Álgebra Lineal Mora (18)

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Capítulo 1. Sistemas de ecuaciones lineales 
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b1 y b2, respectivamente? Dado que las inversiones se representan por cantidades no 
negativas, una manera de formular la pregunta anterior es: ¿para qué valores de b1 y b2 
el sistema 1.1 tiene soluciones no negativas?
En la fi gura 1.1 se ha representado al sistema 1.1 para el caso b1 � b2 � 1 y se observa 
que tiene solución positiva. La interpretación geométrica de la pregunta anterior es: 
¿para cuáles valores no negativos de b1 y b2 las rectas representadas por el sistema 1.1 se 
intersecan en el primer cuadrante?
Como los sistemas (1.1) y (1.2) son equivalentes, además de que en el segundo y 
está despejada, una forma de resolverlo es igualando las expresiones de y; haciendo esto 
y simplifi cándola se obtiene el valor de x y después el valor de y, de manera explícita:
 x � 
35b1 � 30b2
16
 y � 
10b2 � 5b1
4 . 
(1.3)
Notemos que las soluciones se han obtenido en términos de b1 y b2, los cuales se 
suponen conocidos. Las condiciones de la pregunta original implican que x, y � 0, es 
decir, se deben satisfacer las condiciones:
 x � 
35b1 � 30b2
16 
� 0
 y � 
10b2 � 5b1
4 � 0. 
(1.4)
Éste es un sistema de desigualdades en b1 y b2, el cual equivale a
 7b1 � 6b2 � 0
 2b2 � b1 � 0, 
(1.5)
y se puede representar como:
 
7b1
6 � b2
 b2 � 
b1
6 . 
(1.6)
En la fi gura 1.2 se representa a la región del plano b1 b2 en la cual se satisfacen las 
desigualdades 1.6. Esa región también puede ser interpretada como la imagen del pri-
mer cuadrante bajo la función que se describe abajo.
Desde una perspectiva puramente matemática, el proceso de producción lo pode-
mos formular mediante una función y su interpretación es: la función
 (x, y) → T(x, y) � (0.8x 	 0.4y, 0.4x 	 0.7y) � (b1, b2)
transforma cada punto (x, y) del primer cuadrante (plano de la inversión), en un punto 
de la región sombreada de la fi gura 1.2. Funciones con las características de T serán 
consideradas ampliamente cuando se discutan transformaciones lineales.