Álgebra Lineal Mora (105)

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Álgebra lineal
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 b) También se cumple la asociatividad, pues para el único elemento en V se cum-
ple (tc 	 tc) 	 tc � tc 	 (tc 	 tc) � tc (asociatividad).
 c) Existe un elemento en V llamado cero y denotado 0 tal que 0 	 tc � tc. Toma-
mos 0 � tc, claramente se tiene satisfecha la condición (existencia de neutro 
aditivo).
 d) Para todo α ∈ V existe un elemento α′ tal que α 	 α′ � 0. Como el único ele-
mento en V es tc, entonces su inverso es el mismo (existencia de elementos 
inversos).
 2. Propiedades del producto por escalares (explique por qué se cumplen).
 a) Para todo α ∈ V se tiene 1α � α, 1 ∈ R.
 b) Para todo α ∈ V y para todos λ, μ ∈ R se tiene λ(μα) � (λμ)α.
 c) El producto por escalar es distributivo, es decir, (λ 	 μ)α � λα 	 μα; λ(α 	 
β) � λα + λβ.
Con la discusión del ejemplo anterior, es natural preguntarse si se puede construir 
un ejemplo de espacio vectorial con dos, tres o más elementos. Explique si se puede o 
no construir un espacio vectorial con dos elementos.
Ejercicio 3.5.1. En cada uno de los siguientes casos decida si el conjunto propuesto 
es espacio vectorial.
 1. Sea V � Rn con la suma y multiplicación por escalar defi nidas en la discusión que 
se hizo antes.
 2. Proponemos a V � Mm×n(R) :� {A | A es una matriz m � n con entradas reales} 
con la suma usual de matrices y multiplicación por escalar defi nida entrada por 
entrada.
 3. Considere que V es el conjunto de todas las funciones de R en R con la suma usual 
de funciones y el producto por escalar usual.
 4. Sea V el conjunto de los polinomios con coefi cientes en R, la suma usual de poli-
nomios y la multiplicación usual de un polinomio por un escalar.
 5. Dado un entero positivo n, V es el conjunto de los polinomios de grado � n, con 
suma y producto por escalar como en el caso anterior.
 6. Tomemos a V como el conjunto de funciones de R en R que son cero salvo un con-
junto fi nito.
 7. Consideremos a V � Zn :� {(x1, x2, ..., xn) | xi es entero para todo i � 1, 2, ..., n} con la 
suma entrada por entrada, y multiplicación por escalar entrada por entrada.
Como lo hicimos en Rn, procedemos a formular algunos de los conceptos fun-
damentales para espacios vectoriales generales.
Defi nición 3.5.2. Sea V un espacio vectorial, {α1, α2, ..., αn} ⊆ V se dice linealmente 
independiente, si los únicos escalares, x1, x2, ..., xn que satisfacen la ecuación x1α1 	 
x2α2 	 ⋅ ⋅ ⋅ 	 xnαn � 0 son x1 � x2 � ⋅ ⋅ ⋅ � xn � 0. En caso contrario el conjunto {α1, 
α2, ..., αn} se dice linealmente dependiente.
Defi nición 3.5.3. Un espacio vectorial V se dice fi nitamente generado, si existe un 
subconjunto fi nito S de V que lo genera, es decir, si existe S � {α1, α2, ..., αn} ⊆ V y cua-
lesquiera α ∈ V es de la forma α � x1α1 	 x2α2 	 ⋅⋅⋅ 	 xnαn, para algunos escalares xl, 
x2, ..., xn.