operaciones con funciones

Vista previa del material en texto

OPERACIONES CON FUNCIONES 
 
Dadas las funciones F ^ G, con regla de correspondencia y = f (x) ∩ y = g (x) 
respectivamente y Dominio Df y Dg, se definen las siguientes operaciones: 
 
1) SUMA DE FUNCIONES 
F + G = {(x,y) | y = f(x) + g(x)} 
 Df + g = Df ∩ Dg
 
2) RESTA DE FUNCIONES 
F + G = {(x,y) | y = f(x) – g (x)} 
= Df - g = Df ∩ Dg
 
3) PRODUCTO DE FUNCIONES 
F - G = {(x,y) | y = f(x) – g (x)} 
- Df - g = Df ∩ Dg 
 
4) DIVISION DE FUNCIONES 
F/G = {(x,y) | y = f(x)/g(x) g (x) ≠0} 
- Df/g = Df ∩ Dg
 
Ejemplo: 
Dadas las funciones F-{(1,3) (2,4) (3,5) (4,7) (5,9) (6,11)} ^ G = {(10,3) (2,2) (3,5) (5,3) 
(7,2) (8,4)} obtener las cuatro operaciones. 
 
F + G = { ( x,y ) | y = f (x) + g+(x)} 
 = { (2,6) (3,10) (5,12) 
 
F - G = { ( x,y ) | y = f (x) – g (x)} 
 = { (2,2) (3,0) (5,6)} 
F - G = { ( x,y ) | y = f (x) g (x)} 
 = { (2,8) (3,25) (5,27)} 
F/G = { ( x,y ) | y = f (x)/g(x), g(x) ≠0} 
 = { (2,2) (3,1) (5,3)} 
 
Las funciones: F = {(x,y) | y =x2 + 2x –1} 
 G = {(x,y) | y = 2x –3} 
 
DF = x ε IR DF ∩ DG = x ε IR 
 
F + G = {(x,y) | y = (x2 + 2x –1) + (2x – 3)} 
 = {(x,y) | y = x2 + 4x –4} 
 
F - G = {(x,y) | y = (x2 + 2x –1) + (2x – 3)} 
 = {(x,y) | y = x2 + 4x +2} 
 
F - G = {(x,y) | y = (x2 + 2x –1) = (2x – 3)} 
= {(x,y) | y =2x3 + 4x2 x-3x2 – 6x +3} 
 = {(x,y) | y = 2x3 + x2 –8x + 3} 
 
F/G = {(x,y) | y = (x2 + 2x –1)/(2x – 3, x ≠ 3/2} porque 2x-3 = 0 
 x = 3/2 
 
F = { ( x,y ) | y = x2 } Para 3 ≤ x ≤ 5 
G = { (y,y ) | t = x } Para x ≥ 0 
 
DF = x ε IR [-3, 5] DG = x ε IR [0, oo] DF ∩ DG = x ε IR [0, 5] 
 
F + G = { (x,y) | y = f (x) + g (x)} 
 = { (x,y) | y = x2 + x} 
F - G = { (x,y) | y = f (x) - g (x)} 
 = { (x,y) | y = x2 - x} 
 
F + G = { (x,y) | y = f (x) + g (x)} 
 = { (x,y) | y = x3 + x} 
F/G = { (x,y) | y = x2/x, x ≠ 0} 
 = { (x,y) | y = x} X ≠ 0 
 
5) COMPOSICIÓN DE FUNCIONES 
 
Dadas dos funciones F ^ G, con regla de correspondencias y = f (x) 
∩ y = g (x) y Dominios Df ∩ Dg respectivamente. 
 
La composición de “F” con “G” que se denota “F ο G” ó y = f(g(x)) es una nueva 
función definida de la siguiente manera: 
F ο G = [ (x,y) | y = f (g(x)) 
∴ DF ο G = {x| x ε DG, g(x) = DF} 
 
Ejemplo: 
 
Dadas las siguientes funciones F = {(1,2) (3,4) (4,7) (5,10) (6,0)} 
^ G = {(2,1) (4,4) (5,6) (8,3) (9,11) (12,11)} obtener F ο G 
 
F ο G = {(2,2) (4,7) (5,0) (8,4)} DG = {2, 4, 5, 8, 9, 12} 
 X=2 g(2) = 1 ε Df ⇒ g = f(g(x)) = f(1) =2 
 X=4 g(4) = 4 ε Df ⇒ g = f (4) = 7 
 X=5 g(5) = 6 ε Df ⇒ g = f(6) =0 
 X=8 g(8) = 3 ε DF ⇒ g = f(3) = 4 
 X=9 g(9) = 11 ε DF
 X=12 g(12) = 11 ε DF
 
 F={(1,9 (2,3) (5,7) (10,3) (11,7)} 
G={(0,0) (4,2) (7,2) (8,10) (15,11)} 
 
F ο G = {(4,3) 7,3) (8,3) (15,7)} 
 
Dadas las funciones 
 ( ){ }
( ){ }1
23
−==
−==
xyyxG
xygxF
|,
|,
 
 
Obtener F ο G ^ G ο F 
 
 
 
( ) ( )( ){ }
( ) ( ){ }
( ){ }213
1
−−==
−=
( ) (( )){ }
( ) ( ){ }
( ){ }33
23
−==
−==
==
xyyx
xgyyx
xfgyyxFG
|,
|,
|,F ==
xyyx
xfyyx
xgfyyxG
|,
|,
|,
=
 F ο G ≠ G ο F 
 
Ejemplo (2) 
F={(x,y| y =x2-3x+4} F ο G , G ο F , G ο G 
G={(x,y)|y=x-1 
 
F ο G = {(x,y)| y = f (g(x))} G ο F ={(x,y)| y= g (f (x))} 
 = {(x,y)| y = f (x-1)} ={(x,y)| y= h (x2-3x +4)} 
 = {(x,y)| y = (x-1)2 –3(x-1) +4} ={(x,y)| y= x2 –3x +3 
 = {(x,y)| y = x2 –2x +| -3x + 3+4} 
 ={ (x,y)| y= x2 +5x+8} G ο G ={(x,y)| y = g(g(x)) 
 = {(x,y)|y = g(x-1) 
 = {(x,y) | y= x-2} 
 
6) FUNCIÓN INVERSA: F-1, F* 
Si se intercambian los elementos de los pares ordenados de una función se 
obtiene una nueva relación ó función llamada “Relación ó función Inversa “ y se 
denota F*. 
 
Obtener la inversa de las siguientes funciones: 
F={(1,2) (3,5) (5,9) (7,10) (8,4)} Función Inyectiva 
F*= {(2,1) (5,3) (9,5) (10,7) (4,8)} Función Inversa (Inyectiva) 
G={(3,2) (4,5) (6,2) (7,6) (8,8)} Función Suprayectiva. 
G*= {(2,3) (5,4) (2,6) (6,7) (8,8)} Inversa (inyectiva). 
 
Para que la inversa de una función sea también función ésta debe ser 
INYECTIVA. 
Ejercicio: 
F={x,y)| y=3x –1} 
- La Regla de correspondencia de F es: 
Y = 3x –1 
- La Regla de correspondencia de F* es: 
X= 3y –1 x + 1 =3y 
 Y = x+1/3 
 
 
( ){ }31+==∗ xyyxF |, 
 
Ejercicio (2): 
( ){ }
( ){ } 55
5
55
5
55
2
2
2
≥+==
+=
−=→−=−
−=−
≥−==
yyyxG
xy
yyx
xy
xxyyxG
x
x
|,*
|, 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio (3): 
 
x (x,y) 
 
 
 
 
 
 
 
Dominio: Rango: 
y ≥ 5 y ≥ 0 
 
 
( ){ } 55 ≥−== yxyyxG si|,
5−= xy
9
8
7
6
5
2
3
2
1
0 ( )
( )
( )
( )
( )29
38
27
16
05
,
,
,
,
,
55
22 +−= yx y( ){ }
( ){ } 55
55
2 ≥+==
≥−==
xsiyyx
xsixyyxG
x|,
|,* 55 −=−= yxxy
05 ≥≥ xy
Estudios Límites. 
 
x Y=x2+5 (x,y) 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
5 
6 
9 
14 
21 
30 
(10,5) 
(1,6) 
(2,9) 
(3,14) 
(4,21) 
(5,30) 
 
Dominio: 
X ≥ 0 
Rango: 
y ≥ 5 
 
F={(x,y)|y=3x2} 
G={(x,y)|y=2x-1} 
 
(G*)* ={(x,y)|y=2x-1} y=2x-1 x=2y-1 2y=x+1 y=x+1/2 
 ={(x,y)|y=x+1/2 y=x+1/2 x=y+1/2 2x=y+1 y=2x-1 
 ={(x,y)|y=2x-1} 
 F** = x 
 
3
xF º F* ={(x,y)|y=f(f*(x))} f*=y]=3x2 x=3y2 y2=x/3 y= 
 = { (x,y) | f } ( )3x
 ={ (x,y) | y=3 } ( )3x
 { (x,y) | y=x } 
F º F** = x