Álgebra Lineal Mora (110)

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Capítulo 4
Transformaciones lineales y matrices
Uno de los conceptos fundamentales en todas las áreas de matemáticas es el de fun-
ción, pues a través de éste se pueden formular, de manera precisa, una gran variedad 
de problemas centrales en matemáticas y sus aplicaciones. Por ejemplo, en cálculo, 
las ideas fundamentales se formulan mediante los conceptos de límite y continuidad 
de funciones. Veremos, a lo largo de la discusión, en este capítulo, que los dos proble-
mas fundamentales de álgebra lineal (solución de sistemas de ecuaciones lineales y el 
problema de valores característicos), cuando se formulan usando el concepto de trans-
formación lineal, se entienden de manera estructural y a mucha más profundidad.
4.1. Definiciones y resultados básicos
Para la discusión que sigue, recordaremos el ejemplo 2.1.3, página 33.
Ejemplo 4.1.1. Considere un consorcio con n empresas que producen m diferentes 
bienes. Supongamos que todas las empresas producen los mismos bienes. Con estas con-
sideraciones, la producción de cada bien se describe abajo.
Por cada millón de pesos que se invierte en la empresa 1, la producción es:
 a11 pesos del producto 1
 a21 pesos del producto 2
 am1 pesos del producto m
En general, por cada millón de pesos que se invierte en la empresa j-ésima, ésta 
produce:
 a1j pesos del producto 1
 a2j pesos del producto 2
 amj pesos del producto m
Si denotamos por xj la cantidad de dinero que se invierte en la empresa j, entonces 
la inversión en todas las empresas la podemos representar por un elemento (x1, x2, 
x3, ..., xn) de R
n. El valor total del bien número i es:
ai1x1 	 ai2x2 	 · · · 	 ainxn � ci
· ·
 ·
· ·
 ·
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	4.1. Definiciones y resultados básicos