Álgebra Lineal Mora (101)

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Álgebra lineal
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La forma de aplicar el teorema anterior para verifi car si un conjunto de n vectores 
en Rn es linealmente independiente, puede ser construyendo una matriz, tomándolos 
como columnas y decidiendo si la matriz tiene inversa.
Usaremos los vectores del ejemplo 3.4.2 para ilustrar esta idea. Con los vectores 
(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1), construimos la matriz A � 
 1 1 0
 1 0 1
 0 1 1
. Aplicando operacio-
nes elementales en las fi las de A se llega a que su forma escalonada reducida es la iden-
tidad, es decir, A tiene inversa y por el teorema anterior los vectores propuestos son 
linealmente independientes.
Cuando se tiene un conjunto de vectores y se desea saber si es una base, algunas 
posibilidades pueden ocurrir. Puede ser linealmente independiente, generar o ningu-
na de éstas. Si el conjunto genera o es linealmente independiente, surge una pregunta, 
¿se puede obtener una base a partir de él? La respuesta la da el siguiente:
Teorema 3.4.5. 
 1. Sea {β1, β2, ..., βk} un conjunto de vectores linealmente independiente en R
n, en-
tonces este conjunto se puede extender a una base.
 2. Sea {α1, α2, ..., αm} un conjunto de vectores no cero que generan a R
n, entonces 
de este conjunto se puede extraer una base.
Demostración. Ejercicio. 
3.4.2. Operaciones con subespacios
Dados dos subespacios W y U, se pueden formar los conjuntos W ∩ U y W ∪ U y pre-
guntarse, ¿cuál de estos conjuntos es subespacio?
Si α, β ∈W ∩ U, entonces α, β ∈W y α, β ∈ U, como W y U son subespacios, α 	 β ∈
W y α 	 β ∈ U, es decir, α 	 β ∈W ∩ U.
Si α ∈W ∩ U y x ∈ R, entonces α ∈ W y α ∈ U, nuevamente, usando el hecho que 
W y U son subespacios se tiene que xα ∈ W y xα ∈ U, es decir, xα ∈ W ∩ U.
De lo anterior se concluye que W ∩ U es un subespacio. De hecho se prueba algo 
más general, la intersección de cualquier colección de subespacios es un subespacio.
Ejercicio 3.4.2. Encuentre condiciones necesarias y sufi cientes de tal forma que 
W ∪ U sea un subespacio.
Supongamos que W y U son subespacios, defi nimos la suma de W y U como 
W 	 U :� {α 	 β | α ∈ W, β ∈ U}. Se tiene que W 	 U es un subespacio, llamado la 
suma de W y U.
En efecto, si α, β ∈ W 	 U, se tiene que α � α1 	 α2 y β � β1 	 β2, con α1, β1 ∈ W y 
α2, β2 ∈ U, por tanto α 	 β � (α1 	 α2) 	 (β1 	 β2) � (α1 	 β1) 	 (α2 	 β2) ∈ W 	 U.
Si c ∈ R, entonces cα � c(α1 	 α2) � cα1 	 cα2 ∈ W 	 U, como se afi rmó.
Dado un subespacio W � {0} de Rn, surge una pregunta: ¿admite una base?
Dado que W no es el subespacio cero, W contiene un elemento α1 no cero y como 
W es un subespacio, W contiene al subespacio generado por α1, es decir, {xα1 | x ∈ 
R} ⊆ W. Si W = {xα1 | x ∈ R}, el conjunto {α1} es una base de W, pues es linealmente in-
dependiente (¿por qué?) y genera a W. Si W � {xα1 | x ∈ R}, entonces existe un α2 ∈ W 
que no es múltiplo de α1 por lo que {α1, α2} es linealmente independiente. Si W � 
{xα1 	 yα2 | x, y ∈ R}, entonces el conjunto {α1, α2} es una base (misma razón que an-
	Álgebra Lineal
	Capítulo 3 Espacios vectoriales
	3.4. El espacio vectorial Rn
	3.4.2. Operaciones con subespacios