Álgebra Lineal Mora (112)

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Capítulo 4. Transformaciones lineales y matrices
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origen; esto traducido al lenguaje algebraico signifi ca: si T : R → R es lineal, entonces 
T(0) � 0. Resulta que esta última formulación es de carácter general, es decir, se tiene:
Observación 4.1.1. Si T : V → W es una transformación lineal, entonces T(0) � 0. En 
efecto, T (0) � T(0 	 0) � T(0) 	 T(0), cancelando T(0) en ambos miembros se tiene lo 
afi rmado.
Grafi que las siguientes funciones y determine cuáles son transformaciones lineales.
 1. f(x) � 3x
 2. f(x) � 2x 	 1
 3. f(x) � x 	 10�20
 4. f(x) � 2x
¿Se pueden clasifi car las transformaciones lineales de R2 en R? Para contestar a esta 
pregunta, recordemos que un elemento (x, y) de R2 se puede representar en términos de 
la base canónica, es decir, (x, y) � xe1 	 ye2. Si T : R
2 → R es lineal, usando la represen-
tación de (x, y) y la defi nición de linealidad de T, concluimos que T(x, y) � T(xe1 	 ye2) 
� xT(e1) 	 yT(e2). Defi niendo los reales a1 � T(e1) y a2 � T(e2), números que solamente 
dependen de la transformación T, se tiene T(x, y) � a1x 	 a2y. Esta última ecuación 
expresa el hecho que la transformación lineal T queda completamente determinada por 
su acción en los elementos básicos y que el valor de la transformación en (x, y) es una 
expresión lineal en las variables x, y.
Recíprocamente, si existen constantes a1, a2 ∈ R tales que el valor de la función T 
en (x, y) se expresa como T(x, y) � a1x 	 a2y, entonces T es lineal (verifi carlo).
En la discusión anterior clasifi camos a las transformaciones lineales T de R en R y a 
las de R2 en R. Para ello se utilizó que los elementos de R2 se expresan como combina-
ción lineal de la base canónica.
Si tenemos una transformación lineal T : R2 → R2, entonces al evaluar a T en (x, y), 
el resultado es un elemento de R2, por lo que T(x, y) también se representa en térmi-
nos de la base canónica. De manera más precisa, existen números reales a1 y a2, que 
dependen de (x, y), tales que T(x, y) � a1e1 	 a2e2. Para enfatizar la dependencia de a1 y 
a2 de (x, y), usaremos la notación a1 � T1(x, y) y a2 � T2(x, y). Con esto, los escalares a1 
y a2 son los valores de las funciones T1 y T2 en (x, y).
Usando esta terminología y notación, podemos decir que la transformación lineal T 
está determinada por las funciones T1, T2 : R
2 → R. Esto lo escribimos como T � (T1, T2) 
y el signifi cado de esto es T(x, y) � (T1(x, y), T2(x, y)). Si T está dada por T � (T1, T2), a las 
funciones T1 y T2 se les llama las funciones coordenadas de T.
De lo discutido antes se tiene que una transformación lineal de R2 en R2 está deter-
minada por sus funciones coordenadas, las cuales son funciones de R2 en R.
Un argumento sencillo demuestra el siguiente:
Teorema 4.1.1. La función T : R2 → R2 es lineal si y sólo si sus funciones coordenadas 
son lineales. 
Con el criterio del teorema anterior y la clasifi cación de las transformaciones linea-
les de R2 en R, es relativamente fácil producir ejemplos de transformaciones lineales
T : R2 → R2.
Ejercicio 4.1.1. Decida cuáles de las siguientes funciones son transformaciones lineales.
 1. T(x, y) � (x, y)
 2. T(x, y) � (x 	 1, y � 1)