Álgebra Lineal Mora (197)

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Álgebra lineal
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Como consecuencia del teorema 7.3.2 y de la observación anterior tenemos:
Teorema 7.3.3. Sea V un espacio de dimensión n. Si Q es una función cuadrática 
en V, entonces existe una base de V respecto de la cual se tiene: Q(α) � d1 x1
2 	 d2 x2
2 	 
· · · 	 dn xn
2 , con x1, x2, ..., xn, las coordenadas de α respecto a dicha base.
Cuando una función cuadrática Q se ha representado por medio de una matriz A 
respecto a una base y el vector coordenado de α respecto de esta base es X, a la expre-
sión Q(X) � X tAX se le suele llamar forma cuadrática.
Notemos que los signos de los valores de una forma cuadrática Q representada por 
Q(α) � d1 x1
2 	 d2 x2
2 	 · · · 	 dn xn
2 se pueden examinar considerando los signos de los 
coefi cientes d1, d2, ..., dn. Por ejemplo, si todos los di son positivos, entonces Q(α) 
 0 
para todo α ≠ 0; si todos los di son negativos, entonces Q(α) � 0 para todo α ≠ 0. Estas 
observaciones llevan a la siguiente defi nición:
Defi nición 7.3.4. Una forma cuadrática Q(X) es positiva (negativa) defi nida si 
Q(X) 
 0 (Q(X) < 0) para todo X ≠ 0.
Notemos que la defi nición de forma cuadrática positiva defi nida se puede formular 
en términos de una matriz que la represente. Esta matriz es necesariamente simétrica. 
Más adelante serán consideradas con mayor amplitud las matrices positivas defi nidas.
7.3.2. Teorema de los ejes principales
Lema 7.3.1. Sea A una matriz simétrica con entradas reales. Entonces las raíces de su 
polinomio característico son reales.
Demostración. Sea λ un valor característico de A y X un vector característico aso-
ciado a λ. Como A es real y simétrica, aplicando la ecuación 7.6, página 178, se tiene 
〈AX, X〉 � 〈X, AX〉. De esta ecuación y la propiedad del producto interno complejo, se 
tiene λ〈X, X〉 � � 〈X, X〉; o en forma equivalentemente, (λ � � ) 〈X, X〉 � 0. Como X no 
es cero, entonces 〈X, X〉 ≠ 0, por lo que (λ � � ) � 0, es decir, λ es real.
Lema 7.3.2. Sean A una matriz simétrica con entradas reales; μ y λ valores carac-
terísticos de A, diferentes. Si X1 y X2 son vectores característicos correspondientes a μ y λ 
respectivamente, entonces X1 es ortogonal a X2.
Demostración. De la ecuación 7.6 y la hipótesis sobre A se tiene 〈AX1, X2〉 � 〈X1, AX2〉. 
Usando la defi nición de vector característico, la linealidad del producto interno y agru-
pando, obtenemos (μ � λ) 〈X1, X2〉 � 0. La conclusión se tiene de la hipótesis sobre μ y λ.
Lema 7.3.3. Sea B una matriz simétrica con entradas reales. Supongamos que 
BmX � 0 para algún entero positivo m, entonces BX � 0.
Demostración. Sea m el mínimo entero positivo tal que BmX � 0. Si m > 1 entonces 
Bm�1X � Y ≠ 0 y BY � 0. De esto se tiene 0 � 〈BY, Bm�2X〉 � 〈Y, Bm�1X〉 � 〈Y, Y〉, contradi-
ciendo lo supuesto sobre Y.
Defi nición 7.3.5. Sea P una matriz real no singular, diremos que P es ortogonal 
si P�1 � Pt.
Observación 7.3.5. Una matriz P es ortogonal ⇔ sus columnas son ortonormales.
Teorema 7.3.4. (Teorema de los ejes principales). Sea A una matriz simétrica. En-
tonces existe una matriz ortogonal P tal que P�1AP � PtAP � diag{λ1, ..., λn}, con λ1, ..., λn 
los valores característicos de A.
Demostración. Primero demostraremos que A es diagonalizable, lo cual equivale 
a demostrar que el polinomio mínimo de A tiene factores lineales diferentes, teorema 
6.2.1. Sea m(x) � p(x)lq(x) el polinomio mínimo de A, con p(x) irreducible y primo rela-
tivo a q(x). Por el lema 7.3.1, p(x) es lineal. Para concluir esta parte de la demostración, 
	Álgebra Lineal
	Capítulo 7 Espacios con producto interno
	7.3. Formas cuadráticas y bilineales
	7.3.2. Teorema de los ejes principales