Álgebra Lineal Mora (102)

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Capítulo 3. Espacios vectoriales
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tes). Si W � {xα1 	 yα2 | x, y ∈ R}, existe un α3 ∈ W y α3 no es combinación lineal de 
α1, α2, por lo que el conjunto {α1, α2, α3} es linealmente independiente. Este proceso 
termina necesariamente en a lo más n pasos, pues no hay más de n vectores lineal-
mente independientes en Rn, es decir, W admite una base. La discusión anterior la 
podemos resumir en el siguiente:
Teorema 3.4.6. Todo subespacio no cero de Rn admite una base que tiene k elemen-
tos y k � n.
Ejercicio 3.4.3. Decida si los siguientes conjuntos son subespacios de los corres-
pondientes espacios. En caso afi rmativo, encuentre una base y la dimensión.
 1. W � {(x, y) ∈ R2 | 2x 	 3y � 0}
 2. W � {(x, y, z) ∈ R3 | 2x 	 3y � z � 0}
 3. W � {(x, y, z, w) ∈ R4 | 2x 	 3y � z 	 w 	 1 � 0}
 4. W � {(x, y, z, w) ∈ R4 | 2x 	 3y � z 	 w � 0}
 5. W � {(x1, x2, ... xn–1, xn) ∈ R
n | x1 	 2x2 	 3x3 	 ⋅ ⋅ ⋅ 	 nxn � 0}
 6. W � {(x1, x2, ... xn–1, xn) ∈ R
n | x1x2x3 ⋅ ⋅ ⋅ xn � 0}
Como fue visto antes, a partir de los subespacios W y U se pueden formar los sub-
espacios W 	 U y W ∩ U. También se tiene W, U ⊆ W 	 U. ¿Cómo se relacionan las 
dimensiones de los subespacios, W, U, W 	 U y W ∩ U ? Para adquirir alguna idea de 
la respuesta, supongamos que W y U son subespacios de R3 de dimensión dos y con-
sideremos las siguientes posibilidades.
Si U � W, entonces U 	 W � U y U ∩ W � U. De estas condiciones se tiene 
dim(W 	 U) � dim(W) 	 dim(U) � dim(W ∩ U).
Supongamos ahora que U � W, entonces ninguno está contenido en el otro, pues 
si por ejemplo U ⊆ W, entonces necesariamente son iguales, pues una base de U tam-
bién es base de W. De este argumento podemos encontrar α ∈ U \ W. Si β y γ forman 
una base de W, entonces los vectores α, β y γ son linealmente independientes (expli-
que esto). También se tiene {α, β, γ} ⊆ U 	 W ⊆ R3, de lo que se concluye que U 	 W 
tiene dimensión tres. Como U � W, el subespacio U ∩ W tiene dimensión 0 o 1. La 
dimensión de este último subespacio no puede ser cero, pues de ser así, el subespacio 
U 	 W tendría dimensión cuatro, lo cual es imposible porque U 	 W es subespacio de 
R3. De los argumentos anteriores se tiene: dim(W 	 U) � 3, dim(W ∩ U) � 1. De esto 
último concluimos que la ecuación dim(W 	 U) � dim(W) 	 dim(U) � dim(W ∩ U) 
tiene lugar.
Este caso particular sugiere que la ecuación anterior puede cumplirse en general, 
en efecto, ese es el caso y lo enunciamos en el siguiente:
Teorema 3.4.7. Sean W y U subespacios de Rn, entonces se cumple lo siguiente.
 dim(W 	 U) � dim(W) 	 dim(U) � dim(W ∩ U) (3.18)
Demostración. La demostración será efectuada tomando los dos únicos casos 
posibles.
Primer caso: W ∩ U � {0}. Si alguno de los subespacios es cero, el resultado es 
claro. Podemos suponer que ninguno de los subespacios es cero. Sean {α1, ..., αl} y 
{β1, ..., βr} bases de W y U respectivamente. Afi rmamos que {α1, ..., αl, β1, ..., βr} es base 
de W 	 U. En efecto, pues si a1α1 	 ⋅ ⋅ ⋅ 	 alαl 	 b1β1 	 ⋅ ⋅ ⋅ 	 brβr � 0, entonces 
a1α1 	 ⋅ ⋅ ⋅ 	 alαl � �(b1β1 	 ⋅ ⋅ ⋅ 	 brβr) pertenece a la intersección, por lo que se tie-
ne a1α1 	 ⋅ ⋅ ⋅ alαl � �(b1β1 	 ⋅ ⋅ ⋅ 	 brβr) � 0. Ahora, usando el hecho que {α1, ..., αl} y 
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