Álgebra Lineal Mora (108)

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Capítulo 3. Espacios vectoriales
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12. Sea V el conjunto de los polinomios con coefi cientes reales de grado menor o 
igual que n, con n un entero positivo fi jo. Con las operaciones usuales de suma 
de polinomios y producto por una constante, V es un espacio vectorial. Deter-
mine un conjunto de generadores para V.
13. Sean W1 � {(x, y, z) ∈ R
3 | x 	 y � z � 0} y W2 � {(x, y, z) ∈ R
3 | 2x � y 	 z � 0}. 
Demuestre que W1 y W2 son subespacios de R
3 y determine W1 ∩ W2.
14. Sean W1, W2 y W3 subespacios del espacio vectorial V. Muestre con un ejemplo 
que no necesariamente se cumple W1 ∩ (W2 	 W3) � (W1 ∩ W2) 	 (W1 ∩ W3).
15. Sea, V un espacio vectorial de dimensión n 
 2; W1 y W2 subespacios de V con 
dim(W1) � n � 2. Determine el valor mínimo que debe tener dim(W2) para que 
tenga lugar la condición W1 ∩ W2 � {0}.
16. Sea V el espacio vectorial de todas las funciones de R en R, P � {f ∈ V : f es par, 
es decir, f(x) � f(�x)}, I � {f ∈ V : f es impar, es decir, f(�x) � �f(x)}. Demuestre 
que I y P son subespacios y V = P ⊕ I.
17. ¿Son linealmente independientes las funciones sen(x) y cos(x)? ¿Son linealmen-
te independientes las funciones ex y sen(x)? ¿Cuál es la interpretación geomé-
trica, en cuanto a sus gráfi cas, que refl eja el hecho que las funciones f y g sean 
linealmente dependientes?
18. Sea V un espacio vectorial, S ⊆ V. Demuestre que S es linealmente dependien-
te ⇔ S contiene un subconjunto propio T tal que S y T generan el mismo sub-
espacio.
19. Sean α1, α2, α3 vectores linealmente independientes en V. Determine cuáles de 
los siguientes conjuntos son linealmente independientes: a) {α1 	 α2, α2, α2 � 
α3}; b) {α1 	 α2 	 α3, α1 � α3}; c) {2α1 	 α2, α2, α1 � 2α2}.
20. Sean W1 y W2 subespacios de V tales que V � W1 ⊕ W2. Demuestre que dado 
α ∈ V, éste tiene una representación única de la forma α � α1 	 α2, con α1 ∈ W1 
y α2 ∈ W2.
21. Dado S � {(1, �3, 0), (�1, 3, �2), (0, 0, �2)} ⊆ R3, ¿existe un subconjunto de S, 
linealmente independiente que genere el mismo subespacio que S?
22. Dados α1 � (1, 2, 3, 4, 5); α2 � (1, 0, �1, 2, �2); α3 � (�1, 0, 1, 0, �1); α4 � (�2, 0, 
�1, 2, �1) ∈ R5.
 a) Determine si los αi son linealmente independientes.
 b) Sea W el subespacio generado por {α1, α2, α3, α4}. Determine dim(W).
 c) Sea W defi nido como en el ejercicio anterior. Determine si los siguientes 
elementos pertenecen a W. a) α � (1, 1, 1, 1, 1); b) α � (0, �1, 1, �1, 0), 
c) α � (�1, 1, �1, 1, �1).
23. Sean α1, ..., αn ∈ R
n, αj � (a1j, ..., anj), j � 1, ..., n. Sea A la matriz cuyas colum-
nas son los αj. Demuestre que {α1, ..., αn} es linealmente independiente ⇔ A 
es inversible.
24. Sea A una matriz n � n tal que Ak � 0 para algún k. Demuestre que In � A es in-
versible.
25. Se dice que una matriz cuadrada A es nilpotente si Ar � 0 para algún entero 
r � 1. Sean A y B matrices nilpotentes del mismo orden, y suponga que AB � BA. 
Demuestre que AB y A 	 B son nilpotentes.
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