Repaso al cálculo de determinantes

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Cap¶³tulo 7
Repaso al c¶alculo de determinantes
7.1 C¶alculo de determinantes
7.1.1 Aplicaci¶on del m¶etodo de Gauss al c¶alculo de determinantes
Recu¶erdese que las tres transformaciones elementales sobre ¯las (columnas) eran las siguien-
tes:
1. Intercambiar la ¯la (columna) i-¶esima por la la ¯la (columna) j-¶esima:
Fi $ Fj
2. Multiplicar la ¯la (columna)i-¶esima por un escalar c 6= 0:
Fi ! cFi
3. Sustituir la ¯la (columna)i-¶esima por ella m¶as c veces la ¯la (columna) j-¶esima, con i 6= j:
Fi ! Fi + cFj
Por tanto, seg¶un las propiedades vistas del determinante de una matriz, las transformaciones
elementales sobre ¯las (columnas) afectan de la siguiente forma al determinante de la matriz:
1. La primera transformaci¶on ¶unicamente var¶³a el signo del determinante.
2. La segunda transformaci¶on hace que el determinante se vea multiplicado por la constante
c.
3. La tercera transformaci¶on no var¶³a el signo del determinante.
Por tanto, dada una matriz A de orden n, lo que tenemos que hacer es modi¯car A mediante
las transformaciones elementales sobre ¯las o columnas hasta conseguir una matriz triangu-
lar (que evidentemente puede ser escalonada), cosa que siempre podemos hacer. Por tanto el
determinante ¯nal ser¶a de la forma:
¯̄
¯̄
¯̄
¯̄
¯̄
a11 ? ? ? ?
0 a22 ? ? ?
0 0 a33 ? ?
¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢
0 0 0 0 ann
¯̄
¯̄
¯̄
¯̄
¯̄
donde el determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.
Gloria Gal¶an Mar¶³n Tema 7: Repaso al c¶alculo de determinantes 89
Adem¶as, debemos recordar las propiedades de los determinantes para ver como se ve afectado
el determinante de las matrices resultantes cuando efectuamos transformaciones elementales
sobre ¯las o columnas.
Ejemplo 1 : Calcular por el m¶etodo de reducci¶on o de Gauss los siguientes determinantes:
a)
¯̄
¯̄
¯̄
1 0 3
2 1 4
1 0 ¡1
¯̄
¯̄
¯̄
F2!F2¡2F1=
¯̄
¯̄
¯̄
1 0 3
0 1 ¡2
1 0 ¡1
¯̄
¯̄
¯̄
F3!F3¡F1=
¯̄
¯̄
¯̄
1 0 3
0 1 ¡2
0 0 ¡4
¯̄
¯̄
¯̄ = ¡4
b)
¯̄
¯̄
¯̄
4 3 2
3 ¡2 5
2 4 6
¯̄
¯̄
¯̄
F3!12F3= 2
¯̄
¯̄
¯̄
4 3 2
3 ¡2 5
1 2 3
¯̄
¯̄
¯̄
F3$F1= ¡2
¯̄
¯̄
¯̄
1 2 3
3 ¡2 5
4 3 2
¯̄
¯̄
¯̄
F2!F2¡3F1=
¡2
¯̄
¯̄
¯̄
1 2 3
0 ¡8 ¡4
4 3 2
¯̄
¯̄
¯̄
F3!F3¡4F1= ¡2
¯̄
¯̄
¯̄
1 2 3
0 ¡8 ¡4
0 ¡5 ¡10
¯̄
¯̄
¯̄
F2!14F2=
(¡2)(4)
¯̄
¯̄
¯̄
1 2 3
0 ¡2 ¡1
0 ¡5 ¡10
¯̄
¯̄
¯̄
F3!15F3= (¡2)(4)(5)
¯̄
¯̄
¯̄
1 2 3
0 ¡2 ¡1
0 ¡1 ¡2
¯̄
¯̄
¯̄
F3!F3¡12F2=
(¡2)(4)(5)
¯̄
¯̄
¯̄
1 2 3
0 ¡2 ¡1
0 0 ¡32
¯̄
¯̄
¯̄ = (¡2)(4)(5)(1)(¡2)(¡
3
2
) = ¡120:
c)
¯̄
¯̄
¯̄
¯̄
1 0 0 2
0 1 1 1
0 ¡1 ¡2 1
6 1 1 0
¯̄
¯̄
¯̄
¯̄
F4!F4¡6F1=
¯̄
¯̄
¯̄
¯̄
1 0 0 2
0 1 1 1
0 ¡1 ¡2 1
0 1 1 ¡12
¯̄
¯̄
¯̄
¯̄
F3!F3+F2=
¯̄
¯̄
¯̄
¯̄
1 0 0 2
0 1 1 1
0 0 ¡1 2
0 1 1 ¡12
¯̄
¯̄
¯̄
¯̄
F4!F4¡F2=
¯̄
¯̄
¯̄
¯̄
1 0 0 2
0 1 1 1
0 0 ¡1 2
0 0 0 ¡13
¯̄
¯̄
¯̄
¯̄
= 13
7.1.2 Desarrollo de un determinante por los elementos de una ¯la o columna
De¯nici¶on
Sea A = (aij) una matriz de orden n. Llamamos menor complementario del elemento aij
y se representa por Mij , al determinante de la submatriz de orden n ¡ 1 obtenida al suprimir la
¯la i-¶esima y la columna j-¶esima de la matriz A.
De¯nici¶on
Sea A = (aij) una matriz de orden n. Llamamos adjunto del elemento aij y se representa
por Aij , al menor complementario del elemento aij precedido del signo + ¶o ¡ seg¶un que la suma
i + j de los sub¶³ndices sea par o impar, es decir:
Aij = (¡1)i+jMij
90 Tema 7: Repaso al c¶alculo de determinantes Gloria Gal¶an Mar¶³n
Ejemplo 1 : Sea la matriz A =
0
@
1 ¡2 3
4 5 6
3 7 ¡1
1
A. Entonces:
M13 =
¯̄
¯̄ 4 5
3 7
¯̄
¯̄ = 13 ; M22 =
¯̄
¯̄ 1 3
3 ¡1
¯̄
¯̄ = ¡10 y M32 =
¯̄
¯̄ 1 3
4 6
¯̄
¯̄ = ¡6
Adem¶as
A13 = (¡1)1+3M13 = 1 ¢ 13 = 13 ; A22 = (¡1)2+2M22 = 1 ¢ (¡10) = ¡10
y A32 = (¡1)3+2M32 = (¡1)(¡6) = 6
Obs¶ervese que los \signos" (¡1)i+j se pueden obtener frecuentemente utilizando la con¯gu-
raci¶on de tablero de ajedrez, empezando con + en la posici¶on (1,1), alternando los signos, y con
signos + en la diagonal principal, es decir, de la forma:
0
BB@
+ ¡ + ¡ ¢ ¢ ¢
¡ + ¡ + ¢ ¢ ¢
+ ¡ + ¡ ¢ ¢ ¢
¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢
1
CCA
De¯nici¶on
Sea A = (aij) una matriz de orden n. Llamamos matriz adjunta de la matriz A y se
representa por Adj(A), a la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento aij por su adjunto
correspondiente, es decir:
Adj(A) = (Aij)
Ejemplo 1 : Sea la matriz A =
0
@
1 ¡2 3
4 5 6
3 7 ¡1
1
A. Entonces:
A11 = ¡47 A12 = 22 A13 = 13
A21 = 23 A22 = ¡10 A23 = ¡13
A31 = ¡3 A32 = 6 A33 = 13
Por tanto:
Adj(A) =
0
@
¡47 22 13
23 ¡10 ¡13
¡3 6 13
1
A
Teorema
Sea A una matriz de orden n. Entonces el determinante de A es igual a la suma de los
elementos de una ¯la o columna cualquiera, multiplicados por sus adjuntos correspondientes.
Es decir:
jAj = ai1Ai1+ ai2Ai2+ ¢ ¢ ¢ +ainAin
o
jAj = a1jA1j + a2jA2j + ¢ ¢ ¢ + anjAnj
Observaciones:
Gloria Gal¶an Mar¶³n Tema 7: Repaso al c¶alculo de determinantes 91
a) El c¶alculo de un determinante de orden n se reduce a calcular n determinantes de orden
n ¡ 1.
b) Es aconsejable desarrollar por la l¶³nea que tenga un mayor n¶umero de ceros, o utilizar
las propiedades de los determinantes para hacer ceros en la l¶³nea por la que se vaya a
desarrollar, ya que se simpli¯ca notablemente la expresi¶on, pues si todos los elementos de
una l¶³nea son ceros salvo uno de ellos se consigue que el c¶alculo de un determinante de
orden n se reduzca a calcular un ¶unico determinante de orden n ¡ 1.
Ejemplo 1 : Calcular el determinante de la matriz
A =
0
BB@
1 2 ¡3 4
¡4 2 1 3
3 0 0 ¡3
2 0 ¡2 3
1
CCA
Si desarrollamos por la tercera ¯la, tenemos que:
jAj = 3(¡1)3+1
¯̄
¯̄
¯̄
2 3 ¡4
2 1 3
0 ¡2 3
¯̄
¯̄
¯̄ + (¡3)(¡1)3+4
¯̄
¯̄
¯̄
1 2 ¡3
¡4 2 1
2 0 ¡2
¯̄
¯̄
¯̄ = 60 ¡ 12 = 48
.
Ejemplo 2 : Calcular el determinante de la matriz
A =
0
BB@
1 0 1 2
¡1 1 2 ¡1
1 3 2 2
2 ¡1 0 1
1
CCA
Antes de desarrollar, restamos a la tercera columna la primera, y a la cuarta el doble de
la primera, obteniendo:
jAj =
¯̄
¯̄
¯̄
¯̄
1 0 0 0
¡1 1 3 1
1 3 1 0
2 ¡1 ¡2 ¡3
¯̄
¯̄
¯̄
¯̄
= 1(¡1)1+1
¯̄
¯̄
¯̄
1 3 1
3 1 0
¡1 ¡2 ¡3
¯̄
¯̄
¯̄ = 19
.
7.2 C¶alculo de la inversa de una matriz
En este apartado veremos un m¶etodo alternativo al visto en el tema de matrices para calcular
la inversa de una matriz, y que se basa en los determinantes. No obstante, computacionalmente
es mas ventajoso el m¶etodo anterior.
7.2.1 Teorema
Sea A una matriz de orden n tal que det(A) 6= 0 . Entonces:
A¡1 =
1
det(A)
(Adj(A))T
92 Tema 7: Repaso al c¶alculo de determinantes Gloria Gal¶an Mar¶³n
Ejemplo 1 : Si tomamos la matriz:
A =
0
@
1 2 3
2 0 4
1 7 3
1
A
Como
(Adj(A))T =
0
@
¡28 15 8
¡2 0 2
14 ¡5 ¡4
1
A
entonces
A¡1 =
1
det(A)
(Adj(A))T =
0
BBB@
¡2810 1510 810
¡ 210 010 210
14
10 ¡ 510 ¡ 410
1
CCCA