Álgebra Lineal Mora (20)

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Capítulo 1. Sistemas de ecuaciones lineales 
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Transporte Energía Agricultura
Transporte .2x .1y .2z
Energía 0.4x .3y .3z
Agricultura .3x .5y .35z
La segunda columna de la tabla 1.2 signifi ca que el sector transporte para producir 
x pesos requiere: .2x de su propio producto; .4x del sector energía y .3x del sector agri-
cultura. Note que el sector transporte para producir x pesos requiere .9x pesos, es de-
cir, espera ganancias de 10%. Las columnas 3 y 4 se interpretan de la misma manera.
Si el público consume 2, 3 y 5 unidades monetarias de los sectores transporte, 
energía y agricultura respectivamente, ¿será satisfecha la demanda?
La segunda condición del modelo, es decir, la condición de equilibrio establece que 
para cada uno de los sectores se cumple:
Producción � consumo
Esta condición y los requerimientos de la tabla 1.2 llevan al sistema:
 x � .2x 	 .1y 	 .2z 	 2,
 y � .4x 	 .3y 	 .3z 	 3, (1.7)
 z � .3x 	 .5y 	.35z 	 5.
Una forma de intentar resolver el sistema anterior es mediante prueba y error ; otra 
es mediante argumentos de tipo económico.
Ejercicio 1.1.1. Dado el sistema
 x � ax 	 by 	 c
 y � a1x 	 b1y 	 c1, (1.8)
con todos los coefi cientes positivos de y, además a 	 a1 � 1 y b 	 b1 � 1. Demuestre que 
el sistema tiene solución positiva.
Ejemplo 1.1.3. En una región la población se mantiene constante 2 y se divide en ru-
ral y urbana. Se ha observado que cada año, 25% de habitantes de la zona rural pasa a 
la urbana y 5% de la urbana se cambia a la rural. Si al inicio de un experimento para 
determinar el movimiento de la población se tienen 8 millones en la zona rural y 2 en 
la urbana, ¿cuántos habitantes habrá en cada zona al cabo de 1, 2, 3, 4, 5 años?
Discusión: Al analizar una situación, es de importancia identifi car y representar la 
información usando diferentes medios. En este caso usaremos una tabla para repre-
sentar la forma en que la población migra con el paso del tiempo.
Año Población rural Población urbana
0 8 2
1 (.75)8 	 (.05)2 � 6.10 (.25)8 	 (.95)2 � 3.9
2 (.75)(6.10) 	 (.05)(3.9) � 4.77 (.25)(6.1) 	 (.95)(3.9) � 5.23
3 (.75)(4.77) 	 (.05)(5.23) � 3.839 (.25)(4.77) 	 (.95)(5.23) � 6.161
4 (.75)(3.839) 	 (.05)(6.161) � 3.1873 (.25)(3.839) 	 (.95)(6.161) � 6.8127
5 (.75)(3.1873) 	 (.05)(6.8127) � 2.73111 (.25)(3.1873) 	 (.95)(6.8127) � 7.26889
Tabla 1.3. Cambio de 
población con el tiempo.
 2 E1 crecimiento de población en Alemania durante 2005 fue cero. (http://www.indexmundi.com/germany/population_
growth_rate.html)
Tabla 1.2. Requerimientos por sector.