Álgebra Lineal Mora (12)

Vista previa del material en texto

xi
Introducción
Algunos argumentan que Dios es geómetra, enunciado difícil de sostener. Algo más 
mundano y acorde con la naturaleza lleva a concluir que “La Matemática es la crea-
ción suprema de la mente humana”.
El álgebra lineal, junto con el cálculo diferencial e integral, constituyen los pilares de la 
formación matemática de los estudiantes de ciencias e ingeniería. Posiblemente esto 
explique por qué se han escrito tantos libros de cada una de estas áreas.
Nuestro objetivo al escribir este libro se puede resumir de la manera siguiente. Por 
un lado, exponer nuestra concepción del álgebra lineal básica; por otro, que esta con-
cepción auxilie a los estudiantes de matemáticas, ingeniería y áreas afi nes en el proceso 
de aprendizaje de tan importante área.
Cuando se inicia la discusión de un tema es adecuado aclarar, en la medida de lo 
posible, cuáles serán los objetos de estudio. Al respecto, queremos señalar que una po-
sible defi nición del álgebra lineal puede formularse diciendo que es el área de las mate-
máticas que estudia las ecuaciones:
 AX � B y AX � λX (1)
Tomando esto como referente, podemos decir que el presente trabajo se desarrolla 
en torno al estudio de dichas ecuaciones, en un escenario con tres elementos que con-
sideramos importantes en la actividad matemática: los fundamentos, los métodos y las 
aplicaciones.
El desarrollo del texto tiene como antecedentes las notas para los cursos de álgebra 
lineal que he impartido en el programa educativo de Matemáticas Aplicadas que oferta 
la Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo (UAEH), por lo que el enfoque, con-
tenidos y profundidad están relacionados estrechamente con el currículum de dicha 
licenciatura. Sin embargo, el texto puede ser utilizado como referencia en licenciaturas 
de matemáticas y áreas afi nes.
El contenido del libro está estructurado de la siguiente forma. En los primeros cinco 
capítulos discutimos la solución de sistemas de ecuaciones lineales, los elementos bá-
sicos de la teoría de espacios vectoriales y la teoría de determinantes. En el capítulo seis 
presentamos la teoría de valores y vectores característicos, tomando una ruta diferente 
a la que usualmente toman los textos de álgebra lineal. Es decir, en un curso usual, la 
teoría de valores y vectores característicos se inicia con el polinomio característico de 
una matriz u operador. Una de las desventajas de esta ruta, es que la mayoría de los 
resultados relacionados con las propiedades fundamentales de un operador en cuanto 
a diagonalización, triangulación, etcétera, no se obtienen a partir del polinomio carac-
terístico. Para avanzar en esta línea, hace falta introducir el polinomio mínimo.
En contraste con lo que hace la mayoría de los textos, la ruta que seguimos en 
éste inicia con la defi nición del polinomio mínimo de un operador y a partir de dicho 
concepto fundamental, se hace un análisis completo de la estructura de un operador, 
culminando con la forma canónica de Jordan, pasando por la caracterización de los 
operadores diagonalizables y triangulables. Es importante notar que en la discusión 
de valores y vectores característicos que estamos presentando, no se utilizan determi-
nantes en ningún momento y partiendo del polinomio mínimo se puede establecer la 
	Álgebra Lineal
	Introducción