Álgebra Lineal Mora (94)

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Capítulo 3. Espacios vectoriales
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entonces N
uru
 es ortogonal a X � P. Supongamos que las coordenadas de P son 
P � (a1, b1, c1), entonces la condición de ortogonalidad descrita antes se traduce a:
〈(a, b, c), (x � a1, y � b1, z � c1)〉 � a(x � a1) 	 b(y � b1) 	 c(z � c1)
 � ax 	 by 	 cz 	 d � 0 (3.16)
en donde d � �(aa1 	 bb1 	 cc1).
Resumiendo, la ecuación del plano que pasa por los puntos no colineales P � (a1, 
b1, c1), Q � (a2, b2, c2) y R � (a3, b3, c3), está dada por:
ax 	 by 	 cz 	 d � 0
en donde d � �(aa1 	 bb1 	 cc1), y (a, b, c) � (Q � P) � (R � P).
Ejemplo 3.3.5. Encuentre la ecuación del plano que pasa por los puntos (1, 2, 0), 
(0, 1, 1) y (1, 2, 3).
Discusión. Tomemos como P � (1, 2, 0), entonces de acuerdo con la notación ante-
rior se tiene, α � (0, 1, 1) � (1, 2, 0) � (�1, �1, 1) y β � (1, 2, 3) � (1, 2, 0) � (0, 0, 3). De 
esto, obtenemos que el producto cruz de α y β está dado por:
N
uru
 � 
 i j k
 �1 �1 	1
 0 0 3
 � �3i 	 3j � (�3, 3, 0)
Siguiendo el procedimiento descrito antes, la ecuación del plano buscado es:
〈(�3, 3, 0), (x � l, y � 2, z)〉 � �3(x � 1) 	 3(y � 2) � �3x 	 3y � 3 � 0
De la discusión anterior se tiene que la ecuación de un plano que es normal a un 
vector no cero N
uru
 y pasa por un punto P es de la forma ax 	 by 	 cz 	 d � 0. Recí-
procamente, una ecuación de la forma ax 	 by 	 cz 	 d � 0, con al menos uno de 
a, b o c diferente de cero, representa un plano que tiene por vector normal a N
uru
 � (a, 
b, c). Pues como al menos uno de los coefi cientes de las variables es distinto de cero, 
existe un punto P � (x0, y0, z0) cuyas coordenadas satisfacen a la ecuación dada, es 
decir, ax0 	 by0 	 cz0 	 d � 0. Esta ecuación se puede reescribir como d � �ax0 � 
by0 � cz0. Sustituyendo y agrupando en la ecuación inicial se tiene a(x � x0) 	 b(y � 
y0) 	 c(z � z0) � 0 y se interpreta así: los puntos del espacio que satisfacen a esta 
última ecuación son todos aquellos que al restarles P � (x0, y0, z0) son ortogonales a 
N
uru
 � (a, b, c).
Lo anterior lo podemos resumir diciendo:
Observación 3.3.3. Un plano es el conjunto de puntos de R3 que satisfacen una 
ecuación de la forma ax 	 by 	 cz 	 d � 0, con a, b, c y d constantes reales.
3.3.5. Ejercicios
 1. Haga un dibujo a escala y conteste las siguientes preguntas.
 a) ¿Puede uno alcanzar el punto (.5, .7) “caminando” en direcciones paralelas a 
las líneas determinadas por los vectores (1, 2) y (2, 1)? ¿Caminará más de una 
unidad en cada dirección?
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	Álgebra Lineal
	Capítulo 3 Espacios vectoriales
	3.3. Aspectos geométricos de R2 y R3 vía álgebra lineal
	3.3.5. Ejercicios