Álgebra Lineal Mora (196)

Vista previa del material en texto

Capítulo 7. Espacios con producto interno
181181
Primero, si B es la función idénticamente cero, es decir, si B(α, α) � 0 para todo α ∈ 
V, entonces B se representa por medio de una matriz diagonal.
Por la consideración hecha, podemos suponer que existe α1 ∈ V \ {0} tal que B(α1, 
α1) ≠ 0. Como estamos buscando elementos “ortogonales”, es natural considerar a los 
elementos β ∈ V tales que B(α, β) � 0 y de allí escoger algunos que formen parte de la 
base buscada.
Note que el conjunto de los β ∈ V que satisfacen B(α, β) � 0 es el núcleo de la función 
lineal f
�1
 : V → R defi nida por f
�1
(β) � B(α1, β). Como f�1 no es la función cero, entonces 
es suprayectiva, por lo que su imagen tiene dimensión uno. Aplicando el teorema 4.3.2, 
página 103, se concluye que la dimensión del núcleo de f
�1
 es dim (V) � 1.
Llamemos W al núcleo de f
�1
. Es claro que B puede ser considerada una función 
bilineal en W. Un argumento inductivo sobre la dimensión del espacio sobre el que está 
defi nida B terminará la demostración de la existencia de la base buscada. De manera 
más precisa. Si V tiene dimensión uno, claramente cualquier matriz asociada a B es dia-
gonal. Supongamos que V tiene dimensión mayor que uno y supongamos que cuando 
B está defi nida en subespacios de dimensión menor que dim (V) existe una base en la 
cual se representa por medio de una matriz diagonal.
Por lo demostrado antes, existe una base de W, {α2, α3, ..., αn}, tal que B(αi, αj) � B(αj, 
αi) � 0, si i ≠ j y para todos i � 2, 3, ..., n y j � 2, 3, ..., n.
Como α1 satisface B(α1, α1) ≠ 0, entonces α1 ∉ W. De esto concluimos que {α1, α2, α3, 
..., αn}, es una base de V.
Por construcción de W se tiene B(α1, αj) � 0 para todo j � 2, 3, ..., n. Como B es si-
métrica también se tiene B(αj, α1) � 0 para todo j � 2, 3, ..., n, concluyendo con esto que 
{α1, α2, α3, ..., αn} es la base buscada.
Resumiendo la discusión anterior, hemos demostrado el siguiente teorema:
Teorema 7.3.2. Sea V un espacio vectorial de dimensión fi nita, B una función bili-
neal. Se tiene lo siguiente: existe una representación de B por medio de una matriz dia-
gonal ⇔ B es simétrica.
Observación 7.3.3. Si V es un espacio vectorial y B es una función bilineal simétri-
ca, entonces existe una base {α1, α2, α3, ..., αn} de V tal que B(α, β) � a1x1y1 	 · · · + anxnyn, 
en donde α � x1α1 	 x2α2 	 · · · 	 xnαn y β � y1α1 	 y2α2 	 · · · 	 ynαn.
7.3.1. Formas cuadráticas
Si B es una forma bilineal en el espacio V representada por la matriz A respecto a una 
base, entonces B(α, α) � X tAX, con X el vector coordenado de α respecto a la base dada. La 
expresión X tAX es lo que usualmente se llama una forma cuadrática. Nosotros tomaremos 
un enfoque un poco diferente en donde la formulación no hace uso de base alguna; esto 
para ir acorde con la defi nición de función bilineal formulada al inicio de la sección.
Defi nición 7.3.3. Sea V un espacio vectorial, una función Q : V → R es una función 
cuadrática si cumple las siguientes condiciones.
 1. Para todo α ∈ V y para todo a ∈ R, Q(aα) � a2Q(α).
 2. La función B(α, β) � Q Q( ) ( )�	 � ��β β
4
es bilineal.
Observación 7.3.4. Note que de la segunda parte de la defi nición 7.3.3 y de la dis-
cusión anterior se tiene que una función cuadrática se puede representar mediante una 
matriz simétrica, pues la función bilineal expresada allí es simétrica.
	Álgebra Lineal
	Capítulo 7 Espacios con producto interno
	7.3. Formas cuadráticas y bilineales
	7.3.1. Formas cuadráticas