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Álgebra lineal 8 ma de m ecuaciones en n incógnitas? Para dar respuesta a estas preguntas iniciemos analizando el sistema a la luz de algunas propiedades que se tienen al “operar” con igualdades. 1. Propiedad 1. Si los miembros de una ecuación se multiplican por un mismo nú- mero, el resultado es otra ecuación. Ejemplo. Dada la ecuación 4x 2y � 2, al multiplicar por 1/2 se tiene 2x y � 1. 2. Propiedad 2. Si se tienen dos ecuaciones y una de ellas se multiplica por un nú- mero y se suma a la otra, el resultado es otra ecuación. Ejemplo. Dadas las ecuaciones x y � 3 y 3x y � �1, al multiplicar a la prime- ra por �3 y sumarla a la segunda se tiene �3(x y) (3x y) � �3(3) (�1). Esta ecuación equivale a �2y � �10. La Propiedad 1 permite resolver ecuaciones del tipo ax � b, con a � 0, es decir, mul- tiplicando por 1 a se tiene: x � b a . Apliquemos estas propiedades para analizar el sistema (1.11). 20x1 21x2 19x3 � 1 250 (1.12) 11x1 12x2 13x3 � 750 (1.13) 9x1 8x2 8x3 � 520. (1.14) Multiplicando la ecuación (1.13) por �20, la ecuación (1.12) por 11, sumando los resultados y simplifi cando se tiene: �9x2 � 51x3 � �1 250 (1.15) Multiplicando la ecuación (1.14) por –20, la ecuación (1.12) por 9, sumando los re- sultados y simplifi cando se tiene: 29x2 11x3 � 850 (1.16) Con las ecuaciones (1.15) y (1.16) formamos el sistema: 9x2 51x3 � 1 250 (1.17) 29x2 11x3 � 850 (1.18) Multiplicando la ecuación (1.18) por �9, la ecuación (1.17) por 29, sumando los re- sultados y simplifi cando se tiene: x3 � 1 430 69 Sustituyendo este valor de x3 en la ecuación (1.17), obtenemos 9x2 51 1 430 69( ) � 1,250; de esta última ecuación llegamos a: 9x2 � 1 250 �51 1 430 69( ) � 86 250 � 72 93069 � 13 32069 � 4 44023 concluyendo que x2 � 1 480 69
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