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Matemáticas III Clase 5 Profesor:Humberto Cipriano Zamorano Agenda Objetivos de la clase Óptimo global versus óptimo local Condiciones para encontrar óptimos globales (si hay) Ejemplos Objetivos de la clase I Conocer qué es un punto donde una función óptimo global (máximo o ḿınimo), y la diferencia con ser un punto donde hay óptimo local. I Conocer las condiciones que garantizan que en cierto punto hay máximo o ḿınimo global de una función. Óptimo local Figura: Extremos locales de una función I f tiene un máximo local en x1: f ′(x1) = 0 ∧ f ′′(x1) < 0. I f tiene un ḿınimo local en x2: f ′(x2) = 0 ∧ f ′′(x2) > 0. Óptimo Local versus global I ¿Es acaso f (x1) el mayor valor que toma la función en su dominio? NO. Por ejemplo, de la Figura 2 se tiene que f (x4) > f (x1). I ¿Es acaso f (x2) el menor valor que toma la función en su dominio? NO. Por ejemplo, de la Figura 2 se tiene que f (x3) < f (x2). Figura: Extremos locales no nec. optimizan globalmente Óptimo global Recordemos que f : R→ R tiene un “máximo local” en xM cuando “en torno” a xM alcanza un valor máximo en ese punto, es decir, existe � > 0 tal que para todo x ∈]xM − �, xM + �[ se cumple que f (x) ≤ f (xM). Sin embargo: • La función f : R→ R tiene un “máximo global” en xM cuando en ese punto alcanza un valor máximo en todo su dominio, es decir, para todo x ∈ R se cumple que f (x) ≤ f (xM). P.D. Análogo con ḿınimo local versus ḿınimo global. Óptimo local versus óptimo local • ¿Siempre existen puntos donde una función alcanza máximo (ḿınimo) global? En general NO. Por ejemplo, f : R→ R tal que f (x) = x no tiene ni máximo, ni ḿınimo global (ni local...). • ¿Si hay puntos donde la función tiene máximo (ḿınimo) local entonces, ¿debe haber máximo (ḿınimo) global? No necesariamente. Por ejemplo, para la función f : R→ R tal que f (x) = x3 − 2x2 + 1. I Puntos cŕıticos: f ′(x) = 3x2 − 4x = 0 ⇒ x1 = 0, x2 = 4 3 . I ¿Máx - Mı́n local?: f ′′(x) = 6x − 4 ⇒ f ′′(0) = −4 < 0, f ′′(4/3) = 4 > 0. Luego, en x1 = 0 hay máximo local y en x2 = 4/3 hay ḿınimo local. I Sin embargo, en x1 no hay máximo global y en x2 no hay ḿınimo global. Figura: Óptimos locales de f (x) = x3 − 2x2 + 1 Resultado general Para f : R→ R se tiene lo siguiente: (a) Si la función es convexa o es cóncava en el dominio, entonces tiene, a lo más, un único punto cŕıtico. (b) Si la función es convexa, el punto cŕıtico (si existe) la minimiza globalmente. (c) Si la función es cóncava, el punto cŕıtico (si existe) la maxi- miza globalmente. Comentarios (a) Lo anterior NO DICE que una función convexa (cóncava) debe tener punto cŕıtico: f (x) = ln(x) es cóncava, pero NO TIENE punto cŕıtico (f ′(x) = 1x nunca es cero). (b) Lo propiedad en la lámina anterior dice que si la función f (x) es convexa y tiene punto cŕıtico, este es único y, además, la minimiza globalmente. Es decir, si f (x) es convexa y xm es tal que f ′(xm) = 0 entonces para todo x ∈ R se tiene que f (xm) ≤ f (x). (c) Lo propiedad en la lámina anterior dice que si la función f (x) es cóncava y tiene punto cŕıtico, este es único y, además, la maximiza globalmente. Es decir, si f (x) es cóncava y xM es tal que f ′(xM) = 0 entonces para todo x ∈ R se tiene que f (x) ≤ f (xM). • De manera “informal”: las convexas se minimizan y las cóncavas se maximizan. Esquema para estudiar óptimos globales Consideramos el caso de una función f : R→ R (pudiendo ser otros dominios). Paso 1: Puntos cŕıticos I Si la función f tiene punto cŕıtico (digamos, x̄), entonces continuar con el siguiente paso. I Si la función f no tiene punto cŕıtico, entonces terminar: no hay óptimos globales. Esquema para el análisis (continuación) Paso 2: Análisis de la convexidad (2.1) ¿Es cierto que f ′′(x) > 0 en todo R (o el dominio)?: Śı ⇒ en x̄ hay ḿınimo global y es f (x̄) (2.2) ¿Es cierto que f ′′(x) < 0 en todo R (o el dominio)?: Śı ⇒ en x̄ hay máximo global y es f (x̄) (2.3) Si el signo de la segunda derivada “depende de x”, entonces en x̄ hay solo ḿınimo local cuando f ′′(x̄) > 0, o bien hay máximo local cuando f ′′(x̄) < 0, pero no hay óptimo global. Ejemplo 1 Para la función f : R→ R tal que f (x) = 2x2 − 7x + 2: I Punto(s) cŕıticos: f ′(x) = 4x − 7 = 0 ⇒ x̄ = 7 4 . I ¿Convexa o cóncava? f ′′(x) = 4 > 0 ⇒ f (x) es convexa. I Conclusión: ya que f es convexa, el punto cŕıtico x̄ = 7/4 es un punto donde la función se minimiza globalmente, es decir: ∀x ∈ R se cumple que f (7/4) ≤ f (x). Ejemplo 2 En general, para la función f : R→ R tal que f (x) = a x2 + b x + c , I Punto cŕıtico: f ′(x) = 2ax + b = 0 ⇒ x̄ = −b 2a . I ¿Convexa o cóncava? f ′′(x) = 2a, por lo que si a > 0 entonces f es convexa, mientras que si a < 0 entonces f es cóncava. I Conclusión: si a > 0 entonces x̄ = −b2a es un punto donde la función f (x) se minimiza globalmente, mientras que si a < 0 entonces x̄ = −b2a es un punto donde f (x) se maximiza globalmente. Ejemplo 3 Para la función f (x) = ex : I Puntos cŕıticos: f ′(x) = ex = 0 : no hay solución La función no tiene puntos cŕıticos, por lo que no hay punto donde f (x) = ex tiene máximo global, ni ḿınimo global. Note que esto ocurre a pesar de que la función es convexa: f ′(x) = ex ⇒ f ′′(x) = ex > 0. Ejemplo 4 Para la función f : R→ R tal que f (x) = ex − x I Punto(s) cŕıticos: f ′(x) = ex − 1 = 0 ⇒ ex = 1 ⇒ x̄ = 0 I ¿Convexa o cóncava? f ′(x) = ex − 1 ⇒ f ′′(x) = ex > 0, por lo que f (x) es convexa. I Conclusión: la función f (x) = ex − x se minimiza globalmente en x̄ = 0, es decir, para todo x ∈ R se cumple que e0 − 0 ≤ ex − x ⇒ 1 + x ≤ ex . Figura: f (x) = ex − x tiene ḿınimo global en x̄ = 0 Ejemplo 5 Suponga que R > 0 y p > 0 son cantidades conocidas. Sea f : R++ → R tal que f (x) = (R − p x) + √ x . • Puntos cŕıticos: f ′(x) = −p + 1 2 √ x = 0 ⇒ x̄ = 1 4p2 . • ¿Convexa o cóncava?: f ′(x) = −p + 1 2 √ x ⇒ f ′′(x) = − 1 4 x3/2 < 0. • Conclusión: en el punto x̄ = 14p2 ocurre que la función tiene (alcanza) un máximo global. Ejemplo 6 Dados α ∈]0, 1[ y r > 0, definamos f : R+ → R tal que f (x) = xα − rx . • Se tiene que f ′(x) = αxα−1 − r y que f ′′(x) = α · (α− 1)xα−2. (a) El punto cŕıtico de f (x) cumple que f ′(x) = αxα−1 − r = 0 ⇒ x̄ = ( r α ) 1 α−1 . (b) En este caso, notamos que la función f (x) es cóncava, ya que la segunda derivada es negativa en el dominio. Por lo tanto, x̄ = ( r α ) 1 α−1 es un punto donde f (x) tiene máximo global. (c) El valor máximo que toma la función en todo su dominio es f (x̄) = (( r α ) 1 α−1 )α − r · ( r α ) 1 α−1 . NOTA. Si en lo anterior uno considera α > 1, entonces f (x) tiene ḿınimo global en x̄ , esto porque en tal caso f (x) es convexa. Objetivos de la clase Óptimo global versus óptimo local Condiciones para encontrar óptimos globales (si hay) Ejemplos
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