Álgebra Lineal Mora (109)

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Álgebra lineal
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26. Dado el sistema de ecuaciones:
2X1 	 3X2 	 X3 	 4X4 � 9X5 � 0
 X1 	 X2 	 X3 	 X4 � 3X5 � 0
 X1 	 X2 	 X3 	 X4 � 5X5 � 0
 2X1 	 2X2 	 2X3 	 3X4 � 8X5 � 0
 determine el espacio solución y calcule su dimensión.
27. Sean W1 y W2 subespacios del espacio vectorial V, tales que dim W1 � dim W2. 
Demuestre que W1 � W2 ⇔ W1 ⊆ W2 o W2 ⊆ W1.
28. Los números complejos se pueden considerar como un espacio vectorial sobre 
los reales. ¿Cuál es su dimensión?
29. Sean, n un entero positivo y A � (aij) una matriz n � n. Supongamos que 
ai1 	 ai2 	 ⋅ ⋅ ⋅ 	 ain � 0 para todo i � 1, 2, ..., n. Demuestre que A es singular. 
Sugerencia: las fi las de A satisfacen la ecuación x1 	 x2 	 ⋅ ⋅ ⋅ 	 xn � 0.
30. Sea V un espacio vectorial de dimensión n � 2. Demuestre que V no se puede 
representar como unión fi nita de subespacios propios (diferentes de V). Sugeren-
cia: use inducción. Suponga que se tienen W1, W2, ..., Wk subespacios, ninguno
 igual a V. Si k � 1, es claro que V � W1. Suponga k 
 1 y V � ∪
k
i�1 Wi, entonces 
existen α ∈ V \ ∪ki�1Wi y β ∈ V \ Wk	1. Si V � ∪
k
i�1 Wi, se tiene tα ∈ Wk	1 para todo 
t ∈ R, por lo que tα 	 β ∉ Wk	1 para todo t. Por el principio de las casillas, exis-
ten t, t1 ∈ R, diferentes, tales que tα 	 β, t1α 	 β ∈ W1 para algún i ∈ {1, 2, ..., k}, 
de esto se concluye que α ∈ Wi, contradiciendo lo supuesto sobre α.
31. Considere el espacio de matrices V � Mn×n(R) (ver ejemplo 3.5.1, página 89). 
Demuestre que los subconjuntos Sn×n(R) :� {A ∈ Mn×n(R) | A
t � A} y An×n(R) :� 
{A ∈ Mn×n(R) | A
t � �A} son subespacios de V y V � Sn×n(R) ⊕ An×n(R). ¿Cuál es 
la dimensión de cada uno de estos subespacios? Sugerencia: Para calcular la 
dimensión de Sn×n(R), considere el conjunto de matrices simétricas que tie-
nen solamente un 1 en la diagonal y cero en las entradas restantes, junto con 
las que tienen dos unos simétricos fuera de la diagonal y cero en las entra-
das restantes. Demuestre que este conjunto es una base y su cardinalidad 
 es 1 	 2 	 3 	 ⋅ ⋅ ⋅ 	 n � 
n(n 	 1)
2
. Puede iniciar considerando casos particu- 
 lares. Por ejemplo, n � 2, 3, 4, ...
32. Sea S :� {f : Z → R | f es función}. A los elementos de S se les denota por {xk}, 
con k ∈ Z, y xk ∈ R. La interpretación es que xk es el valor de la función f ∈ S 
evaluada en k, es decir, f(k) � xk y la notación {xk} signifi ca que se conoce la 
“lista” de los valores de f en cada entero. Se puede verifi car directamente que 
S es un espacio vectorial con la suma usual de funciones y el producto de un 
escalar por una función. Este espacio vectorial es llamado el espacio de señales 
en tiempo discreto y sus elementos aparecen en ingeniería eléctrica o de control 
al “muestrear” señales. Si V es un espacio vectorial y S es un subconjunto de V, 
se dice que S es linealmente independiente si todo subconjunto fi nito de S es 
linealmente independiente. Sea S ⊆ S que consiste exactamente de los elemen-
 tos fl que satisfacen fl(k) � 
1
0 en otrocaso
si l k�⎧
⎨
⎩
. Demuestre que S es linealmente 
 independiente.
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