛 =	∞, entonces	decimos	que	la	sucesión	{𝑎 𝑛}
diverge a ∞.
Leyes de los limites para sucesiones
Resultados importantes
Teorema de la compresión para sucesiones:
Resultados importantes
Aplicación
Estudiar la convergencia de las siguientes sucesiones y cuando corresponda determinar el limite:
Algunos limites especiales:
𝑎 𝑛 =	𝑛 / (𝑛 + 1)
𝑎 𝑛 =	𝑛 /	10 + 𝑛
𝑎 𝑛 = (−1)𝑛
𝑎 𝑛 =	(−1)𝑛/𝑛
𝑎 𝑛 = 𝑠𝑒𝑛 ( 𝜋Τ𝑛)
𝑎 𝑛 =	𝑛! / 𝑛𝑛