Descarga la aplicación para disfrutar aún más
Vista previa del material en texto
Matemáticas III Clase 17 Profesor: Humberto Cipriano Zamorano Agenda Objetivos de la clase Convexidad - concavidad de funciones de varias variables a valores reales Convexidad - concavidad usando matriz de Hesse Objetivos de la clase I Conocer qué es la convexidad - concavidad de funciones de varias variables (a valores reales) I Conocer la caracterización de la concavidad - convexidad de una función a través del signo de la matriz de Hesse de la función. Caso real Recordemos que la convexidad de una función f : R→ R se puede ver desde tres puntos de vista equivalentes: (a) la función f es convexa si para todo x1, x2 ∈ R y para todo λ ∈]0, 1[ se tiene que f (λx1 + (1− λ)x2) < λf (x1) + (1− λ)f (x2); (b) la función f es convexa si para todo x1, x2 ∈ R, x1 6= x2, el segmento que une los puntos (x1, f (x1)) y (x2, f (x2)) está “sobre” la porción del gráfico de f entre esos puntos, salvo, obviamente, en los puntos (x1, f (x1)) y (x2, f (x2)); (c) la función f es convexa si la derivada f ′(x) es creciente, es decir, f ′′(x) > 0. NOTA: Para función cóncava: en (a) la desigualdad es con >, en (b) el segmento está “debajo”, en (c) la segunda derivada es negativa. Figura: Función convexa Extensión del concepto para funciones de varias variables La función f : Rk → R se dice convexa si para todo λ ∈]0, 1[ y para todo x = (x1, x2, . . . , xk)t ∈ Rk e y = (y1, y2, . . . , yk)t ∈ Rk se cumple que f (λx + (1− λ)y) < λf (x) + (1− λ)f (y). Por otro lado, la función f : Rk → R se dice cóncava si para todo λ ∈]0, 1[ y para todo x = (x1, x2, . . . , xk)t ∈ Rk e y = (y1, y2, . . . , yk)t ∈ Rk se cumple que f (λx + (1− λ)y) > λf (x) + (1− λ)f (y). Desde un punto de vista geométrico, las funciones de varias variables a valores reales que son convexas tienen gráficos (superficie) que son, o bien como una “rampa de skate”, o bien como una “olla” (wok). Figura: Gráfico de funciones convexas (a) Rampa de skate (b) Wok (comida china) Idea y caracterización Para una función real, f (x), sabemos que I f (x) es convexa si f ′′(x) > 0. I f (x) es cóncava si f ′′(x) < 0. • La extensión para f : Rk → R sigue lo anterior, pero teniendo presente que la segunda derivada es, ahora, una matriz. (a) La función f : Rk → R es convexa si para todo x = (x1, x2, . . . , xk)t ∈ Rk ocurre que Hf (x) ∈ Rk×k es definida positiva. (b) La función f : Rk → R es cóncava si para todo x ∈ Rk ocurre que Hf (x) ∈ Rk×k es definida negativa. Problema... La caracterización de la convexidad - concavidad requiere conocer el signo de la matriz de Hesse de la función que se analiza. • Sin embargo, esa matriz depende de las variables donde se evalúa. • En resumen: requerimos conocer el signo de una matriz que depende de variables, y eso puede ser complicado. Solución Dada f : R2 → R, cuya matriz de Hesse (simétrica) es Hf (x , y) = ∂2f (x,y) ∂x∂x ∂2f (x,y) ∂x∂y ∂2f (x,y) ∂y∂x ∂2f (x,y) ∂y∂y ∈ R2×2, se tiene que: (i) Hf (x , y) es definida positiva si H11(x , y) = ∂2f (x , y) ∂x∂x > 0, det (Hf (x , y)) > 0. (ii) Hf (x , y) es definida negativa si H11(x , y) = ∂2f (x , y) ∂x∂x < 0, det (Hf (x , y)) > 0. En complemento: (a) Hf (x , y) es semidefinida positiva si H11(x , y) = ∂2f (x , y) ∂x∂x > 0, det (Hf (x , y)) = 0. (b) Hf (x , y) es semidefinida negativa si H11(x , y) = ∂2f (x , y) ∂x∂x < 0, det (Hf (x , y)) = 0. (c) Hf (x , y) no tiene signo si det (Hf (x , y)) < 0. • Los casos (i) y (ii) permiten conocer si una función f (x , y) es convexa o cóncava, y las condiciones para que eso se cumpla. • Los casos (a) y (b) distinguen, si corresponde, cuando la función que se analiza es débilmente convexa o débilmente cóncava, pero no es convexa o cóncava – La diferencia entre convexa y débilmente convexa es tener o no lados rectos (planos) en el gráfico. – Las funciones “importantes” son las convexas o cóncavas, no las que son “débilmente”. • El caso (c) es importante porque entrega una condición para establecer cuando una función no es ni cóncava, ni convexa. – Muchas funciones (la mayoŕıa) no son ni cóncavas, ni convexas. – Si el determinante de la matriz de Hesse es negativo, la función no es ni cóncava, ni convexa. – Note H11 = 0 es otra condición bajo la cual la función no es ni cóncava, ni convexa. Ejemplo 1 Considere f : R2 → R tal que f (x , y) = 3x2 + y2 − xy + x + 4y . • Se tiene que: ∂f (x , y) ∂x = 6x − y + 1, ∂f (x , y) ∂y = 2y − x + 4, por lo que ∂2f (x , y) ∂x∂x = 6, ∂2f (x , y) ∂y∂y = 2, ∂2f (x , y) ∂y∂x = −1. • Con lo anterior Hf (x , y) = [ 6 −1 −1 2 ] . Como H11 = 6 y det(Hf (x , y)) = 6 · 2− (−1) · (−1) = 11 > 0, por la condición (i) anterior se concluye que f (x , y) es convexa. Ejemplo 2 Dada f (x , y) = x2 − y2 + xy se tiene que Hf (x , y) = [ 2 1 1 −2 ] . Se tiene entonces que • H11 = 2 > 0. • El determinante de la matriz de Hesse es det(Hf (x , y)) = −4− 1 = −5 < 0. Conclusión: a pesar de que H11 > 0, el hecho que det(Hf (x , y)) < 0 implica que la función no es ni cóncava, ni convexa (condición (c) anterior). Ejemplo 3 Dada f (x , y) = x2 + βy2 + 6xy . Se pide encontrar las condiciones sobre β para que la función f (x , y) sea convexa. Se tiene que Hf (x , y) = [ 2 6 6 2β ] . Se tiene entonces que • H11 = 2 > 0. • El determinante de la matriz de Hesse es det(Hf (x , y)) = 4β − 36. Conclusión: como H11 > 0 y como det(Hf (x , y)) = 4β − 36, para que la función sea convexa se debe cumplir que 4β − 36 > 0 ⇒ β > 36 4 ⇒ β > 9. Ejemplo 4 Dados α, β > 0, suponga que g : R2++ → R (dominio con variables positivas) tal que g(x , y) = xαyβ . Por cuestiones previas, ya sabemos que Hg (x , y) = [ α(α− 1)xα−2yβ αβxα−1yβ−1 αβxα−1yβ−1 β(β − 1)xαyβ−2. ] . • A partir de lo anterior se tiene que H11 = α(α− 1)xα−2yβ . • Por otro lado: det(Hg (x , y)) = ( α(α− 1)xα−2yβ ) · ( β(β − 1)xαyβ−2 ) − ( αβxα−1yβ−1 )2 = αβ(α− 1)(β − 1)x2α−2y 2β−2 − α2β2 x2α−2y 2β−2 = [ αβ(α− 1)(β − 1)− α2β2 ] x2α−2y 2β−2 = αβ[(α− 1)(β − 1)− αβ] x2α−2y 2β−2 = αβ (1− α− β) x2α−2y 2β−2. (1) • Primero: como x > 0 e y > 0 se concluye que si α ∈]0, 1[ entonces H11 = α(α− 1)xα−2yβ < 0. • Segundo, como det(Hg (x , y)) = αβ(1− α− β) x2α−2y2β−2, ocurre que (recordar que x > 0 e y > 0 y que asumimos α, β > 0) det(Hg (x , y)) > 0 ⇐⇒ (1− α− β) > 0 es decir, ese determinante es positivo cuando α + β < 1. • Concluyendo de lo expuesto, y partiendo de la base que los exponentes son positivos, si α + β < 1, entonces H11 < 0 y det(Hg (x , y)) > 0. Por lo mismo: La función g : R2++ → R tal que g(x , y) = xαyβ es cóncava cuando α + β < 1. Por otro lado, cuando α + β ≥ 1 ocurre que g(x , y) no es ni convexa, ni cóncava, pues el determinante de la matriz de Hesse es cero, o negativo. Ejemplo 5 “Analicemos la convexidad” (es decir, “estudiemos si es cóncava o convexa, o bien ninguna de ellas”) de la función h(x , y) = e−x 2−2y2 . Se tiene que ∂h(x , y) ∂x = −2xe−x 2−2y2 , ∂h(x , y) ∂y = −4ye−x 2−2y2 , por lo que ∂2h(x , y) ∂x∂x = −2e−x 2−2y2 +(−2x)·(−2x)e−x 2−2y2 = e−x 2−2y2 ·(−2+4x2). De manera análoga se tiene que ∂2h(x , y) ∂y∂y = e−x 2−2y2 · (−4 + 16y2). Finalmente, ∂2h(x , y) ∂x∂y = (−2x) · (−4y)e−x 2−2y2 = 8xye−x 2−2y2 . Usando todo lo anterior: Hh(x , y) = e−x2−2y2 · (−2 + 4x2) 8xye−x2−2y2 8xye−x 2−2y2 e−x 2−2y2 · (−4 + 16y2) . Para estudiar el signo de Hh(x , y) debemos estudiar los signos de (i) H11 y de (ii) det(Hh(x , y)). Se tiene que H11 = e −x2−2y2 · (−2 + 4x2), y que det(Hh(x , y)) = (e −x2−2y2)2 · [ (−2 + 4x2) · (−4 + 16y2)− (8xy)2 ] = (e−x 2−2y2)2 · [ (8 + 64x2y2 − 16x2 − 32y2)− 64x2y2 ] = (e−x 2−2y2)2 · (8− 16x2 − 32y2) • Solo por el hecho que H11 puede ser positivo o negativo (incluso 0), la matriz de Hesse no tiene signo, es decir, la función no es ni cóncava ni convexa. • En complemento (si lo anterior no fuese claro), como det(Hh(x , y)) puede ser negativo para ciertos valores de “x” e “y” ocurre que la funciónno es ni cóncava, ni convexa. Complemento En el ejemplo anterior, la cuestión clave para establecer si la función es cóncava o convexa es conocer el signo de H11 y de det(Hh(x , y)). • Para que la función sea convexa, debe ocurrir que para todo “x” e “y” se debe cumplir que H11 > 0 y que det(Hh(x , y)) > 0. Si esto se cumple para algunos valores de las variables, y no para otros, entonces la función no es convexa. • Para que la función sea cóncava debe ocurrir que para todo “x” e “y” se debe cumplir que H11 < 0 y que det(Hh(x , y)) > 0. Si esto se cumple para algunos valores de las variables, y no para otros, entonces la función no es cóncava. • Por lo tanto, si las condiciones indicadas se cumplen para ciertos valores de las variables, y no para otros, entonces la función no es ni convexa, ni cóncava: según el caso, para concluir que hay concavidad o convexidad, el signo de H11 y del determinante de la matriz de Hesse no puede depender del punto donde se evalúan. Objetivos de la clase Convexidad - concavidad de funciones de varias variables a valores reales Convexidad - concavidad usando matriz de Hesse
Compartir