Álgebra Lineal Mora (113)

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Álgebra lineal
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 3. T(x, y) � (x 	 y, y � x)
 4. T(x, y) � (x 	 cos(y), y)
 5. T(x, y) � (ax 	 by, cx 	 dy), a, b, c y d constantes
En esta parte nos interesa explorar cómo es la imagen de un conjunto bajo la acción 
de una transformación lineal.
Ejemplo 4.1.2. Sea T : R2 → R2 dada por T(x, y) � (2x 	 y, x 	 y). ¿En qué transforma 
T a la línea L cuya ecuación es y � x? En general, ¿en qué transforma T a una línea de la 
forma y � ax?
Para contestar a la primera pregunta, consideremos puntos sobre la recta, es decir, 
puntos (x, y) en donde y � x. Estos puntos vistos como parejas son de la forma (x, x) 
y deseamos saber en qué se transforman cuando les aplicamos T. En otras palabras, 
deseamos saber qué objeto geométrico es el conjunto de puntos de la forma T(x, x), 
cuando x varía en R. Por la defi nición de T se tiene: T(x, x) � (3x, 2x) � x(3, 2). Cuando x 
toma todos los valores reales, el vector x(3, 2) describe todos los puntos de la recta que 
pasa por el punto (3, 2) y por el origen (¿por qué?). De esto se tiene que la recta y � x 
es transformada en la recta que pasa por el origen y tiene pendiente 2/3. La fi gura 4.1 
ilustra la situación discutida.
La segunda pregunta se aborda de manera análoga, es decir, consideramos puntos 
de la forma (x, ax) y les aplicamos T, obteniendo, T(x, ax) � (2x 	 ax, x 	 ax) � x(2 	 a, 
1 	 a), y de esto se tiene que T transforma a la recta y � ax en la recta que pasa por el 
origen de coordenadas y por el punto (2 	 a, 1 	 a), pues el vector (2 	 a, 1 	 a) nun-
ca es cero, de hecho, observando las coordenadas de este vector se tiene que la recta 
de pendiente �2 es transformada en el eje y, mientras que la recta de pendiente �1 es 
transformada en el eje x, (¿por qué?).
Después de esta discusión se puede preguntar: ¿en qué transforma T al cuadrado 
{(x, y) | 0 � x � 1, 0 � y � 1}? Una forma de abordar esta pregunta es averiguar cuál es 
la imagen de los lados del cuadrado bajo la acción de T, es decir, deseamos conocer 
T(x, 0), T(1, y), T(x, 1) y T(0, y) cuando 0 � x, y � 1.
Se tiene: T(x, 0) � (2x, x) � x(2, 1), T(1, y) � (2 	 y, 1 	 y) � (2, 1) 	 y(1, 1), T(x, 1) � 
(2x 	 1, x 	 1) � (2x, x) 	 (1, 1) � x(2, 1) 	 (1, 1) y T(0, y) � (y, y) � y(1, 1). Como la x y la 
L
T(L)
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7
�1
�2
�3
�1�2�3
Figura 4.1. Imagen de L bajo T(x, y) = 
(2x + y, x + y).