Álgebra Lineal Mora (114)

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Capítulo 4. Transformaciones lineales y matrices
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y son números reales entre cero y uno, los resultados anteriores muestran que los lados 
son transformados en segmentos.
T
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Figura 4.2. Imagen del cuadrado 
unitario bajo T(x, y) � (2x 	 y, x 	 y).
De esto se concluye que el cuadrado es transformado en el paralelogramo que se 
muestra en la parte derecha de la fi gura 4.2.
Ejercicio 4.1.2. Use Cabri-Geometry o cualquier otro sistema computacional para 
contestar las preguntas que se plantean. Después haga un análisis algebraico para corro-
borar los resultados que obtenga.
 1. Si T : R2 → R2 está defi nida por T(x, y) � (2x � y, x 	 2y). ¿Cuál es la imagen de la 
circunferencia de radio 1 y centro en el origen bajo T?
 2. ¿Cómo debe estar defi nida T : R2 → R2 para que la imagen de una circunferencia 
bajo T sea una circunferencia?
En la discusión que hicimos para determinar las transformaciones lineales de R en 
R y de R2 en R nos dimos cuenta que los valores de la transformación quedan determi-
nados en la base canónica. Esta idea lleva a preguntarse si acaso se tendrá el mismo re-
sultado en general, es decir, ¿será cierto que una transformación lineal queda defi nida 
en una base? La respuesta la da el siguiente resultado.
Teorema 4.1.2. Sea {α1, α2, ...,αn} una base de V y β1, β2, ..., βn cualquier colección de n 
vectores en W, entonces existe una única transformación lineal T : V → W tal que T(αi) � 
βi, para todo i � 1, 2, ..., n.
Demostración. Para defi nir T procedemos como sigue, primero defi nimos T en cada 
αi de tal forma que las conclusiones del teorema se satisfagan, es decir, T(αi) :� βi para 
cada i � 1, 2, ..., n. En general, si α � x1α1 	 x2α2 	 · · · 	 xnαn proponemos T(α) :� x1T(α1) 
	 x2T(α2) 	 · · · 	 xnT(αn). Hay que notar que la representación de cada α ∈ V como 
combinación lineal en términos de una base es única, por lo que la defi nición de T es 
consistente. El resto de la demostración lo asignamos como un ejercicio.
4.2. Transformaciones lineales geométricas
En esta sección presentamos ejemplos de transformaciones lineales que surgen de pro-
blemas geométricos. Iniciamos discutiendo las:
 a) Refl exiones. La idea de refl exión, desde el punto de vista geométrico, proviene 
de considerar la imagen de un objeto refl ejada a través de un espejo. En el plano, 
una refl exión se considera respecto a una recta y, sin perder generalidad se puede 
suponer que dicha recta pasa por el origen. Con este supuesto, una refl exión en 
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	4.2. Transformaciones lineales geométricas