Álgebra Lineal Mora (103)

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Álgebra lineal
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{β1, . . . , βr} son base se tiene que los coefi cientes son cero, probando que el conjunto 
es linealmente independiente. Cualquier α 	 β ∈ W 	 U, con α ∈ W y β ∈ U se escri-
be en la forma a1α1 	 ⋅ ⋅ ⋅ 	 alαl 	 b1β1 	 ⋅ ⋅ ⋅ 	 brβr � α 	 β, probando que el conjunto 
{α1, ..., αl, β1, ..., βr} genera.
Segundo caso: W ∩ U � {0}, sea {γ1, ..., γs} una base de W ∩ U, en particular éste 
es un subconjunto linealmente independiente de W y U. Por el teorema 3.4.5(1), 
{γ1, ..., γs} se puede extender a bases de W y U respectivamente, las cuales serán denota-
das por {γ1, ..., γs, α1, ..., αt} y {γ1, ..., γs, β1, ..., βm} respectivamente. Afi rmamos que {γ1, ..., 
γs, α1, ..., αt, β1, ..., βm} es base de W 	 U.
Si:
 a1γ1 	 ⋅ ⋅ ⋅ 	 asγs 	 b1α1 	 ⋅ ⋅ ⋅ 	 btαt 	 c1β1 	 ⋅ ⋅ ⋅ 	 cmβm � 0 (3.19)
entonces a1γ1 	 ⋅ ⋅ ⋅ 	 asγs 	 b1α1 	 ⋅ ⋅ ⋅ 	 btαt � �(c1β1 	 ⋅ ⋅ ⋅ 	 cmβm) es un elemento en 
la intersección (¿por qué?). De esto concluimos que c1β1 	 ⋅ ⋅ ⋅ 	 cmβm � d1γ1 	 ⋅ ⋅ ⋅ 	 
dsγs, para algunos escalares d1, d2, ..., ds. Pasando todos los sumandos al primer 
miembro se tiene c1β1 	 ⋅ ⋅ ⋅ 	 cmβm � d1γ1 � ⋅ ⋅ ⋅ � dsγs � 0. Como {γ1, ..., γs, β1, ..., βm} 
es base, se concluye que c1 � c2 � ⋅⋅⋅ � cm � d1 � d2 � ⋅ ⋅ ⋅ � ds � 0. Usando esta condi-
ción en (3.19) se tiene a1γ1 	 ⋅ ⋅ ⋅ 	 asγs 	 b1α1 	 ⋅ ⋅ ⋅ 	 btαt � 0. Utilizando que {γ1, ..., γs, 
α1, ..., αt} es base de W se concluye que a1 � a2 � ⋅ ⋅ ⋅ � as � b1 � b2 � ⋅ ⋅ ⋅ � bt � 0, pro-
bando que el conjunto {γ1, ..., γs, α1, ..., αt, β1, ..., βm} es linealmente independiente.
Dejamos como ejercicio demostrar que este conjunto también genera. 
3.5. Espacios vectoriales generales
La formulación y solución de muchos problemas que ocurren en matemáticas y ciencias 
hacen uso de la idea de espacio vectorial abstracto, siendo la razón fundamentalmen-
te el hecho que cuando se estudia un problema, la información se puede cuantifi car y 
una vez hecho esto, es importante poder operar con ella. En cálculo se estudian funcio-
nes y sus propiedades, algunas veces una sola función. A veces es conveniente estudiar 
colecciones de funciones. Por ejemplo, el conjunto de todas las funciones continuas en 
el intervalo [0, 2π] o todas las funciones periódicas en ese intervalo. Algunos elementos 
importantes de dicho conjunto son las funciones seno y coseno.
Muchas funciones importantes se construyen a partir de funciones sencillas, 
usando operaciones de suma y producto. Por ejemplo, las funciones polinominales se 
obtienen al sumar funciones de la forma axk y éstas se obtienen multiplicando fun-
ciones del tipo cx, las cuales son relativamente sencillas de entender. Estos casos ilus-
tran el comentario respecto a operar con datos.
En esta sección desarrollaremos la idea abstracta de espacio vectorial a partir de lo 
que hemos hecho para el caso de Rn. Antes de formular la defi nición de espacio vec-
torial en general, notemos que la suma y el producto por escalar en Rn satisfacen las 
siguientes propiedades.
 1. Propiedades de la suma.
 a) Para todos α y β ∈ Rn se cumple, α 	 β � β 	 α (conmutatividad).
 b) Para todos α, β y γ en Rn se cumple, (α 	 β) 	 γ � α 	 (β 	 γ) (asociatividad).
 c) Existe un elemento en Rn llamado cero y denotado 0 tal que 0 	 α � α, para 
todo α ∈ Rn (existencia de neutro aditivo).
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	Capítulo 3 Espacios vectoriales
	3.5. Espacios vectoriales generales