Álgebra Lineal Mora (107)

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Álgebra lineal
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Defi nición 3.5.6. Sea V un espacio vectorial, U y W subespacios. Decimos que V es 
la suma directa de U y W si V � U 	 W y U ∩ W � {0}. En este caso usamos la notación 
V � U ⊕ W.
Por ejemplo, R2 es la suma directa de cualesquiera dos subespacios diferentes de 
dimensión uno; R3 es la suma directa de un subespacio de dimensión uno y uno de di-
mensión dos.
3.6. Ejercicios
 1. Revise todos los teoremas que se enunciaron para el espacio vectorial Rn y 
enúncielos para un espacio vectorial V fi nitamente generado.
 2. Proporcione ejemplos de subconjuntos de R2 que sean cerrados bajo la suma 
pero no sean subespacios.
 3. Sea V un espacio vectorial, S un subconjunto no vacío de V. El subespacio gene-
 rado por S, denotado L(S) es: L(S) � x x a S nj j j j
j i
n
�
�
: , ,∈ ∈ ∈
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
∑ R N .
Demuestre que L(S) � ∩ W, en donde la intersección se toma sobre todos 
los subespacios que contienen a S. ¿Cuál es el subespacio generado por el con-
junto vacío? Con esto en mente, ¿cuál es la dimensión del subespacio cero? ¿Tie-
ne una base cualquier subespacio?
 4. Formule la defi nición de suma directa para k 
 2 subespacios.
 5. Termine la demostración del teorema 3.4.7, página 113.
 6. Demuestre que cualesquiera tres elementos de R2 son linealmente dependien-
tes. ¿Cuál es la condición sobre k para que cualquier conjunto de k elementos 
sea linealmente dependiente en Rn?
 7. Use Maple o cualquier otro sistema computacional para decidir si los siguien-
tes conjuntos son linealmente independientes. Primero identifi que el espacio 
que los contiene.
 a) S � {(1, 2, 1), (1, 2, �1), (1, 2, 1)}
 b) S � {(1, 2, 3, 3), (13, 0, 0, 1), (1, �1, 0, l),(1, 2, 3, 30)}
 c) S � {(1, 2, 3, 3, 1), (1, 2, 0, 0, 1), (1, �1, �1, 0, 1), (1, 2, 3, 3, �1), (1, 1, 1, 1, 10)}
 d) S � {(1, 2, 3, 3, 0, 0), (1, 2, �1, 0, 2, 1), (1, 3, 3, �1, 0, 1), (1, 2, 3, 3, 1, 0), (1, 2, 3, 
3, �1, 1), (1, 2, �1, 0, �2, �1)}
 e) S � {(1, 2, 3, 3, 0, 0, 1), (1, 2, �1, 3, 0, 0, 1), (1, 2, 3, 3, �1, 0, 1)}
 8. Demuestre que Rn es la suma directa de un subespacio de dimensión n � 1 y 
uno de dimensión 1.
 9. Sea V un espacio vectorial real de dimensión positiva, S un subconjunto con 
más de un elemento y fi nito. Demuestre que S no es un subespacio.
10. Considere la siguiente ecuación, x(1, �2, 3) 	 y(2, �4, 0) 	 z(0, 1, �1) � (1, 0, 0). 
¿Existen reales x, y, z que la satisfagan? 
Los vectores (1, �2, 3), (2, �4, 0), (0, 1, �1) ¿son linealmente independientes?
11. Encuentre varios conjuntos de tres elementos que generen a R3. Los elementos 
de estos conjuntos ¿son linealmente independientes?
	Álgebra Lineal
	Capítulo 3 Espacios vectoriales
	3.6. Ejercicios