Álgebra Lineal Mora (199)

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Álgebra lineal
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Dado X ≠ 0, como P es inversible existe Y ≠ 0 tal que X � PY. De esto se tiene:
 X tAX � (PY)tAPY
 � Y tP tAPY � Y tDY
 � λ1
2
1y 	 λ2
2
2y 	 · · · 	 λn
2
ny > 0
probando que A es positiva defi nida.
Recíprocamente, si λi < 0 para algún i, tomando Ei igual al vector columna que tie-
ne uno en la entrada i y cero en las restantes se tiene PEi � Yi ≠ 0, pues P es inversible. 
De esto se tiene Yi
t AYi � Ei
t P tAPEi � Ei
t DEi � λi < 0, contradiciendo que A es positiva 
defi nida; esto prueba que los valores característicos de A deben ser positivos.
El teorema que se ha probado tiene una restricción, para decidir si una matriz si-
métrica es positiva defi nida es indispensable conocer sus valores característicos, lo 
cual puede ser un problema en sí mismo. El siguiente teorema puede funcionar como 
un método práctico para producir matrices positivas, además de que evita el conocer 
los valores característicos.
Teorema 7.3.6. Sea A una matriz, entonces A es positiva defi nida ⇔ existe una ma-
triz no singular B tal que A � BtB.
Demostración. Supongamos que A es positiva defi nida, por el teorema 7.3.5 los va-
lores característicos de A son positivos; por el teorema de los ejes principales existe P 
ortogonal tal que P tAP � diag{λ1, λ2, ..., λn}, con λi > 0 para todo i � 1, 2, ..., n. Pongamos 
D � diag λ λ λ1 2, , ..., n{ } , entonces P tAP � D2 o A � PDDP t � (DP t)t(DP t). Defi niendo 
B � DP t se tienen las condiciones requeridas, es decir, B es no singular y A � BtB.
Recíprocamente, si A � B tB, con B no singular, entonces BX ≠ 0 para todo X ≠ 0. De 
esto se tiene X tAX � X tB tBX � (BX, BX) > 0, probando que A es positiva defi nida.
Si se conoce el polinomio característico de una matriz simétrica, el siguiente crite-
rio es muy útil para decidir si es positiva defi nida. En la demostración usaremos la regla 
de los signos de Descartes.
Teorema 7.3.7. (Descartes). Sea f(x) � anx
n 	 an�1x
n�1 	 · · · 	 a1x1 	 a0 un polinomio 
con coefi cientes reales. Si m denota el número de cambios de signo en los coefi cientes de f(x) 
y r el número de raíces positivas de f(x). Entonces m � r + 2h, con h entero no negativo.
Teorema 7.3.8. Sea A una matriz simétrica con polinomio característico f(x) � anx
n 	 
an�1x
n�1 	 · · · 	 a1x1 	 a0. Entonces A es positiva defi nida ⇔ aiai�1 < 0 para todo i �1, 2, ..., n.
Demostración. Como A es simétrica, entonces todas las raíces de f(x) son reales; de 
esto, f(x) tiene solamente raíces positivas ⇔ a0 ≠ 0 y f(�x) no tiene raíces positivas. Por la 
regla de los signos de Descartes, f(�x) no tiene raíces positivas ⇔ a0 ≠ 0 y sus coefi cientes 
tienen el mismo signo que a0; esto último ⇔ a0 ≠ 0 y (�1)
iai(�1)
i�1ai�1 > 0, equivalente-
mente, f(�x) no tiene raíces positivas o cero ⇔ a0 ≠ 0 y �aiai�1 > 0 ⇔ a0 ≠ 0 y aiai�1 < 0.
Ejemplo 7.3.3. Sea A � 
 a b
 b c
, con a, b y c reales. El polinomio característico de A es 
f(x) � x2 � (a 	 c)x 	 ac � b2. Aplicando el teorema anterior tenemos que f(x) tiene raíces 
positivas ⇔ a 	 c > 0 y ac � b2 > 0; ⇔ a > 0 y ac � b2 > 0. Este criterio de positividad para 
matrices 2 � 2 es útil cuando A representa a la segunda diferencial de funciones de R2 a R.
Clasifi cación de cónicas
La ecuación general de segundo grado en las variables x y y se puede representar como 
la suma de una forma cuadrática más una lineal, más precisamente, la ecuación:
 ax2 	 bxy 	 cy2 	 dx 	 ey 	 f � 0 (7.11)