Álgebra Lineal Mora (106)

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Capítulo 3. Espacios vectoriales
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En lo que sigue de la discusión, centraremos la atención en espacios vectoriales 
fi nitamente generados, sin embargo, para ilustrar algunas ideas generales sobre espa-
cios vectoriales, de vez en cuando mostraremos ejemplos de espacios vectoriales que 
no son fi nitamente generados.
Cuando hicimos la discusión de Rn mostramos que tiene una base y que todas las 
bases tienen el mismo número de elementos: n (corolario 3.4.1, página 108). Es impor-
tante notar que la demostración del teorema 3.4.2, página 108 y el corolario citado se 
aplican a cualquier espacio vectorial, por lo que su validez es de tipo general, sin em-
bargo, consideramos importante dar su formulación explícita.
Iniciamos con la siguiente observación.
Observación 3.5.1. Supongamos que β � a1α1 	 ⋅ ⋅ ⋅ 	 anαn. Si algún αi es combina-
ción lineal de los restantes α1, ..., αi�1, αi	1, ..., αn, entonces, β es combinación lineal de 
α1, ..., αi�1, αi	1, ..., αn.
Demostración. Como � � � �� � �
�
i j j k k
k
n
j i
x y
1
∑∑
≠
, sustituyendo la primera ecuación
en la segunda y agrupando términos se tiene lo afi rmado. 
Dado que el concepto de base en un espacio vectorial es de suma importancia, 
formulamos la defi nición en el caso general.
Defi nición 3.5.4. Sea V un espacio vectorial. Un subconjunto B de V que genera y es 
linealmente independiente se llama base de V.
Teorema 3.5.1. Sea V un espacio vectorial fi nitamente generado distinto de cero, 
S � {α1, α2, ..., αm} un conjunto de generadores que no incluye al vector cero. Entonces 
se puede extraer una base de S.
Demostración. Si S es linealmente independiente, la demostración termina; en 
caso contrario, existe un α1 ∈ S que es combinación lineal de los restantes elementos 
de S. Aplicando la observación anterior se tiene que el conjunto S1 � S \ {αi} sigue ge-
nerando a V. Procediendo con este razonamiento tantas veces como sea necesario se 
llega a un conjunto B ⊆ S que genera y es linealmente independiente. 
Teorema 3.5.2. Sea V un espacio vectorial fi nitamente generado, S � {α1, α2, ..., αm} 
un conjunto de generadores y {β1, β2, ..., βr} un subconjunto de V linealmente inde-
pendiente, entonces r ≤ m.
Demostración. Ver la demostración del teorema 3.4.2, página 108. 
Corolario 3.5.1. En un espacio vectorial fi nitamente generado, cualquiera dos bases 
tiene la misma cantidad de elementos.
Demostración. Ver la demostración del corolario 3.4.1, página 108. 
Defi nición 3.5.5. Sea V un espacio vectorial fi nitamente generado y B una base. A la 
cardinalidad de B le llamamos la dimensión de V y se denota dim(V).
Corolario 3.5.2. Si un espacio vectorial está generado por m elementos y V tiene di-
mensión n, entonces n � m. 
Teorema 3.5.3. Si V es un espacio vectorial fi nitamente generado, S = {β1, β2, ..., βr} 
un subconjunto de V linealmente independiente, entonces existe una base de V que con-
tiene a S.
Demostración. Sea {α1, α2, ..., αm} un conjunto de generadores que no incluye al 
vector cero, entonces el conjunto:
S1 � {β1, β2, ..., βr, α1, α2, ..., αm} 
también genera a V. Procediendo como en la demostración del teorema 3.4.4, página 
85, se puede extraer una base del conjunto S1 que incluya a los elementos de S.
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