Álgebra Lineal Mora (104)

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Capítulo 3. Espacios vectoriales
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 d) Para todo α ∈ Rn existe un elemento α′ tal que α 	 α′ � 0 (existencia de ele-
mentos inversos).
 2. Propiedades del producto por escalar.
 a) Para todo α ∈ Rn se tiene 1α � α, con 1 ∈ R.
 b) Para todo α ∈ Rn y para todos λ y μ ∈ R se tiene λ(μα) � (λμ)α.
 c) El producto por escalar es distributivo, es decir, (λ + μ)α � λα 	 μα; λ(α 	 
β) � λα 	 λβ, para todos λ, μ ∈ R y para todos α, β ∈ Rn.
Las propiedades anteriores son fundamentales y son las que deben cumplir la suma 
y producto por escalar en un espacio vectorial general. En la siguiente defi nición pre-
cisamos esto.
Defi nición 3.5.1. Un espacio vectorial sobre los reales es un conjunto no vacío V 
en donde está defi nida una operación, llamada suma y un producto por escalar que 
cumplen:
 1. Propiedades de la suma.
 a) Para todos α y β ∈ V se cumple α 	 β � β 	 α (conmutatividad).
 b) Para todos α, β y γ en V se cumple (α 	 β) 	 γ � α 	 (β 	 γ) (asociatividad).
 c) Existe un elemento en V llamado cero y denotado 0 tal que 0 	 α � α, para 
todo α ∈ V (existencia de neutro aditivo). 
 d) Para todo α ∈ V existe un elemento α′ tal que α 	 α′ � 0 (existencia de ele-
mentos inversos).
 2. Propiedades del producto por escalar.
 a) Para todo α ∈ V se tiene 1α � α, con 1 ∈ R.
 b) Para todo α ∈ V y para todos λ, μ ∈ R se tiene λ(μα) � (λμ)α.
 c) El producto por escalar es distributivo, es decir, (λ 	 μ)α � λα 	 μα; λ(α 	 
β) � λα 	 λβ.
Si V es un espacio vectorial, a sus elementos les llamaremos vectores,
Antes de presentar ejemplos que usualmente aparecen en los textos queremos pre-
sentar uno para ilustrar lo general y abstracto del concepto defi nido.
Ejemplo 3.5.1. Considere su objeto favorito, por ejemplo su teléfono celular, y for-
memos el conjunto V � {teléfono celular}. Defi niremos en V una suma. Para facilitar la 
notación, al único elemento de V lo denotaremos por tc.
Como V tiene solamente un elemento: tc, la única forma de sumar elementos de V es 
tomar a tc y sumarlo consigo mismo y el resultado debe ser un elemento de V, entonces 
hay una única forma de hacer esto, es decir, defi nimos tc 	 tc :� tc (note que estamos 
usando el símbolo usual de suma).
Si deseamos defi nir un producto por escalar, al tomar un escalar x ∈ R y multipli-
carlo por tc el resultado debe ser elemento de V, entonces la forma de hacerlo debe ser.
x(tc) :� tc.
 ¿Es V un espacio vectorial con la suma y producto por escalar defi nidos antes?
 1. Propiedades de la suma.
 a) Como tc es el único elemento de V, entonces la conmutatividad de la suma 
es clara.
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