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Matemáticas III Clase 3 Profesor: Humberto Cipriano Zamorano 1 Agenda Objetivos de la clase Funciones convexas Caracterización de funciones convexas con segundas derivadas Funciones cóncavas 2 Objetivos de la clase Objetivos de la clase • Conocer qué es una función convexa y qué es una función cóncava. • Conocer la caracterización de convexidad / concavidad a través de segundas derivadas. 3 Funciones convexas Convexidad • ¿Qué tienen en común los siguientes cuatro gráficos de funciones? Figura 1: Funciones bajo análisis 4 Hecho relevante En los gráficos anteriores, tomando dos puntos de él ocurre que la recta que los une está arriba de la curva (gráficos (1), (3) y (4)), o en algunas partes está arriba y en otras coincide (gráfico con tramo recto en (2)). Figura 2: Recta que une dos puntos del gráfico está “arriba” del gráfico (o coincide) 5 Desigualdad que define la convexidad ¿A qué corresponde que el trazo esté “arriba” de la curva en los casos (1), (3) y (4)? Dados x1 < x2 dos puntos en el dominio de la función: • La recta L(x) que pasa por los puntos (x1, f (x1)), (x2, f (x2)) tiene ecuación L(x) = f (x1) + f (x2)� f (x1) x2 � x1 (x � x1). • Tomemos x̄ un punto entre x1 y x2, sin considerar los extremos: x̄ = �x1 + (1� �) x2, con � 2]0, 1[. • Evaluando L(x) en el punto intermedio x̄ : L(x̄) = f (x1) + f (x2)� f (x1) x2 � x1 ((�x1 + (1� �) x2)� x1) = �f (x1) + (1� �) f (x2) • Finalmente, si la recta está arriba del gráfico es porque f (x̄) < L(x̄). 6 Figura 3: Función convexa 7 Definición de función convexa Una función f : R ! R se dice “convexa” si para todo x1, x2 2 R y para todo � 2]0, 1[ se cumple que f (� x1 + (1� �) x2) < �f (x1) + (1� �) f (x2). NOTAS. • Las “funciones” (1), (3) y (4) de la Figura 1 cumplen lo anterior: son funciones convexas. • El gráfico de la función (2) en la Figura 1 tiene un tramo recto, por lo que la “recta” L(x) coincide con la “curva” para ciertos puntos del gráfico. Se dice entonces que (2) es una función débilmente convexa. 8 Caracterización de funciones convexas con segundas derivadas Problema • Determinar que una función es convexa a través de la definición es, en general, un problema complicado. • Por ejemplo, si queremos probar que la función f (x) = ex es convexa (cosa que es cierto), uno debeŕıa probar que para cualquier x1, x2 2 R y para cualquier � 2]0, 1[ se cumple que e�x1+(1��)x2 < �ex1 + (1� �)ex2 . • Necesitamos entonces una forma sencilla de estudiar la convexidad de una función. 9 Observación clave Las funciones convexas tienen derivada creciente Figura 4: Derivada creciente 10 Caracterización de función convexa Por lo tanto: • Si f 0(x) es creciente, es porque su derivada es positiva. • Es decir, la derivada de la derivada es positiva: segunda derivada es positiva. f : R ! R es convexa () f 00(x) > 0. 11 Funciones cóncavas Idea • Una función f : R ! R es cóncava cuando “menos la función”, �f , es convexa (el gráfico de f se “da vuelta con respecto al eje horizontal” para obtener el gráfico de �f ). • Por lo tanto, una función f : R ! R es cóncava si para todo x1, x2 2 R y para todo � 2]0, 1[ se cumple que f (� x1 + (1� �) x2) > �f (x1) + (1� �) f (x2). Lo anterior se traduce en lo siguiente: f : R ! R es cóncava () f 00(x) < 0. 12 Figura 5: Cóncava: derivada decreciente, f 00(x) < 0 en (1), (3) y (4) 13 Resumen Sobre la base de todo lo expuesto, la convexidad de una función se puede ver desde tres puntos de vista equivalentes, de modo que (a), (b) y (c) a continuación informan lo mismo: (a) para todo x1, x2 2 R, y para todo � 2]0, 1[ se cumple que f (�x1 + (1� �)x2) < �f (x1) + (1� �)f (x2). (b) para todo x1, x2 2 R, con x1 < x2, el segmento de recta que une los puntos (x1, f (x1)) y (x2, f (x2)) está arriba del gráfico de f (x) (no lo toca) cuando x vaŕıa entre x1 y x2, sin incluirlos, (c) f 00(x) > 0. 14 Resumen Sobre la base de todo lo expuesto, la concavidad de una función se puede ver desde tres puntos de vista equivalentes, de modo que (a), (b) y (c) a continuación informan lo mismo: (a) para todo x1, x2 2 R, y para todo � 2]0, 1[ se cumple que f (�x1 + (1� �)x2) > �f (x1) + (1� �)f (x2). (b) para todo x1, x2 2 R, con x1 < x2, el segmento de recta que une los puntos (x1, f (x1)) y (x2, f (x2)) está bajo el gráfico de f (x) (no lo toca) cuando x vaŕıa entre x1 y x2, sin incluirlos, (c) f 00(x) < 0. 15 Comentario 1 • Una función cualquiera, ¿debe ser convexa o debe ser cóncava? NO necesariamente. Figura 6: Función que no es ni convexa ni cóncava • Donde f 00(x) > 0 ocurre que f es convexa de manera local. • Donde f 00(x) < 0 ocurre que f es cóncava de manera local. NOTA. x̄ se llama punto de inflexión si cumple que f 00(x̄) = 0. 16 Comentario 2 Hay funciones que son (a) convexa y creciente, (b) convexa y decreciente, (c) convexa y “mixto” creciente-decreciente. También se puede dar el caso (d) cóncava y creciente, (e) cóncava y decreciente y (f) cóncava y “mixto’ creciente-decreciente. Figura 7: Creciente y convexa – decreciente y convexa (a) (b) (c) (d) (e) (f) 17 Ejemplo 1 Para parábola f (x) = a x2 + b x + c , tenemos que f 0(x) = 2a x + b ) f 00(x) = 2a. Luego: • f (x) es convexa cuando a > 0 • f (x) es cóncava cuando a < 0 • La parábola es creciente en cierta región, y decreciente en otra. 18 Ejemplo 2 Para la función exponencial f (x) = ex tenemos que f (x) = ex ) f 0(x) = ex ) f 00(x) = ex . Luego f (x) es convexa ya que f 00(x) > 0. • ¿Qué informa lo anterior? Entre otros, el hecho que f (x) = ex es convexa nos dice que para todo x1, x2 2 R, con x1 6= x2, y para todo 0 < � < 1, se cumple que e�x1+(1��)x2) < �ex1 + (1� �)ex2 . • Nota. La función g(x) = e�x también es convexa: g(x) = e�x ) g 0(x) = �e�x ) g 00(x) = e�x > 0. 19 Ejemplo 3 Dado b > 0, con b 6= 1, para la función f (x) = bx se tiene que f (x) = bx ) f 0(x) = ln(b)bx ) f 00(x) = (ln(b))2bx . Luego, ya que la segunda derivada siempre es positiva, concluimos que f (x) = bx es convexa. Por otro lado, note que: • Si 0 < b < 1, entonces f (x) = bx es decreciente: 0 < b < 1 ) ln(b) < 0 ) f 0(x) < 0. • Si b > 1, entonces f (x) = bx es creciente: b > 1 ) ln(b) > 0 ) f 0(x) > 0. 20 Ejemplo 4 Para la función f : R++ ! R tal que f (x) = ln(x) se tiene que f (x) = ln(x) ) f 0(x) = 1 x ) f 00(x) = � 1 x2 Por lo tanto, el logaritmo natural es una función cóncava, ya que la segunda derivada es negativa en todos los puntos del dominio. Notemos además que f (x) = ln(x) es creciente (derivada positiva). 21 Ejemplo 5 Dado � 2 R y dada f : R++ ! R tal que f (x) = x� , se tiene que: f 0(x) = �x��1 ^ f 00(x) = � · (� � 1) x��2. Por lo tanto (tener presente que x > 0): (a) Si � > 0 ocurre que f (x) es creciente. Además, viendo la segunda derivada: (a1) Si 0 < � < 1 entonces f (x) es cóncava. (a2) Si � > 1 entonces f (x) es convexa. (b) Si � < 0 ocurre que f (x) es decreciente. Por otro lado, como �(� � 1) > 0, tenemos que f (x) = x� es convexa cuando � < 0. Por ejemplo: (a1) : f (x) = p x , (a2) : f (x) = x3/2, (b) : f (x) = 1 x2 = x�2. 22
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