Álgebra Lineal Mora (111)

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Álgebra lineal
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Con notación de funciones, el proceso anterior se puede representar mediante la 
expresión:
 T(x1, x2, ..., xn) � (c1, c2, ..., cm) (4.1)
Al vector C � (c1, c2, ..., cm) le llamaremos vector de producción correspondiente al 
vector de inversión X � (x1, x2, x3, ..., xn).
Supongamos que a otro vector de inversión Y � (yl, y2, ..., yn) le corresponde el vec-
tor de producción D � (d1, d2, ..., dm), entonces se tiene:
 T(X 	 Y) � T(X) 	 T(Y) � C 	 D (4.2)
Si el vector de inversión X se multiplica por un escalar �, entonces el correspon-
diente vector de producción también se multiplica por �, es decir
 T(�X) � �T(X) (4.3)
Hay muchos problemas de aplicaciones que al formularse mediante funciones, éstas 
satisfacen (4.2) y (4.3). A estas propiedades les llamaremos propiedades de linealidad de 
T. La idea precisa de transformación lineal la establecemos en la siguiente defi nición.
Defi nición 4.1.1. Sean V y W dos espacios vectoriales. Una transformación lineal es 
una función T : V→ W que satisface las siguientes propiedades.
 1. T(� 	 �) � T(�) 	 T(�), para todos �, � ∈V.
 2. T(r�) � rT(�), para todo escalar r ∈ R y para todo � ∈V.
Nota: Para decidir si una función es lineal, es muy importante verifi car que se cumplan 
las dos propiedades de la defi nición. Puede haber casos en los que se cumpla solamente 
una o ninguna, en cuyo caso no se trata de una transformación lineal.
Si V � W � R, la función T(x) � x es una transformación lineal, pues T(x 	 y) � x 	 
y � T(x) 	 T(y) y T(rx) � rx � rT(x).
Un caso más general que el anterior ocurre al tomar la función f(x) � ax, para al-
gún real fi jo a. El lector está invitado a verifi car que esta función es lineal.
En contraste con los ejemplos anteriores tenemos la función f(x) � x 	 1. Ésta no 
es lineal, pues f(x 	 y) � x 	 y 	 1 � f(x) 	 f(y) � (x 	 1) 	 (y 	 1).
Los ejemplos anteriores motivan las siguientes preguntas. Las dos primeras que-
dan abiertas para que el lector refl exione acerca de respuestas y obtenga conclusiones.
 1. ¿Existe una función f : R → R que satisfaga f(x 	 y) � f(x) 	 f(y) para todos x, y 
∈ R y no sea lineal?
 2. ¿Existe una función f : R → R que satisfaga f(rx) � rf(x) para todos r, x ∈ R y no 
sea lineal?
 3. ¿Cómo son las funciones T : R → R que son transformaciones lineales?
En relación con la última pregunta se tiene, si T : R → R es una transformación 
lineal, entonces T(x) � T(x1) � xT(1). Sea a :� T(1), de esto concluimos que T(x) � ax, 
para todo x ∈ R. Recíprocamente, si T(x) � ax para algún a ∈ R fi jo, entonces T es lineal. 
Resumiendo, una función T : R → R es una transformación lineal ⇔ existe un real fi jo a 
tal que T(x) � ax para todo x ∈ R. De esta discusión se llega a que las transformacio-
nes lineales de R → R no son otra cosa que funciones lineales cuya gráfi ca pasa por el