Problemas de calculo vectorial-67

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6.4 Integrales de superficie 199
828 Si F(x, y, z) = (x, x2, yz) y S = {z = 0, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}, calcular∫
S
F.
829 Sea S el elipsoide de ecuación 2(x− 1)2 + (y+ 1)2 + z2 = 1 y F(x, y, z) =
(x, y, z). Calcular la integral I =
∫
S
F.
Solución 829:
Para parametrizar el elipsoide usamos coordenadas esféricas dilatadas y
desplazadas, que en este caso resultan
x(u, v) = 1 + 1√
2
cosu sen v, y(u, v) = −1 + senu sen v,
z(u, v) = cos v u ∈ [0, 2π], v ∈ [0, π].
Este cambio proporciona el vector normal exterior
n(u, v) = 1√
2
sen v(
√
2 cosu sen v, senu sen v, cos v);
y la integral resulta∫
S
F =
∫ 2π
0
∫ π
0
1√
2
sen v(1 +
√
2 cosu sen v − senu sen v) dv du
=
4π√
2
.
� Calcular el flujo del campo F a través de la superficie S. Cuando la superficie
sea cerrada utilizar la orientación exterior:
830 F = (ex, ey, z), S ≡ porción de z = xy sobre el triángulo (0, 0, 0),
(1, 1, 0), (1,−1, 0) con orientación hacia arriba.
831 F = (ey, yex, xy), S ≡ porción de z = x2 + y2 por encima de
0 ≤ x ≤ 1 con 0 ≤ y ≤ 1, orientada hacia fuera.
832 F = (x2y,−3xy2, 4y3), S ≡ porción de z = x2 + y2 − 9 bajo
0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, con orientación hacia dentro.
833 F = (−x,−y, z2), S ≡ porción de z =
√
x2 + y2 comprendida entre
z = 1 y z = 2, orientada hacia fuera.
834 F = (x, y, z), S ≡ x2 + y2 + z2 = 9.
835 F = (0, y,−z), S ≡ y = x2 + z2 para 0 ≤ y ≤ 1, junto con
x2 + z2 ≤ 1, y = 1.
836 F = (x, 2y, 3z), S ≡ cubo [−1, 1]3.
200 Capı́tulo 6 Análisis vectorial200 Capı́tulo 6 Análisis vectorial200 Capı́tulo 6 Análisis vectorial
Solución:
830 Como la integral de superficie de un campo exige integrar el pro-
ducto escalar
F(Φ(u, v)) · (Φu × Φv),
observamos que esta expresión es el producto mixto de los tres
vectores F(Φ), Φu y Φv. Sabemos que este producto mixto es
el determinante con filas formadas por estos tres vectores. Aśı
podemos escribir∫
S
F =
∫
D
det(F(Φ(u, v),Φu(u, v),Φv(u, v)) du dv,
si D es la región en la que se mueven los parámetros (u, v). En el
caso concreto que nos ocupa, podemos usar como parámetros las
propias variables (x, y), de modo que la parametrización es
Φ(x, y) = (x, y, xy), −x ≤ y ≤ x, 0 ≤ x ≤ 1
Aśı, tendremos que integrar sobre el triángulo determinado por los
tres puntos dados el determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
ex ey xy
1 0 y
0 1 x
∣∣∣∣∣∣∣∣ = xy − ye
x − xey.
En concreto, la integral que nos interesa es∫ 1
0
∫ x
−x
(xy − yex − xey) dy dx = −2e−1.
833 Usamos las coordenadas polares como parámetros. De este modo
ponemos
x = r cos θ, y = r sen θ, z = r, 1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2π.
Los vectores tangentes son
(cos θ, sen θ, 1), (−r sen θ, r cos θ, 0).
Si hacemos el producto vectorial en este sentido obtenemos el vector
normal hacia dentro. Como nos piden usar la orientación contra-
ria, debemos invertir el orden de los dos vectores anteriores. Aśı
debemos integrar en el rango en el que se mueven los parámetros,
el determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
−r cos θ −r sen θ r2
−r sen θ r cos θ 0
cos θ sen θ 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ = −r
2 − r3.
6.4 Integrales de superficie 201
Aśı se obtiene el valor de la integral como∫ 2π
0
∫ 2
1
(−r2 − r3) dr dθ = −73π
6
.
834 Una alternativa frecuente para calcular la integral de superficie de
un campo vectorial F consiste en obtener la integral del campo
escalar F ·N, donde N es la normal unitaria a la superficie en cada
punto.
En el caso de una superficie esférica, como la que nos ocupa, es muy
fácil conocer cuál es la normal unitaria a la superficie; si S es la
esfera de radio 3 centrada en el origen, la normal unitaria exterior
en cada punto es N = 13 (x, y, z). Entonces,∫
S
F =
∫
S
F ·N =
∫
S
1
3 (x
2 + y2 + z2)
Ahora bien, dado que estamos integrando sobre S, de ecuación
x2 + y2 + z2 = 9, está claro que∫
S
1
3 (x
2 + y2 + z2) =
∫
S
9
3 = 3Área(S) = 108π
836 Como el cubo [−1, 1]3 consta de seis caras, debemos calcular la
integral del campo F sobre cada una de estas caras y sumar al final
los resultados.
En primer lugar consideremos la cara x = 1. La normal exterior al
cubo es (1, 0, 0) y el producto escalar con F = (x, 2y, 3z) es x, que
en la cara x = 1 vale precisamente 1. Por lo tanto, esta primera
contribución a la integral corresponde al área de la cara, que es
4. El mismo razonamiento sobre la cara x = −1 lleva a que la
contribución sobre esta cara vuelve a ser 4.
Razonando de modo similar en el resto de las caras, llegamos a que
las contribuciones sobre las caras y = 1, y = −1, z = 1, z = −1
son, respectivamente, 8, 8, 12, 12. La integral total será 48.
837 El campo de velocidad de un fluido se describe por F = (1, x, z) (expresado
en metros/segundo). ¿Cuántos metros cúbicos de fluido cruzan por segundo
la superficie S = {x2 + y2 + z2 = 1, z ≥ 0}? (Indicación: se está pidiendo∫
S
F).
838 Dado el campo eléctrico E(x, y, z) = (x, y, 0) y la superficie S definida por
el cono x2 + z2 = y2 con z > 0 y acotada por los planos y = 0 e y = 1,
encontrar el flujo de E a través de S con orientación hacia arriba.
Solución 838: