Álgebra Lineal Mora (198)

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Capítulo 7. Espacios con producto interno
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basta demostrar que l � 1. Sea X ∈ Rn, entonces m(A)X � p(A)lq(A)X � 0. Es directo 
verifi car que p(A) es una matriz simétrica. Aplicando el lema 7.3.3 a p(A) se tiene que 
p(A)q(A)X � 0, es decir, p(A)q(A) anula a cualquier X de Rn, lo cual implica que p(A)q(A) 
es la matriz cero. Entonces m(x) divide a p(x)q(x), concluyéndose que l � 1.
Sea m(x) � (x � λ1) · · · (x � λr) la factorización en irreducibles diferentes y W1, W2, 
..., Wr los núcleos de los operadores A � λ1I, A � λ2I, ..., A � λrI. Aplicando el teorema de 
la descomposición primaria, teorema 6.1.3, página 140, se tiene que:
Rn rW W W� 1 2⊕ ⊕ ⊕· · ·
Sea B i una base ortonormal de Wi. Por el lema 7.3.2, la unión de B1, B2, ..., Br es una 
base ortonormal de Rn. Defi na P como la matriz cuyas columnas son los elementos de 
esta base y note que P tAP puede tener elementos repetidos en la diagonal, de hecho 
cada λi aparece tantas veces como dim(Wi).
Corolario 7.3.1. La única matriz nilpotente y simétrica es la matriz cero. 
Ejercicio 7.3.1. Sea A una matriz real n � n. Demuestre que todos los valores carac-
terísticos de A son reales ⇔ existen: Q matriz ortogonal y R matriz triangular superior 
tales que A � QRQt.
Sugerencia. Si A � QRQ t entonces Q tAQ � R, es decir, A es similar a R y los valores 
característicos de R son los elementos de su diagonal. Recíprocamente, suponga que 
los valores característicos de A son todos reales. Sea U1 un vector unitario asociado al 
valor característico λ1, es decir, A U1 � λ1 U1. Expandiendo U1 a una base ortonormal 
de Rn se construye una matriz ortogonal Q1 cuyas columnas son esta base, entonces 
Qt1 AQ es una matriz que en la primer entrada de la primer columna tiene a λ1 y cero en 
las restantes. Los valores característicos de la submatriz que se obtiene omitiendo la 
primera fi la y la primera columna de Q AQt1 tiene por valores característicos a λ2, ..., λn. 
Haga construcciones adecuadas y proceda inductivamente.
Nota. Un corolario de este ejercicio es el teorema de los ejes principales.
7.3.3. Matrices positivas definidas
Uno de los problemas importantes en cálculo de una variable es la clasifi cación de los 
puntos críticos de una función. Esto se hace de manera efi ciente si la función tiene su-
fi cientes derivadas, más precisamente, si f(x) es una función que tiene segunda de-
rivada en un punto x0 de su dominio y f ″(x0) ≠ 0, entonces el signo de f ″(x0) determina si 
se trata de un máximo o un mínimo. Para funciones de Rn a R hay un resultado simi-
lar, salvo que en este caso, la segunda diferencial es una función bilineal simétrica 
determinada por una matriz simétrica y el signo de los valores característicos de esa 
matriz determinan si la función tiene un máximo o un mínimo. En esta parte discuti-
remos algunas propiedades de las matrices simétricas que tienen valores caracterís-
ticos positivos.
Defi nición 7.3.6. Sea A una matriz simétrica; diremos que A es positiva defi nida si 
XtAX > 0 para todo X ≠ 0.
Teorema 7.3.5. Sea A una matriz simétrica, entonces A es positiva defi nida ⇔ sus 
valores característicos son positivos.
Demostración. Supongamos que todos los valores característicos, λ1, λ2, ..., λn de A 
son positivos. Por el teorema de los ejes principales, teorema 7.3.4, existe P matriz orto-
gonal tal que P tAP � diag{λ1, λ2, ..., λn} � D.
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	Álgebra Lineal
	Capítulo 7 Espacios con producto interno
	7.3. Formas cuadráticas y bilineales
	7.3.3. Matrices positivas definidas