Pruebas de hipótesis Aplicación_Resumen

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Las mejores pruebas
Pruebas de hipótesis
El método es más claro cuando tanto Ho como H1 son ambas hipótesis simples, o ambas compuestas. 
Para el análisis consideraremos el caso en que tanto Ho como H1 son ambas hipótesis simples. Del 
análisis realizado se harán las extensiones para el caso en que la hipótesis alternativa es compuesta.
Sea X1, X2,..., Xn una muestra aleatoria de una población con función de densidad f(x,θ). 
Consideremos las siguientes hipótesis:
Ho: θ = θ0
H1: θ = θ1 > θ0
Sea α el máximo error tipo I que se puede tolerar. Entonces la mejor prueba para Ho contra H1 es 
aquella que tiene el tamaño más pequeño del error tipo II (y por lo tanto la mayor potencia) 
entre todas las pruebas que tengan el mismo error tipo I no mayor que α.
Se pueden obtener regiones críticas para estas pruebas mediante el uso del siguiente teorema, 
conocido como el “Teorema de Neyman-Pearson”, el cual enunciaremos sin probar.
Cómo construir una buena prueba?
Las mejores pruebas
Pruebas de hipótesis
Cómo construir una buena prueba?
Teorema. Si existe una región crítica C de tamaño α y una constante positiva k tal que
entonces C es la mejor región crítica de tamaño α para probar la hipótesis Ho: θ=θo contra la hipótesis 
H1: θ=θ1, donde L0 y L1 son las funciones de verosimilitud de Ho y H1, respectivamente.
Lo que nos dice en palabras el lema de Neyman Pearson es que si Ho es falsa, entonces la 
probabilidad de que la muestra caiga en la región crítica (al interior de C), calculada bajo Ho, 
debe ser menor que la misma probabilidad calculada bajo H1, que sería la hipótesis valedera.
De igual manera, si H0 es cierta, entonces la probabilidad de que la muestra caiga fuera de la región 
crítica (al exterior de C), calculada bajo Ho, debe ser mayor que la misma probabilidad calculada bajo 
H1, que sería la hipótesis falsa.
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Pruebas de hipótesis
Ejemplo
Para analizar el lema de Neyman-Perason consideremos el caso en que las variables se distribuyen 
normalmente, y queremos probar las siguientes hipótesis:
Ho: μ= μo
H1: μ= μ1, donde μ1>μo 
X ~ N(μ,σ²)
La función de verosimilitud está dada por:
Aplicando el lema de Neyman-Pearson tenemos:
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Pruebas de hipótesis
Ejemplo
Por lo tanto la hipótesis nula H0 se rechaza si se cumple que:
si cae al interior de C
Tomando el logaritmo natural, tenemos que:
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Pruebas de hipótesis
Ejemplo
Dividiendo ambos lados de la desigualdad por el tamaño de la muestra n obtenemos el siguiente 
resultado:
Como la expresión del lado derecho de la anterior desigualdad está formada por valores constantes, 
entonces lo reemplazaremos por una nueva constante "c", y así obtenemos el siguiente criterio para 
rechazar la hipótesis nula H0:
Rechace la hipótesis nula Ho si 
≥ c.
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Pruebas de hipótesis
Ejemplo
Para obtener el valor de "c" usamos la información conocida sobre el error tipo I o α, el cual está dado 
por:
Según el resultado anterior, vemos que la mejor región crítica es independiente del valor de μ1, siempre 
que μ1>μo.
Esta región crítica recibe el nombre de "región crítica uniformemente más potente" para probar la 
hipótesis Ho: μ= μo contra la hipótesis H1: μ>μo.
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Pruebas de hipótesis
Definición
Se dice que una prueba de hipótesis Ho:θ=θo es la prueba uniformemente más potente de tamaño α si 
ésta es por lo menos tan poderosa, para cualquier valor posible de la hipótesis alternativa, como 
cualquier otra prueba de tamaño ≤α. Esto es, la función de potencia de esa prueba es, por lo menos, 
tan grande como la de cualquier otra prueba de tamaño ≤α para cualquier valor θ de la hipótesis 
alternativa. 
Ho: μ = μ o
H1: μ > μ o 
La mejor región crítica está en el extremo derecho de la distribución de la media muestral.
Demuestre, de manera similar, que si las hipótesis fueran 
Ho: μ = μ o
H1: μ < μo 
la "mejor región crítica uniformemente más potente" sería el extremo izquierdo de la distribución de 
la media muestral.
Es decir, se rechaza la hipótesis nula H0 si 
≤ c, donde 
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Pruebas de hipótesis
Sin embargo, si la hipótesis alternativa fuera bilateral, esto es, si tuviéramos H0: μ=μo contra H1: μ≠μo, 
no podría encontrarse una "región crítica uniformemente más potente" debido a que para todos los 
valores de µ<µo la mejor región crítica estaría en el extremo izquierdo de la distribución, mientras que 
si µ>µo la mejor región crítica sería el extremo derecho de la distribución de la media muetral. . En 
este caso, la región crítica se podría plantear de la siguiente manera:
Rechace la hipótesis nula H0: μ=μo en favor de la hipótesis alternativa H1: μ≠μo si. 
donde 
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Pruebas de hipótesis
Ejemplo
Se ha propuesto un nuevo diseño para el sistema de frenos de un automóvil. Se sabe que para el 
sistema actual el verdadero promedio de la distancia de frenado a una velocidad de 40 millas por hora 
bajo condiciones específicas es 120 pies. Se propone que el nuevo diseño se ponga en práctica sólo si 
los datos muestrales indican una fuerte reducción en el verdadero promedio de la distancia de frenado 
para el nuevo diseño.
a) Defina el parámetro de interés e indique las hipótesis pertinentes.
b) Suponga que la distancia de frenado para el nuevo diseño está distribuida normalmente con una 
desviación estándar de 10 pies. Si la media muestral es la distancia media de frenado para una 
muestra aleatoria de 36 observaciones, cuál(es) de las siguientes regiones de rechazo es apropiada? 
C1 = {x/ >124.8}
C2 = {x/ <115.2}
C3={x/ >125.13} o {x/ <114.87}
c)Cuál es el nivel de significancia para la región crítica pertinente de b)? Cómo cambia la región crítica 
para obtener una prueba con α = 0.02?
d) Cuál es la probabilidad de que el nuevo diseño no se ponga en práctica cuando su verdadera 
distancia media de frenado es 115 pies y se usa la región crítica definida en b?
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Pruebas de hipótesis
Ejemplo
e) Si se desea un nivel de significancia del 0.05, cuál de las siguientes regiones críticas es mejor para 
probar la hipótesis Ho m=120 contra la hipótesis alternativa H1 μ=115?
C1 = { / <117.4}
C2 = { / <117.1}
C3 = { / <116.5}
Solución
a) Las hipótesis respectivas son:
Ho: μ = 120
H1: μ < 120
b) Teniendo en cuenta la hipótesis alternativa, la región crítica más apropiada sería C2, ya que 
queda a la izquierda de μ=120; la región crítica C3 tiene una parte a la izquierda de μ=120 y otra 
parte a la derecha de μ=120, y esta segunda parte no tiene sentido dada la hipótesis alternativa, 
igual que C1.
c. Cuál es el nivel de significancia para la región crítica pertinente de b) dado que se rechaza la 
hipótesis nula si 
<115.2 el error tipo I está dado por:
Las mejores pruebas
Pruebas de hipótesis
Ejemplo
Si el tamaño de la región crítica fuera α=0.02, la región crítica sería:
d. Cuál es la probabilidad de que el nuevo diseño no se ponga en práctica cuando su verdadera 
distancia media de frenado es 115 pies y se usa la región crítica definida en b?
El nuevo diseño no se pone en práctica si la media muestral da mayor o igual a 115.2, por lo tanto esta 
probabilidad está dada por:
e. Si se desea un nivel de significancia del 0.05, cuál de las siguientes regiones críticas es mejor para 
probar la hipótesis Ho: μ=120 contra la hipótesis alternativa H1
Para la primera región crítica ( <117.4) tenemos los siguientes valores para α y β:
Las mejores pruebas
Pruebas de hipótesis
Ejemplo
Para la segunda región crítica ( <117.1) tenemos los siguientes valores para α y β:
Para la tercera región crítica ( <116.5) tenemos los siguientes valores para α y β:
La tabla siguiente resume las probabilidades de errores tipo I y tipo II para las diferentes pruebas.
Al analizar los resultados podemos concluir que la mejor prueba es la No 2 ya que tiene un nivelde 
significancia menor de 0.05 y el menor valor para el error tipo II. Aunque la primera tiene el menor error 
tipo II no cumple con el requisito de que el error tipo I sea menor o igual a 0.05.
Las mejores pruebas
Pruebas de hipótesis
Ejercicio. El tiempo promedio de secado de la pintura de un fabricante es 20 minutos. Para investigar 
la efectividad de una modificación en la composición química de su pintura la fabricante quiere probar 
la hipótesis nula μ=20 minutos contra una alternativa adecuada, donde μ es el tiempo promedio 
modificado de secado de la pintura modificada. 
a) Qué hipótesis alternativa debe usar el fabricante si no quiere hacer la modificación en la composición 
química de su pintura a menos que reduzca el tiempo medio de secado?
b) Qué hipótesis alternativa debe usar el fabricante si el nuevo proceso es realmente más barato y 
quiere hacer la modificación a menos que aumente el tiempo medio de secado de la pintura?
FIN
Pruebas de hipótesis para la media
Pruebas de hipótesis
Cuando se van a realizar pruebas de hipótesis relativas a la media poblacional μ se debe saber si la 
varianza poblacional σ² es conocida o desconocida, ya que la distribución subyacente al estadístico de 
prueba será la normal estándar si la varianza es conocida, y la distribución t en caso contrario.
Las diferentes hipótesis que se pueden presentar son las siguientes:
1) Ho: μ = μo 
H1: μ > μo
2) Ho: μ = μo 
H1: μ < μo 
3) Ho: μ = μo
H1: μ ≠ μo 
Las pruebas de hipótesis para la media se basan en el estadístico dado por la media muestral cuya 
distribución tiende a la distribución normal (μ,σ²/n) para muestras grandes. 
Prueba de hipótesis para la media con varianza conocida
Cuando la varianza σ² es conocida, las pruebas de hipótesis se basan en el hecho de que la variable 
aleatoria Z que se distribuye normalmente con media cero y varianza unitaria.
Para el caso de las hipótesis Ho:μ=μo contra H1:μ>μo vimos, al analizar las mejores pruebas, que la 
mejor región crítica de tamaño a consistía en rechazar H0 si la media muestral era mayor o igual que 
una constante c dada por
a) Rechace Ho: μ=μo si ≥ c, donde 
Pruebas de hipótesis para la media con varianza conocida
Pruebas de hipótesis
Por lo tanto, una vez tomada la muestra y obtenidos los valores x1, x2,..., xn, se calcula la media 
muestral dada por:
y los criterios de decisión serían los siguientes:
b) Calcule el "estadístico de prueba" 
y rechace Ho: μ=μo si Z ≥ Zα.
c) Con el mismo "estadístico de prueba" de b)
estime P como el área en la distribución normal estándar a la derecha del valor Z calculado, 
y rechace Ho: μ=μo si P < α. 
Pruebas de hipótesis
Para el caso de las hipótesis Ho:μ=μo contra H1:μ<μo la mejor región crítica de tamaño a consiste 
en rechazar H0 si la media muestral es menor o igual que una constante c dada por
Por lo tanto, una vez tomada la muestra y obtenidos los valores x1, x2,..., xn, se calcula la media 
muestral, y los criterios de decisión sería los siguientes:
a) Rechace Ho: μ=μo si ≤ c, donde 
b) Calcule el "estadístico de prueba" 
y rechace Ho: μ=μo si Z α Z1-α. Como Zα = -Z1-α se rechaza Ho si Z ≤ -Zα o equivalentemente, si |Z| ≥ 
Zα
c) Con el mismo "estadístico de prueba" de b)
estime P como el área en la distribución normal estándar a la izquierda del valor Z calculado
y rechace Ho:μ=μo si P<α.
Pruebas de hipótesis para la media con varianza conocida
Pruebas de hipótesis
Por último, si las hipótesis fueran Ho:μ=μo contra H1:μ≠μo la mejor región crítica de tamaño a 
(aunque no es uniformemente más potente como en el caso de las dos anteriores) consiste en rechazar 
H0 si la media muestral es menor o igual que una constante c1 ó mayor igual que otra constante c2. 
Por lo tanto, una vez tomada la muestra y obtenidos los valores x1, x2,..., xn, se calcula la media 
muestral, y los criterios de decisión serían los siguientes:
a) Rechace Ho: μ=μo si ≤ c1 o ≥ c2, donde 
b) Calcule el "estadístico de prueba" 
y rechace Ho:μ=μ0 si Z ≤ -Zα/2 ó Z ≥ Zα/2, ó simplemente, si |Z| ≥ Zα/2.
c) Con el mismo "estadístico de prueba" de b)
estime P como el área en la distribución normal estándar a la izquierda del valor Z calculado si Z es
negativo, o a la derecha del valor de Z si Z es positivo
y rechace Ho:μ=μo si P<α. También P se puede calcular como el área a derecha del valor absoluto
de Z.
.
Pruebas de hipótesis para la media con varianza conocida
Pruebas de hipótesis
Resumen
El estadístico de prueba se basa en: 
Ejercicio: Un inspector de pesos y medidas visita una planta de empacado para verificar que el peso 
neto de las cajas sea el indicado en la etiqueta. El gerente de la planta asegura al inspector que el 
peso promedio de cada caja es de 750 gramos con una desviación estándar de 5 gr.
El inspector selecciona, al azar, 100 cajas y encuentra que el peso promedio es de 748 gr. Bajo estas 
condiciones y usando un nivel de significancia de 0.05,¿Qué actitud debe tomar el inspector?
Pruebas de hipótesis para la media con varianza conocida
Pruebas de hipótesis
Pruebas de hipótesis para la media con varianza desconocida
Cuando la varianza σ² no es conocida, las pruebas de hipótesis se basan en el hecho de que la 
variable aleatoria T definida como 
tiene una distribución t con v-1 grados de libertad. Por lo tanto, al analizar los diferentes casos 
presentados anteriormente para las pruebas de hipótesis con respecto a la media, bastará con cambiar 
la varianza poblacional σ² por su estimativo muestral S² y la distribución normal estándar por la 
distribución t. En consecuencia los diferentes casos a analizar serán los siguientes:
Si tenemos las hipótesis Ho:μ=μo contra H1:μ>μo la mejor región crítica de tamaño a consiste en 
rechazar H0 si la media muestral es mayor o igual que la constante c, que en este caso está dada por
Por lo tanto, una vez tomada la muestra y obtenidos los valores x1, x2,..., xn, se calculan la media 
muestral y la varianza muestral σ² dados por:
Pruebas de hipótesis
Pruebas de hipótesis para la media con varianza desconocida
a) Rechace Ho: μ=μo si ≥ c, donde 
y los criterios de decisión serían los siguientes:
b) Calcule el "estadístico de prueba" 
y rechace Ho:μ=μo si T ≥ tv-1,α.
c) Con el mismo "estadístico de prueba" de b)
estime P como el área en la distribución t a la derecha del valor T calculado
rechace Ho:μ=μo si P<α.
Pruebas de hipótesis
Pruebas de hipótesis para la media con varianza desconocida
Para el caso de las hipótesis Ho:μ=μo contra H1:μ<μo la mejor región crítica de tamaño a consiste en 
rechazar H0 si la media muestral es menor o igual que una constante c dada por
Por lo tanto, una vez tomada la muestra y obtenidos los valores x1, x2,..., xn, se calculan la media 
muestral y la varianza muestral S², y los criterios de decisión sería los siguientes:
a) Rechace Ho: μ=μo si ≤ c, donde 
b) Calcule el "estadístico de prueba" 
y rechace Ho:μ=μo si |T|≥ tv-1, α.
c) Con el mismo "estadístico de prueba" de b)
estime P como el área en la distribución t a la izquierda del valor T calculado
rechace Ho:μ=μo si P < α.
Pruebas de hipótesis
Pruebas de hipótesis para la media con varianza desconocida
a) Rechace Ho: μ=μo si ≤ c1 o ≥ c2, donde 
b) Calcule el "estadístico de prueba" 
y rechace Ho:μ=μo si |T|≥ tv-1, α /2.
c) Con el mismo "estadístico de prueba" de b)
estime P como el área en la distribución t a la izquierda del valor T calculado si T es negativo, o a la
derecha del valor de T si T es positivo
rechace Ho:μ=μo si P<α. También P se puede calcular como el área a derecha del valor absoluto de T.
Por último, si las hipótesis fueran Ho:μ=μo contra H1:μ≠μo la mejor región crítica de tamaño a 
(aunque no es uniformemente más potente como en el caso de las dos anteriores) consiste en 
rechazar H0 si la media muestral es menor o igual que una constante c1 ó mayor igual que otra 
constante c2.
Porlo tanto, una vez tomada la muestra y obtenidos los valores x1, x2,..., xn, se calcula la media 
muestral , y los criterios de decisión serían los siguientes:
.
Pruebas de hipótesis
Ejemplo
Pruebas de hipótesis para la media con varianza desconocida
Resumen
El estadístico de prueba se basa en
Un modelo físico sugiere que el aumento medio de temperatura en el agua usada como enfriador en 
una cámara de un compresor no debería ser mayor de 5°C. Los aumentos de temperatura en el 
refrigerante medidos en 8 períodos de funcionamiento del compresor fueron de 6.4, 4.3, 5.7, 4.9, 6.5, 
5.9, 6.4 y 5.1 grados centígrados. Con un nivel de significancia del 5%, cree Usted que los datos 
contradicen la información del modelo físico?
Solución. Este problema lo podemos plantear como una prueba de hipótesis del siguiente tipo:
Ho: μ ≤ μ0 = 5°C
H1: μ > 5°C 
con n = 8, α = 0.05.
La hipótesis nula se plantea como menor o igual a μo, que es una hipótesis compuesta. Sin embargo, 
para la realización de la prueba, se tomará el máximo aumento permisible en la temperatura que 
sería μ=μo = 5, con lo cual la hipótesis se convierte en una hipótesis simple.
Pruebas de hipótesis
Ejemplo
Pruebas de hipótesis para la media con varianza desconocida
Se tiene que: 
= 5.65, s² = 0.6571, S= 0.81, t(7, 0.05) = 1.895. Por lo tanto, la región crítica está dada por
Por lo tanto como la media muestral 5.65 es superior al valor crítico de 5.54, se rechaza la hipótesis de 
que el aumento promedio de la temperatura es 5 grados (o inferior), a favor de la hipótesis de que es 
mayor. 
Usando los otros criterios de aceptación tenemos que:
Como T = 2.27 > 1.895 se rechaza la hipótesis nula.
El valor P es aproximadamente 0.0287. Como P = 0.0287 es menor que α=0.05, se rechaza de nuevo 
la hipótesis nula.
Pruebas de hipótesis
Pruebas de hipótesis para la diferencia de medias
Cuando se van a realizar pruebas de hipótesis relativas a la diferencia entre dos medias poblacionales 
μ1-μ2 se debe saber si las varianzas poblacionales 
son conocidas o desconocidas, ya que la distribución subyacente al estadístico de prueba será la 
normal estándar si las varianzas son conocidas, y la distribución t en caso contrario. Además, si las 
varianzas son desconocidas, se debe saber (verificar) si éstas son iguales o diferentes.
Las diferentes hipótesis que se pueden presentar son las siguientes:
1) Ho: μ1–μ2 = δo
H : μ1–μ2 < δo 
2) Ho: μ1–μ2 = δo
H1: μ1–μ2 > δo
3) Ho: μ1–μ2 = δo
H1: μ1–μ2 ≠ δo 
Donde δo toma por lo general el valor de cero.
Las pruebas de hipótesis para la diferencia de medias se basan en el estadístico dado por la 
diferencia entre las medias muestrales 
cuya distribución tiende a la distribución normal si las dos poblaciones son normales, o 
aproximadamente normal si cumple con las condiciones del teorema del limite central, es decir, 
para muestras grandes.
Pruebas de hipótesis
Pruebas de hipótesis para la diferencia de medias
Diferencia de medias con varianza conocida
Por lo tanto, 
El estadístico de prueba está dado:
En forma similar a las pruebas de hipótesis para la media con varianza conocida, el procedimiento sería:
1) Se toman una muestra aleatoria X11, X12, ... X1n1, de n1 observaciones de la primera población y 
otra muestra aleatoria X21, X22, ... X1n2 de n2 observaciones tomada de la segunda población.
2) Se calculan las respectivas medias muestrales
3) Se calcula el estadístico de prueba Z como:
Pruebas de hipótesis
Pruebas de hipótesis para la diferencia de medias
4) Se rechaza la hipótesis nula Ho:μ1–μ2=δo si |Z| ≥Zα para las pruebas de una cola (H1:μ1–
μ2<δo ó H1:μ1–μ2>δo), ó si |Z| ≥Zα/2 para las pruebas de dos colas (H1:μ1-μ2≠δo)
5) También se puede tomar la decisión calculando el valor P (área a la derecha del valor absoluto 
de Z) y se rechaza la hipótesis nula si P≤α para pruebas de una cola ó si P≤α/2 para pruebas de dos 
colas. 
Diferencia de medias con varianza desconocida pero iguales
Diferencia de medias con varianza conocida
Cuando las varianzas son desconocidas, se debe verificar previamente si éstas son iguales o 
diferentes, lo cual puede realizarse mediante una prueba de hipótesis con respecto a la igualdad de 
dos varianzas, la cual se analizará posteriormente.
Cuando las varianzas son iguales el estadístico de prueba bajo la hipótesis nula está dado por:
→ tn, donde v=n1+n2-2
Pruebas de hipótesis
Pruebas de hipótesis para la diferencia de medias
Diferencia de medias con varianza desconocida pero iguales
El criterio de decisión es rechazar la hipótesis nula Ho:μ1–μ2=δo si:
1) |T|≥ tv,α; para pruebas unilaterales (H1:μ1–μ2<δo ó H1:μ1–μ2>δo), ó si |T|≥ tv-1,α/2. Para las 
pruebas bilaterales (H1:μ1–μ2≠δo).
2) También se puede tomar la decisión calculando el valor P (área a la derecha del valor absoluto de 
T) y se rechaza la hipótesis nula si P≤α para pruebas de una cola ó si P≤α/2 para pruebas de dos 
colas.
Pruebas de hipótesis
Pruebas de hipótesis para la diferencia de medias
Diferencia de medias con varianzas desconocidas y diferentes
Cuando las varianzas son desconocidas y diferentes el estadístico de prueba bajo la hipótesis nula está 
dado por:
donde 
El criterio de decisión es el mismo del caso anterior, es decir, se rechaza la hipótesis nula Ho:μ1–μ2=δo 
si |T|≥ tv,α; para pruebas unilaterales (H1:μ1–μ2<δo ó H1:μ1–μ2>δo), ó si |T|≥ tv-1,α/2. Para las pruebas 
bilaterales (H1:μ1–μ2≠δo).
Pruebas de hipótesis
Pruebas de hipótesis para la diferencia de medias
Pruebas para observaciones pareadas
Hay situaciones en que las observaciones no son independientes, sino que los resultados entre éstas 
están correlacionadas, bien sea porque ambas mediciones se realizan sobre el mismo elemento, o 
porque las dos mediciones, aunque se realizan sobre diferentes elementos, tiene un alto grado de 
correlación por la forma en que éstas se realizan.
El resultado de estas mediciones son las parejas (X11, X21), (X12, X22),...(X1n, X2n), donde (X1i,X2i) 
son los resultados de las mediciones sobre elemento i de la muestra. Podemos suponer que el 
conjunto de datos apareados son observaciones de un conjunto independiente de parejas de variables 
aleatorias provenientes de una distribución normal bivariada (X1, X2) ~ f(x1, x2), y que las diferencias 
D = X1 - X2 se distribuyen normalmente con valor esperado
y la diferencia media 
se distribuyen normalmente con valor esperado=μD y varianza /n.
E(D) = E(X1-X2)=μ1-μ2=μD y varianza 
Si queremos realizar una inferencia estadística sobre las diferencias entre los pares de 
observaciones, podemos plantear las siguientes pruebas de hipótesis: 
1) Ho: μD = δo 
H1: μD < δo 
2) Ho: μD = δo
H1: μD > δo 
3) Ho: μD = δo
H1: μD ≠ δo 
Pruebas de hipótesis
Pruebas de hipótesis para la diferencia de medias
El procedimiento para realizar la prueba será el siguiente:
1) Se realiza el conjunto de los n parejas de mediciones. Sea (X11, X21), (X12, X22),...(X1n, X2n) los 
valores observados.
2) Se calculan las diferencias δi = X1i - X2i entre las diferentes parejas de mediciones, ,i = 1, 2,...,n.
3) Se calculan la media y la varianza muestral de la diferencia, 
4) Como la varianza muestral es desconocida, el estadístico de prueba se calcula como:
5) Una prueba de tamaño a para la hipótesis Ho:μD=δo versus H1:μD>δo ó Ho:μD=δo versus 
H1:μD<δo consiste en rechazar Ho si |to| ≥ tn-1,α
6) Una prueba de tamaño a para la hipótesis Ho:μD=δo versus H1:μD≠δo consiste en rechazar Ho si 
|t0| ≥ t n-1,α/2.
Pruebas para observaciones pareadas
Pruebas de hipótesis
Pruebas de hipótesis para la diferencia de medias
Pruebas para observaciones pareadas
Ejemplo
Resumen
Se realiza un estudio para medir la efectividad de dos clases de jarabes para la tos en el aumento del 
sueño.
A seis personas con resfriado se les suministra la medicina A la primera noche, y la medicina B la 
segunda noche, y se les registran los respectivos tiemposde sueño (horas), que se dan a 
continuación:
Con un nivel de significancia del 5%, considera Usted que hay diferencias significativas entre los 
períodos de sueño provocados por ambos remedios?. 
Pruebas de hipótesis
Pruebas de hipótesis para la diferencia de medias
Pruebas para observaciones pareadas
Ejemplo
Solución. Como los remedios se aplicaron a las mismas personas durante dos noches diferentes, se 
trata de un experimento con observaciones apareadas. Las hipótesis a probar serán las siguientes:
Ho: μD = 0
H1: μD ≠ 0
La hipótesis alternativa se plantea como H1:μD≠0 ya que simplemente se desea verificar si hay 
diferencias significativas entre los períodos de sueño provocados por ambos remedios.
Las diferencias observadas entre los períodos de sueño provocados por el remedio A y el remedio B se 
presentan a continuación. La media muestral y la desviación estándar muestrales son -0.30 y 0.452 
horas, respectivamente.
Por lo tanto el estadístico de prueba está dado por:
Para un nivel de signifcancia del 5% y 5 grados de libertad, el valor crítico t es 2.05. Por lo tanto, se 
puede concluir que no existen diferencias significativas entre los períodos de sueño provocados por 
ambas medicinas. El valor P sería de 0.082. 
Pruebas de hipótesis
Pruebas de hipótesis para la diferencia de medias
Pruebas para observaciones pareadas
Ejercicio. Betty presume que su "carnada milagrosa" para pescar es más efectiva que la carnada 
tradicional que usa su entrañable amiga Marcela. Betty y Marcela se embarcan en un programa de 
pesca durante varios fines de semana en el mismo bote, y llevaron el registro del número de peces 
que cogieron:
Con un nivel de confianza del 2% de confianza, cree Usted que la "carnada milagrosa" de Betty sí 
tiene las cualidades que afirma tener?
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