Clase 5 - Juan Ignacio Larrain (4)

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Mecánica de Fluidos
Clase 5
wbrevis@ing.puc.cl
Dónde estamos ?
ANÁLISIS GLOBAL DEL 
COMPORTAMIENTO DE 
FLUIDOS
03
● Teorema del transporte de 
Reynolds
● 3.2 Continuidad
● 3.3 Energía
● 3.4 Cantidad de movimiento
ESTÁTICA DE FLUIDOS02
● 2.1 Presión y sus propiedades
● 2.2 Fuerzas sobre superficies
● 2.3 Fuerzas sobre cuerpos 
sumergidas
INTRODUCCIÓN Y 
PROPIEDADES01
● 1.1 Propiedades de los fluidos
● 1.2 Descripción del movimiento
● 1.3 Análisis dimensional
Análisis dimensional y similitud
● Muchos problemas en la mecánica de fluidos aún necesitan experimentos 
para ser resueltos.
● Experimentos son caros, por tanto es necesario mantener el número de 
iteraciones experimentales al mínimo
● Una herramienta para conseguir esto es la técnica conocida con el nombre 
de análisis dimensional, la cual está basada en el concepto de 
homogeneidad dimensional.
● Esto fue discutido anteriormente en clases, y es que los términos a la 
derecha e izquierda de una ecuación deben resultar en las misma 
dimensiones.
Análisis dimensional y similitud
Muchas veces , sobre todo en Ingeniería, los experimentos envuelven el análisis 
de objetos que tienen dimensiones geométricas muy grandes para el análisis de 
problemas en un laboratorio.
Central Rapel, Fuente: W. Brevis (2018)
Santiago desde cerro San Cristóbal, Fuente: W. 
Brevis (2017)
Análisis dimensional y similitud
Estos casos son normalmente manejados por medio del uso de modelos a escala 
en laboratorio de mucho menor tamaño que los prototipos (que corresponden al 
objeto real).
Prototipo: Rio Rhein, Alemania 
con espigones fluviales. Fuente: 
Google Earth
Modelo: Rio Rhein, Laboratorio Federal de Ingeniería 
Hidráulica (Bundesanstalt für Wasserbau, BAW), 
Karlsruhe, Alemania. Fuente: BAW, Alemania
Análisis dimensional y similitud
Similitud: 
Es el estudio que permite predecir el funcionamiento de un prototipo por medio de 
la observación de un modelo.
Las relaciones entre prototipo y modelo se obtienen a partir del análisis 
dimensional
Similitud
Analisis Dimensional
Teorema de 
Buckingham
Ecuaciones 
diferenciales y 
condiciones de borde
Análisis dimensional y similitud
Diferencias:
El teorema Pi de Buckingham requiere conocimiento de la física involucrada en 
el proceso que se requiere describir (Elección de cantidades de trabajo)
El enfoque basado en ecuaciones diferenciales, requiere que conozcamos la(s) 
ecuación(es) gobernantes y las condiciones de borde del problema.
Ambas aproximaciones tienen como objetivos el obtener grupos adimensionales 
que permitan escalar o minimizar el número de experimentos requeridos para el 
estudio. 
Análisis dimensional y similitud
Ejemplo para introducir el tema:
Consideremos que nos gustaría cuantificar la pérdida de presión producida por 
una válvula de compuerta en una tubería.
Podríamos (de alguna forma), pensar que la caída de presión , depende de la 
velocidad media en la tubería , la densidad del fluido, , la viscosidad del fluido, 
, el diámetro de la tubería, , y la altura del espaciamiento dejado por la válvula, 
* Merle, P., & Wiggert, D. (2016). Mechanics of Fluids, SI Edition. Cengage 
Learning.
Análisis Dimensional y similitud
Esto puede ser expresado como:
i) Podríamos fijar todos los parámetros y variar la velocidad para entender la 
dependencia.
ii) Variamos por ejemplo el diámetro una unidad, y volvemos a repetir i)
iii) Luego podríamos variar h, y continuar
“Es función de” 
* Merle, P., & Wiggert, D. (2016). Mechanics of Fluids, SI Edition. Cengage Learning.
Resultados:
fijos.
Análisis Dimensional y similitud
Claramente diferentes fluidos pueden ser probados, y así se generaría un gran 
número de curvas, cada una con distintas combinaciones de parámetros.
Imaginemos por un momento que podemos escribir la relación anterior por medio 
del uso de parámetros adimensionales que continúen representando la física:
Podríamos realizar un experimento con fijo , y variar . Esta variación 
puede ser conseguida por medio de la variación de V solamente.
Asi se podria variar nuevamente .
* Merle, P., & Wiggert, D. (2016). Mechanics of Fluids, SI Edition. Cengage Learning.
Análisis dimensional y similitud
El problema es que no está siempre claro qué parámetros incluir en la lista que 
explica la caída de presión (se requiere conocimiento de la física del problema)
¿Que otros parámetros debiéramos incluir en la lista anterior?
Teorema de Buckingham 
En un problema específico, la variable dependiente , puede ser expresada en 
términos de variables independientes como:
http://dontchangethislink.peardeckmagic.zone?eyJ0eXBlIjoiZnJlZVJlc3BvbnNlLXRleHQiLCJkcmFnZ2FibGVzIjpbeyJpZCI6ImRyYWdnYWJsZTAiLCJ0eXBlIjoiaWNvbiIsImljb24iOnsiaWQiOiJkZWZhdWx0LWNpcmNsZSJ9LCJjb2xvciI6IiNENTFEMjgifV0sImRyYWdnYWJsZVNpemUiOjEyLjU1LCJlbWJlZGRhYmxlVXJsIjoiaHR0cHM6Ly8iLCJhbnN3ZXJzIjpbXX0=pearId=magic-pear-shape-identifier
http://dontchangethislink.peardeckmagic.zone?eyJ0eXBlIjoiZ29vZ2xlLXNsaWRlcy1hZGRvbi1yZXNwb25zZS1mb290ZXIiLCJsYXN0RWRpdGVkQnkiOiIxMTQ0MTAwNTEwNjUyNDI1ODc2MTYiLCJwcmVzZW50YXRpb25JZCI6IjE4RWV1Y1ZKaTlXWElpbjJvQXJmUVJxMjhnd0xUOVA0QWJRLW03eUEyTmhJIiwiY29udGVudElkIjoiY3VzdG9tLXJlc3BvbnNlLWZyZWVSZXNwb25zZS10ZXh0Iiwic2xpZGVJZCI6ImczMzg1YzBiZmZiXzBfMTQ0IiwiY29udGVudEluc3RhbmNlSWQiOiIxOEVldWNWSmk5V1hJaW4yb0FyZlFScTI4Z3dMVDlQNEFiUS1tN3lBMk5oSS9hMTE2YmQ5NC01MjQ3LTQ4NWUtOWU1YS03MDZlZTc4YzZjNWEifQ==pearId=magic-pear-metadata-identifier
Análisis dimensional y similitud
¿Cual es la variable dependiente en el ejemplo anterior?
El teorema nos dice que (n-m) grupos adimensionales pueden ser formados, 
llamados grupos , donde m es, generalmente, el número de dimensiones 
básicas incluidas en las variables.
 
 
contiene la variable dependiente
contiene las variables independiente
http://dontchangethislink.peardeckmagic.zone?eyJ0eXBlIjoibXVsdGlwbGVDaG9pY2UiLCJkcmFnZ2FibGVzIjpbeyJpZCI6ImRyYWdnYWJsZTAiLCJ0eXBlIjoiaWNvbiIsImljb24iOnsiaWQiOiJkZWZhdWx0LWNpcmNsZSJ9LCJjb2xvciI6IiNENTFEMjgifV0sImRyYWdnYWJsZVNpemUiOjEyLjU1LCJlbWJlZGRhYmxlVXJsIjoiaHR0cHM6Ly8iLCJhbnN3ZXJzIjpbIkxhIHZlbG9jaWRhZCBlbiBsYSB0dWJlcsOtYSIsIkVsIGVzcGFjaW8gZGUgYWJlcnR1cmEgZGUgbGEgdsOhbHZ1bGEuIiwiTGEgY2HDrWRhIGRlIHByZXNpw7NuIGVuIGxhIHR1YmVyw61hLiIsIkVsIGRpw6FtZXRybyBkZSBsYSB0dWJlcsOtYSIsIkxhIHZpc2Nvc2lkYWQgZGVsIGZsdWlkbyJdfQ==pearId=magic-pear-shape-identifier
http://dontchangethislink.peardeckmagic.zone?eyJ0eXBlIjoiZ29vZ2xlLXNsaWRlcy1hZGRvbi1yZXNwb25zZS1mb290ZXIiLCJsYXN0RWRpdGVkQnkiOiIxMTQ0MTAwNTEwNjUyNDI1ODc2MTYiLCJwcmVzZW50YXRpb25JZCI6IjE4RWV1Y1ZKaTlXWElpbjJvQXJmUVJxMjhnd0xUOVA0QWJRLW03eUEyTmhJIiwiY29udGVudElkIjoiY3VzdG9tLXJlc3BvbnNlLW11bHRpcGxlQ2hvaWNlIiwic2xpZGVJZCI6ImczMzg1YzBiZmZiXzBfMTUwIiwiY29udGVudEluc3RhbmNlSWQiOiIxOEVldWNWSmk5V1hJaW4yb0FyZlFScTI4Z3dMVDlQNEFiUS1tN3lBMk5oSS8zYmVlOGI2Ni1jMWIzLTQ2MjctODJlNS0yM2QxNDZmNjNiM2EifQ==pearId=magic-pear-metadata-identifier
Análisis dimensional y similitud
* Merle, P., & Wiggert, D. (2016). Mechanics of Fluids, SI Edition. Cengage Learning.
Análisis dimensional y similitud
Procedimiento:
1. Escriba la forma funcional de la variable dependiente. Este paso requiere 
conocimiento previo del proceso físico. Todas las variables geométricas, 
propiedades de fluido, fuerzas, u otros factores externos que pueden 
influenciar la variable dependiente deben ser consideradas (no incluir 
variables que dependan entre ellas, recuerde son independientes)
2. Identifique m variables (variables repetidas) que se usarán para formar cada 
uno de los grupos adimensionales. Estas variables deben incluir todas las 
dimensiones básicas.
3. Forme los grupos adimensionales, combinando las m variables 
seleccionadas en el paso anterior con cada una de las otras variables.
4. Escriba la forma funcional de los (n-m) grupos adimensionales obtenidos.
Análisis dimensional y similitud
Procedimiento algebraico para la formación de los grupos adimensionales:
● Suponga que queremos combinar las variablesde tensión superficial, , 
velocidad, , densidad, , y longitud, , en un grupo adimensional:
● El objetivo es determinar a,b,c,d de tal forma que el grupo sea adimensional. 
Escribamos la relación anterior en términos de dimensiones.
● Resolviendo en términos de los exponentes:
Análisis dimensional y similitud
resolviendo se obtiene:
Es decir que el grupo adimensional se podría escribir:
Sin embargo, , ya es adimensional, por lo cual “c” puede tener cualquier 
valor distinto de 0 . Por ejemplo podemos seleccionar c=1
Análisis dimensional y similitud
* Merle, P., & Wiggert, D. (2016). Mechanics of Fluids, SI Edition. Cengage Learning.